Baixe o app para aproveitar ainda mais
Leia os materiais offline, sem usar a internet. Além de vários outros recursos!
MATEMÁTICA BÁSICA
Compartilhar
Prévia do material em texto
Matemática Básica
1
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
� � � 0, 1, 2, 3, 4, … �
������� ��� �ú����� ��������. �
� � �… � 3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, … �
������� ��� �ú����� ��������.
� ! " # "⁄ � % & �, ' # � , ' ( 0 )
������� ��� �ú����� ��
������.
*� � + " , "⁄ � √2, √3 , √5 / , … 0, �, … �
������� ��� �ú����� ����
������.
A diferença entre um número racional e um número irracional:
Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima).
Exemplo de números racionais:
a)
1
23 � 0,3 é um decimal finito.
b)
2
4 � 0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6.
c)
6
7 � 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional.
Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica.
Exemplo:
a) 0 � 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.
0 � :;<=>?<@AB; C% :?>:DAE@>êA:?%C?â<@B>; C% :?>:DAE@>êA:?% � 3,1415927 … é ���
��������
� � 2,7182818 … , é ���
��������
J����� ��
�������� �� K�L��.
√2 � 1,4142135 … é um número infinito sem dízima.
Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais.
M � N �
������� ��� �ú����� �����. M
*
Exercícios:
Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais:
a) 3,12 e) 0 i) - 9
b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232...
c) 1,73205... g) √4 l) 0,5
d) 25 h) - 1,4142... m) 7 1
Matemática Básica
2
RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta.
Os números da reta real são simétricos e opostos.
-6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 3,14...
. . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real
* Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número.
Exemplo: 1 ���á � ��P���� �� 2 logo 1 Q 2
R�6S ���á � ��P����� �� R�5S L�T� R�6S Q R�5S
R�2,3S ���á � ��P����� �� R�1,5S L�T� R�2,3S Q R�1,5S
Em geral ...�4 Q �3 Q �2 Q �1 Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 …
*Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número.
Exemplo: R� 1S���á � ������� �� R�4S L�T� R� 1S U R�4S
V� √2 W���á � ������� �� R�3,1415 … S L�T� R � √2 S U R�3,1415 … S
OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS
ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real.
Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal.
Exemplos:
RXS X RXS � RXS �� R�S X R�S � R�S
a) 2 X 9 � 11 c) (�2 S X R� 9S � �11
b) 15 X 10 � 25 d) (�15 S X R�10S � �25
YZ[\Z] ^Z_`a`[b`]: subtraem � se os números e dá � se o ]Z[\o ^p q\Zpa em módulo R maior algarismoS.
Exemplos:
a) R�3S X 5 � 2 v��� 5 é � ����� �LT������ � é v�����w�.
b) R�15S X 10 � � 5 v��� 15 é � ����� �LT������ � é ��T���w�.
S 7 X R�3S � 4
�S 4 X R�10S � � 6
SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda
subtração é uma adição.
O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o
sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal.
Exemplo:
a) �8 X R 9 S � �8 X 9 � 1
b) �8 X R�9S � �8 � 9 � �17c) 12 X R�15S � 12 � 15 � �3
O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o
sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado.
Exemplos:
a) ( �4S � RX 6S � R�4S � 6 � �10
b) � 16 � R�20S � �16 X 20 � 4
c) 9 � R�10S � 9 X 10 � 19
3
MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real.
Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo.
Exemplo:
a) RX 5S . RX4S � X 20
b) R�3 S . R�6S � X18
YZ[\Z] ^Z_`a`[b`] multiplicam � se os números e ^á � ]` p ]Z[\o V– W [`{\bZ|p.
Exemplo:
a) RX8S . R�5S � �40
b) R�1,5S. RX10S � �15
DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação.
Exemplo:
X1}
~} � X 7
R6S
RS � X
6
72R S � � 3
R2S
1 � � 6
QUADRO DE SINAIS
.
:
X �
X
X �
�
� X
Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo:
a) 27 X 20 � e) R�15S � R�15S �
b) 65 � 30 � f) 23 X R�45S �
c) R�41S X 39 � TS R�90S � R90S �
d) 87 � R�7S � h) R�1S � R�1S �
X �
Adição
Somar Subtrair
X ����L X Sinal do maior
em módulo
Subtrair Somar
� Sinal do maior ����L �
em módulo
Respostas a) 47 b) 35 c) �2 d) 94 e) 0 f) �22 g) �180 h) 0
Matemática Básica
4
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos:
1º ) Resolver primeiroo que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves.
2º ) Efetuar primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão.
3º ) Efetuar a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão.
Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica:
a ) �5 X 4 � 6R�1 X 3S X 237 ( 2 �4 S� X 1 � b ) �� �6 X 4 .3 � 5 � R1 � 9S�
{5 X 4 � 6R 2S X 5R�2 S� X 1 � ���6 X 12 � 5 � R�8S� �
�5 X 4 � 12 � 10� X 1 � ���6 X 12 � 5 X 8� �
�5 X �8 � 10� X 1 � ���6 X 12 � 13� �
�5 X �18� X 1 � ���6 X 12 � 13� �
�5 � 18� X 1 � ���7 � � 7
�13 X 1 � �12
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo:
a ) 20 X R�9 X 12S � R�15 X 20S � b ) 2 �
�11 X R17— 12S X 10W � 3 � �
c ) 55 X R�10S. R�4S � �2 � V6 R�3SW X 2 � d ) 31 X R�40S: 2 � R�9 X 9S � 7 �
e) � 9 X 2 + 4 R�4S X R�19 � 1S � f) 10 � 6 � R9 � 4S . R�2S 5 �
g) 60 R�5S � V�1 R�1SW X 13 � h) } ~ 4R6S R7S7 �
i)
R S
26 . 7 ~ 6 � j) 7 4 . 1 7R7S6 ~ 1R7S �
Respostas:
a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0
h)
2
7
i) �4 j) 6
Matemática Básica
5
FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b( 0, quando escritos na forma % & representam uma fração.
