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CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 3 AULA 05 Olá, amigos! Tudo bem com vocês? E tudo bem com os estudos? Espero que sim! Demos início aos trabalhos, comentando as questões pendentes do nosso... ... Dever de Casa 10. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio-padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O salário médio passou a ser de: a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00 b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00 c) $ 95.000,00 Sol.: Eis aqui uma questão bastante simples, e que explora uma das propriedades da Média! Senão, vejamos: é dito pelo enunciado que o salário médio era de $90.000,00. Já sabemos que o salário médio corresponde à média dos salários! Após, fala-se que todos os salários – leia-se: todos os elementos do conjunto – receberam um aumento de 10%. Ora, nosso trabalho será um só: traduzir esta informação! Teremos que traduzi-la, obviamente, para uma operação matemática! Aumentar um valor em 10% significa uma operação de quê? Soma? Produto? Quem me diz? Ora, se você na hora da prova ficar na dúvida, basta fazer um teste: trabalhe com salários originais de cem, duzentos e trezentos reais, e veja no que resulta um aumento de dez por cento: ? R$100,00, com aumento de 10% vai para: R$110,00 ? R$200,00, com aumento de 10% vai para: R$220,00 ? R$300,00, com aumento de 10% vai para: R$330,00 Ora, qual é a mesma operação matemática que fará com que R$100 vire R$110; R$200 vire R$220; e R$300 vire R$330? Resposta: multiplicar por 1,10. Assim, podemos convencionar: aumento de x% significa um produto por (1,x). Outras conclusões: ? Se o aumento fosse de 20%: produto por 1,20. ? Se o aumento fosse de 30%: produto por 1,30. ? Se o aumento fosse de 5%: produto por 1,05. Por outro lado, se a informação adicional fosse: ? Redução de 10%: produto por 0,90. (já que 1-0,10=0,90) ? Redução de 20%: produto por 0,80. (já que 1-0,20=0,80) ? Redução de 5%: produto por 0,95. (já que 1-0,05=0,95). E assim por diante! Entendido? Voltando à nossa questão: se todos os elementos do conjunto sofreram um aumento de 10%, ou seja, se todos eles foram multiplicados por 1,10, teremos que, de acordo com a propriedade, a nova Média do conjunto será igual à Média anterior também multiplicada pela mesma constante (1,10). Daí: ? Nova Média = 90.000 x 1,10 = 99.000,00 ? Resposta! CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 4 (TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir: Xi fi 2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8 8 |— 10 10|— 12 9 12 6 2 1 11. A média da distribuição é igual a: a) 5,27 b) 5,24 c) 5,21 d) 5,19 e) 5,30 Sol.: Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências! Vamos, por primeiro, investigar se é fato que todas as classes têm a mesma amplitude. É fato? Sim! Logo, concluímos: podemos usar o Método da Variável Transformada para calcular a Média do conjunto! Não vamos perder essa oportunidade de treinar o método! Vamos a ele: 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Xi fi PM 2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8 8 |— 10 10|— 12 9 12 6 2 1 3 . . . . 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Xi fi PM ( ) YiPM =− 2 3 2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8 8 |— 10 10|— 12 9 12 6 2 1 3 . . . . 0 1 2 3 4 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Xi Fi PM ( ) YiPM =− 2 3 fi.Yi 2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8 8 |— 10 10|— 12 9 12 6 2 1 3 . . . . 0 1 2 3 4 0 12 12 6 4 n=30 34 4º) Calcular a média da variável transformada: Y ? 133,1 30 34 ==Y 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 5 1º)-3 2º)÷2 Xi Yi 2º)+3 1º)x2 ? 1,133 x 2 = 2,266 e 2,266 + 3 = 5,266 ≅ 5,27 ? Resposta! (AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 Classes de Idades (anos) Freqüência s (fi) Pontos Médios (Xi) diXi =− 5 37 fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4 19,5 |— 24,5 24,5 |— 29,5 29,5 |— 34,5 34,5 |— 39,5 39,5 |— 44,5 44,5 |— 49,5 49,5 |— 54,5 2 9 23 29 18 12 7 22 27 32 37 42 47 52 -3 -2 -1 — 1 2 3 -6 -18 -23 — 18 24 21 18 36 23 — 18 48 63 -54 -72 -23 — 18 96 189 162 144 23 — 18 192 567 Total 16 206 154 1106 12. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e)39,0 anos Sol.: Esta questão é muito interessante! Uma questão para se aprender bastante! E de resolução quase imediata, conforme veremos. Primeira coisa: as classes têm mesma amplitude? Sim! Logo, usaremos o método da variável transformada para encontrar a Média. Qual o primeiro passo deste método? Encontrar os Pontos Médios! A tabela fornecida na prova já fez isso para nós? Sim. Este passo já está cumprido! E depois, o que faríamos nós? Construiríamos uma coluna de transformação da variável. A questão já fez isso para nós? Sim! A quarta coluna desta tabela é uma coluna de transformação! O detalhe é que ele, elaborador, na hora de construir essa coluna de transformação, não adotou aquela sugestão que nós demos na aula passada [(PM-1ºPM)/h]. Mas não tem problema! Se a questão já nos trouxe pronta uma transformação da variável, nós simplesmente a aceitaremos! Não importa se essa transformação não segue a sugestão que aprendemos anteriormente. Essa sugestão você poderá (e deverá) usar quando for você a construir a coluna de transformação! Entendido? Assim, a coluna de transformação já está pronta, e o Ponto Médio transformado foi chamado de di pela prova. Nosso próximo passo seria construir a coluna fi.Yi. No caso, como a prova chamou a variável transformada de di, teríamos que construir a coluna fi.di e encontrar o seu somatório! Mas a tabela também já fez esse trabalho para nós! Que maravilha! Já pegamos o bonde andando, e a viagem já está quase toda completa! Vamos apenas complementar nosso trabalho com os passos restantes do método! 133,1=Y CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 6 Próximo passo: calcular a Média da Variável Transformada (d ). Considerando que n=100, valor esse obtido pela soma da coluna do fi, teremos: ? 16,0 100 16 ==di Finalmente, faremos o desenho de transformação da variável e, percorrendo o caminho de volta, descobriremos a resposta: 1º)-37 2º)÷5 Xi di 2º)+37 1º)x5 ? 0,16 x 5 = 0,8 e 0,8 + 37 = 37,8 ? Resposta! Observem que, acima da tabela, está escrito que essas idades correspondem à data de 1º/janeiro/1990. Ok? Isso precisará ser lembrado na resolução da próxima questão! Vamos a ela. Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 13. