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Matemática Básica 1 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS � � � 0, 1, 2, 3, 4, … � ������� ��� �ú����� ��������. � � � �… � 3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, … � ������� ��� �ú����� ��������. � ! " # "⁄ � % & �, ' # � , ' ( 0 ) ������� ��� �ú����� �� ������. *� � + " , "⁄ � √2, √3 , √5 / , … 0, �, … � ������� ��� �ú����� ���� ������. A diferença entre um número racional e um número irracional: Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima). Exemplo de números racionais: a) 1 23 � 0,3 é um decimal finito. b) 2 4 � 0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6. c) 6 7 � 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional. Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica. Exemplo: a) 0 � 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. 0 � :;<=>?<@AB; C% :?>:DAE@>êA:?%C?â<@B>; C% :?>:DAE@>êA:?% � 3,1415927 … é ��� �������� � � 2,7182818 … , é ��� �������� J����� �� �������� �� K�L��. √2 � 1,4142135 … é um número infinito sem dízima. Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais. M � N � ������� ��� �ú����� �����. M * Exercícios: Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais: a) 3,12 e) 0 i) - 9 b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232... c) 1,73205... g) √4 l) 0,5 d) 25 h) - 1,4142... m) 7 1 Matemática Básica 2 RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta. Os números da reta real são simétricos e opostos. -6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 3,14... . . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real * Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número. Exemplo: 1 ���á � ��P���� �� 2 logo 1 Q 2 R�6S ���á � ��P����� �� R�5S L�T� R�6S Q R�5S R�2,3S ���á � ��P����� �� R�1,5S L�T� R�2,3S Q R�1,5S Em geral ...�4 Q �3 Q �2 Q �1 Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 … *Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número. Exemplo: R� 1S���á � ������� �� R�4S L�T� R� 1S U R�4S V� √2 W���á � ������� �� R�3,1415 … S L�T� R � √2 S U R�3,1415 … S OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real. Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal. Exemplos: RXS X RXS � RXS �� R�S X R�S � R�S a) 2 X 9 � 11 c) (�2 S X R� 9S � �11 b) 15 X 10 � 25 d) (�15 S X R�10S � �25 YZ[\Z] ^Z_`a`[b`]: subtraem � se os números e dá � se o ]Z[\o ^p q\Zpa em módulo R maior algarismoS. Exemplos: a) R�3S X 5 � 2 v��� 5 é � ����� �LT������ � é v�����w�. b) R�15S X 10 � � 5 v��� 15 é � ����� �LT������ � é ��T���w�. S 7 X R�3S � 4 �S 4 X R�10S � � 6 SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda subtração é uma adição. O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) �8 X R 9 S � �8 X 9 � 1 b) �8 X R�9S � �8 � 9 � �17c) 12 X R�15S � 12 � 15 � �3 O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( �4S � RX 6S � R�4S � 6 � �10 b) � 16 � R�20S � �16 X 20 � 4 c) 9 � R�10S � 9 X 10 � 19 3 MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real. Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo. Exemplo: a) RX 5S . RX4S � X 20 b) R�3 S . R�6S � X18 YZ[\Z] ^Z_`a`[b`] multiplicam � se os números e ^á � ]` p ]Z[\o V– W [`{\bZ|p. Exemplo: a) RX8S . R�5S � �40 b) R�1,5S. RX10S � �15 DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação. Exemplo: X1} ~} � X 7 R6S RS � X 6 72R S � � 3 R2S 1 � � 6 QUADRO DE SINAIS . : X � X X � � � X Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo: a) 27 X 20 � e) R�15S � R�15S � b) 65 � 30 � f) 23 X R�45S � c) R�41S X 39 � TS R�90S � R90S � d) 87 � R�7S � h) R�1S � R�1S � X � Adição Somar Subtrair X ����L X Sinal do maior em módulo Subtrair Somar � Sinal do maior ����L � em módulo Respostas a) 47 b) 35 c) �2 d) 94 e) 0 f) �22 g) �180 h) 0 Matemática Básica 4 EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos: 1º ) Resolver primeiroo que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves. 2º ) Efetuar primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão. 3º ) Efetuar a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão. Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica: a ) �5 X 4 � 6R�1 X 3S X 237 ( 2 �4 S� X 1 � b ) �� �6 X 4 .3 � 5 � R1 � 9S� {5 X 4 � 6R 2S X 5R�2 S� X 1 � ���6 X 12 � 5 � R�8S� � �5 X 4 � 12 � 10� X 1 � ���6 X 12 � 5 X 8� � �5 X �8 � 10� X 1 � ���6 X 12 � 13� � �5 X �18� X 1 � ���6 X 12 � 13� � �5 � 18� X 1 � ���7 � � 7 �13 X 1 � �12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo: a ) 20 X R�9 X 12S � R�15 X 20S � b ) 2 � �11 X R17— 12S X 10W � 3 � � c ) 55 X R�10S. R�4S � �2 � V6 R�3SW X 2 � d ) 31 X R�40S: 2 � R�9 X 9S � 7 � e) � 9 X 2 + 4 R�4S X R�19 � 1S � f) 10 � 6 � R9 � 4S . R�2S 5 � g) 60 R�5S � V�1 R�1SW X 13 � h) } ~ 4R6S R7S7 � i) R S 26 . 7 ~ 6 � j) 7 4 . 1 7R7S6 ~ 1R7S � Respostas: a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0 h) 2 7 i) �4 j) 6 Matemática Básica 5 FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b( 0, quando escritos na forma % & representam uma fração. % & = D<@>%C;> @A;<?A%C;> R( 3S ����������� ��� P�� ��� �������� �� ��� R ��� M���� �ã� �"���� ��w��ã� v�� ���S. O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e consideramos 3 partes (numerador). A fração será: Exemplo de frações: 27 ; � 7 1 ; 2} ; 2233 ; � 4 } ; 6 6 ; 2 ; 3 6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador. Exemplo: 7 1 X 23 1 � 4 1 � 7 ~ 23 4 1 � 4 1 � 2 2 } � } X 6 } � 2 – ~ 6 } � 6 } � � 6 } Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3- 5- 2) 2 Exemplo: 7 1 � 1 } X 2 7 � 732~2}13 � 732~2} 13 � 2 13 3- 5- 1 3 1- 5- 1 5 1-1-1 2.3.5 = 30 1 6 X } X 2 7 � 4 ~ } ~ 6 � 2} m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1- 2- 1 2 1- 1- 1 2.2.2 = 8 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente. Exemplo: } . 7 1 � } . 7 . 1 � 23 76 � } 27 � 0,42 7 } . 1 6 . R� 2 4 ) = 7 . 1 R2S } . 6 . 4 � R4S 273 � � 2 73 3 5 Matemática Básica 6 NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1. Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador. O Inverso de } é } O Inverso de 1 2 é 7 2 � 2 O Inverso de 7 1 é 1 7 O Inverso de 7 é 7 *O número zero não admite inverso: o inverso de 3 2 é 2 3 nos M���� não existe divisão por zero. DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo: a) 7 } : 1 � 7 } . 1 � 7 . } . 1 � 26 2} b) / � 4 . 1 7 � 4 . 1 . 7 � 226 � c) 2} / � 15 . 1 7 � 2} . 1 7 � 6} 7 Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas: a) 7 1 . 6 X } 7 : 2 6 � 7.61. X } 7 . 6 2 � 72 X 737 � 72 X 23 2 � 72 X 72.23 72 � ~723 72 � 72 72 b) 1 2 X4 1� 3 2 � 12 X 82 22 � 32 � 92 � 1 2 � 9 2 . � 7 2 � � 2 7 � � 9 c) / ~ . � / ~ . . � / ~ . / . � / ~ � / ~ � � � . 6 � . 6 . � 2 . 2 7 . 2 � 2 7 Matemática Básica 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo: a) 2 / ~ � b) 9 10 . 5 3 X 8 3 � 2 1 5 � c) 1 6 X 7 1 � 7 : R� } 27 S � d) ~ � e) 7 (� 6 X 7 ) � f) R� 7 � 7 . 61 S 18 � Respostas: aS � 1 bS � 0,033 … cS 5 dS 10 e) 45 f) �52 Matemática Básica 8 POTENCIAÇÃO: Potência deum Número Natural: Seja # M, chama-se Potência de base e expoente , # �, , o número � que é o produto de ������ iguais a . �A � �. �. �. � … � � ' onde � � '��� � � �"v����� ' � v��ê� �� Exemplos: a) 47 � 4 . 4 � 16 b) R�2S1 � R�2S . R�2S . R�2S � �8 c) 07 � 0 . 0 ¡ R 3,14S. R 3,14S ¡ 9,87 d) R�3S1 � R�3S. R�3S. R�3S � �27 Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa. e) R�3S6 � R�3S. R�3S. R�3S. R�3S � 81 Base negativa com expoente par tem-se potência positiva. *ATENÇÃO: R�6S7 ( � 67, pois R�6S . R�6S ( � 6 . 