ESTATISTICA REGULAR 6

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AULA 06 
 Olá, amigos! 
 Darei início, meus queridos, com um pedido de desculpas, uma vez que tive dias 
realmente difíceis esta semana, de sorte que não poderei escrever hoje a aula que gostaria. 
Tentarei resolver uma parte das questões do Dever de Casa que ficaram da aula passada, e 
realmente não sei se terei condições sequer de resolvê-las todas. 
 Reafirmo, de antemão, o compromisso de essa aula resumida em nada prejudicar a 
nenhum de vocês, pois tenham como certa a reposição de todo o conteúdo do programa que 
seria visto nesta aula seis. Ok? 
Espero contar, novamente, com a compreensão de todos! 
 Dito isso, comecemos os trabalhos, comentando as questões pendentes do nosso... 
... Dever de Casa 
 
01. (AFPS-2002/ESAF) Assinale a opção que dá o valor de “a” para o qual a 
equação 0)(1 =−∑ =ni i ax é sempre verdadeira. 
a) A média dos valores x. 
b) A mediana dos valores x. 
c) A moda dos valores x. 
d) O desvio padrão dos valores x. 
e) O coeficiente de assimetria dos valores x. 
 
Sol.: Esta questão é muito fácil, desde que você se lembre daquela propriedade, estudada por 
nós, segundo a qual a soma dos desvios em torno da média é igual a zero! Ou seja: 
? Σ(Xi- X )=0 
 Assim, para que a igualdade acima – Σ(Xi-a)=0 – se confirme, é preciso que o a seja a 
Média do conjunto! E apenas isso! 
 Daí: opção A ? Resposta! 
 
02. (TCDF-95) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os 
salários médios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino são de 
R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então, nessa empresa: 
a) o número de homens é o dobro do número de mulheres. 
b) O número de homens é o triplo do número de mulheres. 
c) O número de homens é o quádruplo do número de mulheres. 
d) O número de mulheres é o triplo do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
Sol.: Questão que explora o conhecimento da propriedade “a média das médias”. 
 São dois conjuntos menores – empregados (H) e empregadas (M) – inseridos em um 
conjunto maior (funcionários da empresa). Aplicação direta da fórmula! 
Nossos dados são: 
? Média Global = 500,00 
? Média Empregados = 520,00 
? Média Empregadas = 420,00 
Daí, teremos: 
? ( ) ( )[ ]( )BA BBAAGLOBAL nn XnXnX ++= .. 
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? ( ) ( )[ ]( )MH
MH
nn
nn
+
+= .420.520500 ? 500.nH + 500.nM = 520.nH + 420.nM 
 Passando tudo para o mesmo lado, teremos: 
 ? 20.nH = 80.nM 
 ? nH = 4.nM ? Letra C ? Resposta! 
 
 
03. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra, 
realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e 
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio 
observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 
1.100,00. Assinale a opção correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
Sol.: Nova questão do mesmo assunto da anterior! Vamos usar a propriedade da média das 
médias. 
 Também estamos falando nos salários médios de homens e mulheres. (Quanta 
criatividade da elaboradora...)! Aplicação direta da fórmula! 
Nossos dados são: 
? Média Global = 1.200,00 
? Média Empregados = 1.300,00 
? Média Empregadas = 1.100,00 
Daí, teremos: 
? ( ) ( )[ ]( )BA BBAAGLOBAL nn XnXnX ++= .. 
? ( ) ( )[ ]( )MH
MH
nn
nn
+
+= .1100.13001200 ? 1200.nH + 1200.nM = 1300.nH + 1100.nM 
 Passando tudo para o mesmo lado, teremos: 
 ? 100.nH = 100.nM 
 ? nH = nM ? Letra A ? Resposta! 
 
04. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram 
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa 
bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 
15, 15, 16, 16, 18, 23 
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal. 
 
a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 9 
 
Sol.: Uma das questões mais fáceis entre as últimas provas do Fiscal da Receita. 
 O conjunto foi apresentado na forma de um rol, e foi questionado o valor da Moda! 
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 Sabemos que a Moda é aquele elemento que mais aparece no conjunto! Daí, usaremos 
a técnica milenar do dedo, e sairemos contando para descobrir esse elemento! 
 Qual foi? Foi o 8. Pronto! É a nossa Moda! 
 Assim: Letra D ? Resposta! 
 
05. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) Dados os conjuntos de valores: 
A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10} 
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10} 
 
Em relação à moda, afirmamos que: 
I – A é unimodal e a moda é 8 
II – B é unimodal e a moda é 9 
III – C é bimodal e as modas são 4 e 9 
 
Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que: 
a) Todas são verdadeiras 
b) Todas são falsas 
c) Somente I e II são verdadeiras 
d) Somente I e III são verdadeiras 
e) Somente II e III são verdadeiras 
 
Sol.: Outra questão muito simples a respeito da Moda! 
 Bastaria lembrar o que é um conjunto unimodal e bimodal. Aquele é o que apresenta 
apenas uma moda, enquanto este último apresenta duas. 
 Assim, sem maiores esforços, verificamos que o conjunto A possui uma Moda (Mo=8), 
que o conjunto B não possui Moda, sendo dito amodal, e finalmente que o conjunto C possui 
duas Modas (Mo=4 e Mo=9), sendo dito, portanto, bimodal. 
 Daí: Letra D ? Resposta! 
 
06. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Em uma fila, oito pessoas 
esperaram, em minutos, os seguintes tempos para serem atendidas: 8, 11, 5, 
14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, em minutos, é: 
A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 
 
Sol.: A questão pediu a Mediana de um conjunto, que ainda não está em forma de rol. 
Perceberam isso? Os dados estão todos desordenados. São dados brutos! 
 Nosso primeiro passo será, pois, o de transformar esses dados brutos em rol. 
 E somente após fazermos isso, é que poderemos procurar pela Mediana! Assim, 
teremos: 
 ? {5, 8, 8, 11, 11, 14, 16} 
 Agora, sim! É um rol de 7 (sete) elementos! 
 Um número ímpar de elementos, o que significa que haverá apenas uma posição 
central. E o elemento que a ocupar será a própria Mediana. 
 Quem se lembra do cálculo que faremos para identificar essa posição central? A 
seguinte: (n+1)/2. 
 Assim: (n+1)/2 = (7+1)/2 = 8/2 = 4ª Posição! 
 O elemento que ocupa esta quarta posição é o 11. 
 Daí: Md=11 ? Letra A ? Reposta! 
 
 
 
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07. (ANAL. FIN. E CONT. GDF-94) Os valores (em 1000 URVs) de 15 imóveis 
situados em uma determinada quadra são apresentados a seguir, em ordem 
crescente: 30, 32, 35, 38, 50, 58, 64, 78, 80, 80, 90, 112, 180, 240 e 333. 
Então, a mediana dos valores destes imóveis é: 
a) 78 c) 80 
b) 79 d) 100 
 
Sol.: Mais uma questão pedindo a Mediana de um conjunto. Só que agora os elementos já 
estão dispostos na forma de um Rol. 
Começaremos contando quantos elementos há neste rol. Quantos são? São 15 (quinze), 
um número ímpar de elementos! Assim, só haverá uma posição central, que é a seguinte: 
 Assim: (n+1)/2 = (15+1)/2 = 16/2 = 8ª Posição! 
 O elemento que ocupa esta oitava posiçãoé o 78. 
 Daí: Md=78 ? Letra A ? Reposta! 
 
 
08. (ESAF/TTN) Assinale a opção correta. 
a) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas 
partes de igual freqüência. 
b) A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da 
variável. 
c) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da 
distribuição. 
d) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da 
distribuição. 
e) A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de 
medida da variável a que se referem. 
 