%
& = D<@>%C;> @A;<?A%C;> R( 3S
����������� ��� P�� ��� �������� �� ��� R ��� M���� �ã� �"���� ��w��ã� v�� ���S.
O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de
partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e
consideramos 3 partes (numerador). A fração será:
Exemplo de frações: 27 ; � 7 1 ; 2} ; 2233 ; � 4 } ; 6 6 ; 2 ; 3 6
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES:
Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador.
Exemplo: 7 1 X 23 1 � 4 1 � 7 ~ 23 4 1 � 4 1 � 2
2 } � } X 6 } � 2 – ~ 6 } � 6 } � � 6 }
Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores).
m.m.c.(3- 5- 2) 2
Exemplo: 7 1 � 1 } X 2 7 � 732~2}13 � 732~2} 13 � 2 13 3- 5- 1 3
1- 5- 1 5
1-1-1 2.3.5 = 30
1 6 X } X 2 7 � 4 ~ } ~ 6 � 2}
m.m.c.(4-8-2) 2
2-4-1 2
1- 2- 1 2
1- 1- 1 2.2.2 = 8
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente.
Exemplo:
}
. 7 1 � } . 7 . 1 � 23 76 � } 27 � 0,42
7
} . 1 6 . R� 2 4 ) = 7 . 1 R2S } . 6 . 4 � R4S 273 � � 2 73
3
5
Matemática Básica
6
NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1.
Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador.
O Inverso de } é } O Inverso de 1 2 é 7 2 � 2
O Inverso de 7 1 é 1 7 O Inverso de 7 é 7
*O número zero não admite inverso: o inverso de
3
2 é 2 3 nos M���� não existe divisão por zero.
DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.
Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo:
a) 7 } : 1 � 7 } . 1 � 7 . } . 1 � 26 2}
b)
/
� 4 . 1 7 � 4 . 1 . 7 � 226 �
c)
2}
/
� 15 . 1 7 � 2} . 1 7 � 6} 7
Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas:
a)
7
1 . 6 X } 7 : 2 6 � 7.61. X } 7 . 6 2 � 72 X 737 � 72 X 23 2 � 72 X 72.23 72 � ~723 72 � 72 72
b)
1 2 X4
1� 3 2
� 12 X 82 22 � 32 �
92
� 1 2
� 9 2 . � 7 2 � � 2 7 � � 9
c)
/
~ .
�
/
~ . .
�
/
~ . / .
�
/
~
�
/
~
�
�
� . 6 � . 6 . � 2 . 2 7 . 2 � 2 7
Matemática Básica
7
EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo:
a)
2 / ~
�
b) 9 10 . 5 3 X 8 3 � 2 1 5 �
c) 1 6 X 7 1 � 7 : R� } 27 S �
d)
~
�
e) 7 (� 6 X 7 ) �
f) R� 7 � 7 . 61 S 18 �
Respostas: aS � 1 bS � 0,033 … cS 5 dS 10 e) 45 f) �52
Matemática Básica
8
POTENCIAÇÃO:
Potência deum Número Natural: Seja # M, chama-se Potência de base e expoente , # �, , o número
� que é o produto de ������ iguais a .
�A � �. �. �. � … � � ' onde � � '���
� � �"v�����
' � v��ê�
��
Exemplos:
a) 47 � 4 . 4 � 16
b) R�2S1 � R�2S . R�2S . R�2S � �8
c) 07 � 0 . 0 ¡ R 3,14S. R 3,14S ¡ 9,87
d) R�3S1 � R�3S. R�3S. R�3S � �27 Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa.
e) R�3S6 � R�3S. R�3S. R�3S. R�3S � 81 Base negativa com expoente par tem-se potência positiva.
*ATENÇÃO: R�6S7 ( � 67, pois
R�6S . R�6S ( � 6 . 6
36 ( �36
Potência de expoente nulo (zero):
Por definição, qualquer número, exceto o número 0 R���S,elevado a potência zero é igual a 1.
Exemplos:
53 � 1 R�1S3 � 1 03 � ? R�����������çã� )
R�3S3 � 1 13 � 1
7}
3
� 1 R�0,25S3 = 1
Qualquer número elevado ao expoente 1 R����á���S é igual ao próprio número.
