ESTATISTICA REGULAR 3

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AULA 03 
 Olá, amigos! 
 Todos bem? 
Comigo nem tanto... fui surpreendido essa semana por uma virose daquelas! Ainda 
bem que só dói quando eu respiro... Assim, vou pedir licença a vocês – contando com a 
compreensão de todos – para apresentar hoje uma aula reduzida, somente resolvendo as 
questões pendentes da aula passada. E fica a promessa, de minha parte, de que compensarei 
o atraso numa próxima semana. 
Vocês me permitem fazer assim? Obrigado! 
Passemos, pois, às resoluções do nosso... 
 
...Dever de Casa 
 
01. (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue. 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
(3 ; 6] 12 
(6 ; 9] 30 
(9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de 
uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais 
iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que 
corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
Sol.: Esta questão é para observadores! Para começo de conversa, o enunciado nos fala que 
as freqüências representam uma amostra de 10% dos empregados, ou seja, apenas 10% dos 
elementos do conjunto estão representados na amostra. 
Observado isto, a questão pede um resultado referente à “freqüência populacional”. 
Ora, “populacional” significa “da população”! Se a amostra representa 10% da população, 
qualquer resultado encontrado para a amostra terá que ser multiplicado por 10, para se chegar 
ao resultado correspondente da população. Claro: 
10%(amostra) x 10 = 100%(população) 
 Outra coisa: os limites das classes são valores expressos na casa das unidades (3, 6, 9) 
e das dezenas (12, 15, 18, 21) e o enunciado fala em valores “iguais ou inferiores a 7.000”. A 
explicação está acima da tabela, quando a questão diz “freqüências... em milhares de reais”. 
Ou seja, onde existe um 3, leia-se 3.000; onde existe um 9, leia-se 9.000, e assim por diante. 
Tudo isso é feito para tentar complicar um pouco o raciocínio do aluno, todavia, na essência, a 
questão é fácil do mesmo jeito! 
 Dito isso, temos que passar àquele trabalho já conhecido nosso, de chegarmos aos 
valores da freqüência absoluta simples – fi. O resultado será o seguinte: 
 
 
 
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Classes de Salários fac fi 
(3 ; 6] 12 12 
(6 ; 9] 30 (30 – 12=) 18 
(9 ; 12] 50 (50 – 30=) 20 
(12 ; 15] 60 (60 – 50=) 10 
(15 ; 18] 65 (65 – 60=) 5 
(18 ; 21] 68 (68 – 65=) 3 
 
 Pois bem! Valores iguais ou inferiores a R$7.000,00 passarão a ser, para nós, valores 
iguais ou inferiores a 7 (conforme vimos acima a questão dos milhares de reais!). Pela simples 
observação, constataremos que participa integralmente da resposta a freqüência da primeira 
classe. Já a segunda classe participará apenas parcialmente do resultado. 
 Ou seja: 
Classes de 
Salários 
fi 
(3 ; 6] 12 ? participa integralmente da resposta! 
(6 ; 9] 18 ? participa parcialmente da resposta! 
(9 ; 12] 20 
(12 ; 15] 10 
(15 ; 18] 5 
(18 ; 21] 3 
 
Daí, trabalhando a regra de três com a segunda classe (naturalmente!), teremos: 
 3 --- 18 
 1 --- X 
 Multiplicando em cruz, chegamos a: 
 X = (1 . 18)/3 ? X = 6 
 
 Acharemos a resposta somando ao X a participação integral da primeira classe. Daí: 
 
? Primeira classe:(3 |--- 6) ? 12 elementos (fi=12) 
? Segunda classe: (6 |--- 9) ? 6 elementos (X=6) 
 ------------------------- 
 Total: 18 elementos! 
 
Conforme a observação que fizemos no início desta resolução, os resultados obtidos 
para a amostra teriam que ser multiplicados por 10, para chegarmos aos resultados da 
população. Em vista disso, faremos: 
18 x 10 = 180 ? Resposta da Questão! 
 