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 37,4 anos d) 43,8 anosb) 39,0 anos e) 44,6 anos c) 43,4 anos Sol.: Essa é de graça! Ora, se a Média das idades no dia 1º/janeiro/1990 foi de 37,8 anos (resposta da questão anterior), e se foi dito que as pessoas daquele conjunto anterior são exatamente as mesmas, só que seis anos mais velhas, iremos concluir que os elementos do nosso novo conjunto (as novas idades) foram todos adicionados à constante seis. Concordam? Assim, aplicando a propriedade da Média, teremos que: ? Nova Média = Média Anterior + constante ? Nova Média = 37,8 + 6 = 43,8 ? Resposta! (AFRF-2000) Para efeito da próxima questão faça uso da tabela de freqüências abaixo. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 16,0=d CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 7 14. Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 d) 10,00 b) 15,00 e) 12,50 c) 13,50 Sol.: Aqui temos mais uma questão a ser trabalhada com o Método da Variável Transformada! Porém, antes, teremos que realizar o trabalho preliminar que aprendemos no início deste Curso, com o intuito de descobrir os valores da coluna da fi (freqüência absoluta simples). Vemos, facilmente, que não há nenhum sinal indicativo de freqüência relativa nesta tabela (nem no enunciado). Assim, a freqüência fornecida é absoluta! E será acumulada porque o enunciado está dizendo isso expressamente. Ora, para saber se é acumulada crescente ou decrescente, basta verificarmos os valores da coluna, para enfim concluirmos que estamos diante da freqüência absoluta acumulada crescente (fac). O trabalho preliminar necessário para construirmos a coluna da fi já é nosso conhecido, de sorte que, sem mais demoras, teremos: Classes de Salário fac fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 ( 9 ; 12] 50 20 (12 ; 15] 60 10 (15 ; 18] 65 5 (18 ; 21] 68 3 E agora, sim, aplicaremos o método da variável transformada. Teremos: 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes de Salário fac fi PM ( 3 ; 6] 12 12 4,5 ( 6 ; 9] 30 18 . ( 9 ; 12] 50 20 . (12 ; 15] 60 10 . (15 ; 18] 65 5 . (18 ; 21] 68 3 . 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes de Salário fac fi PM ( ) YiPM =− 3 5,4 ( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 ( 6 ; 9] 30 18 . 1 ( 9 ; 12] 50 20 . 2 (12 ; 15] 60 10 . 3 (15 ; 18] 65 5 . 4 (18 ; 21] 68 3 . 5 CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 8 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes de Salário fac fi PM ( ) YiPM =− 3 5,4 fi.Yi ( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 0 ( 6 ; 9] 30 18 . 1 18 ( 9 ; 12] 50 20 . 2 40 (12 ; 15] 60 10 . 3 30 (15 ; 18] 65 5 . 4 20 (18 ; 21] 68 3 . 5 15 n=68 123 4º) Calcular a média da variável transformada: Y ? 81,1 30 34 ==Y 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-4,5 2º)÷3 Xi Yi 2º)+4,5 1º)x3 ? 1,81 x 3 = 5,43 e 5,43 + 4,5 = 9,93 ? Resposta! (AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100 15. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. a) 140,10 d) 140,00 b) 115,50 e) 138,00 c) 120,00 Sol.: Nova questão para aplicarmos o Método da Variável Transformada! Aqui, novamente, o único diferencial é que precisaremos novamente cumprir o ritual do trabalho preliminar! Já trabalhamos, inclusive, com esta tabela. Teremos: 81,1=Y CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 9 Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10 100% n=200 (x2) E somente agora estamos aptos a iniciar a aplicação do método da variável transformada. Teremos: 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes Fac Fi fi PM 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 . 110-130 40% 25% 50 . 130-150 70% 30% 60 . 150-170 85% 15% 30 . 170-190 95% 10% 20 . 190-210 100% 5% 10 . 100% n=200 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM =− 20 80 70-90 5% 5% 10 80 0 90-110 15% 10% 20 . 1 110-130 40% 25% 50 . 2 130-150 70% 30% 60 . 3 150-170 85% 15% 30 . 4 170-190 95% 10% 20 . 5 190-210 100% 5% 10 . 6 n=200 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM =− 20 80 fi.Yi 70-90 5% 5% 10 80 0 0 90-110 15% 10% 20 . 1 20 110-130 40% 25% 50 . 2 100 130-150 70% 30% 60 . 3 180 150-170 85% 15% 30 . 4 120 170-190 95% 10% 20 . 5 100 190-210 100% 5% 10 . 6 60 n=200 580 CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 10 4º) Calcular a média da variável transformada: Y ? 9,2 200 580 ==Y 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-80 2º)÷20 Xi Yi 2º)+80 1º)x20 ? 2,9 x 20 = 58,0 e 58,0 + 80 = 138 ? Resposta! (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duas próximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 – 39,5 2 39,5 – 49,5 6 49,5 – 59,5 13 59,5 – 69,5 23 69,5 – 79,5 36 79,5 – 89,5 45 89,5 – 99,5 50 16. Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X. a) 70,0 d) 74,4 b) 69,5 e) 60,0 c) 68,0 Sol.: A coluna de freqüências apresentada nesta Distribuição foi, mais uma vez, a da freqüência absoluta acumulada crescente – fac. Precisamos, assim, realizar o trabalho preliminar, a fim de construir a coluna da fi – freqüência absoluta simples. Teremos: Classes Fac fi 29,5 – 39,5 2 2 39,5 – 49,5 6 4 49,5 – 59,5 13 7 59,5 – 69,5 23 10 69,5 – 79,5 36 13 79,5 – 89,5 45 9 89,5 – 99,5 50 5 Agora, considerando que todas as classes têm mesma amplitude (h=10), aplicaremos o método da Variável Transformada. Teremos: 9,2=Y CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 111º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes fac fi PM 29,5 – 39,5 2 2 34,5 39,5 – 49,5 6 4 . 49,5 – 59,5 13 7 . 59,5 – 69,5 23 10 . 69,5 – 79,5 36 13 . 79,5 – 89,5 45 9 . 89,5 – 99,5 50 5 . 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes Fac fi PM ( ) YiPM =− 10 5,34 29,5 – 39,5 2 2 34,5 0 39,5 – 49,5 6 4 . 1 49,5 – 59,5 13 7 . 2 59,5 – 69,5 23 10 . 3 69,5 – 79,5 36 13 . 4 79,5 – 89,5 45 9 . 5 89,5 – 99,5 50 5 . 6 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes fac Fi PM ( ) YiPM =− 10 5,34 fi.Yi 29,5 – 39,5 2 2 34,5 0 0 39,5 – 49,5 6 4 . 1 4 49,5 – 59,5 13 7 . 2 14 59,5 – 69,5 23 10 . 3 30 69,5 – 79,5 36 13 . 4 52 79,5 – 89,5 45 9 . 5 45 89,5 – 99,5 50 5 . 6 30 N=50 175 4º) Calcular a média da variável transformada: Y ? 5,3 50 175 ==Y 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-34,5 2º)÷10 Xi Yi 2º)+34,5 1º)x10 ? 3,5 x 10 = 35,0 e 35,0 + 34,5 = 69,5 ? Resposta! 5,3=Y CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 12 (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100 17. Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a partir de dados agrupados. a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00 Sol.: Vamos mais essa! O enunciado disse que a coluna de freqüências fornecida nesta tabela é a Fac, freqüência relativa acumulada crescente. Descobrimos que é uma freqüência relativa porque foi usada a palavra percentual. Sabemos que o tipo de freqüência que expressa valores percentuais é a freqüência relativa. E concluímos que é acumulada por dois motivos: a Fac termina sempre com 100%; e o enunciado ainda disse isso expressamente! Assim, antes de aplicarmos o método da variável transformada para cálculo da Média, teremos que fazer o trabalho preliminar, a fim de chegarmos à coluna da freqüência absoluta simples – fi. Teremos: Classes Fac Fi fi 4 – 8 20% 20% 40 8 – 12 60% 40% 80 12 – 16 80% 20% 40 16 – 20 98% 18% 36 20 – 24 100% 2% 4 100% n=200 Agora, sim, já podemos aplicar o método da variável transformada. Façamos isso! 