Exemplos:
32 � 3 R�9S2 � � 9 02 � 0 12 � 1 1
2 � 1
Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo:
a) 103 �
'S 123 �
c) 102 �
d) R�3S1 �
e) R�2S6 �
f) R�8S2 �
g) R�1S3 �
Matemática Básica
9
Inverso da Potência: Sejam � # M¤, R� ( 0S, o inverso de �A representado por
�A � 2%¥
Exemplos:
a) 57 � 2} � 27} d) R�3S7 � 2R1S � 2
b) 22 � 27 � 27 e) R�3S1 � 2R1S/ � 27 � � 127
c) 12 � 22 � 1 f ) 26 � 27 � 2 24
PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam �, ' # M � � , � # � , tem-se:
# O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.
�< . �A � �<~A
a) 37 . 31 � 37~1 � 3} � 243
b) 21 . 27 . 2 � 21~7~2 � 24 � 64
c) 107 . 101. 106 � 107 1 ~ 6 � 101
d) R�5S7. R�5S}. R�5S4 � R�5S7~}4 � R�5S2 � �5
# O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
�< �A � �<A
a) 61 66 � 616 � 62 � 24 � 2 4
b)
6
6/ = 4}1 � 47 � 16
c)
= 76 4 � 77 � 172 � 1 49
e)
7
7¦/ = 27 –R 1S � 27~1 � 2} � 32
Matemática Básica
10
# A potência do produto é igual ao produto das potências.
R � . ' SA � �A . 'A
a) R 7 . " S7 � 77 . "7 � 49 "7
b) R�2 . �S1 � � 21 . �1 � � 8 . �1
# A potência do quociente é igual ao quociente das potências.
% &
A � %¥ &¥
a) }4
1 � }/4/ � 27}724 ¡ 0,58
b) 1 6
1 � 1¦/6¦/ �
//
/
� 27 . 462 � 467
c) � § }
7 � X § } � §
7}
# A potência de uma potência é igual ao produto das potências.
R�<SA � �< . A
a) R"7S1 � "7.1 � "4
b) R 27 . �2S7 � R27S7. R�2S7 � 26 . � 16 . �7
Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números �, ' # M, R�, ' U 0S, =¨ , >© # .
P1 ) �
ª
« . � ¬ � � ª « ~ ¬
P2 ) �
ª
« � ¬ � � ª « ¬
P3 ) R� . 'S
ª
« � � ª « . ' ª «
P4 ) R� 'S
ª
« � � ª « ' ª « ou %&
ª
« � %
ª«
&
ª«
P5 ) R�
ª
« S¬ � � ª « . ¬
Matemática Básica
11
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência:
a) 9} . 9} �
b) 106 . 104 �
c) 123. 122. 12�1 �
d) 2
7
X 87 �
e) � 21
7 � � 1 2
3 �
f) R�3" S1 X R�3S7"1 R�2S"1 �
g) R�'S6 R�'S6 �
h) R27S2 � R42S7 �
i) 106 . 107 . 101 �
j) 104: 106 . 102 �
l)
23¦/. 23
R23S/ �
m)
23¦: 23/
R23S¦/ �
Respostas:
a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 32® e) 17 72® f) 9 g) R�'S8 h) 124 i) 0,1 j) 10
1 l) 0,01 m) 10
Matemática Básica
12
RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação.
Definição: Dado um número real não negativo e um número natural �, � 1, chama-se
��� ����� ������
� �� � �ú���� ���L � �ã� ��T���w� (b ¯S tal que 'A � �, �� ����
√ � ° � onde√ ± ����
�L
� ± radicando , ¯
' ± raiz , ¯
� ± í���
� �� ����
�L, ³ ´ # �
√� � √� Lê � �� ��� P������� �� �
√�3 Lê � �� ���
ú'�
� �� �
√�4 Lê � �� ��� P����� �� �
Exemplos:
a) √16 � ? ° R ? S7 � 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16?
Resposta: O número é 4, pois 47 � 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 � 4
b) √8 / � ? ° R ? S1 � 8 µ √8/ � 2 ¶ 21 � 8, portanto 2 é � ���
ú'�
� �� 8.
c) √1 � ? ° R ? S} � 1 µ √1 � 1 ¶ 1} � 1 , portanto 1 é � ���
ú'�
� �� 1.
d) √16 � 2 ¶ 26 � 16 portanto 2 é � ��� P����� �� 16.
Índice Par : Quando � í���
� �� ·¸¹ a restrição é que � 0 , pois não existe no conjunto dos números reais
raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número
negativo.
√�16 � º R �ã� �"����S��� M �� �º P�� �L�w��� �� P������� ����L�� R�16S.
Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte
em um número negativo.
a) √� 8 3 � ? ° R ? S1 � �8 µ √�83 � �2 ¶ R�2S1 � �8, portanto �2 é � ���
ú'�
� �� � 8.
b) √�243 � �3 ¶ R�3S} � �243, portanto �3 é � ��� P����� �� � 243.
Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo:
a) √0 �
b) √1 �
c) √ 81 4 �
d) √� 27 3 �
e) √�4 �
f) √�16 4 �
Matemática Básica
13
Propriedades da radiciação: a, b # M~ +, � , ' 0, � # � , R�, v 2S # �.
P1 ) √�<¥ � √�<.=¥.ª Ex.: √"73 � √"7.}3.5 � √"2315
P2 ) √�. '¥ � √� ¥ . √' ¥ Ex.: ¼". ½ � √" . ¼½
P3 ) ¾ % &
¥ � √%¥√&¥ R' ( 0S Ex.: ¾
7
/ � √/√7/ �
7
1
P4 ) V √�¥ W< � √�<¥ Ex.: V √�3 W1 � √�13 � �
P5 ) ¼ √� ¥ª � √� ª.¥ Ex.: ¼√5 3 � √5 3.2 � √56
Potência de expoente racional: Sejam os números � # M~, R� U 0S, v # � , P # � , P 1,
J��� � ��
·��ê�
�� �� '��� � �"v����� ¿À � ��� P��é���� �����é��
� �� �=.