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02. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de 
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna 
Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P 
representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a 145. 
a) 62,5% d) 45,0% 
b) 70,0% e) 53,4% 
c) 50,0% 
 
Sol.: A coluna de freqüência fornecida na tabela foi a Fac – Freqüência Relativa Acumulada 
Crescente. Daí, migraremos para a Fi – Freqüência Relativa Simples. Teremos: 
Classes Fac Fi 
70-90 5% 5% 
90-110 15% 10% 
110-130 40% 25% 
130-150 70% 30% 
150-170 85% 15% 
170-190 95% 10% 
190-210 100% 5% 
 
 A questão pergunta qual o percentual de elementos com valor abaixo de 145. 
 Vemos, facilmente, que 145 é um valor inserido na quarta classe (de 130 a 150). 
Podemos, sem muita demora, desenhar esta classe. Teremos: 
 130 150 
 
 
 
 Vamos tentar resolver sem fazer regra de três. Só na observação! Podemos, facilmente, 
dividir essa classe em quatro partes, da seguinte forma: 
 
 130 135 140 145 150 
 
 
 
 Ora, a classe inteira tem que percentual dos elementos? 30%. Basta olhar para a 
coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi). 
 Assim, se dividirmos a classe em quatro partes (como fizemos), teremos que cada 
quarto desses terá 7,5% dos elementos, já que 30%/4=7,5%. 
 Agora, perguntamos: qual é a parte desta classe que nos interessa? Somente aquela 
parte da variável abaixo de 145, pois assim pediu o enunciado! 
 Teremos: 
 
 
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 130 135 140 145 150 
 
 
 
 
 3 x 7,5%=22,5% 
 
 Logo, 22,5% é a participação da quarta classe no resultado! 
 Finalmente, precisamos compor a resposta. Teremos: 
Classes Fac Fi 
70-90 5% 5% ? primeira classe: 5% 
90-110 15% 10% ? segunda classe: 10% 
110-130 40% 25% ? terceira classe: 25% 
130-150 70% 30% ? quarta classe: 22,5% 
150-170 85% 15% Total=62,5% 
170-190 95% 10% 
190-210 100% 5% 
 
 Daí: ? 62,5% ? Resposta! 
 
 
03. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, 
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, 
produziu a tabela de freqüências seguinte: 
 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na 
população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 
50,5. 
a) 700 d) 995 
b) 638 e) 900 
c) 826 
 
Sol.: Esta questão é mais trabalhosa, mas igualmente fácil! Apenas que teremos dois 
trabalhos, em vez de um! Ou seja, faremos duas regras de três, com as duas classes que 
participarão parcialmente do resultado! Vamos lá! 
 Novamente nesse enunciado, a questão veio com aquela história de amostra e 
população! Disse que a amostra é de 100e que a população é de 1000 indivíduos! Ora, 
deduzimos que a população é “10 vezes” o tamanho da amostra. Logo, qualquer resultado 
encontrado para a amostra terá que ser multiplicado por 10, para se chegar ao correspondente 
resultado da população! Até aqui, tudo bem! 
 A questão ofereceu ainda algumas facilidades: primeiramente, ela já forneceu a 
freqüência absoluta simples (fi), e pediu como resposta um “número de indivíduos”, ou seja, 
ela quer que trabalhemos exatamente com esta fi. 
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 Valores maiores que 50,5 e menores que 95,5! Quais as classes que participarão desta 
resposta? Vejamos: 
Classes Freqüência (f) 
29,4 --- 39,5 4 
39,5 --- 49,5 8 
49,5 --- 59,5 14 ? participa parcialmente! 
59,5 --- 69,5 20 ? participa integralmente! 
69,5 --- 79,5 26 ? participa integralmente! 
79,5 --- 89,5 18 ? participa integralmente! 
89,5 --- 99,5 10 ? participa parcialmente! 
 
