ESTATISTICA REGULAR 4

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PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 
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AULA 04 
 Olá, amigos! 
 Tudo bem com vocês? Agora refeito da virose da semana passada (e quase pronto para 
outra!), vou tentar compensar o atraso com esta presente aula! 
 Nosso estudo de hoje dará início à análise das chamadas Medidas de Posição. 
 Porém, antes de as conhecermos, convém muitíssimo que nós saibamos quais são as 
formas pelas quais um conjunto pode ser apresentado numa prova. As mais comuns formas de 
apresentação de um conjunto são as três seguintes: 
 1ª) Rol: aqui os elementos do conjunto estarão dispostos numa ordem que pode ser 
crescente ou decrescente. São exemplos de rol: 
 (1,2,3,4,5) 
 (1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5) 
 E assim por diante! 
 Não é muito comum encontrarmos um rol numa questão de prova, mas também não é 
algo impossível. Entre as últimas provas da Receita, pôde-se ver um rol na prova de 1998 e na 
de 2005. Entendido o que é um rol? Ótimo. 
 2ª) Dados Tabulados: 
 Vamos trabalhar com esse segundo exemplo de rol, acima. Será possível 
apresentarmos os elementos desse conjunto na forma de uma tabela? Claro que sim! Vamos 
ver como é que fica: 
 Xi fi 
 1 3 
 2 4 
 3 3 
 4 2 
 5 1 
 
 Vejam que a coluna do Xi apresenta os elementos (individualizados) do conjunto; e a 
coluna do fi (a nossa conhecidíssima freqüência absoluta simples) indica o número de vezes 
que o elemento aparece no conjunto! Assim, vemos que o elemento 1 (Xi=1) aparece três 
vezes naquele rol (fi=3); o elemento 2 (Xi=2) aparece quatro vezes (fi=4), e assim por diante. 
 Se quisermos saber quantos elementos há neste conjunto, o que teremos que fazer? 
Ora, teremos que somar a coluna da freqüência absoluta simples – fi. 
 Daí, já podemos guardar a seguinte informação: sempre que quisermos saber o n 
(número de elementos de um conjunto), e esse conjunto estiver apresentado na forma de uma 
tabela, basta somarmos os valores da coluna da freqüência absoluta simples! 
 Ok? Assim, teremos: 
 Xi fi 
 1 3 
 2 4 
 3 3 
 4 2 
 5 1 
 n=13 
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 Uma discussão existe acerca desta segunda forma de apresentação dos dados: há 
autores que dizem que se trata de um tipo de Distribuição de Freqüências; outros dizem que 
não! Ora, para efeito de concurso, essa discussão não nos interessa em nada! 
 O que interessa é que você precisará saber trabalhar a questão de todo jeito! Assim, 
para nós, aparecendo um conjunto na prova, e esse conjunto estando apresentado desta 
forma que acabamos de ver acima, diremos que estamos diante de Dados Tabulados! E só! 
Ok? 
 3ª) Distribuição de Freqüências: 
 Essa já é nossa velha conhecida! Na Distribuição de Freqüências, diferentemente do que 
ocorre no rol e nos dados tabulados, os elementos do conjunto estarão agrupados em classes, 
em vez de serem apresentados de forma individualizada! Exemplo: 
 Xi fi 
 0 -- 10 3 
 10 -- 20 4 
 20 -- 30 3 
 30 -- 40 2 
 40 -- 50 1 
 n=13 
 
 Essencialmente, o que diferencia a Distribuição de Freqüências das outras duas formas 
de apresentação de um conjunto, vistas acima, é exatamente o fato de aqui, na Distribuição, 
os dados estarem agrupados em classes! 
 Já usamos uma aula anterior para estudar com minúcia os elementos de uma 
Distribuição, não é verdade? 
 Essencialmente, são essas as três formas mais usuais de apresentação de um conjunto: 
Rol, Dados Tabulados e Distribuição de Freqüências. 
 Porém, não são as únicas. Vamos aproveitar o ensejo para apresentar um tipo de 
gráfico, chamado de Histograma! 
 O Histograma é o gráfico estatístico que existe para representar os dados de uma 
Distribuição de Freqüências. Relacione sempre: Histograma para Distribuição de Freqüências! 
Ok? É muito fácil construir um Histograma. No eixo horizontal, anotaremos os limites das 
classes; e no eixo vertical, as freqüências absolutas simples. 
 Trabalhemos com a Distribuição de Freqüências do exemplo acima, e tentemos 
construir o Histograma. Teremos: 
 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (Classes) 
4
3
2 
1 
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 A primeira classe, que vai de zero a dez, tem fi igual a 3. Assim, o retângulo que 
representará essa classe no histograma será o seguinte: 
 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (Classes) 
 
 Viram? A base do retângulo é definida pelos limites da classe, enquanto sua altura é 
definida pela freqüência absoluta simples daquela classe. Não é fácil? Facílimo! Para a segunda 
classe, sabendo que o fi=4, teremos: 
 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (Classes) 
 