� ª« � √�=«
Exemplos:
a) 251 2 � √252 � √25 � 5
b) 81 3 � √823 � 2
c) 23 2 � √21 � √8
√�=« � � ª« quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar.
Exemplos:
a) √57 � 5 � 52 � 5
b) √77 � 7
c) √413 � 4
d) √576 � √523 � √53
e) √576 � √523 � √53
f) √9267 � √971 � 97 � 81
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Resolver as operações com radicais:
a) √�273 X √83 �
b) ¼3126 � ¼533 �
c) √0 X √1 X √413 – √24 6 �
Respostas a) �1 b) 4 c) 3
Matemática Básica
14
POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência.
10A � '
102 � 1 000 000 000 000 000 000 R �"� S K
102} � 1 000 000 000 000 000 R v��� S ·
1027 � 1 000 000 000 000 R ���� S Á
10 � 1 000 000 000 R T�T� S Â
104 � 1 000 000 R ��T� S Ã
101 � 1 000 R P��L� S Ä
107 � 100 R J�
�� S J
102 � 10 R ��
� S ��
102 � 0,1 R ��
� S �
107 � 0,01 R
���� S
101 � 0,001 R ��L� S �
104 � 0,000 001 R ��
�� S Å
10 � 0,000 000 001 R ���� S �
1027 � 0,000 000 000 001 R v�
� S v
102} � 0,000 000 000 000 001 R ���� S
102 � 0,000 000 000 000 000 001 R ���� S �
Transformando um número decimal em potência de 10:
Exemplos:
a) 0,5 � 510 � 5101 � 5. 102
b) 0,05 � 5100 � 5102 � 5. 107
c) 0,005 � 51000 � 5103 � 5. 101
Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o
expoente da potência de 10 diminui ³¯³, ³¯, ³¯Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.
Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. Ǻ . 10A
Exemplos:
a) 1,7 � 1,7. 103 � 17 . 1032 � 17 . 102
deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade.
b) 2,45 � 2,45. 103 � 245 . 1037 � 245 . 107
deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades.
c) 84,052 � 84052 . 101
Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita:
a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais
b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais
c) Três casas decimais f) Seis casas decimais
Matemática Básica
15
Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o
expoente da potência de 10 aumenta ³¯³, ³¯, ³¯Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.
Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. Ǻ . 10A
Exemplos:
a) 17 � 17 . 103 � 1,7 . 103~2 � 1,7 . 102
deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade.
b) 245 � 2,45 . 107
deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades.
Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda:
a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais
b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais
c) Três casas decimaisf) Seis casas decimais
Adição e Subtração de potência de base 10:
É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos:
a) 5 . 107 X 4 . 107 � R 5 X 4 S107 � 9 . 107
expoentes iguais
b) 29. 101 � 1. 101 � R29 � 1S101 � 28. 101
c) 1 .107 X 3 . 107 � 7 . 107 � R1 X 3 � 7 S. 107 � � 3 . 107
d) 106 + 106 X 106 � 1. 106 X 1. 106 X 1. 106 � R1 X 1 X 1S106 � 3 . 106
Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o
mesmo expoente. Exemplos:
a) 6 . 101 X 4 . 107 � 60 . 107 X 4 . 107 � R 60 X 4 S107 � 64 . 107
transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 101 � 60. 107
b) 0, 29 . 102 � 147. 101 � 29 . 1027 � 147. 101 � 29. 101 � 147. 101 � �118 . 101
expoentes diferentes expoentes iguais
c) 0,09 .102 X 107 � 3 . 101 � 9 .1027 X 10 .1072 � 3 . 101 � 9 .101 X 10.101 � 3 . 101 � 16. 101
expoentes diferentes expoentes iguais
Matemática Básica
16
Exercícios Propostos:
a) 15 . 101 X 13 . 101 �
b) 21 . 107 � 107 �
c) 44 . 106 X 4 . 106 � 8 . 106 �
d) 666 . 104 X 2220 . 10} �
e) �5,9 . 107 X 9 . 101 �
f) 6 . 101 � 101 X 40 . 107 �
Respostas a) 28 . 101 b) 20 . 107 c) 40 . 106 d) 888 . 104 e) �50 . 101 f) 9 . 101
Multiplicação de Potência de base 10:
Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos:
a) 4. 10} . 2. 107 � 4 . 2 .10}7 � 8 . 101
b) 8. 104 . R� 3. 106S � 8 . (-3) .104~6 � �24 . 107
c) 7. 10} . 107. 2. 101 � 7.1.2 .10}71 � 14. 103 � 14.1
Divisão de Potência de base 10:
Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10.
Exemplos:
a)
6 . 23
7 . 23¦ � 6 7 .10}R7S � 2 . 10
b)
76 . 23¦
6 .23/ � 76 6 . 1041 � 6 . 10
c)
} . 23/
.23¦ � } . 101R2S � 0,56 . 106
d)
7}.23~23
3,2.23¦ . 7.23¦/ �
R7}~2S.23
R3,2S.7 .23¦¦/ � 74.23
3,7.23¦ � 743,7 . 107~ � 130 . 10
Matemática Básica
17
Exercícios Propostos:
Resolver as operações de potência de base 10:
a) 23. 10} X 0,023. 107 �
b) 99 . 101 � 89. 101 X 90 . 107 �
c)
7 .23~ 1,1 .23/
22 .23¦ ~ 72. 23¦ �
d) 48 .107X2 .107,106X 4 .106 �
e)
2
7 . 10 X 7 1 . 10 �
f) 2 R 2.104 � 4. 104 S X 5 R 2 . 10} X 10}S �
g)
1
} . 106 � 2 7 . 101 �
h) � 1 4 . 107 X 7 1 . 101 X 101 �
Respostas:
a) 46. 10} b) 19. 101 c) 35. 10} d) 107 e) 1,17.10 fS � 25. 10} g) 5,5. 101 h) �0,83. ..