 Daí, teremos que fazer duas regras de três: uma para cada classe que participa apenas 
parcialmente da resposta. Ficarão assim: 
Primeira Regra de Três, referente à terceira classe: 
 10 --- 14 
 9 --- X 
 
Daí: X = (9 . 14)/10 ? X = 126/ 10 ? X = 12,6 
 
Segunda Regra de Três, referente à última classe: 
 10 --- 10 
 6 --- Y 
 
Daí: Y = (6 . 10)/10 ? Y = 60 / 10 ? Y = 6 
 
 Finalmente, passamos à composição do resultado: 
 
? Terceira classe: (49,5|--- 59,5) ? 12,6 elementos (X=12,6) 
? Quarta classe: (59,5|--- 69,5) ? 20 elementos (fi=20) 
? Quinta classe: (69,5 |--- 79,5) ? 26 elementos (fi=26) 
? Sexta classe: (79,5 |--- 89,5) ? 18 elementos (fi=18) 
? Sétima classe: (89,5 |--- 99,5) ? 6 elementos (Y=6) 
 ------------------------- 
 Total: 82,6 elementos! 
 
Como pretendemos chegar ao resultado relacionado à população, temos que multiplicar 
a resposta da amostra por 10, conforme vimos acima! 
Ficaremos assim: 
 82,6 x 10 = 826 ? Resposta da Questão! 
 
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04. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a 
uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição 
amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 d) 11.000 
b) 12.000 e) 10.500 
c) 12.500 
 
Sol.: Esta também é bem fácil. Observemos que a coluna de freqüência fornecida na prova foi 
a Fac – Freqüência Relativa Acumulada Crescente. Construindo agora a coluna da Fi, da forma 
como já aprendemos, teremos: 
Classes Fac Fi 
2.000 – 4.000 5% 5% 
4.000 – 6.000 16% 11% 
6.000 – 8.000 42% 26% 
8.000 – 10.000 77% 35% 
10.000 – 12.000 89% 12% 
12.000 – 14.000 100% 11% 
 
 A tradução da pergunta do enunciado recai no seguinte: qual o valor dentro das classes 
que corresponde a um acumulado de 80%? 
 Procedendo à análise das Freqüências Relativas das classes, teremos que: 
? Na primeira classe, temos 5% dos elementos; 
? somando com os 11% da segunda classe, passamos a 16%; 
? somando estes 16% acumulados com os 26% da terceira classe, passamos a 42%; 
? somando estes 42% acumulados com os 35% da quarta classe, chegamos aos 77% 
dos elementos do conjunto; 
? finalmente, somando estes 77% acumulados até aqui com os 12% da quinta classe, 
já passaríamos dos 80% desejados pelo enunciado! 
Ou seja, até a quarta classe já acumulamos 77% do total dos elementos. Quanto 
falta “avançar” para alcançarmos os 80% procurados pela questão? Apenas a diferença: 
(80% - 77%) = 3%. 
Traduzindo: teremos que “avançar” 3% na quinta classe, para chegarmos à 
resposta! 
Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de três na quinta classe desta 
distribuição. A regra de três que faremos é a seguinte: 
 2000 --- 12% 
 X --- 3% 
 
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 Daí, teremos que: 
 X = (2000 . 3%)/12% ? E: X=500, 
 
 Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta classe, chegaremos 
à resposta: ? 10.000 + 500 = 10.500 ? Resposta! 
 
05. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências 
abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classe Freqüência Acumulada
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do 
número de observações menores ou iguais ao Valor 164. 
a) 46 b) 26 c) 72 d) 35 e) 20 
 
Sol.: Começaremos esta resolução, identificando que a coluna de freqüência fornecida na 
prova foi a fac – freqüência absoluta acumulada crescente! 
 Daí, convertendo-a para a fi – freqüência absoluta simples, teremos: 
Classe Fac fi 
129,5-139,5 4 4 
139,5-149,5 12 8 
149,5-159,5 26 14 
159,5-169,5 46 20 
169,5-179,5 72 26 
179,5-189,5 90 18 
189,5-199,5 100 10 
 Esta questão quer saber quantos são os elementos do conjunto com valor menor que 
164. Ora, vemos facilmente que 164 é um valor inserido na quarta classe. Concordam? Daí, é 
esta exatamente a classe que participará parcialmente do resultado! Ou seja, é com ela que 
formaremos nossa regra de três. 
 Teremos: 
 10 --- 20 
 4,5 --- X 
 