Sol.: Vamos analisar item por item. 
 a) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas partes 
de igual freqüência. 
 Totalmente equivocada esta definição de Moda desta opção A. Sabemos que a Moda 
nada mais é do que aquele elemento de maior freqüência do conjunto. Não merece nem 
muitas palavras este comentário. 
 b) A média harmônica... 
 Nem concluí a leitura desta opção, porque ainda não falamos acerca da Média 
Harmônica. Não chegou ainda o momento oportuno. Ok? Aqui só interessa saber que está 
errada esta opção! Adiante. 
 c) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da distribuição. 
Errado! Vimos que a propriedade fala exatamente o contrário! A palavra não tornou 
falsa esta opção! 
 d) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição. 
 Isto é falso! Vimos na aula passada que nem Moda nem Mediana são influenciadas 
pelos valores extremos! 
 e) A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de 
medida da variável a que se referem. 
 Está perfeito este texto. Significa dizer que se o meu conjunto expressa pesos, na 
unidade quilos, então a média será calculada em quilos, a moda também e a mediana idem! 
 Ok? Letra E ? Resposta! 
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(AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguinte, utilize a série estatística 
abaixo: 
2 5 7 13 
3 6 9 13 
3 6 11 13 
4 6 11 13 
4 7 12 15 
 
09. Os valores da mediana e da moda da série são, respectivamente: 
a) 4 e 15 b) 7 e 12 c) 6 e 13 d) 7 e 13 e) 9 e 13 
 
Sol.: Podemos, se quisermos, dispor esses elementos de forma linear, criando um rol. 
Teremos: 
 ? {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} 
É um rol de vinte elementos. 
A questão pergunta pela Mediana e pela Moda. Comecemos por esta última. 
A Moda do rol é aquele elemento que mais aparece. Assim: Mo=13. 
A respeito da Mediana, vemos que há um número par de elementos (n=20), e que, 
assim, haverá duas posições centrais no conjunto, determinadas da seguinte forma: 
? 1ª Posição Central = (n/2) = 20/2 = 10ª Posição 
? 2ª Posição Central = A vizinha posterior = 11ª Posição 
Agora, descobriremos quais são os dois elementos que ocupam a 10ª e 11ª posições. 
Quais são? 7 e 7. Assim, nem precisaremos perder tempo somando-os e dividindo a soma por 
dois. Basta dizer que Md=7. 
Daí: Letra D ? Resposta! 
 
10. (TTN-94) Marque a alternativa correta: 
a) O intervalo de classe que contém a moda é o de maior freqüência relativa 
acumulada (crescentemente). 
b) A freqüência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das 
freqüências simples em ordem decrescente. 
c) Em uma distribuição de freqüências existe uma freqüência relativa 
acumulada unitária, ou no primeiro, ou no último intervalo de classe. 
d) O intervalo de classe que contém a mediana é o de maior freqüência 
absoluta simples. 
e) Os intervalos de classe de uma distribuição de freqüência têm o ponto 
médio eqüidistante dos limites inferior e superior de cada classe e sua 
amplitude ou é constante ou guarda uma relação de multiplicidade com a 
freqüência absoluta simples da mesma classe. 
 
Sol.: Analisaremos item por item. Vamos lá. 
 a) O intervalo de classe que contém a moda é o de maior freqüência relativa acumulada 
(crescentemente). 
 Errado! Sabemos que a classe modal é aquela de maior freqüência absoluta simples! 
 b) A freqüência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das freqüências 
simples em ordem decrescente. 
 Errado! Aprendemos que a coluna apelidada de abaixo de é a fac: freqüência absoluta 
acumulada crescente. E não decrescente como disse esta opção! 
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 c) Em uma distribuição de freqüências existe uma freqüência relativa acumulada 
unitária, ou no primeiro, ou no último intervalo de classe. 
 Certo! Quando aprendemos a trabalhar com as colunas de freqüência de uma 
distribuição, vimos que as duas freqüências relativas acumuladas apresentam sempre 100%, 
ou na primeira classe (no caso da Fad) ou na última (no caso da Fac). Ora, 100% expresso 
em termos unitários é igual a 1 (a unidade)! 
 Assim: Letra C ? Resposta! 
 
 
11. (ESAF/TTN) Dado o gráfico abaixo, onde fi é a freqüência simples ou 
absoluta da i-ésima classe, então: 
 
 fi 
 
 12 
 
 10 
 8 
 
 6 
 
 4 
 2 
 
 
 2 4 6 8 10 12 14 16 idades 
 
a) a moda se encontra na 4o classe e é igual a 9; 
b) o número de observações é 42; 
c) como a distribução é assimétrica, moda=média=mediana; 
d) a freqüência acumulada crescente da 3ª classe é 20; 
e) 48
7
1
=∑
=i
fi . 
 
