Exercícios GAAL - vetores

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29/3/2009
1
VETORES
Anliy N. N. Sargeant
José Antônio A. Andrade
Mariane Urias da Silva
Solange G. F. Martins
Grandezas
Escalares: Que podem ser descritas por um
número (e a unidade de medida
correspondente): de área, 2 m
de comprimento, 4 kg de massa
Vetoriais: Essas necessitam de módulo,
direção e sentido; o que só pode
ser visualizado por meio de um
vetor.
24m
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2
Um vetor é representado por uma flecha 
(segmento orientado)
B
u
�
A
•
•
Podemos indicar um vetor por:
Dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
,u AB B A= = −
�����
u AB OB OA= = −
���� ���� �����
ou melhor,
Exemplo: Dados os vetores:
u
�
v
�
c
�
b
� a
�
w
�
u v=
� �
c w= −
� �
é o oposto de , pois
esses vetores tem o
mesmo tamanho e direção
e sentidos opostos.
w
�
c
�
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Adição
de
vetores
(i) ( )u u+ − =� � 0�
Vetor nulo
Seja e vetores não nulos.u
�
w
�
(ii) Quando , ou seja, quando e tem a mesma 
direção, a soma poderá ser representada como: 
//u w� � u� w�
u w+
� �
(a)
u
�
u w+
� �
w
�
(b) u
�
w
�
u w+
� �
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(c)
u
�
w
� 0u w+ =
�� �
(iii) Quando e não são paralelos:
Seja:
u
�
w
�
w
�
u
�
Então , será:u w+
� �
(a)
u
� w
�
u w+
� � (b)
u
�
w
�
u w+
� �
Considerando ainda, os vetores e apresentados acima, 
a soma poderá ser representada como: 
u
�
w
�
( )u w+ −� �
u
�
w−
� ( )u w+ −� � u
�
w−
�
( )u w+ −� �
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Soma de vetores 
no
sistema de eixos
Representação de vetores num sistema de eixos coordenados
( )1 2,P u u2u
1u
1 2( , )Q w w
1w
2w 1
1 2
2
( , ) x
y
uu
u u u
uu
  
= = =   
   
�
1
21
2
( , ) x
y
ww
w w w
ww
  
= = =   
   
�
Com essa notação eu assumo que a origem do vetor está na 
origem dos eixos, enquanto a extremidade será definida por 
suas componentes.
x
y
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Determinando , com e no sistema coordenado 
de eixos 
u w+
� �
u
�
w
�
Exemplo 1: Seja e , determine 
1
5
w
 
=  
 
�3
1
u
 
=  
 
� u w+
� �
3 1 4
1 5 6
u w
     
+ = + =     
     
� �
Graficamente:
6
4
5
1 3
1
u
�
w
�
u w+
� �
y
x
Exemplo 2: Faça a translação do vetor para origem, 
considerando que as coordenadas dos pontos e são 
e respectivamente.
PQ
����
(6;7)
(4;4)QP
PQ u Q P OQ OP= = − = − =
���� ���� �����
Logo,
2
3
u
 
=  
 
�
2
3
4
4
•P
7
6
•Q
PQ
����
u
�
x
y
(6,7) (4,4) (2,3)= − =
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7
Definindo a soma
Seja e definimos a soma:
1
2
u
u
u
 
=  
 
� 1
2
w
w
w
 
=  
 
�
Graficamente temos:
u
�
1u
2u
w
�
2w
1w
u w+
� �
2 2( )u w+
1 1( )u w+
(Soma de matrizes)
1 1
2 2
u w
u w
u w
   
+ = + =   
   
� � 1 2
1 2
u u
w w
+ 
 + 
y
x
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Multiplicação
por
Escalar
Definição: Seja e 
1
2
u
u
u
 
=  
 
�
.α ∈�
uα =
� 1
2
u
u
α
α
 
 
 
1
2
u
u
α
 
= 
 
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Exemplo:Dado , determine e represente
esses vetores
2 u�3
1
u
 
=  
 
�
3 6
2 2
1 2
u
   
= =   
   
�
1
3
u
�
2 u�
2
6 x
y
Percebemos que,
2u u u= +� � �
uα
�
3 4,5
1,5 1,5
1 1,5
u
   
= =   
   
�
Se é um número natural,não seria necessário definir
multiplicação por um escalar. No entanto, se é um número
racional a definição é necessária, como no caso de
(para )
α
α
0α >
Se o sentido será invertido.0α <
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Note que:
(a) Se adicionarmos a um vetor , tem, em geral, 
direção diferente de e de (com e com direções 
diferentes).
u
�
u
�
u
�
u w+
� �
w
�
w
�
w
�
(b) Se multiplicarmos o vetor por essa escalar , , 
o novo vetor mantém a mesma direção de , e:
• Terá o mesmo sentido se
• Terá sentido oposto se 
u
�
α ( 0)α ≠
uα
�
u
�
0α <
0α >
Exemplo 3.3: Seja um triângulo e sejam e os
pontos médios de e , respectivamente. Vamos provar
que é paralelo a e tem comprimento igual a metade
do comprimento de
ABC M N
AC BC
MNAB
.AB
( )1 ?
2
MN AB=
����� ����
A
C
B
NM
E, como e são pontos médios de e .
respectivamente, então
M N AC BC
= MC
����
+ CN
����
MN
�����
Pela figura, temos
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NM
A
C
B
Logo,
,MN MC CN= +
����� ���� ����
1 1
2 2
MN AC CB= +
����� ���� ����
1 ( )
2
MN AC CB= +
����� ���� ����
1
2
MN AB=
����� ����
e 1
2
CN CB=
���� ����1
2
MC AC=
���� ����
se então