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes Fac Fi fi PM 4 – 8 20% 20% 40 6 8 – 12 60% 40% 80 . 12 – 16 80% 20% 40 . 16 – 20 98% 18% 36 . 20 – 24 100% 2% 4 . 100% n=200 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM =− 4 6 4 – 8 20% 20% 40 6 8 – 12 60% 40% 80 . 12 – 16 80% 20% 40 . 16 – 20 98% 18% 36 . 20 – 24 100% 2% 4 . 100% n=200 CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 13 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM =− 4 6 fi.Yi 4 – 8 20% 20% 40 6 0 0 8 – 12 60% 40% 80 . 1 80 12 – 16 80% 20% 40 . 2 80 16 – 20 98% 18% 36 . 3 108 20 – 24 100% 2% 4 . 4 16 100% n=200 284 4º) Calcular a média da variável transformada: Y ? 42,1 200 284 ==Y 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-6 2º)÷4 Xi Yi 2º)+6 1º)x4 ? 1,42 x 4 = 5,68 e 5,68 + 6 = 11,68 ? Resposta! A próxima questão diz respeito à distribuição de freqüências seguinte associada ao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências Simples 0-10 120 10-20 90 20-30 70 30-40 40 40-50 20 18. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá, aproximadamente, a média amostral de X a) 25,00 b) 17,48 c) 18,00 d) 17,65 e) 19,00 Sol.: Essa tabela nos traz uma lição importante! Olhem para os valores da coluna de freqüências que foi trazida na tabela. Os valores estão todos decrescentes, não é verdade? E ainda assim, estamos diante de uma coluna de freqüência simples (fi). Ou seja, não é pelo mero fato de as freqüências estarem sempre diminuindo, que estaremos diante de uma freqüência acumulada decrescente; assim como não será acumulada crescente pelo mero fato de as freqüências estarem aumentando! Se não for dito que a freqüência é acumulada, resta que será freqüência simples! 42,1=Y CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 14 Pois bem! Se já estamos diante da freqüência absoluta simples e se é fato que todas as classes têm a mesma amplitude, estamos aptos a aplicar o método da variável transformada para descobrir o valor da Média do conjunto. Fazendo isso, teremos: 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes fi PM 0-10 120 5 10-20 90 . 20-30 70 . 30-40 40 . 40-50 20 . 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes fi PM ( ) YiPM =− 10 5 0-10 120 5 0 10-20 90 . 1 20-30 70 . 2 30-40 40 . 3 40-50 20 . 4 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes fi PM ( ) YiPM =− 10 5 fi.Yi 0-10 120 5 0 0 10-20 90 . 1 90 20-30 70 . 2 140 30-40 40 . 3 120 40-50 20 . 4 80 n=340 430 4º) Calcular a média da variável transformada: Y ? 265,1 340 430 ==Y 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-5 2º)÷10 Xi Yi 2º)+5 1º)x10 ? 1,265 x 10 = 12,65 e 12,65 + 5 = 17,65 ? Resposta! 265,1=Y CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 15 Passemos agora a mais teoria! Ainda não terminamos o estudo das propriedades da Média. Vamos fazer isso agora! # Outras Propriedades da Média: Vejamos logo duas propriedades irmãs: ? A soma dos desvios dos elementos do conjunto em torno da Média é igual a zero! Como é isso? Vamos considerar o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5} Qual é a Média desse conjunto? Faremos (1+2+3+4+5)/5=15/5 ? X =3. Pois bem! O que construiremos agora é o conjunto dos desvios! Desvio é sinônimo de diferença. Daí, vamos construir o conjunto formado pela diferença entre cada elemento Xi do conjunto original e a Média. Teremos: ? (Xi- X ) = {(1-3), (2-3), (3-3), (4-3), (5-3)} ? (Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2} Fazendo o somatório dos desvios em torno da média, teremos: ? ∑(Xi- X ) = {(-2)+(-1)+(0)+(1)+(2)}=0 Enfim, esse é o resumo da propriedade: ∑(Xi- X ) = 0 De uma forma resumida, memorizaremos: A soma dos desvios é zero! Só isso! Esta propriedade poderá ser objeto de uma questão teórica, como já foi, em provas mais antigas. ? A soma dos quadrados dos desvios dos elementos do conjunto em torno da Média é um valor mínimo!Essa é de compreensão menos imediata. Mas igualmente fácil. Tomemos novamente o conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}. Já sabemos que a Média é 3. Assim, tomando a média 3 como referência, e construindo o conjunto dos desvios em torno da média, teremos: ? (Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2} Agora, se elevarmos cada um desses valores ao quadrado, teremos: ? (Xi- X )2 = {-22, -12, 02, 12, 22} = {4, 1, 0, 1, 4} Fazendo o somatório dos quadrados dos desvios, teremos: ? ∑(Xi- X )2 = {4+1+0+1+4}=10 ? Este é um valor mínimo! Mínimo por quê? Porque encontraríamos um valor maior que 10, caso percorrêssemos todo esse mesmo trajeto, tendo partido do conjunto dos desvios em torno de uma origem qualquer diferente da Média. Entenderam? Ainda não? Então, escolham um valor qualquer diferente da Média (3) do conjunto. Qualquer valor serve! Pode ser o 2, então? Ok! Lembrem-se que 2 não é a Média do conjunto! Comecemos. Vamos construir o conjunto dos desvios, em torno dessa origem 2. Teremos: ? (Xi-2) = {(1-2),(2-2), (3-2), (4-2), (5-2)} = {-1, 0, 1, 2, 3} Construindo os quadrados desses desvios, teremos: CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 16 ? (Xi-2)2 = {-12, 02, 12, 22, 32} = {1, 0, 1, 4, 9} Fazendo o somatório dos quadrados desses desvios, teremos: ? ∑(Xi-2)2 = {1+0+1+4+9}=15 ? E 15 é maior que 10. Por quê? Porque 10 é um valor mínimo! Ficou compreendido? Professor, como é que essas duas propriedades podem ser cobradas numa prova? Basicamente, numa questão teórica. Nas provas mais antigas, nos idos dos anos noventa, era muito comum a presença de questões mais conceituais. Hoje, são questões mais raras, embora nada impeça de você se deparar com uma delas! Então, resumindo essas duas propriedades irmãs, teremos: ? A soma dos desvios é igual a zero! ? A soma dos quadrados dos desvios é um valor mínimo! É isso! Há ainda outra propriedade importante da Média que precisamos conhecer: ? A Média das Médias: Essa propriedade tratará de uma situação em que haverá alguns conjuntos menores. Para cada um desses conjuntos menores, a questão fornecerá o valor do seu número de elementos, e o valor da sua Média. Assim, supondo que estejamos trabalhando com apenas dois conjuntos menores (A e B), teremos, como dados da questão, os seguintes: ? conjunto A: número de elementos do conjunto A (nA) Média dos elementos do conjunto A ( AX ) ? conjunto B: número de elementos do conjunto B (nB) Média dos elementos do conjunto B ( BX ) O que nos irá perguntar a questão da prova? Irá nos perguntar o seguinte: se juntarmos todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, e os unirmos em um só conjunto maior, qual será a Média desse conjunto global? Responderemos a esta pergunta usando a seguinte fórmula: ( ) ( )[ ] ( )BA BBAA GLOBAL nn XnXnX + += .. Trata-se de uma das questões mais fáceis da prova, pois se resume a aplicar a fórmula acima. Faz-se o copiar-colar e chega-se à resposta! Ok? Virão duas questões que exploram o conhecimento desta propriedade no dever de casa que deixarei nesta aula de hoje. Existe ainda uma informação acerca da Média, e que às vezes, inclusive, é tratada como uma propriedade, que diz o seguinte: ? A Média é influenciada por valores extremos! O que quer dizer isso? Vejamos o conjunto abaixo: ? {1, 2, 3, 4, 5} A média desse conjunto, já fizemos esse cálculo hoje, é igual a 3. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 17 E se trocarmos o valor extremo 5 por, digamos, 500? Teremos: ? {1, 2, 3, 4, 500} A média desse novo conjunto será, feitos os cálculos, igual 102. Houve um grande salto, não é verdade? Sim! E por quê? Porque a média é influenciada pelos valores extremos! Essa propriedade costumava ser mais exigida para efeitos comparativos com outras medidas estatísticas, como Moda e Mediana. Assim, mais adiante, voltaremos a falar sobre ela. Ok? Pois bem! Acho que agora já podemos passar a falar na segunda medida de tendência central: a Moda! # MODA: Mo Esse é um dos assuntos prediletos das alunas! Qualquer concurseira de respeito sabe que Moda é aquilo que está em evidência. É isso mesmo? Assim na vida, assim na Estatística. Moda, em sentido estatístico, será aquele elemento que mais aparece no conjunto! Só isso! Nada mais fácil! Vamos aprender a reconhecer a moda de um rol, de dados tabulados e de uma distribuição de freqüências. Vamos lá. ? Moda do Rol: Analise o conjunto abaixo, e me diga qual é o elemento que se sobressai aos demais: {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 10} Facilmente se vê que o elemento de maior freqüência, aquele que mais aparece no conjunto, é o elemento Xi=3,0. Está terminado! A Moda desse conjunto é 3. Diremos: Mo=3. E não se fala mais nisso! Vocês acham, sinceramente, que a Esaf iria colocar uma questão como essa em prova? Quem pensou que não errou! Confira a questão abaixo, extraída do AFRF-1998: (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal. a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 9 Sol.: Vejam que o conjunto foi apresentado na forma de um rol. E seus elementos representam preços. Daí, a questão pede que se calcule o preço modal. Se os elementos representassem salários, a questão pediria o salário modal. Se os elementos representassem pesos, a questão pediria o peso modal. Se representassem idades, a idade modal. E assim por diante! Pois bem! Aqui, usaremos a técnica milenar do dedo. Basta colocar o dedo em cima dos elementos do conjunto, e contar, para descobrir aquele que aparece mais vezes que os demais! Conclusão: o elemento Xi=8 é o que mais aparece. É aquele de maior freqüência. Logo, é a Moda desse conjunto e a resposta da questão! E acreditem: isso valeu um ponto numa prova de Auditor-Fiscal da Receita Federal. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 18 Isso corrobora a minha tese de que nem só de questões difíceis se faz uma prova! Também existem as fáceis, as muito fáceis, as facílimas, e as estupidamente bestas! E essas nós não podemos errar, nem em pesadelo. Pois bem. Mais algumas informações: ? Se o conjunto apresenta uma só moda, será dito conjunto modal. Mas, considere o rol abaixo: {1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 10} Quem é a moda desse conjunto? Não é apenas uma, mas são duas: o elemento 2 e o elemento 7. Estamos, pois, diante de um conjunto dito bimodal. E se houver três ou mais modas em um conjunto? Então estaremos diante de um conjunto multimodal. Atente agora para o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5} Quem arrisca dizer qual é a Moda dele? Existe algum elemento que se destaca em relação aos demais? Um elemento que aparece mais que os outros? Não! Nenhum elemento se destaca. Daí, concluímos que não há moda neste rol, de sorte que estamos diante de um conjunto amodal. Conclusão: diferentemente da Média Aritmética, que sempre existe e é única, a Moda pode existir, pode não existir e, no primeiro caso, pode haver uma, ou duas, ou várias Modas em um mesmo conjunto! Alguma dúvida para a Moda de um rol? Creio que não! Adiante. ? Moda de Dados Tabulados: Aqui estamos diante do que háde mais fácil neste Curso! Ora, sabemos que a Moda é o elemento de maior freqüência. Assim, diante do conjunto seguinte, tente dizer qual é o elemento modal: Xi fi 1 2 3 4 5 2 3 7 5 1 Neste caso, de o conjunto estar apresentado na forma de Dados Tabulados, sequer precisamos aplicar a técnica do dedo. Basta deslizar pela coluna da freqüência absoluta simples (fi), procurando pela maior fi. Ao encontrarmos, saberemos que o elemento Xi a que ela se refere será a Moda do conjunto! Assim: Xi fi 1 2 3 4 5 2 3 7 5 1 A Moda do conjunto é 3. Só e somente só! Viram como é fácil? Essa aí nunca caiu em prova, até agora! CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 19 ? Moda para Distribuição de Freqüências: Aqui estamos diante de uma questão de prova em potencial. Há dois métodos distintos para calcularmos a Moda de uma Distribuição: A Moda de Czuber e a Moda de King. Precisamos saber que a regra é trabalharmos com o método de Czuber. Dito de outra forma: só calcularemos a Moda de uma distribuição de freqüências pelo método de King se a questão expressamente o determinar! Ok? Consideremos o seguinte conjunto, supondo que represente os pesos de um grupo de crianças: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Comecemos aprendendo o cálculo da Moda de Czuber. São dois passos: 1º) Identificar a classe modal. Ora, classe modal é aquela de maior freqüência absoluta simples (maior fi). Só isso! Neste caso, a maior fi é 7, de sorte que a terceira classe será a classe modal. Teremos: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Até aqui, tudo tranqüilo? Tranqüilíssimo! Pois bem. O segundo passo consiste em: 2º) Aplicar a Equação da Moda de Czuber. É a seguinte: h pa alMo .inf ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∆+∆ ∆+= Observem que os elementos desta fórmula serão extraídos daquela Classe Modal que acabamos de identificar no primeiro passo. Ok? Assim, o limite inferior (linf) a que se refere a equação é o limite inferior da classe modal; a amplitude (h) a que se refere a equação é a amplitude da classe modal. E esses deltas da fórmula, significam o quê? Delta significa diferença. Quando falamos em ∆a estamos nos referindo à diferença anterior. E quando falamos em ∆p estamos nos referindo à diferença posterior. Tanto ∆a quanto ∆p serão calculados com base em um mesmo referencial: a freqüência absoluta simples da classe modal. Assim: ? ∆a é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior; e ? ∆p é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior. No caso do nosso exemplo teremos: CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 20 Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Finalmente, resta-nos aplicar a fórmula de Czuber. E teremos que: ? h pa alMo .inf ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∆+∆ ∆+= ? 