 A essa altura, todos já entenderam a feitura do Histograma, não é isso? Assim, vou 
logo completar o gráfico, com base nos dados daquela Distribuição de Freqüências 
apresentada acima. Teremos: 
 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (Classes) 
4
3
2 
1 
4
3
2 
1 
4
3
2 
1 
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 Enfim! Professor, mas por que foi mesmo que você apresentou o Histograma 
exatamente neste momento? Porque é possível, embora muito raro, que a sua prova 
apresente o conjunto a ser trabalhado por meio de um gráfico como esse! 
 Ou seja, em vez de apresentar a Distribuição de Freqüências, a questão trará um 
Histograma! E aí? O que fazer? Ora, com a mesma facilidade que você construiu um 
Histograma partindo de uma Distribuição de Freqüências, você poderá fazer o caminho de 
volta, e construir a Distribuição, partindo de um Histograma! Concordam? 
 Repito: é muito raro vir um Histograma na prova. Mas não é impossível. E já 
aconteceu! 
 Querem ver um exemplo? Caiu numa prova bem antiga de Técnico da Receita Federal, 
do tempo em que esse cargo se chamava TTN. O Histograma trazido pela prova foi o seguinte: 
 
 fi 
 
 12 
 
 10 
 8 
 
 6 
 
 4 
 2 
 
 
 2 4 6 8 10 12 14 16 idades 
 
 E aí? Você saberia transformar esse gráfico numa Distribuição de Freqüências? Claro. 
Ficaria o seguinte: 
Classes fi 
2 --- 4 
4 --- 6 
6 --- 8 
8 --- 10 
10 --- 12 
12 --- 14 
14 --- 16 
2 
6 
10 
12 
8 
6 
4 
 
 Pronto! Está feito! 
 Ultimamente, isto é, em algumas provas muito recentes, a Esaf andou inovando, e 
apresentou um conjunto por meio de um gráfico até então pouquíssimo conhecido: o 
Diagrama de Ramos e Folhas. Daí, muita e muita gente ficou olhando para as tais das 
folhas, e não soube absolutamente o que fazer com elas! 
 Não deixou de ser mais uma daquelas maldadesde prova... (fico imaginando a cara de 
prazer do elaborador de uma questão assim! Será que tem mãe?). Pois bem! O tal Diagrama 
de Ramos e Folhas é algo semelhante ao seguinte: 
 
 
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8 2 
8 
9 003 
10 0011222344 
10 577777 
11 013 
11 55679 
12 00114 
12 5557 
13 004 
13 5556 
14 03 
14 5 
15 
15 8 
 
Vamos lá! O Diagrama acima será transformado num rol. Repetindo: o Diagrama de 
Ramos e Folhas vai virar um Rol. 
Se bem observarmos, veremos uma coluna de valores no lado esquerdo. E outra no 
lado direito. Vejam melhor: 
8 2 
8 
9 003 
10 0011222344 
10 577777 
11 013 
11 55679 
12 00114 
12 5557 
13 004 
13 5556 
14 03 
14 5 
15 
15 8 
 
Esses valores da esquerda (em azul) permanecerão exatamente na esquerda! Serão as 
dezenas! E os valores que os acompanham à sua direita (em vermelho) permanecerão – 
adivinhem onde? – na direita! Serão as unidades! Assim, teremos: 
8 2 ? que vai virar: 82 
9 003 ? que vai virar: 90, 90, 93 
10 0011222344 ? que vai virar: 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104 
10 577777 ? que vai virar: 105, 107, 107, 107, 107, 107 
11 013 ? que vai virar: 110, 111, 113 
11 55679 ? que vai virar: 115, 115, 116, 117, 119 
12 00114 ? que vai virar: 120, 120, 121, 121, 124 
12 5557 ? que vai virar: 125, 125, 125, 127 
13 004 ? que vai virar: 130, 130, 134 
14 03 ? que vai virar: 140, 143 
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15 8 ? que vai virar: 158 
 
Assim, nosso Diagrama de Ramos e Folhas acima se transformou no seguinte rol: 
{82, 90, 90, 93, 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104, 105, 107, 
107, 107, 107, 107, 110, 111, 113, 115, 115, 116, 117, 119, 120, 120, 121, 
121, 124, 125, 125, 125, 127, 130, 130, 134, 140, 143, 158} 
 
 Entendido? (Espero que sim, pois é o mais didático que consigo explicar...) 
 Pois bem! O que fizemos nesta aula, até o momento, foi conhecer as maneiras pelas 
quais a Esaf, ou qualquer outra elaboradora, pode se utilizar para apresentar um conjunto de 
elementos numa prova de Estatística. 
 Uma vez fornecido o conjunto – seja na forma de um rol, ou de dados tabulados, ou 
de Distribuição de Freqüências, ou de um Histograma, ou de um Diagrama de Ramos e 
Folhas – já poderão ser solicitados, nas questões da prova, os cálculos de uma infinidade de 
medidas estatísticas! 
Ou seja, para um determinado conjunto, pode-se pedir o cálculo de: 
? Medidas de Tendência Central (Média, Moda, Mediana); 
? Medidas Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis, Centis); 
? Medidas de Dispersão (Amplitude Total, Desvio Absoluto, Desvio Padrão, Variância, 
Coeficiente de Variação, Desvio Quartílico, Variância Relativa); 
? Momentos Estatísticos; 
? Medidas de Assimetria; 
? Medidas de Curtose. 
O estudo do conjunto dessas medidas todas constitui o objeto do nosso Curso! É 
exatamente o que figura no programa dos concursos que cobram a Estatística Básica. 
Considerando que o Histograma será transformado em uma Distribuição de Freqüências 
e que o Diagrama de Ramos e Folhas será transformado num Rol, resta que as três formas 
básicas de apresentação dos dados serão, realmente: o Rol, os Dados Tabulados e a 
Distribuição de Freqüências. 
Assim, para cada uma das medidas estatísticas que formos estudar, aprenderemos 
como ela será calculada para o caso de o conjunto estar na forma de um Rol, ou de Dados 
Tabulados ou de Distribuição de Freqüências. Ok? 
Então vamos lá! 
Começaremos conhecendo as Medidas de Tendência Central – Média Aritmética, 
Moda e Mediana. 
 