Sol.: Podemos começar transformando o Histograma acima para uma Distribuição de 
Freqüências! Teremos: 
Classes fi 
2-4 2 
4-6 6 
6-8 10 
8-10 12 
10-12 8 
12-14 6 
14-16 4 
 n=48 
 
Assim, só em construir a Distribuição e em somar a coluna da freqüência absoluta 
simples, imediatamente identificamos nossa resposta! 
Daí: Letra E ? Resposta! 
 
 
 
 
 
 
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12. (FISCAL DO TRABALHO-94) O levantamento de dados sobre os salários de 100 
funcionários de uma determinada empresa forneceu os seguintes resultados: 
 
Quantidade de 
salários mínimos 
Quantidade de 
funcionários 
2 |— 4 
4 |— 6 
6 |— 8 
8 |— 10 
10|— 12 
25 
35 
20 
15 
5 
Total 100 
É correto afirmar que: 
a) 20% dos funcionários recebem acima de 6 salários mínimos 
b) a mediana é 7 salários mínimos 
c) 60% dos funcionários recebem menos que 6 salários mínimos 
d) o salário médio é de 7 salários mínimos 
e) 80% dos funcionários recebem de 6 a 8 salários mínimos 
 
Sol.: Nesta tabela, vemos que n=100 elementos. Assim, se quisermos trabalhar com valores 
percentuais, teremos que relação entre as freqüências absolutas e relativas é de um para um. 
 Ou seja, as freqüências que estão nesta coluna podem ser, perfeitamente, consideradas 
relativas! 
 Assim, teremos: 
Classes Fi 
2-4 25% 
4-6 35% 
6-8 20% 
8-10 15% 
10-12 5% 
 Total: 100% 
 
 Vamos analisar item por item: 
 a) 20% dos funcionários recebem acima de 6 salários mínimos. 
 Errado! Acima de 6 salários nós temos as três últimas classes, as quais somadas 
representam 40% dos elementos do conjunto! 
 b) A Mediana é 7. 
 Errado! A Mediana seria 7 se estivéssemos diante de uma distribuição de freqüências 
simétrica! Como ainda não vimos o que é isso, deixemos para aprofundar esse comentário em 
outra ocasião. O fato é que, na verdade, sequer precisaríamos realizar essas contas! 
 c) 60% recebem menos que 6 salários mínimos. 
 Certo! Menos de 6 salários são as duas primeiras classes, as quais somadas nos fazem 
chegar a 60% dos elementos do conjunto! 
 Assim: Letra C ? Resposta! 
 
(TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir: 
Xi fi 
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2 |— 4 
4 |— 6 
6 |— 8 
8 |— 10 
10|— 12 
9 
12 
6 
2 
1 
 
13. A mediana da distribuição é igual a: 
a) 5,30kg 
b) 5,00kg 
c) um valor inferior a 5kg 
d) 5,10kg 
e) 5,20kg 
 
Sol.: Somando a coluna da fi vemos que há 30 (trinta) elementos neste conjunto! 
 São 30 posições, portanto! A mediana ocupa a posição central. Neste caso, a 15ª. 
 Ora, analisando as freqüências das classes, vemos que avançando só até a segunda 
classe já teremos acumulado 21 elementos! Todos perceberam isso? (9+12=21). 
 Vemos ainda que há 9 elementos na primeira classe. São 9 posições. Para chegarmos à 
15ª posição, teremos que avançar mais 6 posições, dentro da segunda classe, para chegarmos 
à Mediana. 
 E a segunda classe, sozinha, possui 12 elementos! Metade de 12 é 6. 
 Conclusão: precisaremos avançar metade da segunda classe para chegarmos à 
Mediana. E na metade da segunda classe, quem encontrarmos? O ponto médio! 
 Quem é o ponto médio da segunda classe? É 5. 
 Assim: Md=5 ? Letra B ? Resposta! 
 Se na hora da prova não conseguirmos levar a termo esta análise, e preferirmos fazer 
as contas, teremos: 
Classes fi fac 
2-4 9 9 ? Esta fac é ≥ 15? Não! Adiante! 
4-6 12 21 ? Esta fac é ≥ 15? Sim! 
6-8 6 27 
8-10 2 29 
10-12 1 30 
 n=30 
 
 Feito isso, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 4 Md 6 
fac associadas: 9 15 21 
 
 
 
2 
6 
X 
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Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 2 x 
 12 6 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(2x6)/12 ? X=1,0 
 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao 
valor do X que acabamos de calcular. Teremos: 
 ? Md=4+1 ? Md=5,0 ? Resposta! 
 
14. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) As distâncias, em milhares de quilômetros, 
percorridas em um ano pelos 20 táxis de uma empresa, estão representadas no 
quadro seguinte: 
Distâncias Número de Táxis 
45 |— 55 
55 |— 65 
65 |— 75 
75 |— 85 
85 |— 95 
3 
7 
4 
5 
1 
Total 
 
Nestas condições, é correto afirmar que a mediana dessa distribuição, em 
milhares de quilômetros é: 
a) 57 b) 61 c) 65 d) 69 e) 73 
Sol.: Esta questão se presta a um ensinamento maravilhoso! Uma dica de ouro, na verdade! 
 Vemos, mediante a soma das freqüências absolutas simples, que há 20 elementos 
neste conjunto (n=20). Assim, a posição da Mediana é a 10ª. 
 Seguindo os passos para determinação da Mediana, teremos: 
Classes fi fac 
45-55 3 3 ? Esta fac é ≥ 10? Não! Adiante! 
55-65 7 10 ? Esta fac é ≥ 10? Sim! 
65-75 4 14 
75-85 5 19 
85-95 1 20 
 n=20 
 
 Repare na pergunta da segunda classe: Esta fac (10) é maior ou igual a 10? 
 Qual a resposta! Sim! É o quê? É IGUAL! 
 O ensinamento é este: sempre que estivermos à procura da Classe Mediana e, na hora 
das perguntas, encontrarmos uma fac que seja exatamente igual à fração da Mediana, 
diremos imediatamente, sem perder mais um segundo sequer, que a Mediana é igual ao 
limite superior desta classe! 
 Assim, sem precisarmos fazer conta alguma, teremos que: 
 ? Md=65 ? Letra C ? Resposta! 
 
15. (AFTN/1994) Com relação à distribuição de freqüências abaixo, podemos 
dizer que a mediana e a moda: 
12 
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classes fi 
2 |— 4 
4 |— 6 
6 |— 8 
8 |—10 
10 |— 12 
7 
9 
18 
10 
6 
Total 
a) Têm valor superior ao da média aritmética 
b) Têm valor inferior ao da média aritmética 
c) Têm o mesmo valor 
d) Diferem por um valor igual a 10% da média aritmética 
e) Diferem por um valor superior a 10% da média aritmética. 
 
Sol.: Teremos que calcular a Média, a Moda e a Mediana do conjunto. 
 Vamos lá! Comecemos pela Média, para cujo cálculo usaremos o método da variável 
transformada. Teremos: 
Classes fi PM 
YiPM =−
2
)3(
 
fi.Yi 
2-4 7 3 0 0 
4-6 9 ... 1 9 
6-8 18 ... 2 36 
8-10 10 ... 3 30 
10-12 6 ... 4 24 
 n=50 99 
 
 ? Daí: 98,1
50
99 ==Y 
 Obs.: Sempre que precisarmos dividir qualquer valor por 50, muito melhor é fazer o 
seguinte: multiplica-se o tal valor por 2 e divide-se o resultado por 100. Sai mais rápido! 
 Daí, o desenho de transformação e os cálculos restantes são os seguintes: 
 1º)-3 2º)÷2 
 
 Xi Yi 
 
 2º)+3 1º)x2 
 
 ? 1,98 x 2 = 3,96 e 3,96 + 3 = 6,96 
 Assim: 96,6=X 
 Passemos ao cálculo da Moda. Teremos: 
Classes fi 
2-4 7 
4-6 9 
6-8 18 ? Classe Modal (>fi) 
8-10 10 
10-12 6 
 n=50 
 
 Aplicando a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: 
98,1=Y
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? h
pa
alMo .inf ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆+∆
∆+= ? 2.
89
96 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++=Mo ? Mo=7,05 
Finalmente, calculemos a Mediana do conjunto. Teremos: 
 
