Aula 01

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Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento
unidimensional
Metas
Apresentar, sem demonstrar, os principais resultados sobre limites e deriva-
das de funções reais, com uma variável real, e definir velocidade e aceleração
em um movimento unidimensional.
Objetivos
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
1. identificar o domínio e o contradomínio de uma função;
2. calcular o limite de funções simples;
3. calcular derivadas de funções simples;
4. esboçar gráficos de funções simples;
5. calcular a velocidade e a aceleração de uma partícula, em um movi-
mento unidimensional, a partir da sua posição.
Pré-requisitos
Para ter bom aproveitamento desta aula, é importante que você saiba somar
frações e elevar expressões a potências, que conheça o conceito de funções,
que tenha noções de geometria plana (ângulos, geometria dos triângulos),
de trigonometria básica (seno, cosseno, tangente, cotangente) e que conheça
as definições das grandezas cinemáticas de um movimento unidimensional.
Esses conteúdos podem ser encontrados nos livros das disciplinas de Mate-
mática Básica, Geometria Básica, Cálculo I e Introduçào às Ciências Físicas
1.
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Introdução
Desde o início, o homem tenta compreender os fenômenos naturais, tendo
como um dos objetivos principais melhorar as suas condições de existência
na Terra. Ele inicia tentando entender esses fenômenos de forma qualitativa
e lhes confere um caráter quantitativo, utilizando, para isso, ferramentas
matemáticas apropriadas. Uma dessas ferramentas é o cálculo diferencial e
integral de que precisamos: para obter as equações que descrevem os movi-
mentos dos corpos utilizados na construção dos carros, aviões, navios etc.;
para descrever os fenômenos eletromagnéticos necessários à produção de ener-
gia elétrica e dos eletrodomésticos, para descrever os fenômenos que envolvem
trocas de calor, utilizados na construção de máquinas térmicas, bem como
para descrever os fenômenos quânticos necessários à produção de equipamen-
tos eletrônicos.
Nesta disciplina, você vai aprofundar os seus conhecimentos sobre a
mecânica da partícula. Para isso, será necessário utilizar alguns conhecimen-
tos sobre o cálculo diferencial e intregral e, por isso, apresentaremos, nesta
aula, ainda que de maneira informal, alguns dos seus conceitos e ferramentas.
Se você já foi aprovado na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral,
inicie o estudo desta aula na seção "As derivadas no estudo do movimento
dos corpos".
Funções
As funções reais de uma variável real já foram estudadas em disciplinas
do Ensino Médio e em Pré-Cálculo. É preciso recordar que uma função
real consiste em uma tripla: o domínio, o contradomínio e a lei de definição
(fórmula).
O domínio de uma função f é o maior subconjunto dos números reais <,
no qual a fórmula da função assume valores reais.
O contradomínio de uma função f é o maior subconjunto dos números reais <,
que contém os valores da função definidos pela fórmula.
Exemplo 1.1
Considere a função f : < − {2} −→ < definida por f(t) = 1
t−2 . Determine o
domínio, o contradomínio e a lei de definição dessa função.
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f = <− {2} −→ <
t −→ 1
t− 2
Resolução
A lei que define a função é f(t) =
1
t− 2 . Nesse caso, a fórmula que define a
função só não assume um valor real quando a variável t é igual ao número real
2, uma vez que o denominador da expressão que define a função se anula em
t = 2. Logo, o domínio da função, que é o maior subconjunto dos números
reais <, no qual a fórmula da função assume valores reais, é igual ao conjunto
{< − {2}}. A expressão que define a função pode assumir qualquer valor dos
números reais; logo, o contradomínio da função, que é o maior subconjunto
dos números reais < que contém os valores da função definidos pela fórmula,
é igual ao conjunto dos números reais {<}.
Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
Seja a função f definida por f(t) = sen(t), quais são o domínio e o contra-
domínio dessa função?
Resposta Comentada
Como a expressão sen(t) assume valores reais para todos os valores da variá-
vel t no conjunto dos números reais, o maior subconjunto dos números reais
<, no qual a fórmula da função assume valores reais, é igual ao conjunto dos
números reais {<}; logo, o domínio da função é o conjunto dos números reais
{<}. Como sen(t) só assume valores no intervalo dos números reais [−1, 1],
o contradomínio da função é o conjunto de números reais que pertencem ao
intervalo de números reais [−1, 1].
Atividade 2
Atende ao Objetivo 1
Seja a função f1 definida por f1(t) = t + 1, quais são o domínio e o contra-
domínio dessa função?
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Resposta Comentada
Como a expressão t+1 assume valores reais para todos os valores da variável
t no conjunto dos números reais, o maior subconjunto dos números reais <,
onde a fórmula da função assume valores reais é igual ao conjunto dos núme-
ros reais {<}; logo, o domínio da função é o conjunto dos números reais {<}.
Como a expressão t + 1, que define a função, pode assumir qualquer valor
dentre os números reais, o contradomínio da função é o conjunto de números
reais {<}.
Atividade 3
Atende ao Objetivo 1
Seja a função f2 definida por f2(t) =
t2 − 1
t − 1 . Quais são o domínio e o con-
tradomínio dessa função?
Resposta Comentada
A lei que define a função é
t2 − 1
t − 1 . Nesse caso, a fórmula que a define não
assume um valor real apenas quando a variável t é igual ao número real 1,
uma vez que o denominador da expressão que define a função se anula em
t = 1. Logo, o domínio da função, que é o maior subconjunto dos números
reais <, no qual a fórmula da função assume valores reais, é igual ao conjunto
{< − {1}}. O domínio de f2 é {< − {1}}.
A identificação do contradomínio da função f2 fica mais fácil quando simpli-
ficamos a fração.
f2(t) =
t2 − 1
t − 1 =
(t − 1)(t+ 1)
t − 1 = t+ 1. (1.1)
A equação 1.1 mostra que, se t 6= 1, temos que f2(t) = f1(t) (a função f1
foi discutida na Atividade 2), cujo contradomínio é igual ao conjunto dos
números reais {<}. Como o valor da função f1 em t = 1 é igual a 2 e a
função f2 não é definida no valor t = 1, o número real 2 não pertence ao
contradomímio da função f2. Logo, o contradomínio da função f2, que é o
maior subconjunto dos números reais <, no qual a fórmula da função assume
valores reais, é igual ao conjunto {< − {2}}.
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Gráficos de funções
Antes de iniciarmos o estudo dos limites de funções, é bom lembrar
mais um aspecto da teoria de funções: os gráficos. Você sabe que, dada uma
função f , digamos,
f = A −→ B (1.2)
t −→ f(t) (1.3)
podemos considerar
Gf = {(t, y) � A×B −→ y(t) = f(t)} (1.4)
o gráfico de f , que é um subconjunto do produto cartesiano A×B. O gráfico
da função f é uma consequência de sua definição, mas, dado Gf , podemos
reconstruir a função f. Dessa forma, é possível nos referir à função f ou ao
seu gráfico como se fossem, essencialmente, o mesmo objeto.
A grande vantagem do gráfico Gf , especialmente no caso das funções
reais, de uma variável real, é que ele pode ser esboçado como um subconjunto
do plano cartesiano.
