015-----GEOMETRIA--ESPACIAL--DE--POSIÇÃO

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GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
Conceitos primitivos
Axiomas e postulados: são afirmações que serão admitidas sem a necessidade de demonstrá-las.
PONTO, RETA E PLANO
Ponto
Notação: (A, B, C, ...) 
Notação: (r, s, t, ...)
Reta
Plano
Teoremas: São as conclusões que podem ser retiradas dos axiomas e postulados e que só são aceitas mediante uma demonstração ou argumentação lógica.
Notação: (, , , ...)
Postulados
Postulado 1 : Postulado da Existência
Existe reta, e numa reta, bem como fora dela há infinitos pontos.
Existe plano, e num plano, bem como fora dele há infinitos pontos.
Postulados
Postulado 2 – Postulado da determinação 
Por dois pontos distintos passam uma única reta.
Postulados
Dado três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano que os contém.
Postulados
Postulado 4: Postulado da Inclusão 
Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, então ela está contida no plano.
Por dois pontos distintos passam uma única reta (postulado 2)
Determinação do plano
Existem quatro modos de determinar planos:
1º modo: por três pontos não colineares;
2º modo: por uma reta e um ponto fora dela;
3º modo: por duas retas concorrentes;
4º modo: por duas retas paralelas distintas.
Teorema: Existe um único plano que contém uma reta e um ponto não pertencente a ela 
Postulados
Teorema 1: Por uma reta e um ponto fora dela
Teorema 2: Por duas retas concorrentes
Prova:
Seja P um ponto não pertencente à reta r. Tomemos, sobre r, dois pontos distintos Q e R. Os pontos P, Q e R não são colineares (de fato, pelo postulado 1, r é a única reta que passa por Q e R e, por hipótese, P não pertence a r). Pelo postulado 2, sabemos que existe um único plano contendo P, Q e R. Como a reta r tem de dois de seus pontos (Q e R) em , o postulado 3 estabelece que r está contido em . Logo, de fato existe um plano contendo r e P. como este é o único plano que contém P, Q e R, ele é o único que contém P e r. 
Teorema 3: se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único plano que as contém.
Posições Relativas
Posições entre Retas
Concorrentes: Duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum. Tais retas sempre determinam um plano.
P
r
s
Posições entre duas Retas
Paralelas: Duas retas são paralelas quando não têm ponto em comum e são coplanares.
Posições entre duas Retas
Coincidentes: Duas retas são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum.
r = s
Posições entre duas Retas
Reversas: Duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas.
r
s
Qual a diferença entre retas paralelas e reversas?
Paralelas: não tem ponto em comum e são coplanares
Reversas: não tem ponto em comum e não são coplanares.
Posição Relativa entre Reta e Plano
Reta contida no plano: uma reta está contida no plano quando, pelo menos, dois de seus pontos pertencem ao plano.
r
A
B
Posição Relativa entre Reta e Plano
Reta e plano concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.
P
r
Posição Relativa entre Reta e Plano
Reta e plano paralelos: se uma reta é paralela a um plano, essa reta é paralela a pelo menos uma reta desse plano.
Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
s
r
α
Posição Relativa entre Planos
Planos paralelos: dois planos são paralelos quanto não possuem ponto em comum. No entanto, uma condição necessária para que dois planos sejam paralelos é que um deles contenha 2 retas concorrentes paralelas ao outro plano.
Posição Relativa entre Planos
Planos coincidentes: dois planos são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum.
Posição Relativa entre Planos
Planos concorrentes: dois planos são concorrentes quando sua intersecção é uma reta.
P
 GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
Dados um ponto P e uma reta r, P ∈ r ou P ∉ r;
Dados um ponto P e um plano α, P ∈ α ou P ∉ α;
Dados dois ou mais pontos no espaço:
eles são ou não pontos colineares (existe ou não uma reta que passa por todos eles).
eles são ou não pontos coplanares (existe ou não um plano que passa por todos eles).
Outros axiomas
Três pontos não colineares A, B, e C determinam um plano p(A, B e C).