# A Média Aritmética: X 
 Quando falarmos simplesmente em Média, saiba que estaremos nos referindo à Média 
Aritmética. Ok? Existem outras espécies de Média, além da Aritmética, que serão estudadas 
oportunamente. 
Comecemos pelo cálculo da Média de um Rol. 
Estou certo que esse é um cálculo que todos nós já realizamos. Suponhamos que você 
ainda está na faculdade. O semestre começou, e você nem se deu conta disso. Eis que chegou 
o dia da primeira prova! A sua nota foi um desastre: nota 3 (três). 
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Que lástima! Aí você disse: “Valha-me Deus, as aulas já começaram!” (Meio tardia essa 
descoberta...!) O fato é que você procurou se redimir da nota baixa que tirou, e dedicou 
esforços para a segunda prova. O resultado se fez perceber, e você conseguiu agora tirar um 8 
(oito). 
Ora, você sabia que para passar por média, teria que tirar um notaço na terceira e 
última prova, uma vez que a média naquela sua faculdade era 7 (sete). 
Assim, virou várias noites estudando e se dedicando àquela disciplina, de sorte que 
conseguiu, merecidamente, tirar um 10 (dez) na terceira prova. 
Tão logo recebeu esta última nota, você correu às contas, pois desejava saber se havia 
passado por média, ou se necessitaria fazer a prova final. 
Suas contas foram as seguintes: 
? ( )
3
21
3
1083 =++ =7,0 
Parabéns! Você acaba de provar que é um aluno cobra! (Aquele que passa se 
arrastando)! Mas passou, não foi? Isso é o que importa! (Igual no concurso: se você passar 
em último lugar, vai ganhar o mesmo salário de quem passou em primeiro)! 
Vejamos novamente as notas das três provas dessa pessoa: (3, 8, 10). 
Isto é um rol? Sim! 
Então, esta conta que foi feita para o cálculo da média das notas foi, rigorosamente, o 
mesmo cálculo que se faz para se descobrir a Média Aritmética de um conjunto apresentado 
na forma de um rol. 
Ou seja: somam-se as notas, e divide-se este resultado pelo número de provas. 
Falando-se de um modo genérico: somam-se os elementos do conjunto, e divide-se 
esse resultado pelo número de elementos do conjunto! 
Colocando-se essa definição em uma fórmula, usando-se da linguagem estatística, 
teremos que: 
n
Xi
X ∑= 
 Onde: 
 ? X é a Média Aritmética; 
 ? Σ é o sinal de somatório. O que vier após este símbolo deverá ser somado! 
 ? Xi é cada elemento do conjunto; 
 ? n é o número de elementos do conjunto. 
 Só isso! Nada mais fácil que se calcular a Média de um rol. 
 Pena que o Rol seja tão raro em provas...! 
 
# A TRANSIÇÃO: 
 Esta palavra – Transição – está em destaque, porque nos acompanhará longamente 
durante nosso Curso! 
 Aprenderemos, meus queridos, que há uma maneira facílima de migrarmos de uma 
fórmula de Rol para a fórmula de Dados Tabulados. Da mesma forma, há como migrarmos 
da fórmula dos Dados Tabulados para a fórmula da Distribuição de Freqüências! 
 E essa maneira de fazer a migração de uma fórmula para outra é justamente a tal da 
Transição que vamos aprender agora! Vamos lá! 
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 1º) Como passar da fórmula do Rol para a dos Dados Tabulados? 
 Manda a primeira transição que façamos o seguinte: 
 ? Repete-se a fórmula do rol; e 
 ? Acrescenta-se no numerador da fórmula, sempre junto ao sinal de somatório (Σ), 
a freqüência absoluta simples fi. 
 Só isso! 
 Assim, se eu já aprendi que a fórmula usada para se calcular a Média Aritmética de um 
conjunto apresentado na forma de um rol é: 
 ?
n
Xi
X ∑= ... 
 ... então, querendo agora construir a fórmula da Média Aritmética para um conjunto 
apresentado na forma de Dados Tabulados, eu só precisarei seguir o que manda a transição! 
E teremos: 
 Para Dados Tabulados: 
n
Xi
X ∑= ...... 
 