O gráfico da função Gf é uma função. A representação do gráfico da
função no plano cartesiano é o conjunto de pontos desse plano com coorde-
nadas t e f(t). Logo, eles são diferentes. Todavia, os livros de Física não
fazem essa diferença. Neles, o gráfico da função Gf e a representação do grá-
fico da função no plano cartesiano são denominados gráficos da função.
Adotaremos a linguagemdos livros de Física.
Uma técnica rudimentar para representar um gráfico no plano cartesi-
ano consiste em encontrar alguns pontos do gráfico e colocá-los no referido
plano.
Exemplo 1.2
Seja a função definida por f(t) = −2 t + 3, escreva os pontos do gráfico
correspondentes ao conjunto de valores de t igual a A = {0, 1, 2, 3, 4}. Re-
presente os pontos do gráfico encontrados no plano cartesiano.
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Resolução
O conjunto B, obtido com a regra y(t) = f(t) = −2 t + 3 e com o conjunto
A, é dado por B = {3, 1,−1,−3,−5}. Logo, os pontos do gráfico associados
aos conjuntos A e B são A×B = {(0, 3), (1, 1), (2,−1), (3,−3), (4,−5)}.
A Figura 1.1, abaixo, mostra que a representação do gráfico da função
f no plano cartesiano deve ser uma reta. O conhecimento prévio dessa repre-
sentação teria facilitado a construção da representação do gráfico no plano
cartesiano.
Figura 1.1: Pontos do gráfico da função f(t) = −2 t + 3.
Atividade 4
Atende ao Objetivo 4
Seja a função f definida por f(t) = t + 1, esboce o gráfico da função, utili-
zando a informação de que ele é uma reta.
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Resposta Comentada
O gráfico de uma reta pode ser construído com dois pontos. O valor da
função em t1 = 0 é f(0) = 1. O valor da função em t2 = 1 é f(1) = 2. Logo,
os pontos {(0, 1), (1, 2)} pertencem à reta.
Figura 1.2: Gráfico da função f(t) = t + 1.
Atividade 5
Atende ao Objetivo 4
Seja a função f2 definida por f2(t) =
t2 − 1
t − 1 . Faça o gráfico dessa função.
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Resposta Comentada
Essa função já foi tratada na Atividade 3, em que vimos que seu domínio é
{< − {1}} e seu contradomínio é igual a {< − {2}}. Logo, o gráfico de f2 é
igual ao gráfico da função f1 construído na Atividade 4, sem o ponto (1, 2),
conforme está mostrado na Figura 1.3.
Figura 1.3: Gráfico da função f2(t) =
t2 − 1
t − 1 .
Atividade 6
Atende ao Objetivo 4
Seja a função f definida por f(t) = t2 − 6 t+ 8, esboce o gráfico da função
f na vizinhança das raízes da equação f(t) = 0.
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Resposta Comentada
As raízes da equação f(t) = t2 − 6 t+ 8 = 0 são
t1 =
6 +
√
62 − 4.8)
2
= 4;
t2 =
6−√62 − 4.8)
2
= 2.
O conjunto B, formado com os valores da função f quando t assume valores
no conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, é igual a
B = {8, 3, 0,−1, 0, 3, 8, 15, 24, 35}.
Figura 1.4: Alguns pontos do gráfico da função f(t) = t2 − 6 t+ 8.
Os pontos {(0, 8), (1, 3), (2, 0), (3,−1), (4, 0), (5, 3), (6, 8), (7, 15), (8, 24), (9, 35)}
do plano cartesiano que estão na vizinhança das raízes da equação f(t) =
t2 − 6 t+ 8 = 0 foram representados na Figura 1.4.
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Convém ressaltar que a construção do gráfico de uma função cuja re-
presentação no plano cartesiano não é uma reta necessita de muitos pontos.
Por isso, o método rudimentar para construir gráficos não é utilizado quando
a função não é uma reta. Nesse caso, utilizam-se técnicas matemáticas mais
elaboradas, que serão apresentadas após o estudo das derivadas.
Limites de funções
Nesta aula, apresentaremos alguns resultados relativos aos limites de
funções reais, com uma variável real. As demonstrações desses resultados
serão feitas na disciplina de Cálculo I.
O limite é uma ferramenta matemática que permite investigar o valor
de uma função na vizinhança de um ponto b do seu domínio.
A vizinhança de um número real b é o conjunto de números reais, defi-
nido por:
{t � <; |t− b| < r},
no qual r é denominado raio da vizinhança . A frase matemática que
define a vizinhança de um número real b deve ser lida da seguinte forma:
a vizinhança de um número real b é o conjunto de números reais (t) que
pertencem (�) ao subconjunto dos números reais que são menores do que
o número r + b e maiores do que o número b − r, em que r é um número
real positivo. A vizinhança de um número real b pode ser representada por
intervalo aberto sobre um eixo orientado, em que a variável t assume valores
reais. A vizinhança do número real b foi representada na Figura 1.5.
Figura 1.5: A representação da vizinhança do número real b no eixo Ot é o
intervalo aberto (b− r, b+ r).
A frase matemática que representa o limite de uma função é:
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lim
t−→a
f(t) = L .
Essa frase matemática deve ser lida da seguinte maneira: o limite da função
f , quando t tende ao valor a, é L. Para que essa frase matemática ganhe
significado, é necessário definir uma vizinhança do número real a com raio δ
e uma vizinhança do número real L com raio ε.
Essas vizinhanças foram representadas na Figura 1.6. Podemos, en-
tão, dizer que, se o limite da função f , quando t tende ao valor a, existe e
é igual a L − qualquer que seja a vizinhança de L com raio ε, por menor
que seja o seu raio ε −, existe uma vizinhança de a de raio δ, tal que as
imagens (valores da função) dos pontos da vizinhança de a, e diferentes de a,
pertencem à vizinhança de L com raio ε. Isto é, se t pertence à vizinhança
do número a, então |f(t)− L| < ε.
Na Figura 1.6 foi desenhada a vizinhança do número L com raio ε e
a do número a de raio δ. Esta última contém números reais t, que fornecem
valores da função na vizinhança do número L com raio �. Isto é, se t pertence
à vizinhança de a com raio δ, f(t) pertence à vizinhança de L com raio ε.
Figura 1.6: Limite da função no ponto a.
Você pode desenhar na Figura 1.6 outra vizinhança do número real L
com um raio ε1 menor do que a que foi desenhada com raio ε(ε1 < ε), e ve-
rificar que existe outra vizinhança de a com raio δ1 menor do que δ (δ1 < δ),
cujas imagens da função dos pontos contidos na vizinhança de a com raio δ1
estão na vizinhança do número L com raio ε1.
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Observe na Figura 1.6 que, por menor que seja o valor do raio ε da
vizinhança do número L, as imagens dos pontos localizados na vizinhança do
número a, com raio δ, sempre satisfazem à seguinte relação: ]f(t)−f(a)| < ε.
Logo, nesse caso, o limite da função f , quando t tende ao valor a, é igual a
L = f(a). Isto é, o limite coincide com o valor da função no ponto a. Você
vai verificar na Atividade 7 que o limite de uma função em um ponto a pode
ser diferente do valor da função no ponto a.
