ESTATISTICA REGULAR 2

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AULA 02 
 Olá, amigos! 
 Tudo bem com vocês? E aí, revisaram a aula passada? Espero que sim. Bem 
como espero que tenham resolvido as questões que ficaram pendentes! 
 A propósito, vamos iniciar nossa aula de hoje comentando-as. Vamos a elas. 
 
Dever de Casa 
Identificar a coluna de freqüência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o 
trabalho necessário para chegar aos valores da freqüência absoluta simples fi. 
 
01. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte 
correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Sol.: Esta Distribuição de Freqüências fornecida pela prova acima apresentou-nos 
duas colunas: a das classes e uma outra, a qual chamou de freqüências acumuladas, 
seguido de um sinal de porcentagem. 
 Ora, aprendemos que este sinal de porcentagem é um indicativo de que 
estamos diante de uma freqüência relativa. Uma vez que foi revelado, expressamente, 
que se trata de freqüências acumuladas, restaram-nos duas alternativas: 
 ? Freqüência relativa acumulada crescente (Fac); ou 
 ? Freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). 
 Para saber se é uma ou outra, basta examinarmos os valores da coluna: eles 
estão crescendo ou decrescendo? Crescendo! Daí, matamos a charada: a freqüência 
fornecida na tabela foi a Fac – Freqüência Relativa Acumulada Crescente. 
 Esse será sempre o primeiro passo: identificar a freqüência trazida pela prova. 
 O segundo passo é fazer o trabalho preliminar, que consiste em migrar da 
freqüência apresentada na tabela para a coluna da freqüência absoluta simples fi. 
 Relembrando o desenho das transformações que criamos na aula passada, 
teremos: 
 
 
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 De simples para acumulada: somar com a diagonal 
 fac (iguais na primeira classe) 
 fi 
 fad (iguais na última classe) 
 
 (comparam-se os dois somatórios) 
 
 Fac (iguais na primeira classe) 
 Fi 
 Fad (iguais na última classe) 
 De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior 
 
 
 Nosso trabalho preliminar se fará, neste caso, em dois passos: 
 1º) Passaremos da Fac para a Fi (freqüência relativa simples); 
 2º) Passaremos da Fi para a fi. 
 Fazendo isso, teremos: 
 
Classes Fac Fi 
2.000 – 4.000 5% 5% 
4.000 – 6.000 16% 11% 
6.000 – 8.000 42% 26% 
8.000 – 10.000 77% 35% 
10.000 – 12.000 89% 12% 
12.000 – 14.000 100% 11% 
 
 Sabemos que nesta transformação que fizemos acima, as duas freqüências 
(Fac e Fi) são iguais na primeira classe, e o restante da coluna da Fi se constrói 
subtraindo: próxima acumulada menos a acumulada anterior. 
 Ficou claro para todos? (Isso aprendemos na aula passada!). 
 Agora vamos aos finalmentes: partindo da Fi construiremos a coluna da fi. 
 Aprendemos que, de simples para simples, teremos apenas que nos concentrar 
no somatório destas duas colunas! Lembrados? Sabemos que o somatório da coluna 
da freqüência relativa simples (Fi) será sempre igual a 100%. E que o somatório da 
freqüência absoluta simples (fi) é sempre igual a n (número de elementos do 
conjunto). 
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 É nesse instante que nos cabe reler o enunciado, para ver o que foi dito acerca 
deste n. Foi dito alguma coisa no enunciado? Não! A questão não revelou quantos 
elementos há neste conjunto! 
 O que fazer agora? Neste caso, adotaremos n=100. 
 Essa foi a pergunta de uma colega do Fórum. 
 Embora talvez sem o destaque necessário, essa informação foi apresentada na 
aula 1. Ok? Para frisar mais adequadamente este fato, ei-lo novamente: 
Sempre que estivermos trabalhando com as duas colunas freqüências simples, 
construindo a fi a partir da Fi, precisaremos conhecer o n (número de elementos do 
conjunto). Caso este n não tenha sido fornecido pelo enunciado, adotaremos apenas 
que n=100. 
 Certo agora? 
 Daí, facilmente verificamos que os valores da fi (freqüência absoluta simples) 
serão iguais aos da Fi (freqüência relativa simples), apenas tirando o sinal de 
porcentagem! 
 Teremos: 
Classes Fac Fi fi 
2.000 – 4.000 5% 5% 5 
4.000 – 6.000 16% 11% 11 
6.000 – 8.000 42% 26% 26 
8.000 – 10.000 77% 35% 35 
10.000 – 12.000 89% 12% 12 
12.000 – 14.000 100% 11% 11 
 100% n=100 
 
 É isso! Está feito. Próxima questão. 
 