 Viram? Bastou repetir a fórmula do Rol (já conhecida!) e acrescentar o fi no 
numerador, junto ao sinal de somatório! 
 Usamos a primeira Transição! 
 E agora, caso queiramos construir a fórmulada Média Aritmética para uma Distribuição 
de Freqüências, como devemos proceder? Aí surge a segunda transição. Vejamos. 
 2º) Como passar da fórmula dos Dados Tabulados para a da Distribuição de 
Freqüências? 
 Manda a segunda transição que façamos o seguinte: 
 ? Repete-se a fórmula dos Dados Tabulados; e 
 ? Troca-se o Xi (elemento individualizado do conjunto) por PM (Ponto Médio) da 
classe! 
 E é só isso! 
 Mas qual seria o motivo de essa transição se fazer desta forma? Ora, por uma razão 
muito simples. Basta comparar as duas primeiras formas de apresentação (Rol e Dados 
Tabulados) com a Distribuição de Freqüências, e veremos que naquelas estamos sempre 
trabalhando com Xi (elementos individualizados do conjunto). Mas na Distribuição de 
Freqüências, nós deixamos de trabalhar com elementos individualizados, uma vez que agora 
nossa variável passará a ser agrupada em classes! 
 Daí, na Distribuição, não há mais que se falar em elemento individualizado Xi. Terá ele 
que ser substituído por aquele elemento que melhor representa cada classe. E esse elemento é 
justamente o Ponto Médio! 
 Assim, conhecendo a fórmula da Média Aritmética para Dados Tabulados, e aplicando o 
que nos manda a segunda transição, teremos que a Média para uma Distribuição de 
Freqüências será dada por: 
n
fi
X ∑= . 
 
fi 
PM 
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 A boa notícia, meus amigos, é que essa mesmíssima transição, que acabamos de 
aprender, não se aplica somente a fórmulas de Média Aritmética. Não! Vai muito além disso! 
Vamos usá-la para a memorização de várias outras medidas estatísticas, a exemplo do Desvio 
Absoluto, do Desvio Padrão, da Variância, entre outras. 
 Primeiro, vejamos se ficou mesmo bem memorizada a nossa Transição! 
 Teremos: 
 Resumo da Transição: 
 1º) Você memoriza a fórmula do Rol; 
 2º) Repete a fórmula do Rol e acrescenta fi no numerador, sempre junto ao sinal de 
somatório, e aqui chegamos à fórmula dos Dados Tabulados; 
 3º) Repete a fórmula dos Dados Tabulados e troca-se Xi por PM (Ponto Médio), e 
aqui chegamos à fórmula da Distribuição de Freqüências! 
 
 No final das contas, como eu costumo dizer em sala de aula, você paga um e leva três! 
Não é verdade? Claro! Imagine a mesma coisa ocorrendo para várias outras medidas 
estatísticas! Já pensou, quanta economia de decoreba? Basta lembrar da transição. 
 Ainda nem é assunto de hoje, mas só para provar que a transição é boa mesmo, veja 
abaixo a fórmula de uma medida de dispersão que será estudada numa aula futura: a 
Variância. Veja a fórmula da Variância para um Rol: 
 ? S2=
( )
n
XXi∑ − 2
 
 Sabendo disso, você já é capaz de me dizer quais serão as fórmulas da Variância para 
Dados Tabulados e para Distribuição de Freqüências? 
 Claro que sim! Seguem a mesma regra da Transição que já conhecemos! Assim, 
teremos: 
 ? Para Dados Tabulados: S2=
( )
n
XXi∑ − 2.....
 
 ? Para Distribuição de Freqüências: S2= ( )
n
Xfi∑ − 2.......
 
 
 Viram que foi só seguir a Transição? Maravilha, não é? É sim! 
 
 Voltemos ao estudo da Média. Agora, já sabemos quais são as fórmulas da Média para 
um Rol, para Dados Tabulados e para Distribuição de Freqüências. Considerando que em 
aproximadamente 99% dos casos o conjunto vem, na prova, expresso na forma de uma 
Distribuição de Freqüências, convém que nos dediquemos mais a esta forma de apresentação! 
 Passemos a alguns exemplos: 
Exemplo 1) A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de crianças. Obtenha o peso 
médio desse conjunto. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes 
(em Kg) 
fi 
0 --- 10 
10 --- 20 
2 
3 
fi 
PM 
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20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
8 
6 
1 
 Antes de mais nada, viram a frase em destaque no enunciado? Foi pergunta de algumas 
pessoas no Fórum de aulas passadas. Vamos entendê-la. Quais são os extremos das classes? 
São os limites (inferior e superior). Se o enunciado diz que não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes, é porque não há nenhum elemento do conjunto 
cujo valor coincida exatamente com algum dos limites (inferiores ou superiores) de nenhuma 
das classes. 
 No caso em tela, como tratamos de pesos de crianças, diremos que nenhuma dessas 
crianças tem peso coincidente com os limites das classes. Ou seja, nenhuma delas pesa 0, 10, 
20, 30, 40, nem 50 quilos. 
 Em termos práticos, o que isso importará para nós? Importará que, sabendo disso, a 
tabela pode trazer o símbolo que quiser para definir os intervalos de classe, e nós poderemos 
simplesmente considerá-lo como aquela simbologia clássica, de intervalo fechado à esquerda e 
aberto à direita, que não haverá problema algum! 
 Só isso! 
 Voltemos ao exemplo. A questão pede o peso médio, o que traduziremos como a média 
dos pesos! 
 Se o conjunto representasse salários, a questão pediria o salário médio. Se o conjunto 
representasse alturas, a questão pediria a altura média. Se o conjunto representasse idades, a 
questão pediria a idade média. (E não é prova de História, hein!). E assim por diante! 
 (Quem já foi meu aluno presencial deve, a esta hora, estar balançando a cabeça e 
dizendo: puxa, até as mesmas piadas bestas que ele diz em sala...) 
 Vamos repetir o conjunto, para podermos trabalhar com ele: 
Classes fi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
 
