ESTATISTICA REGULAR 9

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AULA 09 – MEDIDAS DE DISPERSÃO – PARTE 3 
 
 Olá, amigos! 
 Hoje é o dia de resolvermos todas as questões pendentes de Medidas de Dispersão! Por 
meio destas resoluções, veremos como o assunto costuma ser cobrado em prova! Ok? Espero 
que todos já tenham ao menos tentado resolvê-las! Vamos lá! 
 
Dever de Casa 
 
01. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o 
valor do desvio médio é: 
a) 2,1 d) 2,8 
b) 2,4 e) 3,1 
c) 2,6 
 
Sol.: Quando a questão fala em desvio médio, está, na verdade, falando em Desvio Médio 
Absoluto, ou em Desvio Absoluto Médio. Vimos que estes nomes são todos sinônimos! 
 Começaremos por onde? Pela fórmula! É sempre assim: a fórmula é o ponto de partida 
da resolução! 
 Uma vez que nosso conjunto é representado por um rol, teremos que: 
? DAM para ROL: 
n
XXi
DAM ∑ −= 
 Assim, olhando para o numerador, vemos que a Média ( X ) ainda não é nossa conhecida! 
Vamos, pois, calcular a Média. Teremos: 
 ? ( ) 7
5
35
5
119753 ==++++== ∑
n
Xi
X 
 Agora, ainda de olho no numerador, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos: 
 ? (Xi- X )={(3-7), (5-7), (7-7), (9-7), (11-7)} = {-4, -2, 0, 2, 4} 
 Ocorre que a fórmula não pede apenas (Xi- X ). Ela pede o módulo de (Xi- X ). 
 Assim, teremos: 
 (Xi- X ) ={4, 2, 0, 2, 4} 
 E a soma destes elementos será: 
 ( )∑ =++++=− 1242024XXi 
 Com isso, chegamos ao numerador da fórmula do Desvio Absoluto Médio! E quanto ao 
denominador? O que significa esse n? Ora, significa número de elementos do conjunto! E 
quantos são? São 5. Assim, concluindo a resolução, diremos que: 
 ? DAM=12/5 ? DAM=2,4 ? Resposta! 
 
 
 
 
 
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02. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padrão do conjunto de dados A={2, 
4, 6, 8, 10} é, aproximadamente: 
a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,6 
 
Sol.: Este enunciado fala agora em Desvio Padrão! Uma vez que nosso conjunto é um rol, e 
que não foi dito em momento algum que se tratava de uma amostra, calcularemos o S da 
seguinte forma: 
? Desvio Padrão Populacional para Rol: ( )
n
XXi
S ∑ −= 2 
 O primeiro passo será descobrir o valor da Média do conjunto. Teremos: 
 ? ( ) 6
5
30
5
108642 ==++++== ∑
n
Xi
X 
 Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos: 
 ? (Xi- X )={(2-6), (4-6), (6-6), (8-6), (10-6)} = {-4, -2, 0, 2, 4} 
 O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de 
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos: 
 ? (Xi- X )2={(-4)2, (-2)2, (0)2, (2)2, (4)2} = {16, 4, 0, 4, 16} 
 Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do 
conjunto construído acima. Teremos: 
 ? ( ) ( )∑ =++++=− 4016404162XXi 
 Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto). 
Assim, teremos, finalmente, que: 
? ( )
n
XXi
S ∑ −= 2 ? 8
5
40 ==S =2,8 ? Resposta! 
 