02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de 
freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classe Freqüência Acumulada 
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100 
 
Sol.: Este enunciado apresentou-nos, além da coluna das classes, uma outra que foi 
dita freqüência acumulada. 
 Pergunta: houve algum sinal indicativo de freqüência relativa? O enunciado 
falou expressamente que é relativa? Não! Existe sinal de porcentagem no cabeçalho 
da coluna? Não! Existe sinal de porcentagem ao longo dos valores da coluna? Não! 
 Conclusão inicial: não se trata de uma freqüência relativa, mas absoluta! 
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 Foi dito expressamente que é uma freqüência acumulada. Assim, sabendo que 
é absoluta e que é acumulada, restam-nos duas alternativas: ou será 
 ? freqüência absoluta acumulada crescente (fac); ou 
 ? freqüência absoluta acumulada decrescente (fad). 
 Para saber qual das duas, basta vermos os valores da coluna, se estão 
aumentando ou diminuindo. E aí? Estão aumentando! 
 Conclusão final: estamos diante de uma coluna de freqüência absoluta 
acumulada crescente (fac). 
 Uma perguntinha: de antemão, apenas olhando para os valores desta nossa 
fac, já é possível afirmar quem é o n (número de elementos do conjunto)? 
 O que você responde? SIM. Pois a fac termina sempre com o n. 
 Daí, já sabemos que n=100 elementos. Ok? 
 Pois bem! Precisaremos agora realizar o trabalho preliminar, no sentido de 
transformarmos a fac na fi (freqüência absoluta simples). Fazendo isso, teremos: 
Classe fac fi 
129,5-139,5 4 4 
139,5-149,5 12 8 
149,5-159,5 26 14 
159,5-169,5 46 20 
169,5-179,5 72 26 
179,5-189,5 90 18 
189,5-199,5 100 10 
 
 Qual o indicativo de que acertamos nos valores da fi? Ora, somando os seus 
valores, o resultado da soma terá que ser igual a n. E n, conforme vimos acima, é 
igual a 100. Vamos conferir? 
Classe fac fi 
129,5-139,5 4 4 
139,5-149,5 12 8 
149,5-159,5 26 14 
159,5-169,5 46 20 
169,5-179,5 72 26 
179,5-189,5 90 18 
189,5-199,5 100 10 
 n=100 
 
 Está feito! Próxima! 
 
03. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o 
enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um 
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 
indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: 
Classes Freqüência (f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
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49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Sol.: Nossaanálise começará sempre no sentido de sabermos se a coluna fornecida 
na tabela da prova é de freqüências absolutas ou relativas. Certo? 
 No caso acima, não está presente nenhum sinal indicativo de freqüências 
relativas. Daí, concluímos que se trata de uma freqüência absoluta! 
 Ora, diante disso, temos ainda três possibilidades: ou será 
 ? freqüência absoluta simples (fi); ou 
 ? freqüência absoluta acumulada crescente (fac); ou 
 ? freqüência absoluta acumulada decrescente (fad). 
 Foi dito em algum lugar do enunciado que esta coluna é de freqüências 
acumuladas? Não! Logo, por via de exceção, estamos diante de uma freqüência 
absoluta simples (fi). 
 Assim sendo, não há qualquer trabalho preliminar exigido para esta tabela. Já 
poderíamos começar a resolver a prova! Ok? 
 Curiosamente, esta coluna de freqüência absoluta simples fornecida nesta 
Distribuição de Freqüências é exatamente a mesma a qual chegamos no exemplo 
anterior. Perceberam? Uma mera coincidência! 
 Pois bem. Está feito! 
 O quarto exercício que eu havia deixado para casa, por displicência minha (peço 
desculpas!) foi o repeteco da questão 2. 
 Não tem problema. Creio que frisei convenientemente a importância disso tudo 
o que aprendemos na aula passada! Saber reconhecer a necessidade de realizar o 
trabalho preliminar – e saber fazê-lo – é algo que se tornou a alma da prova! 
 Bem. O fato é que já conhecemos a alma da prova, mas ainda não sabemos 
resolver nenhuma questão dela sequer...! Não seja por isso. Vamos aprender agora! 
 Suponhamos que estamos diante de uma Distribuição de Freqüências, que 
representa os pesos de um grupo de crianças. Ok? Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 n=20 
 