 Se eu quero a média aritmética de uma Distribuição de Freqüências, começarei 
colocando a fórmula no papel. E será sempre assim! A fórmula é quem guiará os nossos 
passos de resolução! Teremos: 
 ? 
n
PMfi
X ∑= . 
 Olhando para o numerador da fórmula, perguntaremos: já conhecemos a coluna do fi? 
Sim, já é nossa conhecida! E se não fosse? E se a coluna de freqüência fornecida na tabela 
fosse alguma daquelas outras cinco (fac, fad, Fi, Fac ou Fad)? Então, teríamos que fazer todo 
aquele trabalho preliminar, que aprendemos na primeira aula, a fim de construirmos a coluna 
da fi (freqüência absoluta simples). 
 Neste nosso exemplo, isso não se fez necessário! 
 Próxima pergunta, ainda olhando para o numerador: já conhecemos a coluna dos 
Pontos Médios (PM)? Ainda não! Assim, será nosso primeiro trabalho: construir a coluna dos 
Pontos Médios! Já sabemos fazer isso! Teremos: 
Classes fi PM 
0 --- 10 2 5 
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10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
3 
8 
6 
1 
15 
25 
35 
45 
 
 Reparem que todas as classes têm a mesma amplitude, não é isso? Quanto? h=10. 
Assim, se vocês estiverem bem lembrados, basta calcular o valor do primeiro ponto médio, e 
os próximos serão obtidos apenas somando com a amplitude (h). Viram? Isso já foi falado! 
 Ainda tratando do numerador da fórmula, perguntaremos agora: já conhecemos a 
coluna do produto fi.PM? Ainda não! Conhecemos essas colunas separadamente, mas não o 
seu produto! Daí, está definido o nosso próximo passo: construir a coluna do fi.PM. Teremos: 
 
Classes fi PM fi.PM 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
15 
25 
35 
45 
10 
45 
200 
210 
45 
 
 O que nos pede mesmo o numerador da fórmula? Pede o somatório (a soma) dos 
elementos desta coluna que acabamos de construir. 
 E o denominador, o que nos pede? Pede-nos o valor de n (número de elementos do 
conjunto). Ora, sabemos que n é obtido somando-se a coluna da freqüência absoluta simples 
(fi). Fazendo esses dois somatórios, teremos:Classes fi PM fi.PM 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
15 
25 
35 
45 
10 
45 
200 
210 
45 
 n=20 510 
 
 Finalmente, aplicando a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuição de 
Freqüências, teremos: 
 ? 
n
PMfi
X ∑= . ? ? 
20
510=X ? X =25,5 ? Resposta! 
 
 Fácil, não? Pode ficar mais fácil ainda! Antes de eu lhes apresentar um método 
alternativo para cálculo da média de uma distribuição de freqüências, convém que lhes fale 
acerca de algumas propriedades da Média. 
 
# Algumas Propriedades da Média Aritmética: 
 Considere o seguinte conjunto original (um rol): {1, 2, 3, 4, 5} 
 Qual é a média deste conjunto? Teremos: (1+2+3+4+5)/5=15/5 ? X =3 
 E se agora tomarmos cada elemento (Xi) daquele conjunto original, e resolvermos 
adicionar cada um deles à constante 10, por exemplo. O que teremos? Ora, teremos um novo 
conjunto: {11, 12, 13, 14, 15}. Concordam? 
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 Assim, já não mais estamos diante daquela variável original, e sim de uma variável 
transformada! Transformada por meio de quê? De uma operação de soma! 
 E qual é a Média desse novo conjunto (dessa nova variável)? Façamos as contas: 
(11+12+13+14+15)/5=65/5 ? X =13. 
 Ora, nem precisaríamos ter feito essa conta! Pois existe uma propriedade que diz: 
somando-se todos os elementos do conjunto com uma constante, a Média do novo conjunto 
será igual à Média do conjunto original também somada com aquela mesma constante! 
 Foi verdade isso? Sim. A Média do conjunto original era X =3. Nós somamos cada 
elemento do conjunto original com constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a média 
anterior (3) somada também à constante 10. Ou seja, a nova Média será 13. 
 E se serve para soma, serve também para subtração! 
 Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original será multiplicado pela 
constante 10. Ok? O que ocorrerá àquele conjunto? Será transformado em outro. Passaremos 
a ter: {10, 20, 30, 40, 50}. 
 Não se trata mais da variável original e sim de uma variável transformada! 
Transformada por quem? Por uma operação de multiplicação! Calculando a média do novo 
conjunto, teremos: (10+20+30+40+50)/5=150/5 ? X =30. 
 E nem precisaríamos ter feito este cálculo, pois existe uma propriedade da Média que 
diz: multiplicando-se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova Média 
será igual à média anterior também multiplicada pela mesma constante! 
 Senão, vejamos: a média do conjunto original era X =3. Nós multiplicamos cada 
elemento do conjunto original pela constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a média 
anterior (3) multiplicada também pela constante 10. Ou seja, a nova Média será 30. 
 E se serve para produto, serve também para divisão! 
 Para melhorar a nossa vida e a nossa memorização, resumiremos essas propriedades 
todas em uma única (e pequena) frase: 
A MÉDIA É INFLUENCIADA PELAS QUATRO OPERAÇÕES! 
 Ok? É essa a frase que deve ficar guardada em nossa memória! 
 Agora, sim, posso passar a explicar o método da Variável Transformada! 
 Retomemos o nosso exemplo já trabalhado: 
Exemplo 1 – Solução Alternativa) A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de 
crianças. Obtenha o peso médio desse conjunto. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classes 
(em Kg) 
fi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
 