Matemática Básica
18
POLINÔMIOS:
Monômio: Na variável " é uma expressão do tipo È onde �
���
����� �� ���ô���, # Ê.
� T��� �� ����, # �.
Grau do monômio: É o expoente da variável.
Exemplo:
a) 4 "7 é um monômio na variável " de 4 �
���
����� �� ����
2 � T��� �� ���ô��� µ ���ô��� é �� 2º T���
b) 6 ½ é um monômio na variável ½ de coeficiente 6 e grau 1.
c)
}
7 � é um monômio na variável � de coeficiente 5 2 e grau 1.
d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0.
e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau.
f) 8"7 não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e � # �.
g) 3"2 7⁄ não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e ³ # �.
POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável.
PRxS � �A"A X �A2"A2 X �A7"A7 X Í X �7"7 X �2"2 X �3
Os números complexos ( �A, �A2, �A7, … , �7, �2, �3S �ã� ��
���
����� �� v�L��ô��� de variável " e # �.
Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável.
Exemplo:
a) 3"7 X 2" � 1 é um polinômio de 2º grau de variável " e coeficiente 3.
b) 12� � 5 é um polinômio de 1º grau de variável � e coeficiente 12.
c) 9"1 X 2"7 � 3" X 7 é um polinômio de 3º grau de variável " e coeficiente9.
Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável:
a) 2"6 X 3"1 � 3"7 X 8" � 1
b) �4�7 X � � 1
c) �'"7 X �" � '
Matemática Básica
19
Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau.
Exemplo
a) 3"7 X 2" � 1 X 9"1 X 2"7 � 3" X 7 � 9"1 X R3 X 2S"7 X R2 � 3S" � 1 X 7 � ÎÈÆ X ÏÈ � È X Ð
b) 7"1 � 5"7 X 2" X 1 � R �"1 X 2"7 � 4" X 3S � trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses.
7"1 � 5"7 X 2" X 1 X "1 � 2"7 X 4" � 3 � somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau.
8"1 � 7"7 X 6" � 2
Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com
todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação.
Propriedade Distributiva: R� X 'S. R
X �S � � .
X � . � X '.
X '. �
Exemplo:
a) R2" X 5S . R" � 1S � 2". " � 2". 1 X 5. " � 5.1
� 2"7 � 2" X 5" � 5
� 2"7 X 3" � 5
b) " . R" � 1S � ". " � ". 1
� "7 � "
c) 2"7R " � 3S � 2"7. " � 2.3"7
� 2"1 � 6"7
d) ( 3"7 X 2" � 1) . (8"1 � 7"7 X 6" � 2S �
3.8"7~1 � 3.7"7~7 X 3.6"7~2 � 3.2"7 X 2.8"2~1 � 2.7"2~7 X 2.6"2~2 � 2.2" � 1.8"1 X 1.7"7 � 1.6" X 1.2 �
24"} � 21"6 X 18"1 � 6"7 X 16"6 � 14"1 X 12"7 � 4" � 8"1 X 7"7 � 6" X 2 �
24"} X R�21 X 16S"6 X R18 � 14 � 8S"1 X R�6 X 12 X 7S"7 X R�4 � 6S" X 2 �
24"} � 5"6 � 4"1 X 13"7 � 10" X 2
Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo (( 0S.
(8"1 � 4"7 X 6" � 2) : ( 2"7 X 3" � 5 S � 8"1 � 4"7 X 6" � 2 2"7 X 3" � 5 R( 0S
�8"1 � 12"7 X 20" 4" � 8
0 �16"7 X 26" � 2
16"7 X 24" � 40
0 50" � 42 (Resto)
Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo:
a) �5"7 X " X 2 � "R6" � 2S � b) R3"7 � 7" X 1S" �
MatemáticaBásica
20
Produtos notáveis:
1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
R" X ½S7 � "7 X 2. ". ½ X ½7
Demonstração:
R" X ½S7 � R" X ½S. R" X ½S � �vL�
���� � v��v������� ������'���w� �����
R" X ½S7 � "7 X 2. ". ½ X ½7
Exemplo:
R" X 5S7 � "7 X 2. " .5 X 57
� "7 X 10" X 25
2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
R" � ½S7 � "7 � 2. ". ½ X ½7
Demonstração:
R" � ½S7 � R" � ½S. R" � ½S � �vL�
���� � v��v������� ������'���w� �����
R" � ½S7 � "7 � 2. ". ½ X ½7
Exemplo:
R2 � �S7 � 27 � 2.2. � X �7 � 2 � 4� X �7
3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
R " X ½ S . R " � ½ S � "7 � ½7
Exemplos:
a) R " X 3 S. R " � 3 S � "7 � 37 � È � Î
b) R � � 4 S. R � X 4 S � � ³Ð
c) R 2" X 5 S. R 2" � 5 S � R 2" S7 � 57 � ÑÈ � Ï
d) V 6È � 1W. V 6È X 1W � R 6È S7 � 17 � ÆÐÈÑ � ³
Matemática Básica
21
Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo:
a) R 2� X 3 S. R 2� � 3 S �
b) 5"R 4 � � S �
c) R �7 � 7 S. R�7 X 7 S �
d) R" X 1S7 � " X 1 �
Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.