 Daí, teremos que: ? X=90/10 ? x=9,0 
 
 Compondo o resultado, enfim, encontraremos: 
 
Classe Fac fi 
129,5-139,5 4 4 ? 1ª classe: 4 elementos 
139,5-149,5 12 8 ? 2ª classe: 8 elementos 
149,5-159,5 26 14 ? 3ª classe: 14 elementos 
159,5-169,5 46 20 ? 4ª classe: 9 elementos 
169,5-179,5 72 26 Total: 35 elementos 
179,5-189,5 90 18 
189,5-199,5 100 10 
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 Daí: ? 35 elementos ? Resposta! 
06. (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências 
acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários 
anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização 
da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das 
classes salariais. 
 
Classes F 
29,5 - 39,5 2 
39,5 - 49,5 6 
49,5 - 59,5 13 
59,5 - 69,5 23 
69,5 - 79,5 36 
79,5 - 89,5 45 
89,5 - 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, 
que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. 
a) 82,0 b) 80,0 c) 83,9 d) 74,5 e) 84,5 
 
Sol.: Aqui, mais uma questãozinha corriqueira! Deseja-se encontrar o valor não superado 
por 80% dos elementos. Já sabemos, portanto, que vamos trabalhar com a freqüência 
relativa simples, Fi! A análise da coluna de freqüência fornecida já é algo que sabemos 
fazer, para chegarmos à freqüência absoluta simples. O resultado é o seguinte: 
 
Classes fac ↓ fi 
29,5 – 39,5 2 2 
39,5 – 49,5 6 (6-2=) 4 
49,5 - 59,5 13 (13-6=) 7 
59,5 – 69,5 23 (23-13=) 10 
69,5 – 79,5 36 (36-23=) 13 
79,5 – 89,5 45 (45-36=) 9 
89,5 – 99,5 50 (50-45=) 5 
 
 Feito isso, passaremos à construção da coluna da Freqüência Relativa Simples. 
Teremos: 
Classes fac ↓ fi Fi 
29,5 – 39,5 2 2 4% 
39,5 – 49,5 6 4 8% 
49,5 - 59,5 13 7 14% 
59,5 – 69,5 23 10 20% 
69,5 – 79,5 36 13 26% 
79,5 – 89,5 45 9 18% 
89,5 – 99,5 50 5 10% 
 
 Observemos que o “n” neste caso foi igual a 50, que é o valor dafac da última classe! 
Já sabemos disso, naturalmente! 
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 Faremos agora a análise dos valores acumulados da Fi, para descobrirmos com qual das 
classes trabalharemos a nossa regra de três. 
? Na primeira classe, temos 4% dos elementos; 
? somando com os 8% da segunda classe, passamos a 12%; 
? somando estes 12% acumulados com os 14% da terceira classe, passamos a 26%; 
? somando estes 26% acumulados com os 20% da quarta classe, chegamos aos 46% 
dos elementos do conjunto; 
? somando os 46% acumulados com os 26% da quinta classe, chegamos a 72% do 
total dos elementos; 
? finalmente, somando estes 72% acumulados até aqui com os 18% da sexta classe, 
já passaríamos dos 80% desejados pelo enunciado! 
Ou seja, até a quinta classe já acumulamos 72% do total dos elementos. Quanto 
falta “avançar” para alcançarmos os 80% procurados pela questão? Apenas a diferença: 
(80% - 72%) = 8%. 
Traduzindo: teremos que “avançar” 8% na sexta classe, para chegarmos à resposta! 
Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de três na sexta classe desta 
distribuição. A situação é a seguinte: 
 
Classes fac fi Fi 
29,5 – 39,5 2 2 4% ? 4% acumulados 
39,5 – 49,5 6 4 8% ? 12% acumulados 
49,5 – 59,5 13 7 14% ? 26% acumulados 
59,5 – 69,5 23 10 20% ? 46% acumulados 
69,5 – 79,5 36 13 26% ? 72% acumulados 
79,5 – 89,5 45 9 18% ? faltam 8% para chegarmos aos 80%! 
89,5 – 99,5 50 5 10% 
 
 A regra de três que faremos é a seguinte: 
 10 --- 18% 
 X --- 8% 
 
 Daí, teremos que: 
 X = (10 . 8%)/18% ? E: X=4,4 
 
 Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta classe, chegaremos 
à resposta: 
 
 79,5 + 4,4 = 83,9 ? Resposta da Questão! 
 