POSIÇÕES RELATIVAS
Posições relativas: ponto e reta; ponto e plano
Dois pontos distintos A e B determinam uma reta
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS DISTINTAS NO ESPAÇO
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas.
Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas retas paralelas.
Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas concorrentes.
Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
Dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas de retas reversas.
Duas retas no espaço
 reversas 
 coplanares 
paralelas 
 concorrentes 
Posições relativas de duas retas no espaço
Professor, comente com seus alunos que duas retas são coplanares ou reversas. Peça para os alunos identificarem na sala, representações de retas paralelas, concorrentes e reversas.
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GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO POSIÇÕES RELATIVAS
Um plano no espaço fica determinado por
3 pontos não colineares
2 retas paralelas distintas
2 retas concorrentes
1 reta e 1 ponto fora dela
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Posições relativas de dois planos distintos no espaço
Uma reta r é paralela a um plano α, se r e α não têm ponto comum.
Uma reta r está contida no plano α, se r e α têm em comum todos os pontos de r.
Uma reta r intersecta um plano α no ponto A. Então a reta r é secante ao plano α. 
Posições relativas de uma reta e um plano no espaço
Dois planos que não têm pontos comuns são chamados planos paralelos.
Se dois planos são distintos não paralelos, então eles possuem uma única reta comum e são chamados planos secantes (ou concorrentes).
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
PARALELISMO E PERPENDICULARISMO NO ESPAÇO
Perpendicularismo no espaço
Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, ela é paralela a uma reta do plano.
Dados dois planos secantes, uma reta de um deles é paralela ao outro se, e somente se, ela é paralela à reta de intersecção dos dois planos.
Dois planos são paralelos se, e somente se, um deles é paralelo a duas retas concorrentes do outro.
Paralelismo no espaço
Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele quando, e somente quando, ela é perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto de intersecção.
Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é oblíqua ao plano.
Dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
Professor, retome com os alunos os conceitos de retas paralelas, planos paralelos e reta e plano paralelos.
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Distâncias
Distância entre dois pontos
Dados dois pontos distintos A e B, a distância entre A e B é a medida do segmento de reta AB.
Distância de um ponto a uma reta
Distância de um ponto a um plano
Dados um ponto P e uma reta r, do espaço, podemos traçar uma reta que passa por P e é perpendicular a r no ponto A. A distância do ponto P à reta r é a distância entre os pontos P e A.
Dados um ponto P e um plano , podemos determinar P’ , que é a projeção ortogonal de P sobre . A distância do ponto P ao plano é a distância entre os pontos P e P’.
Distâncias
Distância entre duas retas distintas e paralelas 
Dadas as retas r e s, distintas e paralelas, a distância entre r e s é a distância de qualquer ponto de uma delas à outra reta.
Distância de uma reta paralela a um plano
Dados a reta r e o plano α tais que r // α, a distância da reta r ao plano α é a distância de qualquer ponto de r ao plano α. 
Distância entre dois planos distintos e paralelos
Dados dois planos distintos α e β, tais que α // β, a distância entre esses doisplanos é a distância de qualquer ponto de um deles ao outro plano.
Distância entre duas retas reversas
Dadas duas retas reversas r e s, vamos considerar um ponto qualquer de r e o plano α que contém s e é paralelo a r. A distância entre r e s é a distância desse ponto a esse plano.
a1
Observando a figura espacial a seguir, responda usando planos determinados por faces:
VAMOS PRATICAR
Qual é a posição relativa dos planos determinados pelas faces EFHC e DEFG?
Planos secantes.
Para saber mais assista ao vídeo!!!
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações: ensino médio -- 3. ed. -- São Paulo: Ática, 2016.
LEONARDO, F. M. Conexões com a Matemática. v. 2 -- 3. ed. -- São Paulo: Moderna, 2016.
XAVIER, C.; BARRETO, B. Matemática: participação & contexto: ensino médio. v. único. São Paulo, FTD, 2008. 
REFERÊNCIAS
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P
s
r
=
I
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Æ
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s
r
I
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r
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r
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P
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r
r
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I
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b
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a
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b
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r
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b
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I
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