 É o mesmo exemplo que usamos na aula anterior. 
 Se eu lhes perguntar quantas crianças deste conjunto apresentam peso abaixo 
de vinte quilos, o que você me responderia? Ora, você iria analisar a tabela, e 
concluiria que as duas primeiras classes participam desta resposta. Concordam? 
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 A primeira classe contempla crianças com peso de zero a dez quilos. (Abaixo, 
portanto, de vinte quilos). A segunda classe contempla crianças com peso de dez a 
vinte quilos (vinte exclusive!). São pesos abaixo de vinte quilos. Certo? 
 Da terceira classe em diante, os pesos contemplados já superam aquele valor 
(20kg). Assim, ficou fácil verificar que são nove as crianças do conjunto com peso 
inferior a vinte quilos! (Três crianças na primeira classe, e seis na segunda). 
 Até aqui tudo bem? 
 Essa não será a pergunta da prova! 
 Vou propor outra questão: quantas crianças neste conjunto apresentam peso 
acima de vinte quilos? Ora, uma rápida olhada na tabela já nos fará concluir que 
participarão desta resposta os elementos contidos na terceira e na quarta classe! 
 Todos viram isso? Daí, responderemos que há onze crianças com peso superior 
a vinte quilos: sete na terceira classe, e quatro na última. 
 Esta também não será a pergunta da prova! 
 Professor, deixe de suspense e diga logo como virá na prova! Na prova virá 
assim: Quantos elementos (crianças) desse conjunto apresentam peso abaixo 
de doze quilos? 
 Vamos ver mais de perto nossa Distribuição de Freqüências: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 n=20 
 
 Esta é uma pergunta típica de prova! Para respondê-la, faremos a seguinte 
análise: 
 ? Abaixo de doze quilos: a primeira classe participa da resposta? O que você 
diz? Sim! Mas participa de forma integral ou apenas parcialmente? 
 Vemos que a primeira classe participa integralmente do resultado! 
Concordam? Claro! Se ela contempla pesos que vão de zero a dez quilos, significa que 
seus elementos todos apresentam pesos abaixo de doze quilos. Certo? Adiante. 
 ? Abaixo de doze quilos: a segunda classe participa da resposta? Olhe, analise 
e responda! Diremos que sim, que a segunda classe participa da resposta! 
Parcialmente ou integralmente? Parcialmente, uma vez que esta classe contempla 
pesos que vão de 10 a 20 quilos. Daí, abaixo de 12 quilos, teremos apenas uma parte 
desta classe! 
 Até aqui, tudo bem? 
 Pois bem! Descoberta qual é a classe que entra apenas parcialmente no 
resultado, trabalharemos com ela para descobrir justamente qual é esta participação! 
 Façamos um desenho desta classe. Teremos: 
 
10 !-------- 20 
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 O que faremos agora é uma regra de três: amplitude da classe (h) está para 
freqüência absoluta simples (fi). Teremos: 
10 !-------- 20 
h ---------- fi 
 Na primeira linha da regra de três, trabalharemos com a classe inteira! Qual é a 
amplitude (h) desta classe inteira? É h=10. Concordam? E nesta classe inteira, há 
quantos elementos? Temos que fi=6. 
 Daí, já dispomos dos valores da primeira linha. Teremos: 
10 !-------- 20 
h ---------- fi 
10 -------- 6 
 Já na segunda linha da regra de três, trabalharemos com a classe quebrada! O 
que é a classe quebrada? É só o pedaço da classe que nos interessa! E qual é a parte 
que nos interessa nesta classe? Apenas os pesos abaixo de 12 quilos. 
 Assim, teremos: 
10 !--12---- 20 
 Qual é a amplitude desta classe quebrada? Ora, de 10 até 12, teremos 
amplitude igual a 2. E neste pedaço menor (que nos interessa), quantos elementos 
há? Não sabemos! Vamos chamar de x. 
 Assim, nossa regra de três completa será a seguinte: 
 
h ---------- fi 
10 -------- 6 
2 --------- x 
 
 Agora basta multiplicarmos cruzando, para descobrirmos o valor do x. Este será 
exatamente a participação da segunda classe no resultado. Teremos: 
 ? 10x=12 ? x=12/10 ? x=1,2 
 Ou seja, nesta segunda classe, o número de crianças com peso abaixo de doze 
quilos é apenas de 1,2. 
 Resta-nos ainda compor o resultado. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
? entra integralmente no resultado: 3 elementos 
? entra parcialmente no resultado: 1,2 elementos 
 Total: 4,2 elementos 
 n=20 
 
