Solução - 1° Estágio Física III (Adriano Batista) 2014.2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CCT-Unidade Acadeˆmica de F´ısica
Soluc¸a˜o da 1a Prova de F´ısica Geral III
Disciplina: 1108025 Turma 01 12/11/2014
Prof. Adriano de A. Batista
1)(2.0) (a) Na figura abaixo as quatro cargas esta˜o situadas nos ve´rtices de um retaˆngulo. En-
contre a forc¸a ~F sobre a carga q′ devida a`s outras cargas. Escreva as componentes Fx e Fy em
func¸a˜o dos valores alge´bricos dados.
y
x
q
q′
q q
d1
d2
Soluc¸a˜o: Utilizando a lei de Coulomb e o princ´ıpio de superposic¸a˜o, encontramos
~F =
qq′
4pi�0
[
ıˆ
d21
− ˆ
d22
+
d1 ıˆ− d2ˆ
d3
]
,
onde d =
√
d21 + d
2
2. Assim as componentes da forc¸a sa˜o dadas por
Fx =
qq′
4pi�0
[
1
d21
+
d1
d3
]
Fy = − qq
′
4pi�0
[
1
d22
+
d2
d3
]
2) (2.0) Determine o valor do campo ele´trico (mo´dulo e orientac¸a˜o) no centro do retaˆngulo acima
devido a`s cargas presentes nos seus ve´rtices.
Soluc¸a˜o: Aplicando a lei de coulomb, o princ´ıpio de superposic¸a˜o e utilizando a simetria
do problema, podemos escrever o vetor campo ele´trico no centro do retaˆngulo definido pela
figura acima
~Ec =
1
4pi�0
[
q′(−d1/2ıˆ+ d2/2ˆ)
(d/2)3
+
q(d1/2ıˆ− d2/2ˆ)
(d/2)3
]
=
(q − q′)(d1 ıˆ− d2ˆ)
pi�0d3
,
onde d =
√
d21 + d
2
2. A magnitude do campo ele´trico e´ | ~Ec| = |q−q
′|
pi�0d2
.
3) (2.0) Existem treˆs placas planas paralelas infinitas uniformemente carregadas. As placas teˆm
as seguintes densidades superficiais de carga: σ1 = −1, 0×10−12C/m2, σ2 = 2, 0×10−12C/m2, e
σ3 = −1, 0× 10−12C/m2. A placa 1 esta´ situada em x = −1, 0mm, a placa 2 em x = 0 e a placa
3 esta´ em x = 1, 0mm. Encontre o campo ele´trico em todas as regio˜es do espac¸o. A constante
de permissividade ele´trica do va´cuo e´ ε0 = 8, 85× 10−12 C/(Vm).
Soluc¸a˜o: Esse problema envolve distribuic¸o˜es de carga com simetria planar em planos
paralelos cujo vetor normal e´ ıˆ. Aplicando a lei de Gauss e o princ´ıpio de superposic¸a˜o
obtemos que so´ ha´ campo ele´trico na direc¸a˜o x e ele e´ dado por
Ex(x) = −σ1+σ2+σ32�0 = 0 para x < −1, 0mm.
Ex(x) =
σ1−σ2−σ3
2�0
= −10−12C/(m2�0) ≈ −0, 11V/m se -1,0mm< x < 0
Ex(x) =
σ1+σ2−σ3
2�0
≈ 0, 11V/m se 0< x < 1, 0mm
Ex(x) =
σ1+σ2+σ3
2�0
= 0 para x > 1, 0mm.
4) (2.0) Em uma certa regia˜o, o potencial ele´trico varia ao longo do eixo x de acordo com o gra´fico
da figura abaixo. (a) Determine a componente x do campo ele´trico nos intervalos (ab), (bc), (cd)
e (de). (b) Plote Ex em func¸a˜o de x. Ignore o comportamento nos extremos dos intervalos.
V (x)(volt)
x(10−4m)
-3 -2 -1 1 2
-1.0
2.0
a
b c
d
e
Soluc¸a˜o: No intervalo (ab) o campo ele´trico e´ dado por
Ex = −dV (x)
dx
= − 1, 5− 0
[−2− (−3)]10−4 V/m = −1, 5× 10
4V/m
No intervalo (bc) Ex = 0.
No intervalo (cd)
Ex = −dV (x)
dx
= − 1, 0− 1, 5
[1− (0)]10−4 V/m = 0, 5× 10
4V/m
No intervalo (de)
Ex = −dV (x)
dx
= − 0− 1, 0
[2− 1]10−4 V/m = 1, 0× 10
4V/m
Ex(x)(10
4V/m)
x(10−4m)
-3 -2 -1 1 2
-2.0
1.5
5) (2.0) O campo ele´trico numa certa regia˜o do espac¸o e´ dado por ~E(~r) = Ex(x)ˆı e e´ plotado na
figura abaixo. (a) Escreva a equac¸a˜o para o campo ele´trico Ex(x) baseada nos dados fornecidos
no gra´fico abaixo. (b) Obtenha a expressa˜o para V (x), assumindo que V (0) = 0. (c) Plote V (x)
em func¸a˜o de x. (d) Quais as densidades superficiais de carga em x = ±0, 2mm?
Ex(volt/m)
x(10−4m)
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Soluc¸a˜o: (a) Pelo gra´fico obtemos que o campo ele´trico e´ dado por
Ex(x) = 0, 5× 104xV/m2,
se −2, 0× 10−4m< x < 2, 0× 10−4m. Fora desse intervalo Ex = 0.
(b) O potencial ele´trico e´ dado por
V (x) = V (0)−
∫ x
0
Ex(x
′)dx′ = −
∫ x
0
Ex(x
′)dx′,
pois assumimos que V (0) = 0. Obtemos
V (x) = −0, 25× 104x2V/m2,
quando −2, 0× 10−4m< x < 2, 0× 10−4m, fora desse intervalo V (x) = −10−4V.
(c) Utilizando os resultados acima, obtemos o gra´fico abaixo:
V (x)(10−4volt)
x(10−4m)
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0
0.5
(d) Pela lei de Gauss, a densidade de cargas em -0,2mm e´ σ = �0Ex(−0, 2mm) = −8, 85 ×
10−12C/m2. Em x = 0, 2mm σ = −�0Ex(0, 2mm) = −8, 85× 10−12C/m2.