 
03. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma 
amostra de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho 
registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 
e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é: 
a) 3 c) 10 
b) 9 d) 30 
 
Sol.: Novamente aqui o enunciado quer saber o valor do desvio padrão do rol. Mas, 
diferentemente do exemplo anterior, por duas vezes é dito que o conjunto representa uma 
amostra. O que significa isso, em termos práticos? Significa que nossa fórmula terá que ser 
corrigida, com um acréscimo de menos 1 no denominador. Lembrados? A equação será a 
seguinte: 
? ( )
1
2
−
−= ∑
n
XXi
S 
O primeiro passo será o cálculo da Média. Teremos: 
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? ( ) 0,3
10
30
10
10644222000 ==+++++++++=X 
 
Na seqüência, construiremos o conjunto (Xi- X ). Fazendo isso, teremos: 
? (Xi- X )={(0-3), (0-3), (0-3), (2-3), (2-3), (2-3), (4-3), (4-3), (6-3), (10-3)} 
Assim: 
? (Xi- X )={(-3), (-3), (-3), (-1), (-1), (-1), (1), (1), (3), (7)} 
Elevando todo mundo ao quadrado, teremos: 
? (Xi- X )2={(-3)2, (-3)2, (-3)2, (-1)2, (-1)2, (-1)2, (1)2, (1)2, (3)2, (7)2} 
Daí: 
? (Xi- X )2={9, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 49} 
O numerador da fórmula pede que somemos esses elementos. Faremos: 
 ? ( )∑ =− 2XXi (9+9+9+1+1+1+1+1+9+49)=90 
O denominador, por sua vez, será (n-1), uma vez que estamos diante de uma amostra. 
Assim, sendo que n=10, então (n-1)=9. 
Aplicando a fórmula inteira, teremos: 
? ( )
1
2
−
−= ∑
n
XXi
S ? ? 10
9
90 ==S ? Resposta! 
 
Repare apenas que se nos esquecêssemos de pôr o -1 no denominador (por conta da 
amostra!), chegaríamos a uma outra opção de resposta, que não seria a correta! 
Adiante! 
 
04. (Fiscal de Rendas RJ 2003 FJG) O desvio-padrão populacional dos valores 30, 
40 e 50 é igual, aproximadamente, a: 
A) 8 B) 8,16 C) 10 D) 10,16 
 
Sol.: Questão semelhante à segunda. O conjunto é uma população e está representado por um 
rol. Comecemos pela fórmula. Teremos: 
 
? Desvio Padrão Populacional para Rol: ( )
n
XXi
S ∑ −= 2 
 Descubramos logo o valor da Média do conjunto. Teremos: 
 ? ( ) 40
3
120
3
504030 ==++== ∑
n
Xi
X 
 Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos: 
 ? (Xi- X )={(30-40), (40-40), (50-40)} = {-10, 0, 10} 
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 O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de 
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos: 
 ? (Xi- X )2={(-10)2, (0)2, (10)2} = {100, 0, 100} 
 Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do 
conjunto construído acima. Teremos: 
 ? ( ) ( )∑ =++=− 20010001002XXi 
 Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto). 
Assim, teremos, finalmente, que: 
? 
( )
n
XXi
S ∑ −= 2 ? 67,66
3
200 ==S =8,16 ? Resposta! 
 
 
05. (AFC-94) Uma empresa que possui 5 máquinas copiadoras registrou em cada 
uma delas no último mês (em 1000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias, 
respectivamente. O valor da variância desta população é: 
a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 25 
 
Sol.: Esta questão pede o cálculo da Variância Populacional de um Rol. Começaremos, como 
sempre, pondo a fórmula no papel. É a seguinte: 
? Fórmula da Variância Populacional para Rol: ( )
n
XXi
S ∑ −= 22 
 
 Como primeiro passo, teremos que descobrir a Média do conjunto. Teremos: 
 
 ? ( ) 25
5
125
5
3027252320 ==++++== ∑
n
Xi
X 
 Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos: 
 ? (Xi- X )={(20-25), (23-25), (25-25), (27-25), (30-25)} = {-5, -2, 0, 2, 5} 
 O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de 
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos: 
 ? (Xi- X )2={(-5)2, (-2)2, (0)2, (2)2, (5)2} = {25, 4, 0, 4, 25} 
 Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do 
conjunto construído acima. Teremos: 
 ? ( )∑ − 2XXi = 58 
 Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto). 
Assim, teremos, finalmente, que: 
 ? ( )
n
XXi
S ∑ −= 22 ? S2=
5
58
=11,6 ? Resposta! 
 