Atividade 7
Atende ao Objetivo 2
Seja a função f2 definida por f2(t) =
t2 − 1
t − 1 , utilize o gráfico da função f2
obtido na Atividade 5, para descobrir o lim
t−→1
f2(t).
Resposta Comentada
Com a finalidade de descobrir o limite solicitado, vamos desenhar, no gráfico
da função f2, representado na Figura 1.7, a vizinhança do ponto (1, 2) do
gráfico com raio ε, tão pequeno quanto se queira. Isso nos ajudará a verificar
se existe uma vizinhança do ponto (1, 0) do gráfico com raio δ, cujas imagens
de todos os pontos da vizinhança de (1, 0) e diferentes de (1, 0) estão na
vizinhança do ponto (0, 2) com raio ε.
Figura 1.7: Limite da função f2(t) =
t2 − 1
t − 1 .
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A Figura 1.7 mostra que, qualquer que seja o valor do raio ε da vi-
zinhança do ponto (1, 2), as imagens de todos os pontos da vizinhança do
ponto (1, 0) e diferentes de (1, 0), estão na vizinhança do ponto (0, 2) com
raio ε. Logo, o limite lim
t−→1
f2(t) vale 2. É importante ressaltar que, nesse
caso, o limite da função não é igual ao valor de f2 no ponto, uma vez que ela
não é definida em t = 1, isto é, o ponto 2 não pertence ao contradomínio dafunção f2.
Atividade 8
Atende ao Objetivo 2
Seja a função f definida por
f(t) =
{
−1, se t < 0,
1, se t > 0,
encontre o limite da função f quando t tende a zero.
Resposta Comentada
Com a finalidade de descobrir o limite solicitado, vamos desenhar, na Fi-
gura 1.8, a vizinhança do ponto (0, 1) do gráfico com raio ε, tão pequeno
quanto se queira. Faremos isso a fim de verificar se existe uma vizinhança
do ponto (0, 0) do gráfico com raio δ, cujas imagens de todos os pontos da
vizinhança de (0, 0) e diferentes de (0, 0) estão na vizinhança do ponto (0, 1)
com raio ε.
A Figura 1.8 mostra que, qualquer que seja o valor do raio δ, temos as
considerações seguintes:
• As imagens da vizinhança do ponto a = 0, para valores de t > 0 (vizi-
nhança à direita), valem 1. Logo, qualquer que seja o valor do raio
ε da vizinhança do ponto (0, 1), as imagens de todos os pontos da
vizinhança à direita do ponto (0, 0) e diferentes de (0, 0) estão na vizi-
nhança do ponto (0, 1) com raio ε. Todavia, qualquer que seja o valor
do raio ε da vizinhança do ponto (0, 1), as imagens de todos os pontos
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Figura 1.8: Gráfico da função f .
da vizinhança à esquerda do ponto (0, 0) e diferentes de (0, 0) não estão
na vizinhança do ponto (0, 1) com raio �. Logo, o limite lim
t−→1
f2(t) não
é igual a 1.
• As imagens da vizinhança do ponto a = 0, para valores de t < 0 (vizi-
nhança à esquerda), valem -1. Logo, qualquer que seja o valor do raio
ε da vizinhança do ponto (0,−1), as imagens de todos os pontos da
vizinhança à esquerda do ponto (0, 0) e diferentes de (0, 0) estão na
vizinhança do ponto (0,−1) com raio ε. Todavia, qualquer que seja o
valor do raio ε da vizinhança do ponto (0,−1), as imagens de todos os
pontos da vizinhança à direita do ponto (0, 0) e diferentes de (0, 0) não
estão na vizinhança do ponto (0, 1) com raio ε. Logo, o limite lim
t−→1
f2(t)
não é igual a -1.
Dado o exposto, a função f não tem limite em t = 0; veremos a seguir que
ela tem limites laterais esquerdo e direito e que eles são diferentes.
Limites laterais
Os limites laterais investigam o comportamento das funções reais, com
uma variável real, nas suas vizinhanças do lado esquerdo e do lado direito de
um ponto.
Considere uma função f tal que, para algum r > 0, (a, a+r) ⊂ Dom(f).
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MÓDULO 1 - AULA 1
Dizemos que existe um limite lateral à direita representado pela frase mate-
mática
lim
t−→a+
f(t) = L+
se, para cada vizinhança de L+, por menor que seja o seu raio, encontramos
uma vizinhança de a de raio r, tal que as imagens dos pontos da vizinhança
de a − que estão à direita de a, e diferentes de a − pertencem à vizinhança
de L+.
Considere uma função f tal que, para algum r > 0, (a−r, a) ⊂ Dom(f).
Dizemos que existe um limite lateral à esquerda representado pela frase ma-
temática
lim
t−→a−
f(t) = L−
se, para cada vizinhança de L−, por menor que seja o seu raio, encontramos
uma vizinhança de a de raio r, tal que as imagens dos pontos da vizinhança
de a − que estão à esquerda de a, e diferentes de a − pertencem à vizinhança
de L−.
A função analisada na Atividade 8 não tem limite no ponto t = 0.
Todavia, é fácil perceber que ela tem um limite lateral à direita igual a 1 e
um limite lateral à esquerda igual a -1.
Pelas definições de limites laterais de uma função real, com variável
real, é facil perceber que o limite da função só existe na vizinhança de um
ponto a se os limites laterais direito e esquerdo da função nesse ponto forem
iguais, isto é,
lim
t−→a−
f(t) = lim
t−→a+
f(t)⇔ lim
t−→a
f(t).
Propriedades elementares dos limites de funções reais,
com uma variável real
Podemos formar novas funções a partir da soma, da multiplicação ou
da divisão de funções conhecidas. Por isso, os matemáticos provaram uma
série de propriedades elementares que permitem calcular com facilidade os
limites dessas novas funções. Essas propriedades estão listadas a seguir:
Se lim
t−→a
f(t) = L e lim
t−→a
g(t) = M , então:
1. lim
t−→a
(f + g)(t) = lim
t−→a
f(t) + lim
t−→a
g(t) = L+M ;
2. para α ε <, lim
t−→a
(α f(t)) = α lim
t−→a
f(t) = αL;
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3. lim
t−→a
(f.g)(t) = lim
t−→a
f(t). lim
t−→a
g(t) = L.M ;
4. para L 6= 0, lim
t−→a
(
1
f(t)
)
=
1
L
.
Atividade 9
Atende ao Objetivo 2
Calcule os limites das seguintes funções:
1. lim
t−→1
(t+ 1)2 (t2 + 3 t+ 4);
2. lim
t−→3
t2 − 9
t− 3 .
Resposta Comentada
1. lim
t−→1
(t+ 1)2 (t2 + 3 t+ 4) = lim
t−→1
(t+ 1)2. lim
t−→1
(t2 + 3.t+ 4) = 4× 8 = 32
2. lim
t−→3
t2 − 9
t− 3 = limt−→0
(t+ 3).(t− 3)
t− 3 = limt−→0 t+ 3 = 6
Limites de funções trigonométricas
Os limites das funções trigonométricas podem ser encontrados com o
Teorema do Confronto. Listamos a seguir alguns desses limites.
1. lim
t−→a
sen(t) = sen(a);
2. lim
t−→b
cos(t) = cos(b);
3. lim
t−→0
sen(t)
t
= 1.