Exemplos:
a) Fatorar o polinômio 2�2"5 X 4�3"3
Podemos escrever o polinômio desta maneira:
"7. ÈÆ X 2. . �. ÈÆ � ÈÆ. R"7 X 2 �S
Foi colocado em evidência :
o maior divisor comum dos números �. �.
. R4 , 2S �
e as potências repetidas de menor expoente: ÈÆ
b) Fatorar o polinômio 6"2 � 3"
6"7 � 3" � ÆÈ R 2" � 1 S , �. �.
. R6 , 3S � Æ
menor expoente: È
c) Fatorar o polinômio 6 "4 X 4"3 � 12"2
6 "6 X 4"1 � 12"7 � 2 "7 R3 "7 X 2" � 6 S �. �.
. R6, 4 , 12S �
menor expoente: È
d) Fatorar o polinômio 8�6'} X 20�1'7
8�6'} X 20�1'7 � 2. Ñ. . �7. . '1 X 5. Ñ. �. . �. �.
. R8, 20S � Ñ
� 4�7'7R 2�7'1 X 5� S menor expoente:
Matemática Básica
22
Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis
aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ( 0S.
Exemplos de frações algébricas:
§
2"2X3"�5 ,
}
§~} ,
§
§2
Adição e Subtração de frações algébricas:
a)
§
7§ X 71§ � 1.§4§ X 7.7§4§ � 1§~6§4§ � §4§ � 4§ m.m.c (2 , "7, 3 , "S 2
1, "7, 3 , " 3
1, "7, 1 , " "
1, " , 1, 1 "
1, 1 , 1, 1 6"7
b)
§
§Ó X 2§~Ó X Ó§ §Ó � §.
R§~ÓS
R§ÓS.R§~ÓS X 2.
R§ÓS
R§ÓS.R§~ÓS X Ó§R§ÓS.R§~ÓS �
� "2X".½X"�½X½�"V"�½W.R"X½S � "2X".½V"�½W.R"X½S � "R"X½SV"�½W.R"X½S � "V"�½W
Multiplicação e Divisão de frações algébricas:
a)
§
R§ÓS .
§/
R§~ÓS � §.§
/
R§ÓS.R§~ÓS � §
§Ó
b)
R§ÓS/
R§~ÓS :
R§~ÓS
R§ÓS � R§ÓS
/
R§~ÓS .
R§ÓS
R§~ÓS � R§ÓS
R§~ÓS2
Atenção:
Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos.
É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos.
§
§ ~ 2 errado
§ 2
§ errado
§ ~ 2
§ 2 errado
Matemática Básica
23
Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo:
a) 1 " �1 " X 1
�
b)
6§~1
1§ X 4§ � 2§ �
c)
2
§/ X 27§ � 1§ �
d)
"X1
" ~ §
§ �
e)
7
1§/ X 2§ � 6§1 �
f)
6 §
1 � 2 4§ X 1 �
Respostas:
a)
§
7§2 b)
6§~2
1§ c)
2~27§1§
§/ d)
§~ § ~2
§ e)
7~1§6§
1§ f)
§~4§2
4§
Matemática Básica
24
EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA
1) Resolver as expressões algébricas:
a) { 7" � 3"R " � 1S � 6" X 3"3" � � b) 3"7 . 7"1 X 13"} X 3"7. " . R�2"7S �
2) Resolver as operações de potências de base 10:
a) 5 . 10 X 8 . 10 � 3. 10 �
b)
24 .23¦~ 7.23¦
7.23/ . 23/ �
c)
23~ 23
23¦ . 23¦ �
d)
27,1 .23¦/ ,1 . 23¦/
7.23/ . 23¦/ �
e)
6 .23 . .23¦
77 .23~23 .23 �
3) Resolver as equações :
a)
7%
1§ X &7§ � � 1 b) 4}§ � 27§ � 226 � � }}73
c) �2" X 15 � �R 5 � 8" S d) }§ X 7R§~2S 1 � � §
e)
§~
� 7§~2 1 f) 1
§
7 � 4" X 5
Respostas:
1a) 16"
1b) 28"}
2a) 1023
2b) 9. 108
2c) 2. 1027
2d) 2. 101
2e)10}
3a) 2��3'�46
3b)
}
27
3c) 2
3d) � 1 2
3e) �1,4
3f) �4
Matemática Básica
25
FUNÇÕES:
Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra.
Exemplo:
a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e
escrevemos ¸ � R ℓ S. Se ℓ varia então ¸ varia.
b) Õ � R � S,
��v������� ��
��
����ê�
�� �� ��çã� �� ����.
cS Ö � R � S , w�L�
����� �� ��çã� �� ���v�.
Notação de Função: ×: M ± M ØÙÚíÛÙ RMS ± contra-domínio ( MS
È ± Ü � ×RÈS
é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento È # ØÙÚíÛÙ RMS existe em correpondência um
único elemento Ü � ×RÈS # contra-domínio(MS que é a sua imagem.Definição de função: Sejam È � Ü variáveis, tais que para cada valor atribuído a È existe em correspondência
um único valor Þ . Dizemos que Ü é uma função de " e representamos por
Ü � ×RÈS È � w���áw�L L�w�� �� ����v������� �
Ü � w���áw�L ��v�������
PLANO CARTESIANO:
O plano cartesiano M é representado pelos eixos das
abscissas, ��"� " � ØÙÚR"S # M
ordenadas, ��"� ½ � ßÚR"S # M .