 
 
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06. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Os valores de uma amostra de 
cinco elementos são: 4, 3, 3, 5 e 5. A variância dessa amostra é de: 
A) 4,00 b) 3,00 c) 2,33 d) 1,00Sol.: A questão agora pede o cálculo da Variância Amostral. Ou seja, nosso conjunto agora 
representa não mais a população, e sim apenas uma amostra! Isso influencia nossas contas, 
como já sabemos! O denominador da fórmula terá que receber o menos 1. Assim: 
? Fórmula da Variância Amostral para Rol: ( )
1
2
2
−
−= ∑
n
XXi
S 
 
 Antes de mais nada, convém que coloquemos esses elementos em ordem crescente, para 
que se configure realmente o rol. Teremos: 
 ? (3, 3, 4, 5, 5) 
 Agora, sim! Na seqüência, descobriremos a Média do conjunto. Teremos: 
 ? ( ) 0,4
5
20
5
55433 ==++++== ∑
n
Xi
X 
 Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos: 
 ? (Xi- X )={(3-4), (3-4), (4-4), (5-4), (5-4)} = {-1, -1, 0, 1, 1} 
 O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de 
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos: 
 ? (Xi- X )2={(-1)2, (-1)2, (0)2, (1)2, (1)2} = {1, 1, 0, 1, 1} 
 Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do 
conjunto construído acima. Teremos: 
 ? ( )∑ − 2XXi = 4 
 Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto). 
Assim, teremos, finalmente, que: 
 ? ( )
1
2
2
−
−= ∑
n
XXi
S ? S2=
4
4
=1,0 ? Resposta! 
 
 
07. (AFPS-2002/ESAF) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a 
opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. 
a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 
 
Sol.: Novamente se pede o cálculo da Variância de um Rol. Embora não tenha sido usada a 
palavra amostra de forma expressa, o enunciado indica que devemos calcular a Variância 
Amostral, no instante em que determina que deveremos usar o denominador 4 nos nossos 
cálculos. Ora, se o conjunto tem n=5 elementos, e usaremos 4 no denominador, é porque está 
sendo feita a correção da fórmula para o caso da amostra! 
Colocando a fórmula no papel, teremos: 
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? Fórmula da Variância Amostral para Rol: ( )
1
2
2
−
−= ∑
n
XXi
S 
 
 
 Antes de mais nada, convém que coloquemos esses elementos em ordem crescente, para 
que se configure realmente o rol. Teremos: 
 ? (2, 3, 4, 4, 7) 
 Agora, sim! Na seqüência, descobriremos a Média do conjunto. Teremos: 
 ? ( ) 0,4
5
20
5
74432 ==++++== ∑
n
Xi
X 
 Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos: 
 ? (Xi- X )={(2-4), (3-4), (4-4), (4-4), (7-4)} = {-2, -1, 0, 0, 3} 
 O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de 
(Xi- X ). Fazendo isso, teremos: 
 ? (Xi- X )2={(-2)2, (-1)2, (0)2, (0)2, (3)2} = {4, 1, 0, 0, 9} 
 Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do 
conjunto construído acima. Teremos: 
 ? ( )∑ − 2XXi = 14 
 Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto). 
Assim, teremos, finalmente, que: 
 ? ( )
1
2
2
−
−= ∑
n
XXi
S ? S2=
4
14
=3,5 ? Resposta! 
 