6 36 ( �36 Potência de expoente nulo (zero): Por definição, qualquer número, exceto o número 0 R���S,elevado a potência zero é igual a 1. Exemplos: 53 � 1 R�1S3 � 1 03 � ? R�����������çã� ) R�3S3 � 1 13 � 1 7} 3 � 1 R�0,25S3 = 1 Qualquer número elevado ao expoente 1 R����á���S é igual ao próprio número. Exemplos: 32 � 3 R�9S2 � � 9 02 � 0 12 � 1 1 2 � 1 Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo: a) 103 � 'S 123 � c) 102 � d) R�3S1 � e) R�2S6 � f) R�8S2 � g) R�1S3 � Matemática Básica 9 Inverso da Potência: Sejam � # M¤, R� ( 0S, o inverso de �A representado por �A � 2%¥ Exemplos: a) 57 � 2} � 27} d) R�3S7 � 2R1S � 2 b) 22 � 27 � 27 e) R�3S1 � 2R1S/ � 27 � � 127 c) 12 � 22 � 1 f ) 26 � 27 � 2 24 PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam �, ' # M � � , � # � , tem-se: # O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes. �< . �A � �<~A a) 37 . 31 � 37~1 � 3} � 243 b) 21 . 27 . 2 � 21~7~2 � 24 � 64 c) 107 . 101. 106 � 107 1 ~ 6 � 101 d) R�5S7. R�5S}. R�5S4 � R�5S7~}4 � R�5S2 � �5 # O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. �< �A � �<A a) 61 66 � 616 � 62 � 24 � 2 4 b) 6 6/ = 4}1 � 47 � 16 c) = 76 4 � 77 � 172 � 1 49 e) 7 7¦/ = 27 –R 1S � 27~1 � 2} � 32 Matemática Básica 10 # A potência do produto é igual ao produto das potências. R � . ' SA � �A . 'A a) R 7 . " S7 � 77 . "7 � 49 "7 b) R�2 . �S1 � � 21 . �1 � � 8 . �1 # A potência do quociente é igual ao quociente das potências. % & A � %¥ &¥ a) }4 1 � }/4/ � 27}724 ¡ 0,58 b) 1 6 1 � 1¦/6¦/ � // / � 27 . 462 � 467 c) � § } 7 � X § } � § 7} # A potência de uma potência é igual ao produto das potências. R�<SA � �< . A a) R"7S1 � "7.1 � "4 b) R 27 . �2S7 � R27S7. R�2S7 � 26 . � 16 . �7 Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números �, ' # M, R�, ' U 0S, =¨ , >© # . P1 ) � ª « . � ¬ � � ª « ~ ¬ P2 ) � ª « � ¬ � � ª « ¬ P3 ) R� . 'S ª « � � ª « . ' ª « P4 ) R� 'S ª « � � ª « ' ª « ou %& ª « � % ª« & ª« P5 ) R� ª « S¬ � � ª « . ¬ Matemática Básica 11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência: a) 9} . 9} � b) 106 . 104 � c) 123. 122. 12�1 � d) 2 7 X 87 � e) � 21 7 � � 1 2 3 � f) R�3" S1 X R�3S7"1 R�2S"1 � g) R�'S6 R�'S6 � h) R27S2 � R42S7 � i) 106 . 107 . 101 � j) 104: 106 . 102 � l) 23¦/. 23 R23S/ � m) 23¦: 23/ R23S¦/ � Respostas: a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 32® e) 17 72® f) 9 g) R�'S8 h) 124 i) 0,1 j) 10 1 l) 0,01 m) 10 Matemática Básica 12 RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação. Definição: Dado um número real não negativo e um número natural �, � 1, chama-se ��� ��é���� �����é�� � �� � �ú���� ���L � �ã� ��T���w� (b ¯S tal que 'A � �, �� ���� √ � ° � onde√ ± ���� �L � ± radicando , ¯ ' ± raiz , ¯ � ± í��� � �� ���� �L, ³ ´ # � √� � √� Lê � �� ��� P������� �� � √�3 Lê � �� ��� ú'� � �� � √�4 Lê � �� ��� P����� �� � Exemplos: a) √16 � ? ° R ? S7 � 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16? Resposta: O número é 4, pois 47 � 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 � 4 b) √8 / � ? ° R ? S1 � 8 µ √8/ � 2 ¶ 21 � 8, portanto 2 é � ��� ú'� � �� 8. c) √1 � ? ° R ? S} � 1 µ √1 � 1 ¶ 1} � 1 , portanto 1 é � ��� ú'� � �� 1. d) √16 � 2 ¶ 26 � 16 portanto 2 é � ��� P����� �� 16. Índice Par : Quando � í��� � �� ·¸¹ a restrição é que � 0 , pois não existe no conjunto dos números reais raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número negativo. √�16 � º R �ã� �"����S��� M �� �º P�� �L�w��� �� P������� ����L�� R�16S. Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte em um número negativo. a) √� 8 3 � ? ° R ? S1 � �8 µ √�83 � �2 ¶ R�2S1 � �8, portanto �2 é � ��� ú'� � �� � 8. b) √�243 � �3 ¶ R�3S} � �243, portanto �3 é � ��� P����� �� � 243. Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo: a) √0 � b) √1 � c) √ 81 4 � d) √� 27 3 � e) √�4 � f) √�16 4 � Matemática Básica 13 Propriedades da radiciação: a, b # M~ +, � , ' 0, � # � , R�, v 2S # �. P1 ) √�<¥ � √�<.=¥.ª Ex.: √"73 � √"7.}3.5 � √"2315 P2 ) √�. '¥ � √� ¥ . √' ¥ Ex.: ¼". ½ � √" . ¼½ P3 ) ¾ % & ¥ � √%¥√&¥ R' ( 0S Ex.: ¾ 7 / � √/√7/ � 7 1 P4 ) V √�¥ W< � √�<¥ Ex.: V √�3 W1 � √�13 � � P5 ) ¼ √� ¥ª � √� ª.