Lista de Exercícios - Cálculo 3

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral III − 2°Semestre / 2015 
Prof. Sérgio 
 
 
1) Esboce os gráficos das funções abaixo, e forneça seus domínios e suas imagens: 
• ( , ) 10 2 5f x y x y= − − 
• ( , ) 9 3f x y y= − 
• 
2( , ) 7f x y x x= − 
• ( , ) 2 3 6f x y x y= + − 
• 
2( , ) 9f x y y y= − 
• ( , ) 6f x y =
 
 
2) Calcule as derivadas parciais das funções abaixo: 
• 
2 6 3 2 2( , ) .( )x xy yf x y e x y+ += + 
• ( , )
xy
f x y
x y
=
+
 
• ( , ) cos 2 3f x y x xy= + 
• 
1
( , ) ln( )f x y
xy
=
 
3) Considere a função ( , ) 2 3f x y x xy= + : 
 
 a) Calcule o gradiente de f no ponto P = (2,10) ; 
 b) Calcule a derivada direcional de ( , ) 2 3f x y x xy= + no ponto P = (2,10) e na direção de 
)8,6( −=v ; 
 c) Se, a partir de P = (2,10), nos movermos 0,5 unidade na direção de )8,6( −=v , a função f se 
moverá aproximadamente quanto? 
 
4) Qual a direção que se deve tomar, a partir do ponto P = (2,1), sobre o domínio de 
2( , ) 12f x y x xy= − − , para que f aumente com maior velocidade? E diminua com maior 
velocidade? E se mantenha estável? 
 
 
5) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de ( , ) 4 2f x y xy x y= − + no ponto 
P(1,5,11). Depois, usando a equação obtida, estime o valor de (1,35;4,92)f . 
 
6) Um reservatório para água tem formato de um túnel de secção circular constante ao longo do 
comprimento. No projeto, esta secção é um semi-círculo de raio 5 m, e comprimento do túnel é de 
50 m. Mas a obra ficou pronta com medidas 5,1 m e 49,4 m. Use diferenciais e estime tanto a 
variação no volume do túnel quanto o volume total de água possível de ser acondicionada nele. 
 
7) Na questão anterior, calcule a variação na área na área total do túnel (base, teto e as duas secções 
semi-circulares). 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas respostas – salvo melhor juízo...: 
 
 
2) yeyxxe
y
f
xeyxye
x
f yxyxyxyxyxyxyxyx 2.)).(36.( ; 2.)).(62.( 3622236236222362 ++++++++ +++=
∂
∂
+++=
∂
∂
 
 2
2
2
2
)( ; )( yx
x
y
f
yx
y
x
f
+
=
∂
∂
+
=
∂
∂
 
 ( ) ( )2 3 3sin 2 3 sin 2 3
2 2 3 2 2 3
∂ + ∂
= − + = − +
∂ ∂+ +
f y f x
x xy . ; x xy .
x yx xy x xy
 
 
yy
f
xx
f 1
 ; 
1
−=
∂
∂
−=
∂
∂
 
3) 3,( ) (2 )
8
f P∇ = ; 
(6, 8)
9
( ) 
10
D f P
−
= ; f aumentará aproximadamente 920 . 
4) (−5, −2) ; (5, 2) ; (2, −5) ou (−2, 5). 
 
5) 3 5 0x y z+ − − = ; 11,11 
 
6) 317,5V mπ∆ ≈ e 3642,5
Túnel
V mπ≈ 
 
7) 2 2(3 4) 13, 42S m mπ∆ ≈ + ≈ 
 
 
 
 
Caros Alunos, 
 
Queiram resolver estes exercícios em papel sulfite ou almaço, e entregá-los no dia de nossa P1. 
Esta lista é um guia de estudos pra nossa primeira prova. Consulte o nosso material de sala de aula 
também. Bons estudos! 
 Sérgio.