 
08. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram 
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa 
de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 
16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
 
Σi Xi = 490 e Σi Xi2 – (Σi Xi )2/ 50 = 668 
 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, 
respectivamente (com aproximação de uma casa decimal) 
a) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6) 
b) (9,5 14,0) e) (9,0 14,0) 
c) (8,0 15,0) 
 
Sol.: Esta questão pede duas coisas: a Mediana e a Variância Amostral. O conjunto, como 
vemos, está representado por um rol. 
 Comecemos pela Mediana. Ora, se o conjunto é um rol, então faz diferença se o n é o 
número par ou ímpar! Neste caso, temos que n=50, logo, um número par. 
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 E se n é um número par, significa que haverá duas posições centrais no conjunto! Estas 
serão determinadas assim: 
 ? 1ª Posição central: (n/2) = 50/2 = 25ª posição! 
 ? 2ª Posição central: a vizinha posterior = 26ª posição. 
 
 
 
 Pronto! De resto, basta descobrir agora quais são os elementos que ocupam, 
respectivamente, estas duas posições; e depois fazer a média deles dois, ou seja, somá-los e 
dividir por dois o resultado da soma. 
 Esta média nem será necessária, uma vez que as duas posições centrais são, ambas, 
ocupadas por um mesmo elemento (9). Assim, chegamos à primeira resposta: 
 ? Md=9,0. 
 E quanto à Variância Amostral? Ora, percebamos que o enunciado nos forneceu um dado 
adicional. Foi dito que: 
 ? Σi Xi2 – (Σi Xi )2/ 50 = 668 
 Será que esse dado vai servir de alguma coisa? 
 
 Para saber disso, precisamos colocar no papel as duas fórmulas: a básica e a 
desenvolvida. Teremos: 
? Fórmula Básica da Variância Amostral para Rol: 
( )
1
2
2
−
−= ∑
n
XXi
S 
 
? Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Rol: 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑ ∑n
Xi
Xi
n
S
2
22 .
1
1
 
 
 Ora, se bem observarmos, perceberemos que o dado adicional da questão aparece na 
fórmula desenvolvida da variância! Sim! Todos enxergaram? Ele é o colchete da fórmula! Já todo 
calculado para nós, de bandeja! Assim, ficou evidenciado que adotaremos a equação 
desenvolvida para resolver essa questão, e com imenso benefício para nós! 
 Teremos: 
? ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑ ∑n
Xi
Xi
n
S
2
22 .
1
1
 ? [ ] 6,13
49
668668.
150
12 ==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=S ? Resposta! 
 
 Essa questão foi da prova do Fiscal da Receita de 1998. Foi a minha primeira tentativa 
(frustrada) de virar fiscal. Lembro como se fosse hoje, que eu olhava para esse dado adicional e 
pensava comigo: tenho certeza que isso serve para alguma coisa... Infelizmente, à época, eu 
não conhecia ainda a fórmula desenvolvida da variância. Uma pena! 
 Adiante! 
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09. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma 
empresa eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância 
do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é: 
a) 1,1627x107 c) 1,1627x105 
b) 1,1627x106 d) 1,1627x104 
 
Sol.: Aqui vem uma questão fácil, mas interessante! Ela explora uma propriedade da variância: 
a propriedade do produto e divisão! 
 Foi dito que haverá um corte de 3 zeros na moeda. 
 Assim, quem ganhava 1000, com esses três zeros a menos, passará a ganhar 1. Quem 
ganhava 2000 vai ganhar 2; quem ganhava 3000 vai ganhar 3. 
 Concordam? 
 E qual é a operação matemática que faz com que 1000 vire 1, 2000 vire 2, e 3000 vire 3? 
 Dividir por 1000, claro! E 1000 é o mesmo que 103. 
 Tudo bem até aqui? 
 Assim, concluímos: todos os elementos do conjunto original (salários originais) foram 
divididos por uma mesma constante (103). 
 O que diz a propriedade da Variância sobre isso? Diz que a nova variância, ou seja, a 
variância do novo conjunto, será igual à variância do conjunto original dividida pelo quadrado da 
constante! 
 Quem é o quadrado de 103? É 106. 
 Isso é uma propriedade da potenciação. Potência de potência! Repete a base e 
multiplicam-se os expoentes. Lembrados? O que fizemos foi isso: 
 ? (103)2 = 10(3x2) = 106 
 Melhorou? 
 Assim, a nova variância será dividida por 106. Teremos: 
 ? Nova Variância = 6
10
10
101627,1 x
= 1,1627x104 ? Resposta!Nesta última conta foi usada uma outra propriedade da potenciação: a divisão de 
potencia de mesma base. O que se faz neste caso? Repete-se a base, e subtraem-se os 
expoentes! A base é 10. Foi repetida. Os expoentes eram 10 e 6. Foram subtraídos. E o que 
restou? 10 elevado a 4. 
 Entendido? Adiante! 
 
10. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio 
padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento 
de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de: 
a) $ 10.000,00 d) $ 10.900,00 
b) $ 10.100,00 e) $ 11.000,00 
c) $ 10.500,00 
 
Sol.: Todos os salários receberam um aumento de 10%. Como traduzir esta informação para 
uma operação matemática? Esse é o X da questão! 
 Aumento de 10% significa um produto! Por quanto? Por 1,10. 
 Se o aumento fosse de 15%, multiplicaríamos por 1,15. 
 Se fosse por 30%, multiplicaríamos por 1,30. 
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 E assim por diante! 
 E se, ao invés de aumento, fosse redução de 10%? O que faríamos? Multiplicaríamos por 
0,90. 
 Se fosse redução de 20%, multiplicaríamos por 0,80. 
 Se fosse redução de 30%, multiplicaríamos por 0,70. E assim por diante! 
 Pois bem! Se todos os elementos do conjunto foram multiplicados por uma mesma 
constante (1,10), o que ocorrerá ao novo desvio padrão? De acordo com a propriedade, o novo 
desvio padrão será também multiplicado pela mesma constante! 
 Assim: Novo Desvio Padrão = 10.000 x 1,10 = 11.000 ? Resposta! 
 
11. (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permanência no mesmo emprego 
de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes resultados 
para as médias X a e X b e desvios-padrão Sa e Sb. 
Grupo A: X a = 120 meses e Sa=24 meses 
Grupo B: X b = 60 meses e Sb=15 meses 
É correto afirmar que: 
a) a dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo B 
b) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A 
c) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B 
d) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B 
e) a média entre os dois grupos é de 180 meses 
 
Sol.: Essa questão é meramente conceitual! 
 Precisamos saber o que é Dispersão Absoluta e o que é Dispersão Relativa. E isso já 
aprendemos: 
 ? Dispersão Absoluta = Desvio Padrão; 
 ? Dispersão Relativa = Coeficiente de Variação. 
 Sabendo disso, podemos criar uma pequena tabela, para organizar melhor os dados da 
questão. Teremos: 
 Média Desvio Padrão 
(Dispersão Absoluta) 
CV 
(Dispersão Relativa) 
Grupo A 120 24 (24/120)=0,20 
Grupo B 60 15 (15/60)=0,25 
 
 Pronto! Chegamos à resposta! Vejam aí a opção D: A dispersão relativa de A é 4/5 da 
dispersão relativa de B. 
 É verdade isso? 0,20 = (4/5)x0,25 ?? 
 Sim! Então aí está! Letra D ? Resposta! 
 
 
12. (TCU-93) O quadro abaixo apresenta a renda mensal per capita das 
localidades A e B: 
Localidade Média Desvio Padrão
A 50 10 
B 75 15 
 
Assinale a opção correta: 
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a) O intervalo semi-interquartílico é dado por [10, 15] 
b) A renda da localidade A é mais homogênea que a renda na localidade B 
c) O coeficiente de variação é 50/75 
d) A renda da localidade B é mais homogênea que a da localidade A 
e) Os coeficientes de variação de renda nas localidades A e B são iguais 
 
Sol.: Questão semelhante à anterior! 
 Façamos o quadro completo. Teremos: 
 Média Desvio Padrão CV 
Grupo A 50 10 (10/50)=0,20 
Grupo B 75 15 (15/75)=0,20 
 
 De imediato, morreu a questão! Basta verificar o texto da opção E, a qual nos diz que os 
dois coeficientes de variação são iguais! 
 Uma observação: o CV é indicativo de homogeneidade do conjunto: 
 ? Quanto menor o CV, mais homogêneo é o conjunto; 
 ? Quanto maior o CV, menos homogêneo é o conjunto. 
 Ok? Adiante! 
 