¥ Ex.: ¼√5 3 � √5 3.2 � √56 Potência de expoente racional: Sejam os números � # M~, R� U 0S, v # � , P # � , P 1, J��� � �� ·��ê� �� �� '��� � �"v����� ¿À � ��� P��é���� �����é�� � �� �=. � ª« � √�=« Exemplos: a) 251 2 � √252 � √25 � 5 b) 81 3 � √823 � 2 c) 23 2 � √21 � √8 √�=« � � ª« quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar. Exemplos: a) √57 � 5 � 52 � 5 b) √77 � 7 c) √413 � 4 d) √576 � √523 � √53 e) √576 � √523 � √53 f) √9267 � √971 � 97 � 81 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as operações com radicais: a) √�273 X √83 � b) ¼3126 � ¼533 � c) √0 X √1 X √413 – √24 6 � Respostas a) �1 b) 4 c) 3 Matemática Básica 14 POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência. 10A � ' 102 � 1 000 000 000 000 000 000 R �"� S K 102} � 1 000 000 000 000 000 R v��� S · 1027 � 1 000 000 000 000 R ���� S Á 10 � 1 000 000 000 R T�T� S  104 � 1 000 000 R ��T� S à 101 � 1 000 R P��L� S Ä 107 � 100 R J� �� S J 102 � 10 R �� � S �� 102 � 0,1 R �� � S � 107 � 0,01 R ���� S 101 � 0,001 R ��L� S � 104 � 0,000 001 R �� �� S Å 10 � 0,000 000 001 R ���� S � 1027 � 0,000 000 000 001 R v� � S v 102} � 0,000 000 000 000 001 R ���� S 102 � 0,000 000 000 000 000 001 R ���� S � Transformando um número decimal em potência de 10: Exemplos: a) 0,5 � 510 � 5101 � 5. 102 b) 0,05 � 5100 � 5102 � 5. 107 c) 0,005 � 51000 � 5103 � 5. 101 Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o expoente da potência de 10 diminui ³¯³, ³¯, ³¯Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. Ǻ . 10A Exemplos: a) 1,7 � 1,7. 103 � 17 . 1032 � 17 . 102 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade. b) 2,45 � 2,45. 103 � 245 . 1037 � 245 . 107 deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades. c) 84,052 � 84052 . 101 Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais Matemática Básica 15 Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o expoente da potência de 10 aumenta ³¯³, ³¯, ³¯Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. Ǻ . 10A Exemplos: a) 17 � 17 . 103 � 1,7 . 103~2 � 1,7 . 102 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade. b) 245 � 2,45 . 107 deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades. Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimaisf) Seis casas decimais Adição e Subtração de potência de base 10: É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos: a) 5 . 107 X 4 . 107 � R 5 X 4 S107 � 9 . 107 expoentes iguais b) 29. 101 � 1. 101 � R29 � 1S101 � 28. 101 c) 1 .107 X 3 . 107 � 7 . 107 � R1 X 3 � 7 S. 107 � � 3 . 107 d) 106 + 106 X 106 � 1. 106 X 1. 106 X 1. 106 � R1 X 1 X 1S106 � 3 . 106 Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o mesmo expoente. Exemplos: a) 6 . 101 X 4 . 107 � 60 . 107 X 4 . 107 � R 60 X 4 S107 � 64 . 107 transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 101 � 60. 107 b) 0, 29 . 102 � 147. 101 � 29 . 1027 � 147. 101 � 29. 101 � 147. 101 � �118 . 101 expoentes diferentes expoentes iguais c) 0,09 .102 X 107 � 3 . 101 � 9 .1027 X 10 .1072 � 3 . 101 � 9 .101 X 10.101 � 3 . 101 � 16. 101 expoentes diferentes expoentes iguais Matemática Básica 16 Exercícios Propostos: a) 15 . 101 X 13 . 101 � b) 21 . 107 � 107 � c) 44 . 106 X 4 . 106 � 8 . 106 � d) 666 . 104 X 2220 . 10} � e) �5,9 . 107 X 9 . 101 � f) 6 . 101 � 101 X 40 . 107 � Respostas a) 28 . 101 b) 20 . 107 c) 40 . 106 d) 888 . 104 e) �50 . 101 f) 9 . 101 Multiplicação de Potência de base 10: Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) 4. 10} . 2. 107 � 4 . 2 .10}7 � 8 . 101 b) 8. 104 . R� 3. 106S � 8 . (-3) .104~6 � �24 . 107 c) 7. 10} . 107. 2. 101 � 7.1.2 .10}71 � 14. 103 � 14.1 Divisão de Potência de base 10: Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) 6 . 23 7 . 23¦ � 6 7 .10}R7S � 2 . 10 b) 76 . 23¦ 6 .23/ � 76 6 . 1041 � 6 . 