 
 
 
 
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07. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência 
obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As 
freqüências são acumuladas. 
 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que 
não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a) R$ 10.000,00 d) R$ 11.000,00 
b) R$ 9.500,00 e) R$ 11.500,00 
c) R$ 12.500,00 
 
Sol.: Novamente aqui se faz necessário trabalhar as colunas de freqüências para se chegar à 
freqüência absoluta simples, fi. Como isso já foi feito no Ponto n.º06 (“Exercícios de Colunas 
de Freqüências”), partiremos para o resultado, como segue abaixo: 
Classes de Salários fac ↓ fi 
(5.000-6.500) 12 12 
(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16 
(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24 
(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22 
(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15 
(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8 
(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3 
 
 Aqui, precisaremos ir além, uma vez que o enunciado pede os salários “não 
ultrapassados por 79% da população”. Quero dizer que precisaremos encontrar a coluna da 
freqüência relativa simples (Fi). Para isso, usamos a relação que há entre esta Fi e a 
freqüência absoluta simples (fi). No caso desta questão, será facílimo este trabalho, pois o 
número de elementos da questão é n=100. Daí, teremos: 
 
Classes de Salários fac ↓ fi Fi 
(5.000-6.500) 12 12 12% 
(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16 16% 
(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24 24% 
(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22 22% 
(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15 15% 
(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8 8% 
(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3 3% 
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Daí, vamos verificar como ficam os valores acumulados da freqüência relativa – Fi -, a 
fim de descobrirmos com qual das classes trabalharemos nossa regra de três: 
 ? na primeira classe, temos 12% dos elementos do conjunto; 
? somando aos 28% da segunda classe, passamos a 40%; 
? somando agora esses 40% acumulados com os 24% da terceira classe, passaríamos 
então a 52% dos elementos; 
? somando a esses 52% acumulados os 22% da quarta classe, chegamos aos 74% do 
total de elementos; 
? finalmente, somando os 74% já acumulados aos 15% da quinta classe, passaríamos 
já aos 89% dos elementos deste conjunto! 
Ou seja, quando chegamos à quinta classe, se adicionarmos toda a sua freqüência 
relativa, ultrapassaremos os 79% desejados pelo enunciado! Conclusão: trabalharemos a regra 
de três com a quinta classe da nossa distribuição! 
 Atenção agora: antes de chegarmos à quinta classe, tínhamos acumulados 74% do total 
dos elementos. Para chegarmos aos 79% desejados pela questão, teremos que “avançar” mais 
quanto? Ora, a diferença: (79% - 74%)=5%. 
Ou seja: faltam 5% dos elementos da quinta classe para chegarmos a nossa resposta! 
 Nossa situação, portanto, é a seguinte: 
 Classes de 
Salários 
fac ↓ fi Fi 
(5.000-6.500) 12 12 12% ? 12% acumulados 
(6.500-8.000) 28 16 16% ? 28% acumulados 
(8.000-9.500) 52 24 24% ? 52% acumulados 
(9.500-11.000) 74 22 22% ? 74% acumulados 
(11.000-12.500) 89 15 15% ? faltam 5% para chegarmos aos 79%! 
(12.500-14.000) 97 8 8% 
(14.000-15.500) 100 3 3% 
 
 Trabalhando a regra de três na quinta questão, ficaremos com: 
 1500 --- 15% 
 X --- 5% 
 
 Daí, teremos: 
 X = (1500.5%)/15% ? E: X=500 
 
 Traduzindo: 500 elementos representam exatamente 5% do total de elementos do 
conjunto, que precisaríamos “avançar” nesta quinta classe, para chegarmos aos 79% 
desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com esse valor encontrado! 
Como havíamos visto na aula passada, este valor X=500 será somado ao limite inferior 
da classe na qual trabalhamos a regra de três. Daí, ficaremos com: 
 