 Uma consideração inicial: este método alternativo para cálculo da Média Aritmética de 
uma Distribuição de Freqüências, chamado Método da Variável Transformada, só será aplicado, 
da forma como aprenderemos aqui, se todas as classes da Distribuição tiverem a mesma 
amplitude! 
 Assim, essa será a nossa preocupação inicial: verificar se todas as classes tem a mesma 
amplitude. Se for o caso, prosseguiremos com o método alternativo. Senão, resolveremos a 
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questão da forma convencional, aplicando a fórmula da Média para uma distribuição de 
freqüências, como foi feito na primeira solução deste exemplo. 
 No nosso caso, temos que todas as classes possuem a mesma amplitude (h=10). 
Assim, poderemos (e deveremos!) utilizar o Método da Variável Transformada. Façamos um 
passo a passo. 
1º) Construiremos a coluna dos Pontos Médios! (A rigor, basta conhecermos o valor do 
primeiro ponto médio). Teremos: 
Classes fi PM 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
 
2º) Construiremos uma coluna de transformação da variável. Convém que sigamos a seguinte 
sugestão para construir esta coluna: 
( )
h
PMPM 01−
. 
 Ou seja: Ponto Médio menos o primeiro Ponto Médio, e tudo isso dividido pela 
amplitude da classe. Construindo essa coluna, teremos: 
Classes fi PM ( )
10
....−PM
=Yi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
 
 
 Se vocês seguirem esta minha sugestão para construir a coluna de transformação da 
variável [(PM-1ºPM)/amplitude da classe], então não será preciso perder um segundo 
sequer para calcular os valores dessa coluna. Basta começar por zero e seguir adiante (0, 1, 2, 
3 etc), até onde houver classe! Teremos: 
Classes fi PM ( )
10
....−PM
=Yi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 Vai ser sempre assim, professor? Vai! Desde que, repito, você aceite aquela minha 
sugestão! 
Uma observação: vocês viram que eu chamei o resultado dessa coluna de 
transformação da variável de Yi. Viram? O que vem a ser este Yi? Ora, ele surgiu de onde? Ele 
surgiu de uma transformação que nós fizemos, partindo dos valores dos Pontos Médios da 
variável original. Assim, poderemos chamar esse Yi de Ponto Médio Transformado. Ok? 
Percebam que, assim como o PM representava a variável original (Xi), o Ponto Médio 
Transformado (Yi) representará a variável original (que podemos chamar pelo mesmo nome: 
Yi). Ok? 
Adiante! 
5 
5 
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 Como próximo passo, construiremos a coluna do fi.Yi, e faremos imediatamente o seu 
somatório. 
Teremos: 
 
Classes fi PM ( )
10
5−PM
=Yi fi.Yi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
0 
1 
2 
3 
4 
0 
3 
16 
18 
4 
 
 Ora, se quiséssemos aplicar a fórmula da Média Aritmética para calcular o valor de X , 
faríamos: 
n
PMfi
X ∑= . . 
 E se quisermos aplicar esta fórmula para calcularmos a Média da variável transformada 
Yi? Como ficaria esta fórmula? Trocaríamos PM (Ponto Médio da variável original Xi) por Yi 
(Ponto Médio da variável transformada Yi). Teríamos: 
? 
n
Yifi
Y ∑= . 
Portanto, é esse o nosso próximo passo: calcular a média da variável transformada Y . 
Reparem que o numerador desta fórmula é o somatório da coluna que acabamos de 
construir. E que o denominador é n (número de elementos do conjunto), que será descoberto 
somando-se a coluna da fi (freqüência absoluta simples). Teremos: 
Classes fi PM ( )
10
5−PM
=Yi fi.Yi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
0 
1 
2 
3 
4 
0 
3 
16 
18 
4 
 n=20 41 
 
Daí: 
20
41=Y ? =Y 2,05 
Pergunta: será que esse valor (2,05) é a resposta da nossa questão? 
Claro que não! 2,05 é o valor da média da variáveltransformada! E não é isso que a 
questão pergunta! Estamos à procura da média da variável original ( X ). 
Assim, como próximo passo, faremos o desenho de transformação da variável. O que é 
isso? É um desenho que retrata a coluna de transformação da variável. Começamos assim: de 
um lado, temos a variável original Xi, e de outro, a variável transformada Yi. 
 