10. 23 320 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++=Mo ? Mo=26 ? Resposta! Pode haver questão mais fácil do que esta? Não pode! E cai na prova, exatamente desse jeito! Um ponto garantido a mais para nós. Aprendamos agora o cálculo da Moda de King. Em dois passos: 1º) Identificar a Classe Modal. Já sabemos fazer isso: a classe modal é sempre aquela de maior freqüência absoluta simples! 2º) Aplicar a equação de King, que é a seguinte: h fafp fplMo .inf ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++= Os dados da equação da Moda de King serão também extraídos da Classe Modal. Assim: linf se referirá ao limite inferior da classe modal; h é a amplitude da classe modal. E estas fp e fa, o que são? São, respectivamente: ? fp: freqüência absoluta simples da classe posterior à da classe modal; e ? fa: freqüência absoluta simples da classe anterior à da classe modal. Nesta fórmula não calcularemos deltas, ou seja, não faremos diferenças. Tomaremos as próprias freqüências simples, a anterior e a posterior à fi da classe modal. Assim, para o nosso exemplo, teremos que: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Daí: ? h fafp fplMo .inf ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++= ? 10.54 520 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++=Mo ? Mo=25,56 ? Resposta! Quero chamar atenção para um detalhe: na Moda de Czuber (que é a regra!), o numerador do colchete é o ∆a, enquanto o numerador da Moda de King é a fp. Perceberam isso? Não pode errar a fórmula, senão a questão está perdida! ∆a=3 ∆p=2 fa fp CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 21 Vou frisar novamente: só usaremos o cálculo da Moda de King se a questão mandar expressamente. Se ela não o fizer, trabalharemos com a Moda de Czuber, que é a moda dos deltas, que é a regra! Ok? Vamos dar uma olhadinha no rol abaixo: ? {1, 2, 2, 3} Quem é a Moda deste rol? É 2. Concordam? E se tomarmos cada elemento deste conjunto original e os somarmos à constante 10, por exemplo, o que ocorrerá? Passaremos a ter um novo conjunto. O seguinte: ? {11, 12, 12, 13} Quem é a nova Moda? É 12. E nem precisávamos ter feito este cálculo, uma vez que existe uma propriedade que afirma que: somando todos os elementos do conjunto a uma mesma constante, a nova moda será a anterior também somada àquela constante! E se serve para soma, serve também para subtração! Tomemos novamente o conjunto original. E se multiplicarmos cada elemento daquele conjunto pela constante 10, o que ocorreria? Chegaríamos ao seguinte conjunto: ? {10, 20, 20, 30} E a nova Moda é 20, como já poderíamos prever. Sim! Pois há uma propriedade, segundo a qual: multiplicando todos os elementos de um conjunto original por uma mesma constante, a nova moda será a anterior também multiplicada pela mesma constante! E se serve para multiplicação, serve também para divisão! Resumo da história: a Moda, a exemplo da Média Aritmética, também é influenciada pelas quatro operações! Agora voltemos ao nosso conjunto primeiro: {1, 2, 2, 3} Se trocarmos o elemento 3 por 300, o que ocorrerá? Teremos um novo conjunto: ? {1, 2, 2, 300} A Moda deste conjunto mudou, em relação a que era antes? Não, permaneceu a mesma (Mo=2). Conclusão: a Moda não é influenciada por valores extremos! E neste particular, a Moda diferencia-se da Média, conforme já vimos anteriormente! Já podemos passar ao estudo da terceira medida de tendência central: a Mediana! Vamos a ela. # Mediana: Md Como o próprio nome pode sugerir, a Mediana é aquele elemento que está rigorosamente no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais, ou seja, em duas metades! O cálculo da Mediana é quase sempre uma questão certa na prova! Uma questão que não podemos e não iremos errar de jeito nenhum! ? Mediana para o Rol: Consideremos o seguinte conjunto: ? {10, 20, 30, 40, 50} Só olhando, seremos capazes de dizer qual é o elemento que está no meio deste conjunto? Claro! É o elemento 30. Concordam? Ficaram dois elementos à sua direita, e dois à sua esquerda. Ele está, portanto, no meio do conjunto. E sendo assim, é a Mediana! ? {10, 20, 30, 40, 50} Md=30 CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 22 Vocês perceberam que o conjunto acima tem um número ímpar de elementos. Para ele, temos que n=5. Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto tiver um número ímpar de elementos, significa que só haverá uma posição central. E o elemento que ocupar esta posição central será a própria Mediana do conjunto! Há um cálculo que podemos fazer para descobrir qual é a posição central, no caso de o conjunto apresentar um númeroímpar de elementos. Este cálculo é o seguinte: ? Posição Central = (n+1)/2 Isto é para quando n for um número ímpar! Reparem bem que o resultado desta conta não é a Mediana do conjunto, e sim a sua posição central. O elemento que ocupar esta posição central será, este sim, a Mediana. No nosso exemplo, tínhamos n=5. (Um número ímpar, o que indica a existência de uma única posição central)! Assim, faremos: (n+1)/2=(5+1)/2=3ª Posição! Esta é a posição central do conjunto! Daí, usando novamente a técnica milenar do dedo, você vai contar as posições do conjunto, até chegar à terceira. O elemento que a ocupar será a Mediana que estamos procurando! Teremos: ? {10, 20, 30, 40, 50} 3ª Posição ? Md=30 E se o conjunto tiver um número par de elementos? Aí a história é outra. Vejamos. Se nosso conjunto for o seguinte: ? {10, 20, 30, 40, 50, 60} Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois: n=6. Um número par de elementos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de elementos no conjunto, significa que haverá duas posições centrais! Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma: ? 1ª Posição Central: (n/2) ? 2ª Posição Central: a vizinha posterior. Neste caso, em que n=6, teremos: ? 1ª Posição Central: (n/2)=6/2= 3ª Posição! ? 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 4ª Posição! As duas posições centrais estão, portanto, identificadas. Resta descobrir quais são os dois elementos que as ocupam. E vejam o que será feito para calcularmos a Mediana. Teremos: ? {10, 20, 30, 40, 50, 60} 4ª Posição ? 30 Md=(30+40)/2 ? Md=35, 3ª Posição ? 