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 Chegamos à resposta: estima-se que 4,2 crianças desse conjunto apresentam 
peso abaixo de doze quilos! 
 Duas observações a se fazer. Primeiro: este cálculo que fizemos acima é uma 
mera estimativa! Claro! Quem pode garantir que as seis crianças que participam da 
segunda classe não pesam, todas elas, 18 quilos, por exemplo? Ninguém pode 
garantir nada! Assim, estaremos trabalhando com valores estimados! Ok? 
 A segunda observação surge de uma pergunta que sempre alguém faz em sala 
de aula. (Geralmente, é pergunta de alguma garota, que se vê muito penalizada com 
a situação!). Professor, pode partir a criança no meio? Claro! Não só ao meio, como 
em vários pedacinhos pequenos! E ninguém vai chamar você de Herodes por isso! São 
apenas cálculos estatísticos! Ok? 
 O que eu ainda não disse a vocês é o título que se dá a este assunto! A rigor, 
esta questão de prova iria lhes perguntar da seguinte maneira: Calcule a estimativa 
do número de elementos (crianças) desse conjunto que apresentam peso 
abaixo de doze quilos, usando a interpolação linear da ogiva! 
 É isso mesmo! Ora, fazer a interpolação linear da ogiva é, nada mais, que 
fazer a regra de três que aprendemos acima! 
 O nome do assunto é muito mais difícil que a própria resolução da questão! 
 Mas, professor, o que é esse negócio de ogiva? Aogiva é um tipo de gráfico 
estatístico. Na hora certa e no momento oportuno eu a apresentarei a vocês. Ok? Por 
hora, não precisamos deste conceito. Ficou demonstrado que você pode (e vai!) 
acertar essa questão, mesmo sem conhecer a tal da ogiva. 
 Passemos a outro exemplo, trabalhando com a mesma tabela que acabamos de 
usar. Ok? Vamos lá. 
 
Exemplo: Considerando a Distribuição de Freqüências abaixo, determine qual 
a estimativa da porcentagem de elementos (crianças) do conjunto que 
apresentam peso acima de 28 quilos, usando a interpolação linear da ogiva? 
 Eis novamente a nossa Distribuição de Freqüências: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 n=20 
 
 Vocês perceberam que está em destaque no enunciado a palavra porcentagem. 
A questão não quer saber um número de elementos, e sim um valor percentual! 
Assim, teremos que trabalhar com a coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi). 
 Já sabemos como construir a Fi, partindo da freqüência absoluta simples (fi). 
Basta compararmos os dois somatórios. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
3 
6 
15% 
30% 
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11
20 !--- 30 
30 !--- 40 
7 
4 
35% 
20% 
 n=20 100% 
 x5 
 
 Pois bem! Esse trabalho já era nosso conhecido. Agora vamos analisar aquilo 
que a questão quer saber: pesos acima de 28 quilos. 
 ? Acima de 28 quilos: a primeira classe participa da resposta? Não! Nem 
integralmente, nem parcialmente; 
 ? Acima de 28 quilos: a segunda classe participa da resposta? Também não! 
Nem integralmente, nem parcialmente; 
 ? Acima de 28 quilos: a terceira classe participa da resposta? Sim! Só que de 
uma forma parcial. Concordam? Já que essa classe contempla pesos que vão de 20 a 
30 quilos, teremos que só uma parte dela estará acima de 28 quilos. 
 ? Acima de 28 quilos: a quarta classe participa da resposta? Sim, 
integralmente, com 20% das crianças! 
 Daí, o que nos resta fazer é trabalhar com a classe que entra só parcialmente 
no resultado (a terceira classe), a fim de descobrirmos qual é esta participação! 
 Novamente, faremos uma regra de três. A única diferença deste exemplo para 
o anterior, é que aqui estamos interessados em um valor percentual. Destarte, em 
vez de usar a freqüência absoluta simples (fi) na regra de três, usaremos a 
Freqüência Relativa Simples (Fi). Somente isso! Teremos: 
20 !-------- 30 
h ---------- Fi 
 
 A primeira linha da regra de três será formada levando-se em consideração a 
classe inteira! Teremos, na classe inteira, uma amplitude de h=10 e 35% dos 
elementos do conjunto. Daí: 
20 !-------- 30 
h ---------- Fi 
10 -------- 35% 
 