13. (TCDF-1995) Uma pesquisa de preços de determinado produto, realizada em 
dois mercados, produziu os resultados mostrados na tabela abaixo: 
 
Mercado Preço Médio (R$/kg) Desvio Padrão (R$/kg) 
I 5,00 2,50 
II 4,00 2,00 
Com base nesses resultados, é correto afirmar que 
a) no mercado I, a dispersão absoluta dos preços é menor que no mercado II. 
b) o mercado I apresenta uma dispersão relativa (de preços) maior que a do 
mercado II. 
c) no mercado I, a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta. 
d) no mercado I, a dispersão relativa dos preços é igual a do mercado II. 
e) considerando os mercados I e II como se fossem um único mercado, a dispersão 
absoluta da distribuição resultante é igual a 4,5. 
 
Sol.: Outra questão na mesma linha! 
 Façamos o quadro completo. Teremos: 
 Média Desvio Padrão CV 
Grupo I 5,0 2,5 (2,5/5,0)=0,5 
Grupo II 4,0 2,0 (2,0/4,0)=0,5 
 
 Como já sabemos o que é dispersão absoluta e dispersão relativa, resta-nos analisar as 
opções de resposta, para concluir que a correta é a letra D, que diz que os dois CV são iguais! 
 Adiante! 
 
14. (AFRF-2002.2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi 
observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: 
Grupo Média Desvio padrão 
A 20 4 
B 10 3 
Assinale a opção correta. 
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a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. 
b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. 
c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo 
A. 
d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da 
diferença de desvios padrão pela diferença de médias. 
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa 
nos grupos. 
 
Sol.: Uma curiosidade: as três questões anteriores, que traziam rigorosamente o mesmo 
modelo desta aqui, caíram em provas de 1993, 1994 e 1995. Ora, qual não foi a surpresa de 
muita gente, minha inclusive, ao encontrar novamente o mesmo enunciado numa prova de 
2002! Moral da história: a Esaf reutiliza questões antigas, vez por outra! De sorte que vale a 
pena, muitíssimo, conhecer bem as provas passadas! Quanto mais, melhor! 
 
 Façamos o quadro completo. Teremos: 
 Média Desvio Padrão CV 
Grupo A 20,0 4,0 (4/20)=0,20 
Grupo B 10,0 3,0 (3/10)=0,30 
 
 Vemos, sem maiores dificuldades, que o CV do grupo B é maior que o CV do grupo A. É o 
que está sendo dito na alternativa c. 
 Logo: Letra C ? Resposta! 
 
15. (AFC-94) Seja X uma variável aleatória com média aritmética x = 10 e 
desvio-padrão S = 3. Considere as variáveis: y = 2x +1 e z = 2x. A 
única afirmação errada é: 
a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética. 
b) o desvio padrão de y é 6. 
c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão. 
d) a média de y é 21. 
e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiente de variação. 
 