Atividade 10
Atende ao Objetivo 2
Calcule o limite lim
h−→0
cos(h)− 1
h
.
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Resposta Comentada
O cálculo desse limite requer o conhecimento das seguintes identidades tri-
gonométricas:
1. sen2(h) + cos2(h) = 1;
2. cos(h) = 1− 2 sen2
(
h
2
)
.
Portanto, temos que lim
h−→0
cos(h)− 1
h
= −2 lim
h−→0
sen2
(
h
2
)
h
.
A expressão trigonométrica
sen2(h/2)
h
pode ser transformada em:
sen2(h/2)
h
=
h
4
sen2(h/2)
hh
4
=
h
4
sen2(h/2)
(h/2)2
=
h
4
(
sen(h/2)
h/2
)2
.
Logo, temos que
lim
h−→0
sen2(h/2)
h
= lim
h−→0
h
4
(
sen(h/2)
h/2
)2
⇒
lim
h−→0
sen2(h/2)
h
= lim
h−→0
h
4
. lim
h−→0
(
sen(h/2)
h/2
)2
.
Se denominarmos h/2 de u, temos que
lim
h−→0
(
sen(h/2)
h/2
)2
= lim
u−→0
(
sen(u)
u
)2
= lim
u−→0
(
sen(u)
u
)2
= 1.
Consequentemente, o limite solicitado é nulo, uma vez que
lim
h−→0
cos(h)− 1
h
= lim
h−→0
h
4
= 0.
Funções deriváveis
A noção de função derivável é uma das noções fundamentais da Mate-
mática indispensável no estudo da Mecânica.
A derivada de uma função real, com uma variável real, é definida da
seguinte forma:
Sejam I um intervalo não trivial (é um intervalo que não se reduz a
um único elemento), f : I −→ < e t � I, diz-se que f é diferenciável em t se
existe o limite
lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 .
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Nesse caso, dizemos que a derivada da função f é a função f ′ : II ⊂ < −→ <
e t � II com a seguinte regra de definição:
f ′(t1) = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 = lim∆t−→0
∆f
∆t
,
e dizemos que f ′(t1) é a derivada de f em t1.
Nos livros de Física, é comum encontrar as derivadas representadas com
a notação de Leibniz, isto é,
f ′ =
df
dt
.
Daqui em diante, a não ser que seja estritamente necessário fazer a
diferença, denominaremos por derivada da função tanto a função derivada
f ′ quanto a relação que define a derivada f ′(t).
Utilizaremos também a notação em que a derivada da função f é re-
presentada por parênteses com uma aspa contendo, no seu interior, a função
que define a derivada; por exemplo, se f(t) = t, a representação da função
derivada será (t)′.
Exemplo 1.3
Seja a função definida por f(t) = C, sendo C uma constante, qual é a deri-
vada da função f em relação a t?
Resolução
Por definição, a derivada da função f no ponto t1 é dada por:
f ′(t1) = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 = limt2−→t1
C − C
t2 − t1 = 0.
Logo, a derivadada função constante é zero, isto é, (C)′ = 0.
Exemplo 1.4
Seja a função definida por f(t) = t. Qual é a derivada da função f em relação
a t ?
Resolução
Por definição, a derivada da função f no ponto t1 é dada por:
f ′(t1) = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 = limt2−→t1
t2 − t1
t2 − t1 = 1.
Logo, a derivada da função f(t) = t é (t)′ = 1.
CEDERJ 24
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
Atividade 11
Atende ao Objetivo 3
Calcule as derivadas em relação a t das seguintes funções:
1. f(t) = t2;
2. f(t) = t3.
Resposta Comentada
1. t2 − t1 = h⇒ f(t2) = (t1 + h)2 = t21 + 2h t1 + h2
⇒ f ′(t1) = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 = limh−→0
t21 + 2h t1 + h
2 − t12
h
⇒ f ′(t1) = lim
h−→0
(2 t1 + h) = 2 t1 ⇒ (t2)′ = 2 t.
2. t2 − t1 = h⇒ f(t2) = (t1 + h)3 = t31 + 3h2 t1 + 3h t12 + h3
⇒ f ′(t1) = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 = limh−→0
t31 + 3h
2 t1 + 3h t1
2 + h3 − t13
h
⇒ f ′(t1) = lim
h−→0
(3h t1 + 3 t
2
1 + h
2) = 3 t1 ⇒ (t3)′ = 3 t2.
Exemplo 1.5
Seja a função definida por f(t) = sen(t). Qual é a derivada da função f em
relação a t?
Resolução
Se t2 − t1 = h⇒ f(t2) = sen(t1 + h) = sen(t1) cos(h) + cos(t1) sen(h)
⇒ f ′(t1) = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 = limh−→0
sen(t1 + h)− sen(t1)
h
⇒
f ′(t1) = lim
h−→0
sen(t1) cos(h) + cos(t1) sen(h)− sen(t1)
h
⇒
f ′(t1) = lim
h−→0
sen(t1) (cos(h)− 1) + cos(t1) sen(h)
h
⇒
f ′(t1) = sen(t1) lim
h−→0
(cos(h)− 1)
h
+ cos(t1) lim
h−→0
sen(h)
h
.
Como o limite do primeiro termo da derivada é nulo e o do segundo
termo da derivada vale um, a derivada se reduz a f ′(t1) = cos(t1). Conse-
quentemente, a derivada do seno é o cosseno, isto é, (sen(t))′ = cos(t).
25 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
Atividade 12
Atende ao Objetivo 3
Seja a função definida por f(t) = cos(t), qual é a derivada da função f em
relação a t?
Resposta Comentada
Se t2 − t1 = h⇒ f(t2) = cos(t1 + h) = cos(t1) cos(h)− sen(t1) sen(h)⇒
f ′(t1) = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 = limh−→0
cos(t1 + h)− cos(t1)
h
⇒
f ′(t1) = lim
h−→0
cos(t1) cos(h)− sen(t1) sen(h)− cos(t1)
h
⇒
f ′(t1) = lim
h−→0
cos(t1) (cos(h)− 1)− sen(t1) sen(h)
h
f ′(t1) = cos(t1) lim
h−→0
(cos(h)− 1)
h
− sen(t1) lim
h−→0
sen(h)
h
= −sen(t1).
Logo, a derivada se reduz a f ′(t1) = −sen(t1). Consequentemente, a derivada
do seno é menos o cosseno, isto é, (cos(t))′ = −sen(t).
Propriedades das derivadas
As propriedades das derivadas, que serão demonstradas na disciplina
de Cálculo I, estão listadas a seguir:
Sejam I um intervalo não trivial e f, g : I −→ < duas funções derivá-
veis em t εI, então, as seguintes propriedades se verificam:
1. (f + g)′=f ′+g′;
2. para α ε <, (α f)′ = α f ′;
3. (f.g)′=f ′.g + f.g′;
4. se além disso, g 6= 0, então temos que
(
f
g
)′
=
f ′.g − f.g′
g2
.
Essas propriedades permitem obter as derivadas de funções oriundas
da soma, produto ou divisão de funções cujas derivadas são conhecidas.