10 c) } . 23/ .23¦ � } . 101R2S � 0,56 . 106 d) 7}.23~23 3,2.23¦ . 7.23¦/ � R7}~2S.23 R3,2S.7 .23¦¦/ � 74.23 3,7.23¦ � 743,7 . 107~ � 130 . 10 Matemática Básica 17 Exercícios Propostos: Resolver as operações de potência de base 10: a) 23. 10} X 0,023. 107 � b) 99 . 101 � 89. 101 X 90 . 107 � c) 7 .23~ 1,1 .23/ 22 .23¦ ~ 72. 23¦ � d) 48 .107X2 .107,106X 4 .106 � e) 2 7 . 10 X 7 1 . 10 � f) 2 R 2.104 � 4. 104 S X 5 R 2 . 10} X 10}S � g) 1 } . 106 � 2 7 . 101 � h) � 1 4 . 107 X 7 1 . 101 X 101 � Respostas: a) 46. 10} b) 19. 101 c) 35. 10} d) 107 e) 1,17.10 fS � 25. 10} g) 5,5. 101 h) �0,83. .. Matemática Básica 18 POLINÔMIOS: Monômio: Na variável " é uma expressão do tipo È onde � ��� ����� �� ���ô���, # Ê. � T��� �� ���ô���, # �. Grau do monômio: É o expoente da variável. Exemplo: a) 4 "7 é um monômio na variável " de 4 � ��� ����� �� ���ô��� 2 � T��� �� ���ô��� µ ���ô��� é �� 2º T��� b) 6 ½ é um monômio na variável ½ de coeficiente 6 e grau 1. c) } 7 � é um monômio na variável � de coeficiente 5 2 e grau 1. d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0. e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau. f) 8"7 não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e � # �. g) 3"2 7⁄ não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e ³ # �. POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável. PRxS � �A"A X �A2"A2 X �A7"A7 X Í X �7"7 X �2"2 X �3 Os números complexos ( �A, �A2, �A7, … , �7, �2, �3S �ã� �� ��� ����� �� v�L��ô��� de variável " e # �. Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável. Exemplo: a) 3"7 X 2" � 1 é um polinômio de 2º grau de variável " e coeficiente 3. b) 12� � 5 é um polinômio de 1º grau de variável � e coeficiente 12. c) 9"1 X 2"7 � 3" X 7 é um polinômio de 3º grau de variável " e coeficiente9. Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável: a) 2"6 X 3"1 � 3"7 X 8" � 1 b) �4�7 X � � 1 c) �'"7 X �" � ' Matemática Básica 19 Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau. Exemplo a) 3"7 X 2" � 1 X 9"1 X 2"7 � 3" X 7 � 9"1 X R3 X 2S"7 X R2 � 3S" � 1 X 7 � ÎÈÆ X ÏÈ � È X Ð b) 7"1 � 5"7 X 2" X 1 � R �"1 X 2"7 � 4" X 3S � trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses. 7"1 � 5"7 X 2" X 1 X "1 � 2"7 X 4" � 3 � somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau. 8"1 � 7"7 X 6" � 2 Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação. Propriedade Distributiva: R� X 'S. R X �S � � . X � . � X '. X '. � Exemplo: a) R2" X 5S . R" � 1S � 2". " � 2". 1 X 5. " � 5.1 � 2"7 � 2" X 5" � 5 � 2"7 X 3" � 5 b) " . R" � 1S � ". " � ". 1 � "7 � " c) 2"7R " � 3S � 2"7. " � 2.3"7 � 2"1 � 6"7 d) ( 3"7 X 2" � 1) . (8"1 � 7"7 X 6" � 2S � 3.8"7~1 � 3.7"7~7 X 3.6"7~2 � 3.2"7 X 2.8"2~1 � 2.7"2~7 X 2.6"2~2 � 2.2" � 1.8"1 X 1.7"7 � 1.6" X 1.2 � 24"} � 21"6 X 18"1 � 6"7 X 16"6 � 14"1 X 12"7 � 4" � 8"1 X 7"7 � 6" X 2 � 24"} X R�21 X 16S"6 X R18 � 14 � 8S"1 X R�6 X 12 X 7S"7 X R�4 � 6S" X 2 � 24"} � 5"6 � 4"1 X 13"7 � 10" X 2 Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo (( 0S. (8"1 � 4"7 X 6" � 2) : ( 2"7 X 3" � 5 S � 8"1 � 4"7 X 6" � 2 2"7 X 3" � 5 R( 0S �8"1 � 12"7 X 20" 4" � 8 0 �16"7 X 26" � 2 16"7 X 24" � 40 0 50" � 42 (Resto) Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo: a) �5"7 X " X 2 � "R6" � 2S � b) R3"7 � 7" X 1S" � MatemáticaBásica 20 Produtos notáveis: 1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. R" X ½S7 � "7 X 2. ". ½ X ½7 Demonstração: R" X ½S7 � R" X ½S. R" X ½S � �vL� ���� � v��v������� ������'���w� ����� R" X ½S7 � "7 X 2. ". ½ X ½7 Exemplo: R" X 5S7 � "7 X 2. " .5 X 57 � "7 X 10" X 25 2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. R" � ½S7 � "7 � 2. ". ½ X ½7 Demonstração: R" � ½S7 � R" � ½S. R" � ½S � �vL� ���� � v��v������� ������'���w� ����� R" � ½S7 � "7 � 2. ". ½ X ½7 Exemplo: R2 � �S7 � 27 � 2.2. � X �7 � 2 � 4� X �7 3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. R " X ½ S . R " � ½ S � "7 � ½7 Exemplos: a) R " X 3 S. R " � 3 S � "7 � 37 � È � Î b) R � � 4 S. R � X 4 S � � ³Ð c) R 2" X 5 S. R 2" � 5 S � R 2" S7 � 57 � ÑÈ � Ï d) V 6È � 1W. V 6È X 1W � R 6È S7 � 17 � ÆÐÈÑ � ³ Matemática Básica 21 Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo: a) R 2� X 3 S. R 2� � 3 S � b) 5"R 4 � � S � c) R �7 � 7 S. R�7 X 7 S � d) R" X 1S7 � " X 1 � Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Exemplos: a) Fatorar o polinômio 2�2"5 X 4�3"3 Podemos escrever o polinômio desta maneira: "7. ÈÆ X 2. . �. ÈÆ � ÈÆ. R"7 X 2 �S Foi colocado em evidência : o maior divisor comum dos números �. �. . R4 , 2S � e as potências repetidas de menor expoente: ÈÆ b) Fatorar o polinômio 6"2 � 3" 6"7 � 3" � ÆÈ R 2" � 1 S , �. �. . R6 , 3S � Æ menor expoente: È c) Fatorar o polinômio 6 "4 X 4"3 � 12"2 6 "6 X 4"1 � 12"7 � 2 "7 R3 "7 X 2" � 6 S �. �. . R6, 4 , 12S � menor expoente: È d) Fatorar o polinômio 8�6'} X 20�1'7 8�6'} X 20�1'7 � 2. Ñ. . �7. . '1 X 5. Ñ. �. . �. �. . R8, 20S � Ñ � 4�7'7R 2�7'1 X 5� S menor expoente: Matemática Básica 22 Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ( 0S. Exemplos de frações algébricas: § 2"2X3"�5 , } §~} , § §2 Adição e Subtração de frações algébricas: a) § 7§ X 71§ � 1.§4§ X 7.7§4§ � 1§~6§4§ � §4§ � 4§ m.m.c (2 , "7, 3 , "S 2 1, "7, 3 , " 3 1, "7, 1 , " " 1, " , 1, 1 " 1, 1 , 1, 1 6"7 b) § §Ó X 2§~Ó X Ó§ §Ó � §. R§~ÓS R§ÓS.R§~ÓS X 2. R§ÓS R§ÓS.R§~ÓS X Ó§R§ÓS.R§~ÓS � � "2X".½X"�½X½�"V"�½W.R"X½S � "2X".½V"�½W.R"X½S � "R"X½SV"�½W.R"X½S � "V"�½W Multiplicação e Divisão de frações algébricas: a) § R§ÓS . §/ R§~ÓS � §.§ / R§ÓS.R§~ÓS � § §Ó b) R§ÓS/ R§~ÓS : R§~ÓS R§ÓS � R§ÓS / R§~ÓS . R§ÓS R§~ÓS � R§ÓS R§~ÓS2 Atenção: Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos. É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos. § § ~ 2 errado § 2 § errado § ~ 2 § 2 errado Matemática Básica 23 Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo: a) 1 " �1 " X 1 � b) 6§~1 1§ X 4§ � 2§ � c) 2 §/ X 27§ � 1§ � d) "X1 " ~ § § � e) 7 1§/ X 2§ � 6§1 � f) 6 § 1 � 2 4§ X 1 � Respostas: a) § 7§2 b) 6§~2 1§ c) 2~27§1§ §/ d) §~ § ~2 § e) 7~1§6§ 1§ f) §~4§2 4§ Matemática Básica 24 EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 1) Resolver as expressões algébricas: a) { 7" � 3"R " � 1S � 6" X 3"3" � � b) 3"7 . 7"1 X 13"} X 3"7. " . R�2"7S � 2) Resolver as operações de potências de base 10: a) 5 . 10 X 8 . 10 � 3. 10 � b) 24 .23¦~ 7.23¦ 7.23/ . 23/ � c) 23~ 23 23¦ . 23¦ � d) 27,1 .23¦/ ,1 . 23¦/ 7.23/ . 23¦/ � e) 6 .23 . .23¦ 77 .23~23 .23 � 3) Resolver as equações : a) 7% 1§ X &7§ � � 1 b) 4}§ � 27§ � 226 � � }}73 c) �2" X 15 � �R 5 � 8" S d) }§ X 7R§~2S 1 � � § e) §~ � 7§~2 1 f) 1 § 7 � 4" X 5 Respostas: 1a) 16" 1b) 28"} 2a) 1023 2b) 9. 108 2c) 2. 1027 2d) 2. 101 2e)10} 3a) 2��3'�46 3b) } 27 3c) 2 3d) � 1 2 3e) �1,4 3f) �4 Matemática Básica 25 FUNÇÕES: Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra. Exemplo: a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e escrevemos ¸ � R ℓ S. Se ℓ varia então ¸ varia. b) Õ � R � S, ��v������� �� �� ����ê� �� �� ��çã� �� ����. cS Ö � R � S , w�L� ����� �� ��çã� �� ���v�. Notação de Função: ×: M ± M ØÙÚíÛÙ RMS ± contra-domínio ( MS È ± Ü � ×RÈS é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento È # ØÙÚíÛÙ RMS existe em correpondência um único elemento Ü � ×RÈS # contra-domínio(MS que é a sua imagem.Definição de função: Sejam È � Ü variáveis, tais que para cada valor atribuído a È existe em correspondência um único valor Þ . Dizemos que Ü é uma função de " e representamos por Ü � ×RÈS È � w���áw�L L�w�� �� ����v������� � Ü � w���áw�L ��v������� PLANO CARTESIANO: O plano cartesiano M é representado pelos eixos das abscissas, ��"� " � ØÙÚR"S # M ordenadas, ��"� ½ � ßÚR"S # M . à��������:1º. 2º , 3º � 4º Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ·R0,0S, formando