 A segunda linha da regra de três levará em conta apenas a classe quebrada, ou 
seja, aquele pedaço da classe que nos interessa! E o que nos interessa aqui? 
Elementos com peso acima de 28 quilos. Teremos: 
20 !----28--30 
 
 Nesta classe quebrada, a amplitude é 2 e o percentual de elementos nesta 
amplitude é desconhecido, de sorte que o chamaremos de x. 
 Assim, nossa regra de três completa será a seguinte: 
h ---------- Fi 
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12
10 -------- 35% 
2 --------- x% 
 
 Multiplicando em cruz, teremos que: 
 ? X=(70/10) ? X=7% 
 Este X é a própria participação (em termos percentuais) da terceira classe no 
resultado que procuramos! 
 Compondo o resultado inteiro, teremos: 
Classes 
(pesos, em 
Kg) 
fi 
 
Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
15% 
30% 
35% 
20% 
 
 
? entra parcialmente no resultado: 7% dos elementos 
? entra integralmente no resultado: 20% dos elementos 
 n=20 100% Total: 27% dos elementos 
 
 Chegamos à resposta: estima-se que 27% das crianças desse conjunto 
apresentam peso acima de vinte e oito quilos. 
 Ficou claro? 
 Passemos a mais um exemplo! 
Exemplo: Considerando a Distribuição de Freqüências abaixo, determine qual 
o valor da variável X (qual o peso) que não é superado por cerca de 70% das 
observações? 
 Mais uma vez aqui está a Distribuição de Freqüências: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 n=20 
 
 Este tipo de enunciado é diferente dos que vimos até aqui! 
 Nos anteriores, a questão fornecia um limite qualquer dentro de uma das 
classes, e perguntava ou pelo número de elementos ou pelo percentual de elementos 
que havia acima ou abaixo daquele limite. 
 Agora o raciocínio é inverso: a questão fornece um valor percentual qualquer, e 
quer saber, em outras palavras, qual é o valor dentro das classes que corresponde 
àquele percentual. 
 Precisamos agora aprender a fazer a tradução da pergunta desta questão. É 
fácil: sempre que o enunciado perguntar Qual é o valor da variável X que não é 
superado por tanto por cento...?, nós traduziremos esta pergunta da seguinte forma: 
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Qual é o valor, inserido numa das classes, que corresponde a um acumulado de tanto 
por cento? 
 Entendido? Vamos devagarzinho, para que todos entendam. 
 Nossa questão pergunta: qual o valor do peso não superado por 70% das 
observações? Nossa tradução é esta: qual o valor, inserido numa das classes, que 
corresponde a um acúmulo de 70%? 
 Uma vez compreendido como se faz a tradução, vamos construir agora em 
nossa tabela as colunas da Fi e da Fac. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
Fi Fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
15% 
30% 
35% 
20% 
15% 
45% 
80% 
100% 
 n=20 100% 
 
 Vamos pensar! 
 Começando pela primeira classe, se avançarmos até o seu limite superior (10), 
já teremos acumulado quantos por cento dos elementos do conjunto? Ora, teremos 
acumulado até aí 15% dos elementos. Confere? 
 Daí, se a questão estivesse perguntando: qual o valor dentro das classes que 
não é superado por 15% das observações?, nossa resposta seria: 10. 
 Mas não é esta a pergunta da questão! Adiante! 
 Se avançarmos agora toda a segunda classe, chegando até seu limite superior 
(20), já teremos acumulado quantos por cento dos elementos? Ora, esta segunda 
classe sozinha possui 30% dos elementos. Confere? Daí, atingindo seu limite superior, 
já passamos a acumular 45% dos elementos do conjunto! 
 Daí, se a questão estivesse perguntando: qual o valor dentro das classes que 
não é superado por 45% das observações?, nossa resposta seria: 20. 
 Mas esta também não foi a pergunta da questão! Adiante! 
 Avançando agora toda a terceira classe, até chegarmos ao seu limite superior 
(30), já teremos acumulado que percentual dos elementos do conjunto? 80%. 
Confere? Ora, mas eu não quero acumular 80%. Quero acumular apenas 70%. 
 Daí, você conclui: o peso que corresponde a um acúmulo de 70% dos 
elementos do conjunto é um valor inserido na terceira classe! 
 Claro! Analisemos os limites desta classe: 
 ? Limite inferior: 20 ? corresponde a um acumulado de 45% dos elementos; 
 ? Limite superior: 30 ? corresponde a um acúmulo de 80% dos elementos. 
 Logo, correspondendo a um acumulado de 70% (que é o que a questão está 
pedindo), haverá um valor qualquer inserido nesta classe! 
 Ufa...! Todos entenderam por que a resposta que procuramos mora na terceira 
classe? Pois bem! Sabendo disso, tomaremos a classe descoberta e faremos uma 
regra de trêssimples. A seguinte: 
20 !-------- 30 
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14
h ---------- Fi 
 