Exemplo 1.6
Seja a função definida por f(t) = a t2 + b t+c, em que a, b e c são constantes,
qual é a derivada da função f em relação a t?
CEDERJ 26
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
Resolução
Como (c)′ = 0 e a derivada da soma de funções é a soma das derivadas das
funções, temos que:
(a t2 + b t+ c)
′=(a t2)′+(b t)′+(c)′=(a t2)′+(b t)′.
Uma vez que (t)′ = 1, (t2)′ = 2 t e a derivada de uma constante vezes a
função é a constante vezes a derivada da função, temos que:
(a t2 + b t+ c)
′=(a t2)′+(b t)′+(c)′=a (t2)′+b (t)′ = 2 a t+ b.
Exemplo 1.7
Seja a função f(t) = tn, em que n > 0 é um número inteiro, calcule a derivada
da função f em relação a t.
Resolução
As derivadas de (t)′ = 1, (t2)′ = 2 t e (t3)′ = 3 t2 podem ser obtidas da relação
(tn)′ = n tn−1 quando fazemos n igual a 1, 2 ou 3. Isso é um indicativo de
que a derivada (tn)′ pode ser obtida pelo método da indução.
Vamos supor que a expressão (tn−1)′ = (n− 1) tn−2 é verdadeira. Nesse caso,
podemos calcular a derivada da função f(t) = tn utilizando a propriedade
que fornece a derivada do produto de funções.
(tn)′ = (tn−1.t)
′
= (tn−1)
′
.t+ tn−1.(t)′ ⇒
(tn)′ = (n− 1) tn−2.t+ tn−1 = (n− 1) tn−1 + tn−1 = n tn−1.
Logo, temos que (tn)′ = n tn−1.
Atividade 13
Atende ao Objetivo 3
Seja a função f(t) = tan(t). Calcule a derivada da função f em relação a t.
Resposta Comentada
A tangente de t é
sen(t)
cos(t)
. A sua derivada pode ser calculada utilizando-se a
regra de derivação para o quociente de funções, isto é,
(tan(t))′ =
(
sen(t)
cos(t)
)′
=
(sen(t))′cos(t)− sen(t)(cos(t))′
cos2(t)
⇒
27 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
(tan(t))′ =
cos(t)cos(t)− sen(t)(−sen(t))
cos2(t)
⇒
(tan(t))′ =
cos2(t) + sen2(t)
cos2(t)
=
1
cos2(t)
= sec2(t).
A derivada da tangente é a secante quadrada, ou seja, (tan(t))′ = sec2(t).
Derivadas de ordem superior
Vimos nas seções anteriores que, por meio do processo de derivação, é
possível obter, a partir de uma dada função f , outra função f ′ cujo domínio
pode ser consideravelmente menor do que o da função f original. É claro que
a noção de derivabilidade e o processo de derivação podem ser aplicados a
esta nova função f ′, cujo domínio é formado por todos os pontos t1, tais que
f ′ é derivável em t1. A função (f ′)
′ é denotada simplesmente por f ′′ (lê-se
f duas linhas) e chamada derivada segunda de f . Se f ′′(t1) existe, então
dizemos que f é duas vezes derivável (diferenciável) em t1 e que o número
f ′′(t1) é a derivada segunda de f calculada em t1.
Da mesma maneira, podemos definir a derivada terceira de f , como
f ′′′ = (f ′′)′. De modo mais geral, se k é um inteiro positivo, então f (k) denota
a derivada de ordem k de f , que é obtida derivando-se f , sucessivamente, k
vezes. As várias funções para k > 0 são, usualmente, chamadas de derivadas
de ordem superior de f . Às vezes é conveniente pensar na função original
como a derivada de ordem zero e escrever f = f (0).
Na notação de Leibniz, a derivada de ordem k da função f é f (k) =
dkf
dtk
.
No caso da primeira derivada, o índice 1 é omitido, isto é, f (1) =
d1f
dt1
=
df
dt
.
Exemplo 1.8
Seja a função definida por f(t) = a t2 + b t+c, em que a, b e c são constantes,
qual é a derivada segunda da função f em relação a t?
Resolução
A derivada da função f , que foi calculada no Exemplo 1.6, é f ′ = 2 a t+ b.
Como (b)′ = 0 e (t)′ = 1, a segunda derivada da função f é dada por:
f ′′(t) = (2 a t+ b)′ = (2 a t)′ + (b)′ = 2 a (t)′ = 2 a.
Atividade 14
Atende ao Objetivo 3
Sejam as funções definidas por f1(t) = sen(t) e f2(t) = cos(t), quais são as
CEDERJ 28
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
derivadas segundas das funções f1 e f2 em relação a t?
Resposta Comentada
As derivadas do seno e do cosseno, que foram encontradas no Exemplo 1.5
e na Atividade 12, são (sen(t))′ = cos(t); (cos(t))′ = −sen(t). Por isso, as
derivadas segundas do seno e do cosseno são dadas por:
(sen(t))′′ = (cos(t))′ = −sen(t); (cos(t))′′ = (−sen(t))′ = −cos(t).
Representação geométrica da derivada
A derivada de uma função f em um ponto t1 tem um significado geo-
métrico que pode ser visto facilmente no gráfico da função.
W� W�
I�W��
I�W��
W
I
6I
6W
Figura 1.9: A derivada é o coeficiente angular da reta tangente.
Na Figura 1.9 foram desenhados o gráfico da função f , a reta secante
que corta a curva nos pontos (t1, f(t1)) e (t2, f(t2)) e a reta tangente no ponto
(t1, f(t1)). O coeficiente angular msec da reta secante é:
msec =
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 =
∆f
∆t
.
Pode-se perceber que, quanto menor o intervalode tempo ∆t, mais a
reta secante se aproxima da reta tangente à função no ponto t1. No limite
em que ∆t −→ 0, temos que o coeficiente angular mtan da reta tangente é :
mtan = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 = lim∆t−→0
∆f
∆t
.
29 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
Logo, no gráfico da função f , a derivada da função f no ponto t1 é
o coeficiente angular da reta tangente que toca a curva no ponto t1, isto é,
f ′(t1) = mtan.
Propriedades dos gráficos
Os gráficos de funções reais, com uma variável real, têm propriedades
que estão relacionadas com as derivadas primeira e segunda das funções.
Discutiremos a seguir essas propriedades e as suas relações com as derivadas.
I�W�
WW�W�W�W�
Figura 1.10: Função que é crescente nos intervalos (t1, t2) e (t4,∞) e decres-
cente no intervalo (t2, t4). Estão desenhadas retas tangentes à função em três
pontos, cada uma em um dos intervalos mencionados.
Considerando f uma função real, com uma variável real, que assume
valores em um intervalo I, dizemos que f é crescente em um intervalo A ⊂ I
quando os valores de f aumentam com o crescimento dos valores de t ⊂ A e
decrescente quando os valores de f diminuem com o crescimento dos valores
de t.
A Figura 1.10mostra que a função f é crescente nos intervalos abertos
(t1, t2) e (t4,∞) e decrescente no intervalo (t2, t4).
Na disciplina de Cáculo I, a seguinte proposição vai ser demonstrada:
Seja f uma função derivável em um intervalo não trivial I. Então:
1. Se f ′(t) > 0 quando t assume valores em um subintervalo A ⊂ I, a
CEDERJ 30
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
função f é crescente no intervalo A.