quatro regiões chamadas de quadrantes. ½ ( contra-domínio) º áâãäå´ ³º áâãäå´ RÈ Q 0, ½ U 0S RÈ U 0, ½ U 0S 0 È ( domínio da função ) ƺ áâãäå´ Ñº áâãäå´ RÈ Q 0, ½ Q 0S RÈ U 0, ½ Q 0S Matemática Básica 26 Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ·R", ½S. ½ R"S - - - - - -æ R abscissa, ordenada S 0 " " Exercícios: Representar no plano cartesiano os pontos abaixo: ·R 2 , 2 S ½ àR�1 , 2S 4 ¹R 3 , �2S 3 ç 2 7 , 3 2 ÁR�3 , 0S 1 èR 0 , 1S ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... " ÖR�4 , �3S - 1 - 2 - 3 Construindo Gráficos de Funções: Seja a função Ü � È com domínio nos reais 1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente È, encontramos as imagens que são os valores de Ü 2º Passo: As coordenadas R", ½S colocamos no plano cartesiano 3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados. " Ü � È ·R", ½S �2 ½ � 2. R�2S � �4 R� 2 , �4S ½ �1 ½ � 2. R�1S � �2 R�1 , �2S 4 . 0 ½ � 2 . 0 � 0 R 0 , 0S 3 1 ½ � 2 . 1 � 2 R 1 , 2S 2 . 2 ½ � 2 . 2 � 4 R2 , 4S 1 ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... " - 1 . - 2 - 3 . – 4 Exercícios: Construir os gráficos das funções: a) ½ � 2" X 1 'S ½ � 2" � 1 c) ½ � �2" X 1 d) ½ � �2" � 1 e) ½ � " f) ½ � �" " , ½ Matemática Básica 27 Função Crescente: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam ȳ e È elementos do domínio da função com È U "³ , dizemos que a função é Crescente se as imagens R"7S U R "2 ) Função Decrescente: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam ȳ e È elementos do domínio da função com È U "³, dizemos que a função é Decrescente se as imagens R"7S Q R "2 ) Função Constante: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam ȳ e È elementos do domínio da função com È U "³, dizemos que a função é Constante se as imagens R"2S � R "7 ). Exemplo: A função é crescente nos intervalos: ½ Õ ê " ê ë e ì ê " ê í D E Ü � ×RÈS A B C F G H I J 0 " A função é decrescente nos intervalos: ¸ ê " ê î � K ê " ê  A função é constante nos intervalos: î ê " ê Õ, ë ê " ê K ,  ê " ê ì Exercícios: Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente, decrescente ou constante. ½ ½ ½ ½ 48 1 1 0 2 4 6 8 10 " 0 5 10 15 " 0 " 0 " Matemática Básica 28 Função Linear: Ü � È X � Coeficiente Angular da reta: � � �T ï � Ó§ ( ¯ É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas. Se a função é crescente o coeficiente angular é positivo, U 0. Se a função é decrescente o coeficiente angular é negativo, Q 0. Se a função é constante o coeficiente angular � �T 90° , º �T 90°, logo não está definido. � Coeficiente Linear da reta: É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto ·R 0 , ½S. Exemplos: Sejam as funções, 1 ½ � 2" X 1 Coeòiciente Angular � � 2 µ 2 U 0 ± ��� ���� Coeficiente Linear ' � 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S. ½ � 2" � 1 Coeòiciente Angular � � 2 µ 2 U 0 ± ��� ���� Coeficiente Linear ' � �1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , �1S. -1 ½ � �2" X 1 Coeòiciente Angular � � �2 µ 2 Q 0 ± �� ��� ���� 1 Coeficiente Linear ' � 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S. ½ � �2" � 1 Coeòiciente Angular � � �2 µ 2 Q 0 ± �� ��� ���� Coeficiente Linear ' � �1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , �1S. -1 ½ � " Coeòiciente Angular � � 1 µ 1 U 0 ± ��� ���� Coeficiente Linear ' � 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S. 0 ½ � �" Coeòiciente Angular � � 2 � 1 µ �1 Q 0 ± �� ��� ���� Coeficiente Linear ' � 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S. 0 ½ � 3 Coeòiciente Angular � � �ã� ���á ������� ± �������� 3 Coeficiente Linear ' � 3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , 3S. ½ � �3 Coeòiciente Angular � � �ã� ���á ������� ± �������� Coeficiente Linear ' � �3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , �3S. -3 Matemática Básica 29 2 Exercícios: Determine os valores