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ESTATISTICA REGULAR 4

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Classes fi PM fi.PM 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
15 
25 
35 
45 
10 
45 
200 
210 
45 
 n=20 510 
 
 Finalmente, aplicando a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuição de 
Freqüências, teremos: 
 ? 
n
PMfi
X ∑= . ? ? 
20
510=X ? X =25,5 ? Resposta! 
 
 Fácil, não? Pode ficar mais fácil ainda! Antes de eu lhes apresentar um método 
alternativo para cálculo da média de uma distribuição de freqüências, convém que lhes fale 
acerca de algumas propriedades da Média. 
 
# Algumas Propriedades da Média Aritmética: 
 Considere o seguinte conjunto original (um rol): {1, 2, 3, 4, 5} 
 Qual é a média deste conjunto? Teremos: (1+2+3+4+5)/5=15/5 ? X =3 
 E se agora tomarmos cada elemento (Xi) daquele conjunto original, e resolvermos 
adicionar cada um deles à constante 10, por exemplo. O que teremos? Ora, teremos um novo 
conjunto: {11, 12, 13, 14, 15}. Concordam? 
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 Assim, já não mais estamos diante daquela variável original, e sim de uma variável 
transformada! Transformada por meio de quê? De uma operação de soma! 
 E qual é a Média desse novo conjunto (dessa nova variável)? Façamos as contas: 
(11+12+13+14+15)/5=65/5 ? X =13. 
 Ora, nem precisaríamos ter feito essa conta! Pois existe uma propriedade que diz: 
somando-se todos os elementos do conjunto com uma constante, a Média do novo conjunto 
será igual à Média do conjunto original também somada com aquela mesma constante! 
 Foi verdade isso? Sim. A Média do conjunto original era X =3. Nós somamos cada 
elemento do conjunto original com constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a média 
anterior (3) somada também à constante 10. Ou seja, a nova Média será 13. 
 E se serve para soma, serve também para subtração! 
 Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original será multiplicado pela 
constante 10. Ok? O que ocorrerá àquele conjunto? Será transformado em outro. Passaremos 
a ter: {10, 20, 30, 40, 50}. 
 Não se trata mais da variável original e sim de uma variável transformada! 
Transformada por quem? Por uma operação de multiplicação! Calculando a média do novo 
conjunto, teremos: (10+20+30+40+50)/5=150/5 ? X =30. 
 E nem precisaríamos ter feito este cálculo, pois existe uma propriedade da Média que 
diz: multiplicando-se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova Média 
será igual à média anterior também multiplicada pela mesma constante! 
 Senão, vejamos: a média do conjunto original era X =3. Nós multiplicamos cada 
elemento do conjunto original pela constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a média 
anterior (3) multiplicada também pela constante 10. Ou seja, a nova Média será 30. 
 E se serve para produto, serve também para divisão! 
 Para melhorar a nossa vida e a nossa memorização, resumiremos essas propriedades 
todas em uma única (e pequena) frase: 
A MÉDIA É INFLUENCIADA PELAS QUATRO OPERAÇÕES! 
 Ok? É essa a frase que deve ficar guardada em nossa memória! 
 Agora, sim, posso passar a explicar o método da Variável Transformada! 
 Retomemos o nosso exemplo já trabalhado: 
Exemplo 1 – Solução Alternativa) A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de 
crianças. Obtenha o peso médio desse conjunto. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classes 
(em Kg) 
fi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
 
 Uma consideração inicial: este método alternativo para cálculo da Média Aritmética de 
uma Distribuição de Freqüências, chamado Método da Variável Transformada, só será aplicado, 
da forma como aprenderemos aqui, se todas as classes da Distribuição tiverem a mesma 
amplitude! 
 Assim, essa será a nossa preocupação inicial: verificar se todas as classes tem a mesma 
amplitude. Se for o caso, prosseguiremos com o método alternativo. Senão, resolveremos a 
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questão da forma convencional, aplicando a fórmula da Média para uma distribuição de 
freqüências, como foi feito na primeira solução deste exemplo. 
 No nosso caso, temos que todas as classes possuem a mesma amplitude (h=10). 
Assim, poderemos (e deveremos!) utilizar o Método da Variável Transformada. Façamos um 
passo a passo. 
1º) Construiremos a coluna dos Pontos Médios! (A rigor, basta conhecermos o valor do 
primeiro ponto médio). Teremos: 
Classes fi PM 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
 
2º) Construiremos uma coluna de transformação da variável. Convém que sigamos a seguinte 
sugestão para construir esta coluna: 
( )
h
PMPM 01−
. 
 Ou seja: Ponto Médio menos o primeiro Ponto Médio, e tudo isso dividido pela 
amplitude da classe. Construindo essa coluna, teremos: 
Classes fi PM ( )
10
....−PM
=Yi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
 
 
 Se vocês seguirem esta minha sugestão para construir a coluna de transformação da 
variável [(PM-1ºPM)/amplitude da classe], então não será preciso perder um segundo 
sequer para calcular os valores dessa coluna. Basta começar por zero e seguir adiante (0, 1, 2, 
3 etc), até onde houver classe! Teremos: 
Classes fi PM ( )
10
....−PM
=Yi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 Vai ser sempre assim, professor? Vai! Desde que, repito, você aceite aquela minha 
sugestão! 
Uma observação: vocês viram que eu chamei o resultado dessa coluna de 
transformação da variável de Yi. Viram? O que vem a ser este Yi? Ora, ele surgiu de onde? Ele 
surgiu de uma transformação que nós fizemos, partindo dos valores dos Pontos Médios da 
variável original. Assim, poderemos chamar esse Yi de Ponto Médio Transformado. Ok? 
Percebam que, assim como o PM representava a variável original (Xi), o Ponto Médio 
Transformado (Yi) representará a variável original (que podemos chamar pelo mesmo nome: 
Yi). Ok? 
Adiante! 
5 
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 Como próximo passo, construiremos a coluna do fi.Yi, e faremos imediatamente o seu 
somatório. 
Teremos: 
 
Classes fi PM ( )
10
5−PM
=Yi fi.Yi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
0 
1 
2 
3 
4 
0 
3 
16 
18 
4 
 
 Ora, se quiséssemos aplicar a fórmula da Média Aritmética para calcular o valor de X , 
faríamos: 
n
PMfi
X ∑= . . 
 E se quisermos aplicar esta fórmula para calcularmos a Média da variável transformada 
Yi? Como ficaria esta fórmula? Trocaríamos PM (Ponto Médio da variável original Xi) por Yi 
(Ponto Médio da variável transformada Yi). Teríamos: 
? 
n
Yifi
Y ∑= . 
Portanto, é esse o nosso próximo passo: calcular a média da variável transformada Y . 
Reparem que o numerador desta fórmula é o somatório da coluna que acabamos de 
construir. E que o denominador é n (número de elementos do conjunto), que será descoberto 
somando-se a coluna da fi (freqüência absoluta simples). Teremos: 
Classes fi PM ( )
10
5−PM
=Yi fi.Yi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
. 
. 
. 
. 
0 
1 
2 
3 
4 
0 
3 
16 
18 
4 
 n=20 41 
 
Daí: 
20
41=Y ? =Y 2,05 
Pergunta: será que esse valor (2,05) é a resposta da nossa questão? 
Claro que não! 2,05 é o valor da média da variável