2. Se f ′(t) < 0 quando t assume valores em um subintervalo A ⊂ I, a
função f é decrescente no intervalo A.
Essa proposição pode ser visualizada na Figura 1.10, uma vez que os
coeficientes angulares das retas tangentes são positivos nos intervalos abertos
(t1, t2) e (t4,∞) e negativos no intervalo (t2, t4).
Figura 1.11: Concavidades dos gráficos das funções reais, com uma variável
real.
Representamos na Figura 1.11 o gráfico da função f(t) = t3. Observe
que a função f é crescente no intervalo nele representado. Todavia, a forma
do gráfico quando t < 0 é diferente daquela em que t > 0. Dizemos que o
gráfico da função é côncavo para cima quando t > 0 e côncavo para baixo
quando t < 0. Observe também que a derivada da função está aumentando
onde o gráfico da função tem concavidade para cima e está diminuindo onde
o gráfico da função tem concavidade para baixo. Os matemáticos definem a
concavidade do gráfico de uma função da seguinte maneira: seja f uma função
derivável em um intervalo não trivial I, dizemos que f tem concavidade
para cima em um subintervalo B ⊂ I, se a derivada f ′ é uma função
crescente no subintervalo I; e que tem concavidade para baixo em B se a
derivada f ′ é uma função decrescente no subintervalo B.
Como a derivada h = f ′ é uma função real, com uma variável real, ela
será crescente quando os valores da sua derivada h′ = f ′′ forem positivos e
31 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
decrescente quando os valores da sua derivada h′ forem negativos. Por isso
temos a proposição seguinte:
Seja f uma função derivável em um intervalo não trivial I.
1. Se f ′′(t) > 0 quando t assume valores em um subintervalo A ⊂ I, o
gráfico da função tem concavidade para cima nesse intervalo.
2. Se f ′′(t) < 0 quando t assume valores em um subintervalo A ⊂ I, o
gráfico da função tem concavidade para baixo nesse intervalo.
Os gráficos podem ter pontos com características especiais. Existem
relações entre as propriedades desses pontos e as suas derivadas.
W
U�
W�W�
U�
W�
I�W�
Figura 1.12: Máximos e mínimos de uma função.
O gráfico da Figura 1.12 mostra que é possível encontrar uma vizi-
nhança de t2 com raio r2 em que f(t2) é máximo. É importante ressaltar
que existem outros valores de t nos quais os valores da função são maiores
do que f(t2). Por isso, dizemos que, nesse caso, existe um máximo rela-
tivo em t2. Observe que, no ponto onde existe um máximo local, o valor
da derivada da função é nulo (o que traduz o fato de, nesse ponto, a função
não aumentar nem diminuir) e a concavidade do gráfico é voltada para baixo.
O gráfico da Figura 1.12 também mostra que o valor mínimo da função
ocorre em t4. Esse mínimo também é um mínimo relativo, uma vez que é
possível encontrar uma vizinhança de t4, com raio r4, onde f(t4) é mínimo.
CEDERJ 32
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
Observe que, no ponto onde existe um mínimo relativo, o valor da derivada
da função é nulo e a concavidade do gráfico é voltada para cima.
Por outro lado, dizemos que uma função f possui um máximo relativo
(ou máximo local) em um ponto c, se existe um intervalo aberto I contendo
c, tal que f esteja definida em I e f(c) ≥ f(t) para todo t ε I. Nesse caso,
dizemos que o ponto (c, f(c)) é um máximo relativo do gráfico de f .
Dizemos que uma função f possui um mínimo relativo (ou mínimo
local) em um ponto c, se existe um intervalo aberto I contendo c, tal que f
esteja definida em I e f(c) ≤ f(t) para todo t ε I. Nesse caso, dizemos que o
ponto (c, f(c)) é um mínimo relativo do gráfico de f .
Figura 1.13: O ponto (c, f(c)) é um ponto de inflexão pois é onde a concavi-
dade do gráfico muda.
Observe, no gráfico da Figura 1.13, que para valores de t < c na
vizinhança de c com raio r, a derivada f ′ diminui, fica constante no entorno
de t3 e aumenta para valores de t > c, isto é, a curva muda de concavidade em
c. Denominamos o ponto (c, f(c)) do gráfico da função de ponto de inflexão.
Seja f uma função derivável em um intervalo não trivial I, dizemos que o
ponto (c, f(c)) do gráfico da função f é um ponto de inflexão, se existe a
derivada da função no ponto e, além disso, a concavidade do gráfico muda no
ponto (c, f(c)). Mudar de concavidade no gráfico significa mudar o sinal da
derivada segunda f ′′, quando se passa pelo ponto (c, f(t)). Isso faz com que
a segunda derivada no ponto de inflexão tenha que ser nula, isto é, f ′′(c) = 0.
33 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
Exemplo 1.9
Esboce o gráfico da função f(t) = t3 − 3 t2 + 2 t para valores de t no subin-
tervalo [0,∞).
Resolução
Com a finalidade de encontrar os pontos onde o gráfico corta o eixo Ot, vamos
encontrar as raízes da equação: f(t) = t3 − 3 t2 + 2 t = t (t2 − 3 t+ 2) = 0.
Uma das raízes da equação f(t) = 0 é t = 0. As outras são as raízes da
equação de segundo grau t2 − 3 t+ 1 = 0, isto é,
t+ =
3 +
√
32 − 4.2
2
=
3 +
√
1
2
=
3 + 1
2
= 2;
t− =
3−√32 − 4.2
2
=
3−√1
2
=
3− 4
1
= 1.
Agora, com a finalidade de analisar as propriedades do gráfico da função f ,
vamos encontrar suas derivadas primeira e segunda:
f ′ = (t3 − 3 t2 + 2 t)′ = (t3)′ − 3 (t2)′ + 2 (t)′ = 3 t2 − 6 t+ 2
f ′′(t) = (3 t2 − 6 t+ 2)′ = 6 t− 6.
Os pontos de inflexão da função são aqueles em que a derivada segunda da
função se anula e onde a derivada da função existe, isto é, f ′′(t) = 0 ⇒
6 t − 6 = 0 ⇒ t = 1. Além disso, f ′(t) existe em t = 1. Logo, o gráfico só
tem um ponto de inflexão, que é (1, f(1)) = (1, 0).
Nos pontos onde existem máximos e mínimos locais, a derivada da função
tem que ser nula, ao passo que a segunda derivada não pode ser nula. Por
isto, as seguintes equações devem ser satisfeitas:
f ′(t) = 3 t2 − 6 t+ 2 = 0 e f ′′(t) = 6 t− 6 6= 0.
As raízes da primeira derivada foram calculadas a seguir:
3 t2 − 6 t+ 2 = 0
{
t+ =
6+
√
62−4.3.2
6
= 1 +
√
3
3
;
t− = 6−
√
62−4.3.2
6
= 1−
√
3
3
.
Os valores da segunda derivada em t+ e t− são:
f ′′(t+) = 6 t− 6 = 6
(
1 +
√
3
3
)
− 6 =
√
33
> 0;
f ′′(t−) = 6 t− 6 = 6
(
1−
√
3
3
)
− 6 = −
√
3
3
< 0.