do coeficiente angular e coeficiente linear das funções 2 e 7 ,nos gráficos abaixo: a) b) ½ ½ 4 2 2 7 5 0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " -5 c) ½ d) ½ 6 2 7 35 2 7 0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 " Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide. Período ( T ) : São intervalos , ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira. A : é o pico máximo da onda. 1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante. a) b) ½ ½ 9 3 4 0 1 7 2 3 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " Á � 2 Á � 0,2 ¸ � 3¸ � 9 2 � ½2 � 3 �� 0 ê " ê 1 2 � ½2 � 9 �� 0 ê " ê 0,1 7 � ½7 � 0 �� 1 ê " ê 2 7 � ½7 � 4 �� 0,1 ê " ê 0,2 Matemática Básica 30 2) Ondas Triangulares: Utilizaremos a fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S , � � Ó § , · R "3 , ½3 S a) b) ½ ½ 6 2 7 35 2 7 0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 " Á � 4 Á � 14 ¸ � 6 ¸ � 35 2 é �� ��� ����, � ê 0 ô � � � Ó § 2 é ��� ����, � 0 ô � � X Ó § substituindo ·R 2, 0S # 2 na fórmula substituindo ·R 0, 0S # 2 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S 2 � ½ � 0 � � 4 7 R" � 2S 2 � ½2 � 0 � 1} R" � 0S 2 � ½2 � �3" X 6 �� 0 ê " ê 2 2 � ½2 � 5" �� 0 ê " ê 7 7 é ��� ����, � 0 , � � X Ó § 7 é �� ��� ����, � ê 0 ô � � � Ó § substituindo ·R 2, 0 S # 7 na fórmula substituindo ·R 14, 0 S # 7 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S 7 � ½ � 0 � 4 7 R" � 2S 7 � ½ � 0 � � 1} R" � 14S 7 � ½7 � 3" � 6 �� 2 ê " ê 4 7 � ½7 � �5" X 70 �� 7 ê " ê 14 P Matemática Básica 31 c) ½ 10 2 7 0 5 10 15 20 " -10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Á � 20 ¸ � 10 2 é �� ��� ����, � ê 0 ô � � � Ó § 7 é ��� ����, � 0 ô � � Ó § substituindo ·R 5, 0S # 2 na fórmula substituindo ·R 15, 0S # 7 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S 2 � ½ � 0 � � 23 } R" � 5S 7 7 � ½ � 0 � 23 } R" � 15S 2 � ½2 � �2" X 10 �� 0 ê " ê 10 7 � ½7 � 2" � 30 �� 10 ê " ê 20 3) Ondas Dentes de Serra: a) b) ½ ½ 4 2 2 7 5 0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " -5 Á � 3 Á � 0,2 ¸ � 4 ¸ � 5 2 é �� ��� ����, � ê 0 , � � � Ó § 2 é ��� ����, � 0 , � � X Ó § ·R 3, 0S # 2substituindo na fórmula ·R 0, 0S # 2 substituindo na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S 2 � ½ � 0 � � 6 1 R" � 3 S 2 � ½2 � 0 � } 3,2 R" � 0S 2 � ½2 � � 6 1 " X 4 �� 0 ê " ê 3 2 � ½2 � 50" �� 0 ê " ê 0,1 7 é ��� ����, � 0 , � � X Ó § , ·3R0,2 , 0S # 77 � ½7 � 0 � } 3,2 R" � 0,2S 7 � ½7 � 50" � 10 �� 0,1 ê " ê 0,3 Matemática Básica 32 4) Ondas trapezóides ½ õ � Æ ö � ÷ ׳ � ÷È ø´ ¯ ê È ê ³ × � ÷ ø´ ³ ê È ê 7 ×Æ � �÷È X ³ ø´ ê È ê Æ 0 1 2 3 4 5 " Exercícios Propostos: Determine as funções para um período dos gráficos abaixo: a) b) ½ ½ 7 10 3 0 3 6 9 12 " 0 2 4 6 8 " c) d) ½ ½ 18 2 6 2 7 0 3 6 9 " 0 2 4 6 8 " -6 e) f) ½ ½ 20 2 35 2 7 0 5 10 15 20 25 " 0 7 14 21 28 " P Matemática Básica 33 Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função : M ± M dada por uma lei da forma: ×RÈS � È base � # M , � U 0 � ( 1 Função Exponencial na base ´ � , ÷³ù … RúÙøåå´ ã´ ûâü´äS. Ü ö � ordenada do ·R0, ¸S 1. R " S � ö . ´È A R"S é Õ��� ����. 0 " Para ¸ � 1 , � � 1 ⇒ R " S � 1. �1." ½ ³ � a ordenada do ·R0,1S 1.1 R " S � ´È 1 0 " ½ 2. R " S � ö . ´�È A R"S é ë� ��� ����. 0 " Para ¸ � 1 , � � �1 ⇒⇒⇒⇒ R " S � 1 . ��1." ½ 2.1 R " S � ´�È 1 R"S é ë� ��� ����. 0 " Matemática Básica 34 Equação Exponencial na base ´ � , ÷³ù …: são equações onde a incógnita está no expoente. Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência , afim de deixar na mesma base e poder fazer as simplificações necessárias. Exemplos: a) �7§7 � 1 sabemos que �3 � 1 , então podemos escrever �7§7 � �3 encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes 2" � 2 � 0 isolamos a incógnita " encontramos valor que satisfaz a equação. " � 1 b) 3 . �" +
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