à��������:1º. 2º , 3º � 4º
Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ·R0,0S, formando quatro regiões chamadas de quadrantes.
½ ( contra-domínio)
º áâãäå´ ³º áâãäå´
RÈ Q 0, ½ U 0S RÈ U 0, ½ U 0S
0 È ( domínio da função )
ƺ áâãäå´ Ñº áâãäå´
RÈ Q 0, ½ Q 0S RÈ U 0, ½ Q 0S
Matemática Básica
26
Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ·R", ½S.
½
R"S - - - - - -æ R abscissa, ordenada S
0 " "
Exercícios:
Representar no plano cartesiano os pontos abaixo:
·R 2 , 2 S ½
àR�1 , 2S 4
¹R 3 , �2S 3
ç 2 7 , 3 2
ÁR�3 , 0S 1
èR 0 , 1S ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... "
ÖR�4 , �3S - 1
- 2
- 3
Construindo Gráficos de Funções: Seja a função Ü � È com domínio nos reais
1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente È, encontramos as imagens que são os valores de Ü
2º Passo: As coordenadas R", ½S colocamos no plano cartesiano
3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados.
" Ü � È ·R", ½S
�2 ½ � 2. R�2S � �4 R� 2 , �4S ½
�1 ½ � 2. R�1S � �2 R�1 , �2S 4 .
0 ½ � 2 . 0 � 0 R 0 , 0S 3
1 ½ � 2 . 1 � 2 R 1 , 2S 2 .
2 ½ � 2 . 2 � 4 R2 , 4S 1
... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... "
- 1
. - 2
- 3
. – 4
Exercícios: Construir os gráficos das funções:
a) ½ � 2" X 1
'S ½ � 2" � 1
c) ½ � �2" X 1
d) ½ � �2" � 1
e) ½ � "
f) ½ � �"
" , ½
Matemática Básica
27
Função Crescente: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam ȳ e È elementos do domínio da função com È U "³ ,
dizemos que a função é Crescente se as imagens
R"7S U R "2 )
Função Decrescente: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam ȳ e È elementos do domínio da função com È U "³,
dizemos que a função é Decrescente se as imagens
R"7S Q R "2 )
Função Constante: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam ȳ e È elementos do domínio da função com È U "³,
dizemos que a função é Constante se as imagens
R"2S � R "7 ).
Exemplo:
A função é crescente nos intervalos:
½ Õ ê " ê ë e ì ê " ê í
D E
Ü � ×RÈS
A B C F G H I J
0 " A função é decrescente nos intervalos:
¸ ê " ê î � K ê " ê Â
A função é constante nos intervalos:
î ê " ê Õ, ë ê " ê K , Â ê " ê ì
Exercícios:
Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente,
decrescente ou constante.
½ ½ ½ ½
48 1 1
0 2 4 6 8 10 " 0 5 10 15 " 0 " 0 "
Matemática Básica
28
Função Linear: Ü � È X
� Coeficiente Angular da reta: � � �T ï � Ó§ ( ¯
É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas.
Se a função é crescente o coeficiente angular é positivo, U 0.
Se a função é decrescente o coeficiente angular é negativo, Q 0.
Se a função é constante o coeficiente angular � �T 90° , º �T 90°, logo não está definido.
� Coeficiente Linear da reta:
É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto ·R 0 , ½S.
Exemplos: Sejam as funções,
1
½ � 2" X 1 Coeòiciente Angular � � 2 µ 2 U 0 ±
���
����
Coeficiente Linear ' � 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S.
½ � 2" � 1 Coeòiciente Angular � � 2 µ 2 U 0 ±
���
����
Coeficiente Linear ' � �1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , �1S. -1
½ � �2" X 1 Coeòiciente Angular � � �2 µ 2 Q 0 ± ��
���
���� 1
Coeficiente Linear ' � 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S.
½ � �2" � 1 Coeòiciente Angular � � �2 µ 2 Q 0 ± ��
���
����
Coeficiente Linear ' � �1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , �1S.
-1
½ � " Coeòiciente Angular � � 1 µ 1 U 0 ±
���
����
Coeficiente Linear ' � 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S.
0
½ � �" Coeòiciente Angular � � 2 � 1 µ �1 Q 0 ± ��
���
����
Coeficiente Linear ' � 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S.
0
½ � 3 Coeòiciente Angular � � �ã� ���á ������� ±
�������� 3
Coeficiente Linear ' � 3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , 3S.
½ � �3 Coeòiciente Angular � � �ã� ���á ������� ±
��������
Coeficiente Linear ' � �3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , �3S.
-3
Matemática Básica
29
2
Exercícios:
Determine os valores do coeficiente angular e coeficiente linear das funções 2 e 7 ,nos gráficos abaixo:
a) b)
½ ½
4 2 2 7
5
0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 "
-5
c)
½ d) ½
6 2 7 35 2
7
0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 "
Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide.
Período ( T ) : São intervalos , ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira.
A : é o pico máximo da onda.