40 Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais são os dois elementos que ocupam as duas posições centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultado desta soma por dois. Assim, chegaremos à Mediana do conjunto! Ficou evidenciado neste exemplo que a Mediana não necessariamente terá que ser um dos elementos do conjunto! Viram? Esse valor 35 não é um dos elementos! E no entanto é a Mediana! CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 23 A prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma questão para se determinar a Mediana de um rol. Fazendo uma pequena e irrelevante adaptação, foi o seguinte: (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Assinale a opção que corresponde à mediana: a) 9,0 b) 9,5 c) 8,0 d) 8,5 e) 10 Sol.: Estamos diante de um rol de 50 elementos. Portanto, n=50, que é um número par! Se n é um número par, teremos duas posições centrais, que serão, respectivamente: ? 1ª Posição Central: (n/2)=50/2= 25ª Posição ? 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 26ª Posição Sabendo disso, e usando a milenar técnica do dedo, contaremos os elementos, para saber quais deles ocupam estas duas posições centrais. Vamos lá: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Os dois elementos que ocupam as duas posições centrais são, ambos, iguais a 9. Nem precisaremos perder tempo somando-os e dividindo o resultado por dois. Concordam? Basta dizer que a Mediana é igual a 9 e pronto! Daí: Md=9 ? Resposta! Acreditem-me: isto valeu um ponto numa prova de Fiscal da Receita! Vou dar um pequeno salto, e ensinar logo o cálculo da Mediana para uma Distribuição de Freqüências. Ok? Numa outra ocasião eu retorno e ensino a mediana para dados tabulados. Pode ser? (Vamos ganhar um pouquinho de tempo!). # Mediana para Distribuição de Freqüências: Esta, sim, é questão quase certa na sua prova! Consideremos o seguinte conjunto: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Se ele representa, suponhamos, os pesos de um grupo de crianças, então a questão lhe pedirá que encontre o peso mediano; se fossem idades, a questão pediria a idade mediana; se fossem salários, o salário mediano. E assim por diante! O primeiro passo é identificar a Classe Mediana! Para isso, trilharemos o seguinte caminho: ? Calcular a fração da Mediana: (n/2). CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 24 No cálculo da mediana de uma distribuição de freqüências, não faz nenhuma diferença se n é par ou é ímpar. Seja como for, o nosso cálculo será sempre esse mesmo: (n/2). ? Construirmos a coluna da fac (freqüência absoluta acumulada crescente). ? Compararemos os valores da fac com o resultado da fração da mediana (n/2), fazendo a seguinte pergunta: Esta fac é maior ou igual a (n/2)? Começaremos a fazer esta pergunta desde a fac da primeira classe (lá em cima) e a repetiremos, descendo fac por fac, até que a resposta seja SIM. Quando a resposta for sim, pararemos, procuraremos a classe correspondente, e esta será a nossa Classe Mediana. Vamos fazer isso? Teremos: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 n=20 ? n/2 = 10 Agora, construindo a fac, teremos: Classes fi fac 0-10 2 2 10-20 4 6 20-30 7 13 30-40 5 18 40-50 2 20 n=20 Fazendo a pergunta, teremos: Classes fi fac 0-10 2 2 ? 2 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!) 10-20 4 6 ? 6 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!) 20-30 7 13 ? 13 é maior ou igual a 10? SIM! (PARAMOS AQUI!) 30-40 5 18 40-50 2 20 n=20 E a terceira classe é a nossa classe mediana! Uma vez conhecedores da Classe Mediana, faremos com ela um desenho! Vejamos novamente nosso conjunto: Classes fi fac 0-10 2 2 10-20 4 6 20-30 7 13 30-40 5 18 40-50 2 20 n=20 ?Classe Mediana! CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 25 Traremos essa classe mediana aqui para fora, e nosso desenho será construído da seguinte maneira: ? Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Teremos: Limites da Classe: 20 30 Até aqui, tudo bem? Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freqüências absolutas acumuladas crescentes (fac) associadas a esses dois limites! Como assim? Vejamos: se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o limite inferior 20, o que você responderá? Veja o conjunto novamente: Classes Fi Fac 0-10 2 2 10-20 4 6 20-30 7 13 30-40 5 18 40-50 2 20 n=20 Teremos acumulado 6 elementos, concordam? E se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o limite superior 30, o que você dirá? Vejamos no conjunto: Classes Fi Fac 0-10 2 2 10-20 4 6 20-30 7 13 30-40 5 18 40-50 2 20 Teremos acumulado 13 elementos! Conclusão: na hora de identificar as freqüências acumuladas associadas aos dois limites da classe mediana, estas fac serão, sempre e respectivamente, a fac da classe anterior, e a fac da própria classe mediana! Assim, complementando nosso desenho, teremos: Limites da Classe: 20 30 fac associadas: 6 13 Faltando quase nada para terminarmos o desenho! Agora perguntaremos: qual é a posição da Mediana?É o resultado da fração (n/2). Quanto? 10. Pois bem! Esse 10 corresponde à posição, e posição corresponde à freqüência acumulada. Assim, localizaremos a décima posição do conjunto na parte de baixo do desenho. Teremos: CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 26 Limites da Classe: 20 30 fac associadas: 6 10 13 Ora, a esta décima posição corresponde qual elemento dentro da classe? Corresponde à Mediana. Assim, concluiremos o desenho, fazendo: Limites da Classe: 20 Md 30 fac associadas: 6 10 13 É preciso agora que você releia com calma os passos necessários à feitura deste desenho acima. À primeira vista, parece ser complicado. Mas não é! Quando nos habituarmos a trabalhar com ele, estejam certos de que se tornará facílimo! Uma vez diante deste desenho, marcaremos o pedaço da classe que vai do limite inferior até a Mediana, e procuraremos por quatro valores. Os seguintes: Limites da Classe: 20 Md 30 fac associadas: 6 10 13 Encontrando estes quatro valores, teremos: CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 27 Limites da Classe: 20 Md 30 fac associadas: 6 10 13 Os quatro valores encontrados preencherão os quatro espaços de uma igualdade entre duas frações. Uma dessas frações será composta pelos valores referentes à classe inteira. E a segunda delas, pelos valores referentes à classe quebrada! Teremos: 10 x 7 4 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(4x10)/7 ? X=5,71 Agora, resta-nos olhar para o desenho, e constataremos que para chegar à Mediana, teremos que somar o limite inferior ao X que acabamos de calcular. Teremos: Md=20+X ? Md=20+5,71 ? Md=25,71 ? Resposta! Façamos mais um exemplo: uma questão recente de AFRF. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 7 10 4 X CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 28 Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 d) 68,08 b) 65,02 e) 70,02 c) 75,03 Sol.: A questão pediu o cálculo da Mediana da Distribuição de Freqüências. Vamos fazer isso apenas seguindo os passos que aprendemos acima, como se estivéssemos seguindo uma receita de bolo. Não tem errada! Vamos: 1º) Encontrar o valor do n (somando a coluna da fi) e calcular a fração da Mediana (n/2). Teremos: Classes fi 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 n=100 ? (n/2)=50 2º) Construir a coluna da fac (freqüência absoluta acumulada crescente): Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 39,5-49,5 8 12 49,5-59,5 14 26 59,5-69,5 20 46 69,5-79,5 26 72 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100 n=100 3º) Comparar os valores da fac com o valor da fração da Mediana (n/2), fazendo a velha pergunta: esta fac é maior ou igual a (n/2)? até que a resposta seja sim! Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 ? 4 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!) 39,5-49,5 8 12 ? 12 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!) 49,5-59,5 14 26 ? 26 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!) 59,5-69,5 20 46 ? 46 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!) 69,5-79,5 26 72 ? 72 é maior ou igual a 50? SIM! (PARAMOS AQUI!) 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100 n=100 Com esses passos iniciais, conseguimos identificar qual é a Classe Mediana (69,5-79,5). Resta-nos preparar o desenho, para cálculo da Mediana! Comecemos com a parte de cima do desenho, onde colocaremos os limites da Classe Mediana. Teremos: Limites da Classe: 69,5 79,5 CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 29 Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freqüências absolutas acumuladas crescentes associadas àqueles dois limites. Já sabemos: serão sempre a fac da classe anterior e a fac da própria classe mediana. Teremos: Limites da Classe: 69,5 79,5 fac associadas: 46 72 Quase lá! Qual é a posição da Mediana neste conjunto? É o resultado da fração: 50. Assim, associada à posição 50 teremos a Mediana. Nosso desenho completo é o seguinte: Limites da Classe: 69,5 Md 79,5 fac associadas: 46 50 72 Uma vez que o desenho já está completo, iremos à procura de quatro valores. Faremos: Limites da Classe: 69,5 Md 79,5 fac associadas: 46 50 72 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 26 4 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(4x10)/26 ? X=1,54 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao valor do X que acabamos de calcular. Teremos: ? Md=69,5+1,54 ? Md=71,04 ? Resposta! 26 10 4 X CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 30 E aí? Fácil, não? Facílimo! E vai ficar ainda mais quando você praticar, resolvendo várias questões de provas recentes! Convém que você repita as resoluções até que esses passos fiquem todos automatizados em sua mente. Na hora da prova, é só ligar o piloto automático e sair resolvendo a questão sem dificuldade alguma! Mais algumas informações. Considere o seguinte conjunto: ? {1, 2, 3} A Mediana, todos concordam, é Md=2. Se somarmos os elementos deste conjunto com a constante 10, teremos: ? {11, 12, 13} E a nova mediana é 12. Ou seja, valeu aqui também para a Mediana a propriedade da soma (e da subtração)! Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto original por 10, teremos: ? {10, 20, 30} A nova mediana é 20. Vale também para a Mediana a propriedade do produto (e da divisão)! Em suma: a Mediana também é influenciada pelas quatro operações! Se você trocar 3 por 300, nosso conjunto original agora será: ? {1, 2, 300} E a Mediana continuará a ser 2. Ou seja, a Mediana, assim como a Moda (e diferentemente da Média), não é influenciada por valores extremos! Certo? Ótimo! Há ainda mais a se falar acerca das três medidas de tendência central. Mas eu creio que por hoje já temos um considerável número de informações para assimilar. Concordam? Fiquem então com o nosso... ... Dever de Casa: 01. (AFPS-2002/ESAF) Assinale a opção que dá o valor de “a” para o qual a equação 0)(1 =−∑ =ni i ax é sempre verdadeira. a) A média dos valores x. b) A mediana dos valores x. c) A moda dos valores x. d) O desvio padrão dos valores x. e) O coeficiente de assimetria dos valores x. 02. (TCDF-95) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os salários médios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino são de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então, nessaempresa: a) o número de homens é o dobro do número de mulheres. b) O número de homens é o triplo do número de mulheres. c) O número de homens é o quádruplo do número de mulheres. d) O número de mulheres é o triplo do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 31 03. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 04. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal. a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 9 05. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) Dados os conjuntos de valores: A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10} B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10} Em relação à moda, afirmamos que: I – A é unimodal e a moda é 8 II – B é unimodal e a moda é 9 III – C é bimodal e as modas são 4 e 9 Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que: a) Todas são verdadeiras b) Todas são falsas c) Somente I e II são verdadeiras d) Somente I e III são verdadeiras e) Somente II e III são verdadeiras 06. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Em uma fila, oito pessoas esperaram, em minutos, os seguintes tempos para serem atendidas: 8, 11, 5, 14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, em minutos, é: A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 07. (ANAL. FIN. E CONT. GDF-94) Os valores (em 1000 URVs) de 15 imóveis situados em uma determinada quadra são apresentados a seguir, em ordem crescente: 30, 32, 35, 38, 50, 58, 64, 78, 80, 80, 90, 112, 180, 240 e 333. Então, a mediana dos valores destes imóveis é: a) 78 c) 80 b) 79 d) 100 08. (ESAF/TTN) Assinale a opção correta. a) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas partes de igual freqüência. b) A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da variável. c) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da distribuição. d) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição. e) A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de medida da variável a que se referem. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 32 (AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguinte, utilize a série estatística abaixo: 2 5 7 13 3 6 9 13 3 6 11 13 4 6 11 13 4 7 12 15 09. Os valores da mediana e da moda da série são, respectivamente: a) 4 e 15 b) 7 e 12 c) 6 e 13 d) 7 e 13 e) 9 e 13 10. (TTN-94) Marque a alternativa correta: a) O intervalo de classe que contém a moda é o de maior freqüência relativa acumulada (crescentemente). b) A freqüência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das freqüências simples em ordem decrescente. c) Em uma distribuição de freqüências existe uma freqüência relativa acumulada unitária, ou no primeiro, ou no último intervalo de classe. d) O intervalo de classe que contém a mediana é o de maior freqüência absoluta simples. e) Os intervalos de classe de uma distribuição de freqüência têm o ponto médio eqüidistante dos limites inferior e superior de cada classe e sua amplitude ou é constante ou guarda uma relação de multiplicidade com a freqüência absoluta simples da mesma classe. 11. (ESAF/TTN) Dado o gráfico abaixo, onde fi é a freqüência simples ou absoluta da i-ésima classe, então: fi 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 idades a) a moda se encontra na 4o classe e é igual a 9; b) o número de observações é 42; c) como a distribução é assimétrica, moda=média=mediana; d) a freqüência acumulada crescente da 3ª classe é 20; e) 48 7 1 =∑ =i fi . 12. (FISCAL DO TRABALHO-94) O levantamento de dados sobre os salários de 100 funcionários de uma determinada empresa forneceu os seguintes resultados: Quantidade de salários mínimos Quantidade de funcionários 2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8 8 |— 10 10|— 12 25 35 20 15 5 Total 100 CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 33 É correto afirmar que: a) 20% dos funcionários recebem acima de 6 salários mínimos b) a mediana é 7 salários mínimos c) 60% dos funcionários recebem menos que 6 salários mínimos d) o salário médio é de 7 salários mínimos e) 80% dos funcionários recebem de 6 a 8 salários mínimos (TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir: Xi fi 2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8 8 |— 10 10|— 12 9 12 6 2 1 13. A mediana da distribuição é igual a: a) 5,30kg b) 5,00kg c) um valor inferior a 5kg d) 5,10kg e) 5,20kg 14. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) As distâncias, em milhares de quilômetros, percorridas em um ano pelos 20 táxis de uma empresa, estão representadas no quadro seguinte: Distâncias Número de Táxis 45 |— 55 55 |— 65 65 |— 75 75 |— 85 85 |— 95 3 7 4 5 1 Total Nestas condições, é correto afirmar que a mediana dessa distribuição, em milhares de quilômetros é: a) 57 b) 61 c) 65 d) 69 e) 73 15. (AFTN/1994) Com relação à distribuição de freqüências abaixo, podemos dizer que a mediana e a moda: classes fi 2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8 8 |—10 10 |— 12 7 9 18 10 6 Total a) Têm valor superior ao da média aritmética b) Têm valor inferior ao da média aritmética c) Têm o mesmo valor d) Diferem por um valor igual a 10% da média aritmética e) Diferem por um valor superior a 10% da média aritmética. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 34 (AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 Classes de Idades (anos) Freqüência s (fi) Pontos Médios (Xi) diXi =− 5 37 fi.di fi.di2 Fi.di3 fi.di4 19,5 |— 24,5 24,5 |— 29,5 29,5 |— 34,5 34,5 |— 39,5 39,5 |— 44,5 44,5 |— 49,5 49,5 |— 54,5 2 9 23 29 18 12 7 22 27 32 37 42 47 52 -3 -2 -1 — 1 2 3 -6 -18 -23 — 18 24 21 18 36 23 — 18 48 63 -54 -72 -23 — 18 96 189 162 144 23 — 18 192 567 Total 16 206 154 1106 16. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 35,49 anos b)35,73 anos c) 35,91 anos d)37,26 anos e)38,01 anos 17. Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionáriosem 1º/1/90. a) 35,97 anos d) 37,03 anos b) 36,26 anos e) 37,31 anos c) 36,76 anos Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 18. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 35,49 anos c) 41,49 anos e) 43,26 anos b) 36,44 anos d) 41,91 anos (AFRF-2000) Para efeito das duas próximas questões faça uso da tabela de freqüências abaixo. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 19. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. a) 12,50 d) 12,00 b) 9,60 e) 12,10 c) 9,00 CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 35 (AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100 20. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil (= Mediana) da distribuição de X. a) 138,00 d) 139,01 b) 140,00 e) 140,66 c) 136,67 (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 21. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. d) 71,04 d) 68,08 e) 65,02 e) 70,02 f) 75,03 22. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,70 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duas próximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 - 39,5 2 39,5 - 49,5 6 49,5 - 59,5 13 59,5 - 69,5 23 69,5 - 79,5 36 79,5 - 89,5 45 89,5 - 99,5 50 CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 36 23. Assinale a opção que corresponde ao salário modal anual estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X, no conceito de Czuber. a) 94,5 d) 69,7 b) 74,5 e) 73,8 c) 71,0 24. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências seguinte: Classe de Preços mi fi [ 5 – 9) 7 3 [ 9 – 13) 11 5 [13 – 17) 15 7 [17 – 21) 19 6 [21 – 25) 23 3 [25 – 29) 27 1 Deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a opção que melhor aproxima este valor. a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14,2 25. (Fiscal-Campinas-2002) Dada a distribuição de freqüência abaixo, indique o valor da Moda e Mediana, respectivamente Classes Fi 4|—6 12 6|—8 36 8|—10 18 10|—12 4 a) 7,14 7,28 d) 5,84 7,5 b) 6,54 5,78 e) 6,24 6,78 c) 7,24 6,38 26. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. Classes de Salário Freqüências (5.000-6.500) 12 (6.500-8.000) 28 (8.000-9.500) 52 (9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500) 100 Assinale a opção que corresponde ao salário mediano a) R$ 10.250, b)R$ 8.000, c) R$ 8.700, d)R$ 9.375, e) R$ 9.500, (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução das três próximas questões utilize o enunciado que segue. A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 37 Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100 27. Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 28. Assinale a opção que corresponde ao salário mediano calculado a partir de dados agrupados por interpolação da ogiva. a) 12 d) 10 b) 9 e) 11 c) 8 As duas próximas questões dizem respeito à distribuição de freqüências seguinte associada ao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências Simples 0-10 120 10-20 90 20-30 70 30-40 40 40-50 20 29. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá a moda no conceito de Czuber. a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 15 30. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá o valor aproximado da mediana amostral das observações de . X a) 20,0 b) 5,0 c) 12,0 d) 15,8 e) 15,6 Bons estudos! Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!
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