 
 Xi Yi 
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Percebam que esse desenho deverá ser um retrato fiel da coluna de transformação da 
variável. Nesta coluna, a variável original Xi está representada por PM, que é o Ponto Médio 
original. E o que foi feito a esse Ponto Médio original? Foram feitas duas operações 
matemáticas: primeiro subtraímos todos eles por 5; e depois, dividimos tudo por 10. Estão 
vendo isso, lá na coluna de transformação da variável? Pois bem! Essas são, neste nosso 
exemplo, as duas operações que transformaram a variável Xi na variável Yi. Teremos: 
 
 1º)-5 2º)÷10 
 
 Xi Yi 
 Compreendido como se desenhou este caminho de ida da transformação? Apenas 
repetindo as operações que constavam lá na coluna de transformação da variável. 
 Mas, e se agora quisermos desenhar o caminho de volta? Como se faria o retorno da 
variável transformada para a variável original? Basta invertermos as operações do 
caminho de ida. Assim, a operação inversa da subtração é a soma; e a operação inversa da 
divisão é a multiplicação. Teremos: 
 1º)-5 2º)÷10 
 
 Xi Yi 
 
 2º)+5 1º)x10 
 
 Verifiquem que inverteu-se também a seqüência das operações: onde terminou lá em 
cima, começou aqui em baixo. Viram isso? 
 Eu lhes digo que esse desenho não nos deixará errar a questão! E ele será empregado, 
além de no cálculo da Média, para trabalharmos várias outras medidas estatísticas, como 
Desvio Padrão, Variância e Coeficiente de Variação. Por isso eu insisto em ensiná-lo! 
 Foi difícil fazer o desenho de transformação da variável? Claro que não! 
 O que nos resta saber é que, partindo de um lado do desenho com um valor de Média, 
chegaremos ao lado oposto também com uma Média. 
 A título de adiantamento: se partirmos de um lado deste desenho com um valor de 
Desvio Padrão, chegaremos ao lado oposto também com Desvio Padrão; se partirmos de um 
lado deste desenho com Variância, chegaremos ao lado oposto também com Variância! 
 Pois bem! Qual foi a Média que já calculamos nesta resolução? Foi a Média da variável 
transformada: Y . E a variável transformada está no lado direito do desenho. Assim, temos: 
 1º)-5 2º)÷10 
 
 Xi Yi 
 
 2º)+5 1º)x10 
 
 Partindo desse lado direito com Média, chegaremos ao lado esquerdo com Média. Para 
tanto, precisaremos percorrer o caminho de volta (em vermelho), passando pelas operações 
desse caminho, e lembrando-nos das propriedades da Média. 
05,2=Y 
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 Numa frase: a Média é influenciada pelas quatro operações! 
 Ou seja, qualquer operação que surgir neste caminho de volta (seja de soma, 
subtração, produto ou divisão) nós teremos que realizar. Assim, teremos: 
 ? 2,05 x 10 = 20,5 
 E depois: 20,5 +5 = 25,5 
 
 Chegamos a: 
 1º)-5 2º)÷10 
 
 Xi Yi 
 
 2º)+5 1º)x10 
 
 Chegamos à nossa resposta: X =25,5. 
 Exatamente a mesma resposta a qual havíamos chegado na primeira solução! 
 Amigos, eu nem preciso de bola de cristal para adivinhar o que está se passando pela 
cabeça de muitos de vocês: esse professor está é louco, se acha que eu vou aprender esse tal 
de método da variável transformada! Eu vou é só aplicar a formulazinha convencional da 
Média, e pronto! 
 Acertei? Se você pensou assim, eu tenho uma má notícia a lhe dar: você não tem 
escolha! O uso do método da variável transformada se tornou, por assim dizer, praticamente 
uma obrigação! Mas por quê? Porque é o caminho do atalho! Aplicando este método, você, 
em sua prova, chegará à resposta da questão na metade do tempo do seu concorrente que 
preferir usar o método convencional. 
 Mas, professor, eu não achei o método convencional demorado! Claro que não! Mas 
você viu os valores que eu usei para serem os limites das classes? Você viu os valores que eu 
usei para serem as freqüências absolutas simples? Todos valores baixos e redondos! 
 Na sua prova não vai vir assim! Na sua prova, será mais ou menos desse jeito: 
Classes fi 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
 E aí? Vai encarar? Quer tentar o método convencional, aplicando a fórmula do X ? 
 Vamos tentar! 
 1º) Construir a coluna dos Pontos Médios; 
 2º) Construir a coluna do fi.PM. 
 3º) Aplicar a fórmula: 
n
PMfi
X ∑= . 
 