1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante.
a) b)
½ ½
9
3
4
0 1 7 2 3 "
0 0,1 0,2 0,3 0,4 "
Á � 2 Á � 0,2
¸ � 3¸ � 9
2 � ½2 � 3 �� 0 ê " ê 1
2 � ½2 � 9 �� 0 ê " ê 0,1
7 � ½7 � 0 �� 1 ê " ê 2 7 � ½7 � 4 �� 0,1 ê " ê 0,2
Matemática Básica
30
2) Ondas Triangulares:
Utilizaremos a fórmula
½ � ½3 � � R " � "3 S , � � Ó § , · R "3 , ½3 S
a) b)
½ ½
6 2 7 35 2
7
0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 "
Á � 4 Á � 14
¸ � 6 ¸ � 35
2 é ��
���
����, � ê 0 ô � � � Ó § 2 é
���
����, � 0 ô � � X Ó §
substituindo ·R 2, 0S # 2 na fórmula substituindo ·R 0, 0S # 2 na fórmula
½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S
2 � ½ � 0 � �
4
7 R" � 2S
2 � ½2 � 0 �
1}
R" � 0S
2 � ½2 � �3" X 6 �� 0 ê " ê 2
2 � ½2 � 5" �� 0 ê " ê 7
7 é
���
����, � 0 , � � X Ó § 7 é ��
���
����, � ê 0 ô � � � Ó §
substituindo ·R 2, 0 S # 7 na fórmula substituindo ·R 14, 0 S # 7 na fórmula
½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S
7 � ½ � 0 �
4
7 R" � 2S
7 � ½ � 0 � �
1}
R" � 14S
7 � ½7 � 3" � 6 �� 2 ê " ê 4
7 � ½7 � �5" X 70 �� 7 ê " ê 14
P
Matemática Básica
31
c)
½
10 2 7
0 5 10 15 20 "
-10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Á � 20
¸ � 10
2 é ��
���
����, � ê 0 ô � � � Ó § 7 é
���
����, � 0 ô � � Ó §
substituindo ·R 5, 0S # 2 na fórmula substituindo ·R 15, 0S # 7 na fórmula
½ � ½3 � � R " � "3 S
2 � ½ � 0 � �
23
} R" � 5S 7
7 � ½ � 0 �
23
} R" � 15S
2 � ½2 � �2" X 10 �� 0 ê " ê 10
7 � ½7 � 2" � 30 �� 10 ê " ê 20
3) Ondas Dentes de Serra:
a) b)
½ ½
4 2 2 7
5
0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 "
-5
Á � 3 Á � 0,2
¸ � 4 ¸ � 5
2 é ��
���
����, � ê 0 , � � � Ó § 2 é
���
����, � 0 , � � X Ó §
·R 3, 0S # 2substituindo na fórmula ·R 0, 0S # 2 substituindo na fórmula
½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S
2 � ½ � 0 � �
6
1 R" � 3 S
2 � ½2 � 0 �
}
3,2 R" � 0S
2 � ½2 � �
6
1 " X 4 �� 0 ê " ê 3
2 � ½2 � 50" �� 0 ê " ê 0,1
7 é
���
����, � 0 , � � X Ó § , ·3R0,2 , 0S # 77 � ½7 � 0 �
}
3,2 R" � 0,2S
7 � ½7 � 50" � 10 �� 0,1 ê " ê 0,3
Matemática Básica
32
4) Ondas trapezóides
½ õ � Æ ö � ÷ ׳ � ÷È ø´ ¯ ê È ê ³
× � ÷ ø´ ³ ê È ê
7 ×Æ � �÷È X ³ ø´ ê È ê Æ
0 1 2 3 4 5 "
Exercícios Propostos:
Determine as funções para um período dos gráficos abaixo:
a) b)
½ ½
7
10
3
0 3 6 9 12 "
0 2 4 6 8 "
c) d)
½ ½
18 2 6 2 7
0 3 6 9 " 0 2 4 6 8 "
-6
e) f)
½ ½
20 2 35 2
7
0 5 10 15 20 25 " 0 7 14 21 28 "
P
Matemática Básica
33
Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função : M ± M dada por uma lei da forma:
×RÈS � È base � # M , � U 0 � ( 1
Função Exponencial na base ´ � , ÷³ù … RúÙøåå´ ã´ ûâü´äS.
Ü ö � ordenada do ·R0, ¸S
1. R " S � ö . ´È
A R"S é Õ���
����.
0 "
Para ¸ � 1 , � � 1 ⇒ R " S � 1. �1."
½ ³ � a ordenada do ·R0,1S
1.1 R " S � ´È
1
0 "
½
2. R " S � ö . ´�È
A R"S é ë�
���
����.
0 "
Para ¸ � 1 , � � �1 ⇒⇒⇒⇒ R " S � 1 . ��1."
½
2.1 R " S � ´�È
1 R"S é ë�
���
����.
0 "
Matemática Básica
34
Equação Exponencial na base ´ � , ÷³ù …: são equações onde a incógnita está no expoente.
Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência , afim de deixar na mesma base e poder fazer
as simplificações necessárias.
Exemplos:
a) �7§7 � 1 sabemos que �3 � 1 , então podemos escrever
�7§7 � �3 encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes
2" � 2 � 0 isolamos a incógnita " encontramos valor que satisfaz a equação.
" � 1
b) 3 . �" +Materiais relacionados
2 pág.
16 pág.
8 pág.
Perguntas relacionadas
Perguntas Recentes
Compartilhar