Como em t+ a derivada primeira de f é nula e a derivada segunda é positiva,
existe um mínimo relativo no ponto (1 +
√
3
3
, f(1 +
√
3
3
)) = (1 +
√
3
3
,−2
√
3
9
).
Já em t−, uma vez que a derivada primeira de f é nula e a derivada segunda
é negativa, existe um máximo relativo no ponto (1 −
√
3
3
, f(1 −
√
3
3
)) = (1 −√
3
3
, 2
√
3
9
).
CEDERJ 34
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
Outra informação importante diz respeito às regiões onde a curva é côncava
para baixo e às regiões onde a curva é côncava para cima: se f ′′(t+) =
6 t − 6 = 6
(
1 +
√
3
3
)
− 6 =
√
3
3
> 0 e f ′′(t) = (6 t − 6) > 0 ⇒ t > 1, então
a curva é côncava para cima; se f ′′(t+) = 6 t − 6 = 6
(
1 +
√
3
3
)
− 6 =
√
3
3
>
0 e f ′′(t) = (6 t− 6) < 0⇒ t < 1, então a curva é côncava para baixo.
Para esboçar o gráfico, devemos também investigar o comportamento da fun-
ção quando t→ ∞. Nesse caso, quando t é muito grande, o termo dominante
da função é o monômio t3. Ele tende a inifinito por valores positivos quando
t tende a infinito.
A Figura 1.14 mostra o esboço do gráfico da função f .
Figura 1.14: Gráfico da função f(t) = t3 − 3 t2 + 2 t.
Atividade 15
Atende ao Objetivo 4
Esboce o gráfico da derivada da função f(t) = t3 − 3 t2 + 2 t para valores de
t no subintervalo [0,∞).
35 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
Resposta Comentada
Com a finalidade de analisar as propriedades do gráfico da derivada h = f ′
da função f , vamos encontrar suas derivadas de primeira e segunda ordem:
h = f ′ = 3 t2 − 6 t+ 2,
h′ = f ′′(t) = 6 t− 6,
h′′ = f ′′′(t) = 6.
Como a derivada segunda h′′ da função h é sempre positiva, não existem
pontos de inflexão. Além disso, podemos afirmar que o gráfico da derivada
h da função f é côncavo para cima em todo o domínio da função.
Nos pontos onde existem máximos e mínimos locais, a derivada da função h
tem que ser nula e a derivada segunda h′′ não pode ser nula. Nesse caso, uma
vez que a derivada segunda de h é sempre positiva, só podem existir pontos
de mínimo local. Nesses pontos, a derivada primeira de h tem que ser nula.
Por isso, temos que:
h′ = f ′′(t) = 6 t− 6 = 0 ⇒ t = 1.
Logo, a derivada da função só tem um mínimo local no ponto (1, h(1)) =
(1,−1).
Para esboçar o gráfico, devemos também investigar o comportamento da
função quando t → ∞. Nesse caso, quando t é muito grande, o termo
dominante da função h é o monômio 3 t2. Ele tende para infinito por valores
positivos quando t tende para infinito. Por fim, os pontos onde a função h
cruza o eixo Ot já foram encontrados no Exemplo 15.
A Figura 1.15 mostra o esboço do gráfico da derivada da função f .
CEDERJ 36
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
W
I·�W�
Figura 1.15: Gráfico da derivada da função h(t) = f ′(t) = t3 − 3 t2 + 2 t.
As derivadas no estudo do movimento dos corpos
Você já encontrou derivadas ao estudar movimentos unidimensionais no
Ensino Médio. Só que, naquela ocasião, elas não foram chamadas de deriva-
das. Por exemplo, quando um corpo se desloca sobre o eixo OX, a função que
localiza o corpo é a sua coordenada x. A componente da velocidade média
do objeto no eixo OX entre os instantes t1 e t2 é vmx(t1, t2) =
x(t2)− x(t1)
t2 − t1 .
Já a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando t2 tende
a t1, isto é,
vx(t1) = lim
t2−→t1
vmx = lim
t2−→t1
x(t2)− x(t1)
t2 − t1 .
O limite que define a velocidade instantânea descreve o comportamento
da velocidade média no entorno do instante t1. Ele é, por definição, a derivada
da função x em relação ao tempo.
vx =
dx
dt
.
37 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
A velocidade média e a velocidade instantânea têm um significado ge-
ométrico no gráfico de x versus t. Na Figura 1.16 estão representadas as
posições da partícula para os instantes de tempo t1 e t2. O coeficiente angu-
lar da reta secante à curva que passa pelos pontos com coordenadas (t1, x1)
e (t2, x2) é
x2(t)− x1(t)
t2 − t1 . Esse coeficiente angular é, por definição, a veloci-
dade média da partícula, isto é, vmx(t1, t2) =
x2(t)− x1(t)
t2 − t1 . Assim sendo, no
gráfico de x versus t, a velocidade média entre os instantes t1 e t2 é repre-
sentada geometricamente pelo coeficiente angular da reta secante que passa
pelos pontos (t1, x1) e (t2, x2).
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Figura 1.16: A velocidade média entre dois instantes é o coeficiente angular
da reta secante ao gráfico entre esses instantes.
Na Figura 1.17 foram desenhadas várias retas secantes associadas às
velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores (t2 < t3 < t4).
Observe que, à medida que o intervalo de tempo tende a zero, a reta secante se
aproxima da reta tangente. Por isso, a velocidade instantânea é representada
CEDERJ 38
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
geometricamente pelo coeficiente angular da reta tangente à curva de x versus
t no ponto da curva com coordenadas (t1, x1). Esse resultado era esperado,
uma vez que a velocidade instantânea é a derivada da posição x em relação
ao tempo t, vx =
dx
dt
.
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Figura 1.17: A velocidade instantânea é o coeficiente angular da reta tangente
no ponto de coordenadas (t1, x(t1)).
Outros conceitos importantes no estudo do movimento unidimensional
são os de aceleração média e aceleração instantânea. A componente da ace-
leração média do objeto no eixo OX entre os instantes t1 e t2 é definida
como
amx(t1, t2) =
vx(t2)− vx(t1)
t2 − t1 .
Na Figura 1.18 estão representadas as velocidades instantâneas da
partícula para os instantes de tempo t1 e t2. O coeficiente angular da reta
secante à curva que passa pelos pontos com coordenadas (t1, vx1) e (t2, vx2) é
mx =
vx(t2)− vx(t1)
t2 − t1 . Esse coeficiente angular é, por definição, a aceleração
39 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
média da partícula, isto é, amx(t1, t2) =
vx(t2)− vx(t1)
t2 − t1 . Portanto, no gráfico
de vx versus t, a aceleração média entre os instantes t1 e t2 é representada
geometricamente pelo coeficiente angular da reta secante que passa pelos
pontos (t1, vx(t1)) e (t2, vx(t2)).
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6W
6Y[
Y[�
Y[�
Y[�W�
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Figura 1.18: A aceleração média entre dois instantes de tempo é o coeficiente
angular da reta secante ao gráfico da velocidade versus tempo, entre esses
instantes.