 A primeira linha desta regra de três já é nossa conhecida. Será preenchida 
considerando-se a classe inteira. Teremos: 
 
 
20 !-------- 30 
h ---------- Fi 
10 -------- 35% 
 
 A segunda linha é que será novidade. Teremos agora que fazer a linha do 
avanço! Como é isso? Ora, já havíamos acumulado, até chegarmos ao limite inferior 
desta classe (20), um total de 45% dos elementos do conjunto. Certo? 
 Assim, de 45%, teremos que avançar mais quantos por cento até atingirmos 
um acúmulo de 70%? Ora, de 45% para 70%, teremos que avançar mais 25%, 
dentro daquela classe! 
 Daí, um avanço de 25% na terceira classe corresponderá Ea um avanço de x. 
 A regra de três completa será, pois, a seguinte: 
h ---------- Fi 
10 -------- 35% 
x --------- 25% 
 
 Multiplicando em cruz, teremos que: 
 ? X=(250/35) ? X=7,14 
 
 Esse x que obtivemos é o valor que terá que ser somado ao limite inferior da 
terceira classe! É o valor do avanço! Assim, teremos que: 
 ? Linf + 7,14 = 20 + 7,14 = 27,14 
 Eis a nossa resposta! Esse peso – 27,14 quilos – corresponde a um acúmulo de 
70% dos elementos do conjunto! É o peso não superado por 70% dos elementos! 
 
 É isso! Por meio do entendimento dos três exemplos comentados acima, você já 
está apto a resolver qualquer questão que trate deste assunto – a interpolação linear 
da ogiva. 
 São todos enunciados repetitivos! Recaem todos eles nestes três modelos que 
apresentamos nos exercícios anteriores. Ok? 
 Então, convém que você revise com carinho esta aula de hoje e, em seguida, 
que você tente resolver as questões que deixarei propostas para esta semana! Ok? 
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 Na seqüência, apresento-lhes o nosso Dever de Casa. 
 Um forte abraço a todos, bons estudos e até semana que vem! 
 
 
 
 
 
Dever de Casa 
 
03. (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue. 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
(3 ; 6] 12 
(6 ; 9] 30 
(9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de 
uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais 
iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que 
corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
 
04. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de 
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna 
Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P 
representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a 145. 
a) 62,5% d) 45,0% 
b) 70,0% e) 53,4% 
c) 50,0% 
 
 
05. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, 
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, 
produziu a tabela de freqüências seguinte: 
 
Classes Freqüência 
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16
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na 
população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 
50,5. 
a) 700 d) 995 
b) 638 e) 900 
c) 826 
 
06. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a 
uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição 
amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 d) 11.000 
b) 12.000 e) 10.500 
c) 12.500 
 
07. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências 
abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classe Freqüência Acumulada
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do 
número de observações menores ou iguais ao Valor 164. 
a) 46 b) 26 c) 72 d) 35 e) 20 
 
 
08. (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências 
acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários 
anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização 
da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das 
classes salariais. 
 
Classes F 
29,5 - 39,5 2 
39,5 - 49,5 6 
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49,5 - 59,5 13 
59,5 - 69,5 23 
69,5 - 79,5 36 
79,5 - 89,5 45 
89,5 - 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, 
que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. 
a) 82,0 b) 80,0 c) 83,9 d) 74,5 e) 84,5 
 
 
09. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência 
obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As 
freqüências são acumuladas. 
 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que 
não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a) R$ 10.000,00 d) R$ 11.000,00 
b) R$ 9.500,00 e) R$ 11.500,00 
c) R$ 12.500,00 
 
10. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta 
a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade 
de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note 
que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários 
mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada 
relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de 
observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. 
a) 65% d) 60% 
b) 50% e) 70% 
c) 80% 
 
11. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) O quadro seguinte 
apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) para 
uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo 
município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a freqüência 
relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%.Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
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410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
 
a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575