05,2=Y X =25,5 
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 Seguindo esses três passos, teremos o seguinte: 
 
 
 
 
Classes fi PM fi.PM 
29,5-39,5 4 34,5 138 
39,5-49,5 8 44,5 356 
49,5-59,5 14 54,5 763 
59,5-69,5 20 64,5 1290 
69,5-79,5 26 74,5 1937 
79,5-89,5 18 84,5 1521 
89,5-99,5 10 94,5 945 
 n=100 6.950 
 
 E aí, colega? O que você achou dessas continhas? 
 Daí: 5,69
100
6950 ==X ? Resposta! 
 Ocorre que, quando você ainda estivesse na metade da resolução, eu aqui já teria feito 
o seguinte: 
 1º) Descoberto o valor do primeiro ponto médio: 
Classes fi PM 
29,5-39,5 4 34,5 
39,5-49,5 8 . 
49,5-59,5 14 . 
59,5-69,5 20 . 
69,5-79,5 26 . 
79,5-89,5 18 . 
89,5-99,5 10 . 
 n=100 
 
 2º) Construído a coluna de transformação da variável: 
Classes fi PM ( ) YiPM =−
10
5,34
 
29,5-39,5 4 34,5 0 
39,5-49,5 8 . 1 
49,5-59,5 14 . 2 
59,5-69,5 20 . 3 
69,5-79,5 26 . 4 
79,5-89,5 18 . 5 
89,5-99,5 10 . 6 
 n=100 
 
 3º) Construído a coluna fi.Yi: 
Classes fi PM ( ) YiPM =−
10
5,34
 fi.Yi 
29,5-39,5 4 34,5 0 0 
39,5-49,5 8 . 1 8 
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49,5-59,5 14 . 2 28 
59,5-69,5 20 . 3 60 
69,5-79,5 26 . 4 104 
79,5-89,5 18 . 5 90 
89,5-99,5 10 . 6 60 
 n=100 350 
 
 4º) Calculado a Média da Variável Transformada: Y 
 ? 5,3
100
350 ==Y 
 
 5º) Desenhado como se deu a transformação da variável: 
 1º)-34,5 2º)÷10 
 
 Xi Yi 
 
 2º)+34,5 1º)x10 
 
 6º) Percorrido o caminho de volta, partindo do valor já calculado do Y , e chegado à 
resposta: 
 ? 3,5 x 10 = 35 e 35 + 34,5 = 69,5 ? Resposta! 
 
 Acreditem: seu concorrente ainda estará na metade daquelas contas escabrosas! 
 E tanto mais rápido será a sua resolução pelo método da variável transformada, quanto 
mais você treiná-lo em sua casa! 
 Tenha a certeza de que, a cada vez que você repetir o uso deste método alternativo, 
sua resolução se tornará mais e mais acelerada! Chegará ao ponto de você ficar realmente 
surpreso com sua própria velocidade! (Essa tabela acima foi extraída do AFRF 2002-2). 
 Ok? 
 Penso que por hoje já está de bom tamanho! 
 Vou deixar um Dever de Casa bem caprichado para vocês, e na próxima aula 
trabalharemos os conceitos de Moda e de Mediana. 
 Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! 
 Na seqüência,as questões do nosso... 
... Dever de Casa 
 
10. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o 
desvio-padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 
10%. O salário médio passou a ser de: 
a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00 
b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00 
c) $ 95.000,00 
 
 
(TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir: 
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Xi fi 
2 |— 4 
4 |— 6 
6 |— 8 
8 |— 10 
10|— 12 
9 
12 
6 
2 
1 
 
11. A média da distribuição é igual a: 
a) 5,27 b) 5,24 c) 5,21 d) 5,19 e) 5,30 
 
 
(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüência
s 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(Xi) 
diXi =−
5
37 
fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4
19,5 |— 24,5 
24,5 |— 29,5 
29,5 |— 34,5 
34,5 |— 39,5 
39,5 |— 44,5 
44,5 |— 49,5 
49,5 |— 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
— 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
— 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
— 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
— 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
— 
18 
192 
567 
Total 16 206 154 1106 
 
12. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 
1º/1/90. 
a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e)39,0 
anos 
 
Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa 
continua o mesmo em 1º/1/96. 
 
13. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 
1º/1/96. 
a) 37,4 anos d) 43,8 anos 
b) 39,0 anos e) 44,6 anos 
c) 43,4 anos 
 
(AFRF-2000) Para efeito da próxima questão faça uso da tabela de freqüências 
abaixo. 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 
14. Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. 
Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com 
base na distribuição de freqüências. 
a) 9,93 d) 10,00 
b) 15,00 e) 12,50 
c) 13,50 
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(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse 
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
15. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
a) 140,10 d) 140,00 
b) 115,50 e) 138,00 
c) 120,00 
 
 
(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duas 
próximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 
1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de 
Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
16. Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o 
departamento de fiscalização da Cia. X. 
a) 70,0 d) 74,4 
b) 69,5 e) 60,0 
c) 68,0 
 
 
(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução da próxima 
questão utilize o enunciado que segue. 
 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário 
mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 
funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes 
salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao 
percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
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Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
17. Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a 
partir de dados agrupados. 
a) 11,68 d) 16,00 
b) 13,00 e) 14,00 
c) 17,21 
 
 
A próxima questão diz respeito à distribuição de freqüências seguinte associada 
ao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classe
s 
Freqüências 
Simples 
0-10 120 
10-20 90 
20-30 70 
30-40 40 
40-50 20 
 
18. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá, aproximadamente, a média 
amostral de X 
a) 25,00 b) 17,48 c) 18,00 d) 17,65 e) 19,00 
 
 
 
 Bons estudos!