Classes fi fac 
2-4 7 7 ? Esta fac é ≥ 25? Não! Adiante! 
4-6 9 16 ? Esta fac é ≥ 25? Não! Adiante! 
6-8 18 34 ? Esta fac é ≥ 25? Sim! 
8-10 10 44 
10-12 6 50 
 n=50 
 
 Teremos: 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 6 Md 8 
fac associadas: 16 25 34 
 
 
 
 
 
 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 2 x 
 18 9 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(2x9)/18 ? X=1,0 
 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao 
valor do X que acabamos de calcular. Teremos: 
 ? Md=6+1 ? Md=7,0 
 
 Agora, vamos comparar as três respostas encontradas até aqui: 
 ? 96,6=X ; Mo=7,05 e Md=7,0 
 Assim, teremos que: 
 ? Mo e Md são maiores que a Média ? Letra A ? Resposta! 
18 
2 
9 
X 
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüência
s 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(Xi) 
diXi =−
5
37 
fi.di fi.di2 Fi.di3 fi.di4
19,5 |— 24,5 
24,5 |— 29,5 
29,5 |— 34,5 
34,5 |— 39,5 
39,5 |— 44,5 
44,5 |— 49,5 
49,5 |— 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
— 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
— 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
— 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
— 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
— 
18 
192 
567 
Total 16 206 154 1106 
 
 
16. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 
1º/1/90. 
a) 35,49 anos b)35,73 anos c) 35,91 anos d)37,26 anos e)38,01 anos 
 
Sol.: Questão muito tranqüila esta! É fornecida uma distribuição de freqüências e solicita-se 
que calculemos a Mediana do conjunto. 
 Seguindo os passos já conhecidos nossos, teremos: 
Classes de 
Idades 
(anos) 
fi fac 
19,5 |— 24,5 
24,5 |— 29,5 
29,5 |— 34,5 
34,5 |— 39,5 
39,5 |— 44,5 
44,5 |— 49,5 
49,5 |— 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
2 
11 
34 
63 
81 
93 
100 
? Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! 
? Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! 
? Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! 
? Esta fac é ≥ 50? Sim! 
Total n=100 
 
 Teremos: 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 34,5 Md 39,5 
fac associadas: 34 50 635 
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Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 5 x 
 29 16 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(5x16)/29 ? X=2,76 
 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao 
valor do X que acabamos de calcular. Teremos: 
 ? Md=34,5+2,76 ? Md=37,26 ? Resposta! 
 
17. Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 
1º/1/90. 
a) 35,97 anos d) 37,03 anos 
b) 36,26 anos e) 37,31 anos 
c) 36,76 anos 
 
Sol.: Vamos calcular a Moda do conjunto. Teremos: 
Classes de 
Idades 
(anos) 
fi 
19,5 |— 24,5 
24,5 |— 29,5 
29,5 |— 34,5 
34,5 |— 39,5 
39,5 |— 44,5 
44,5 |— 49,5 
49,5 |— 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
 
 
 
? Maior fi => Classe Modal! 
Total n=100 
 
 Aplicando a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: 
? h
pa
alMo .inf ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆+∆
∆+= ? 5.
116
65,34 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++=Mo ? Mo=26,26 anos ? Resposta! 
 
Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da 
empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 
 
18. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 
1º/1/96. 
a) 35,49 anos c) 41,49 anos e) 43,26 anos 
b) 36,44 anos d) 41,91 anos 
 
Sol.: A questão trabalha com a mesma tabela da anterior, exceto pelo fato de que agora 
estamos em outra data: 1º/janeiro/1996. Ou seja, seis anos após a data de confecção da 
Distribuição original. 
 Ora, se a tabela representa idades, e agora estamos seis anos após, significa que todas 
aquelas idades foram adicionadas à constante 6. 
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 Aprendemos que a Mediana, a exemplo da Média e da Moda, também é influenciada 
pelas quatro operações! 
 Sabendo disso, e conhecendo que a Mediana original era de 37,26 anos, a nova 
Mediana será: 
 ? Md= 37,26+6 = 43,26 ? Resposta! 
 
 
 Meus queridos, hoje iremos somente até aqui! 
 Próxima aula eu recupero o tempo perdido. Ok? 
 Obrigado, mais uma vez, pela compreensão! 
 Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!