 11.000 + 500 = 11.500 ? Resposta da Questão! 
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08. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta 
a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade 
de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note 
que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários 
mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada 
relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de 
observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. 
a) 65% d) 60% 
b) 50% e) 70% 
c) 80% 
 
Sol.: Outra questão na mesma linha de raciocínio. Fazendo o trabalho preliminar aqui exigido, 
identificaremos que a coluna de freqüência fornecida, conforme indicação do próprio 
enunciado, foi a Fac (Freqüência Relativa Acumulada Crescente)! 
 Daí, percorreremos o caminho necessário para chegarmos à Fi (Freqüência Relativa 
Simples). Esse trabalho já é nosso conhecido. Teremos: 
Classes Fac Fi 
4 – 8 20% 20% 
8 – 12 60% 40% 
12 – 16 80% 20% 
16 – 20 98% 18% 
20 – 24 100% 2% 
 
Vamos ver agora como essa questão é realmente de graça! 
O enunciado pergunta, em outras palavras, qual é o percentual de elementos com 
salário menor que 14 salários mínimos. 
Percebemos sem maiores esforços que 14 é o Ponto Médio da terceira classe! 
Concordam? 
Daí, desenvolveremos o seguinte raciocínio: a terceira classe possui, sozinha, 20% dos 
elementos do conjunto. Metadedesta classe terá quantos por cento? Ora, metade de 20%, ou 
seja, 10%. Concordam? 
Assim, abaixo de 14 salários existem 10% dos elementos na terceira classe. 
Somando-se esses 10% da terceira classe aos 40% da segunda classe e aos 20% da 
primeira classe, chegamos a um total de: 
? 70% ? Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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09. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) O quadro seguinte 
apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) para 
uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo 
município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a freqüência 
relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%. 
 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
 
a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575 
 
Sol.: Outra questão parecida com as anteriores. A pergunta traduzida, já sabemos, será a 
seguinte: Qual é o valor dentro das classes que corresponde a um acumulado de 80%? 
 Assim, precisaremos construir as colunas de freqüência relativas. Fazendo o trabalho 
necessário para isso, e considerando que a coluna fornecida pela prova foi a fi (freqüência 
absoluta simples), teremos: 
Classes R$ fi Fi Fac 
350 – 380 3 1,5% 1,5% 
380 – 410 8 4% 5,5% 
410 – 440 10 5% 10,5% 
440 – 470 13 6,5% 17% 
470 – 500 33 16,5% 33,5% 
500 – 530 40 20% 53,5% 
530 – 560 35 17,5% 71% 
560 – 590 30 15% 86% 
590 – 620 16 8% 94% 
620 – 650 12 6% 100% 
 
 Ora, teremos acumulado já 71% ao avançarmos até o final da sétima classe. Viram? 
Assim, avançando a oitava classe, que sozinha tem 15%, já passaremos direto pelos 80% 
procurados! Para chegarmos aos 80%, só teremos que avançar 9% dentro desta classe! 
 Assim, a nossa resposta é um valor inserido na oitava classe! E é com ela que faremos 
nossa regra de três. Teremos: 
 30 --- 15% 
 X --- 9% 
 
 Daí, teremos: 
 X = (30x9%)/15% ? E: X=18 
 
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 Traduzindo: 18 elementos representam exatamente 9% do total de elementos do 
conjunto, que precisaríamos “avançar” nesta sétima classe, para chegarmos aos 80% 
desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com esse valor encontrado! 
Somaremos este valor X=18 ao limite inferior da classe na qual trabalhamos a regra de 
três. Daí, ficaremos com: 
 
 560 + 18 = 578 ? Resposta da Questão! 
 
 
 É isso! 
 Peço novamente desculpas por não avançar hoje na matéria, pois realmente não estou 
em condições físicas para escrever mais do que isso...! 
 Agradeço a compreensão de todos! 
 Aproveitem essa trégua, e façam uma boa revisão de tudo o que foi visto. Ok? 
 
 Um forte abraço a todos, e fiquem com Deus!