Assim como no caso da velocidade, a aceleração instantânea é o limite
da aceleração média quando t2 tende a t1, isto é,
ax(t1) = lim
t2−→t1
amx = lim
t2−→t1
vx(t2)− vx(t1)
t2 − t1 = lim∆t−→0
∆vx
∆t
.
O limite que define a aceleração instantânea descreve o comportamento
da aceleração média no entorno do instante t1. Ele é, por definição, a derivada
CEDERJ 40
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
da função vx em relação ao tempo, no instante de tempo t1. Logo, a acelera-
ção instantânea é a derivada da componente x da velocidade instantânea vx
em relação ao tempo:
ax =
dvx
dt
.
A aceleração instantânea tem um significado geométrico no gráfico de vx
versus t. Na Figura 1.19 foram desenhadas várias retas secantes associadas
às acelerações médias em intervalos de tempo cada vez menores (t2 < t3 < t4).
Observe que, à medida que o intervalo de tempo tende a zero, a reta secante se
aproxima da reta tangente. Por isso, a aceleração instantânea é representada
geometricamente pelo coeficiente angular da reta tangente à curva de vx
versus t no ponto da curva comcoordenadas (t1, vx(t1)). Esse resultado era
esperado, uma vez que a aceleração instantânea é a derivada da componente
vx da velocidade em relação ao tempo t.
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Y[�
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Figura 1.19: A aceleração instantânea em t1 é o coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico, em t1.
Atividade 16
Atende ao Objetivo 5
Uma partícula se desloca sobre o eixo OX. A sua posição sobre o eixo é
x(t) = t3 − 3 t2 + 2 t.
1. Calcule a velocidade e a aceleração da partícula.
41 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
2. Utilize o gráfico da Figura 1.20 para fazer uma descrição qualitativa
do movimento da partícula. Suponha, que no gráfico, o tempo está em
segundos.
Figura 1.20: Gráfico da função f(t) = t3 − 3 t2 + 2 t.
Resposta Comentada
A velocidade da partícula é a derivada da sua posição, isto é,
vx = (t
3 − 3 t2 + 2 t)′ = 3 t2 − 6 t+ 2.
A aceleração da partícula é a derivada da velocidade. Logo, temos que:
ax = (3 t
2 − 6 t+ 2)′ = 6 t− 6.
O gráfico da coordenada x(t) fornece muitas informações sobre o movimento
da partícula, uma vez que as propriedades geométricas do gráfico estão re-
lacionadas com as derivadas de primeira e segunda ordens da função, que,
nesse caso, são a velocidade e a aceleração da partícula.
Em primeiro lugar, uma vez que o coeficiente angular da reta tangente na
CEDERJ 42
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
origem é positivo, podemos dizer que a partícula parte da origem com a ve-
locidade vx positiva. Ou seja, ela se afasta da origem no sentido positivo do
eixo OX. No intervalo dos tempos (0, 1), a curva é côncava para baixo, o
que significa que a aceleração da partícula é negativa nesse intervalo. Essa
informação poderia ter sido retirada da percepção de que, nesse intervalo dos
tempos, o coeficiente angular da reta tangente está diminuindo. Isso significa
que a velocidade vx está diminuindo. A velocidade se anula em t ∼= 0,5s, que é
o instante no qual a componente x da velocidade muda de sinal. Concluímos,
então, que nesse instante de tempo há uma inversão do movimento.
No instante t = 1s, a partícula passa pela origem com velocidade ne-
gativa. A aceleração da partícula muda de sinal em t = 1s, porque a conca-
vidade da curva muda. Como no intervalo de tempo (1, 2) a velocidade vx é
negativa e a aceleração é positiva, o módulo da velocidade diminui, até que
a partícula para novamente em t = 2s. Esse é o outro ponto de inversão do
movimento da partícula.
Para tempos superiores a 2 s, a partícula tem velocidade vx positiva e acele-
ração ax positiva. Logo, ela retorna à origem e dela se afasta, aumentando a
componente x da sua velocidade.
sectionInformações sobre a próxima aula Na próxima aula estudaremos as
integrais no movimento unidimensional.
Resumo
Nesta aula, você aprendeu que a velocidade e a aceleração de uma par-
tícula que está se deslocando em uma dimensão são derivadas. Por isso, é
fundamental dominar o conceito de derivada e conhecer as suas proprieda-
des. Além disso, é preciso aprender as relações entre as derivadas primeira
e segunda de uma função e as propriedades do gráfico da função, uma vez
que o gráfico da coordenada da partícula em um movimento unidimensional
fornece informações importantes sobre a sua cinemática. A seguir, estão as
principais informações desta aula.
Definição de derivada:
df
dt
(t1) = lim
t2−→t1
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 .
Derivadas simples:
C ′ = 0;
tn′ = n tn−1;
43 CEDERJ
Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
sen(t)′ = cos(t) e cos(t)′ = −sen(t).
As propriedades das derivadas:
1. (f + g)′=f ′+g′;
2. para α ε <, (α f)′ = α f ′;
3. (f.g)′=f ′.g + f.g′;
4. se, g 6= 0, então temos que
(
f
g
)′
=
f ′.g − f.g′
g2
.
Derivadas de ordem superior:
Se k é um inteiro positivo, então f (k) denota a derivada de ordem k de f ,
que é obtida derivando-se f , sucessivamente, k vezes.
As relações entre as propriedades dos gráficos das funções reais,
com uma variável real, e as derivadas primeira e segunda das fun-
ções:
A derivada f ′(t) é o coeficiente angular da reta tangente ao ponto (t, f(t))
do gráfico da função.
Se a derivada f ′(t) é positiva em um intervalo (t1, t2), ela é crescente nesse
intervalo.
Se a derivada f ′(t) é negativa em um intervalo (t1, t2), ela é decrescente nesse
intervalo.
Se f ′′(t) > 0, o gráfico da função é côncavo para cima (
⋃
) e se f ′′(t) < 0, o
gráfico da função é côncavo para baixo (
⋂
).
Nos pontos de inflexão (t, f(t)) do gráfico de f , temos que f ′′(t) = 0.
No ponto de máximo local, temos que: f ′(t) = 0 e f ′′(t) < 0.
No ponto de mínimo local, temos que: f ′(t) = 0 e f ′′(t) > 0.
Velocidade e aceleração em um movimento unidimensional sobre o
eixo OX:
vx =
dx
dt
e ax =
dvx
dt
.
Informações sobre a próxima Aula
Na próxima discutiremos as integrais do movimento unidimensional.
Referências bibliográficas
ALMEIDA, Maria Antonieta Teixeira. Introdução às ciências físicas I. v. 2,
4. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
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Aula 1 - As derivadas utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 1
OLIVERO Mário; CARDIM, Nancy. Cálculo I. 1. ed. Rio de Janeiro: Fun-
dação Cecierj, 2010.
PESCO, Dirce Uesu; ARNAUT, Roberto Geraldo Tavares. Matemática bá-
sica. v. 1, 5. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
. Geometria básica. v. 1, 2. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj,
2010.
POMBO, Dinamérico Pereira; GUSMÃO, Paulo Henrique C. Cálculo I. v. 1,
3. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
SANTOS, Angela Rocha; BIANCHINI, Waldecir. Aprendendo Cálculo com
Maple: cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
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