Sol.: Aqui começa uma seqüência de questões que envolvem a variável transformada! 
Questões muito fáceis, diga-se de passagem! 
 A variável original é a X. 
 Neste enunciado, há duas variáveis transformadas: Y e Z, assim definidas: 
 ? Y=2X+1 e ? Z=2X 
 Conhecemos a média e o desvio padrão da variável original X. 
 Fazendo o desenho de transformação da variável para a variável Y, teremos: 
 1º)x2 2º)+1 
 
 
 Xi Yi 
 
Agora, aplicando a propriedade da média, que é influenciada pelas quatro operações, 
teremos: 
 1º)x2 2º)+1 
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www.pontodosconcursos.com.br 14x =10 =y (10x2)+1=21 
 Xi Yi 
 
Aplicando a propriedade do desvio padrão, que só é influenciado por produto e divisão 
(multiplica-se ou divide-se pela própria constante), teremos: 
 1º)x2 2º)+1 
 
 Sx=3,0 Sy=(3x2)=6,0 
 Xi Yi 
 
 Temos ainda que a variável Z é definida por: Z=2.X 
Construindo o caminho de transformação da variável e aplicando as mesmas 
propriedades acima, teremos que: 
 1º)x2 
 
 x =10 =Z (10x2)=20 
 Xi Zi 
 
Aplicando a propriedade do desvio padrão, que só é influenciado por produto e divisão 
(multiplica-se ou divide-se pela própria constante), teremos: 
 1º)x2 
 
 Sx=3,0 Sz=(3x2)=6,0 
 Xi Zi 
 
Com isso, chegamos a quatro resultados. Os seguintes: 
? Média de Y=21 ; 
? Desvio Padrão de Y = 6,0 
? Média de Z=20; 
? Desvio Padrão de Z=6,0 
Analisando as opções de resposta, concluiremos que Y e Z tem o mesmo desvio 
padrão. É o que nos diz a alternativa C. 
Logo: Letra C ? Resposta! 
 
 
16. (FTE-PA-2002/ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, 
tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que 
corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo 
Y = 5 + 5W. 
a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2% 
 
Sol.: Começarmos fazendo o desenho de transformação da variável. Teremos: 
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 1º)x5 2º)+5 
 
 
 Wi Yi 
 O enunciado nos forneceu elementos da variável W, e pediu resultados da variável Y. 
 Precisamos achar o CV da variável Y. Para tanto, precisaremos conhecer a sua média e o 
seu desvio padrão. Trabalhando com essas duas medidas, e explorando as suas propriedades, 
teremos: 
 
 
 
 1º)x5 2º)+5 
 
 w=5 =y (5x5)+5=30 
 Wi Yi 
 
Aplicando a propriedade do desvio padrão, que só é influenciado por produto e divisão 
(multiplica-se ou divide-se pela própria constante), teremos: 
 1º)x5 2º)+5 
 
 Sw=1,0 Sy=(1x5)=5,0 
 Wi Yi 
 
 Conhecedores desses resultados, teremos agora condições de calcular o CV de Y. 
Teremos: 
 ? CV=Desvio Padrão/Média ? CVy=5/30=0,167 = 16,7% ? Resposta! 
 
17. (AFRF-2003/ESAF) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância 
amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação 
amostral de X. 
a) 12,9% d) 31,2% 
b) 50,1% e) 10,0% 
c) 7,7% 
 
Sol.: Novamente, começarmos fazendo o desenho de transformação da variável. Teremos: 
 1º)-2 2º)÷3 
 
 
 Xi Zi 
 
 
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 2º)+2 1º)x3 
 Conhecemos a Média e o Desvio Padrão da variável transformada Z, e a questão nos 
pede o cálculo do CV da variável original X. 
 Para chegarmos à resposta, precisaremos conhecer o valor da Média e do Desvio Padrão 
de X. Faremos o seguinte: 
 1º)-2 2º)÷3 
 
 
 Xi Zi 20=Z e S2z=2,56 
 
 
 2º)+2 1º)x3 
 
 Daí: ? X =(20x3)+2 ? X =62,00 
 O problema da média está resolvida! Agora, a respeito do desvio padrão tem um chapéu! 
 Precisamos do Desvio Padrão de X, e a questão nos forneceu a Variância de Z. Ora, para 
chegarmos ao Desvio Padrão de X, precisamos partir do Desvio Padrão de Z. 
 Assim, sabendo que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, faremos: 
 ? Sz= 56,22 =Sz =1,6 
 Agora, sim! Aplicando a propriedade do desvio padrão, teremos: 
 ? Sx=1,6x3=4,8 
 Finalmente, teremos que: 
 ? CVx= Desvio Padrão de X/Média de X = 1,6/62=0,077 
 ? CVx=7,7% ? Resposta! 
 
18. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a 
receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média 
amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. 
Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. 
a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0% 
 
Sol.: Questão idêntica à anterior. Façamos o desenho de transformação. Teremos: 
 
 1º)-200 2º)÷5 
 
 
 Xi Zi 100=Z e Sz=13,00 
 
 
 2º)+200 1º)x5 
 
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 Conhecemos a Média e o Desvio Padrão da variável transformada, e queremos calcular o 
CV da variável original X. Aplicando as propriedades devidas, faremos: 
? X =(100x5)+200 ? X =700,00 
? Sx=13x5=65,00 
Daí, finalmente, diremos que: 
? CVx=65/700 ? CV=0,093 =9,3% ? Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠ 0 e desvio padrão positivo 
b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. 
a) A média amostral de Z coincide com a de W. 
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. 
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. 
d) A média de Z é a/b. 
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. 
 
Sol.: Uma questão bem simples. Convém, para facilitar mais ainda nosso raciocínio, que 
adotemos a nomenclatura com a qual estamos acostumados! Assim, quando a questão diz que a 
média de W é a, diremos que é W . O enunciado diz também que o desvio padrão de W é b. 
Diremos que é Sw. 
 Assim, faremos agora o desenho de transformação sugerida pelo enunciado. Teremos: 
 
 1º)- W 2º)÷Sw 
 
 
 Wi Zi 
 
 Agora, se partirmos com W , chegaremos à Média de Z. Teremos: 
 ? Z =(W -W )÷Sw ? Z =0, 
 Ora, se é verdade que Z =0, então, também concluiremos que: 
 ? CVw=
0
Sw
Z
Sw = 
 E qualquer divisão por zero, na linguagem da Esaf, resulta em um valor indefinido! 
 É o que diz a alternativa C. 
 Logo: Letra C ? Resposta! 
 
20. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de 
um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a 
tabela de freqüências seguinte: 
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Classe de 
Preços 
mi fi
[ 5 – 9) 7 3
[ 9 – 13) 11 5
[13 – 17) 15 7
[17 – 21) 19 6
[21 – 25) 23 3
[25 – 29) 27 1
 
As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüênciada classe de 
preços i. Sabendo-se que: Σi(fi mi2) – (Σi fi mi)2 / 25 ≈ 694 
assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral. 
 
a) 0,5 (347/3)0.5 
b) 6 
c) 0,9 (345/3)0.5 
d) 28,91 
e) 8 
 
Sol.: A questão pede o cálculo do desvio padrão amostral. 
 
 Pela informação adicional do enunciado, resta evidenciado que devemos trabalhar com a 
fórmula desenvolvida do desvio padrão amostral. Como o conjunto está em formato de uma 
Distribuição de Freqüências, teremos que: 
? Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de 
Freqüências: 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑ ∑ nPMfiPMfinS
2
2 ...
1
1
 
 
 Reparem que o dado adicional da questão já é o próprio colchete da fórmula acima. 
 Assim, sabendo ainda que n=25 elementos, teremos que: 
? ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑ ∑ nPMfiPMfinS
2
2 ...
1
1
 ? [ ]694.
24
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=S ? ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
24
694S 
 
 O que é preciso agora é transformar esse resultado ao qual chegamos acima em uma das 
alternativas de resposta! Usaremos um pouco de álgebra. 
 Se fatorarmos o denominador, teremos que: 24=2x2x2x3=22x12 
 Assim: 
? ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
24
694S ? ( ) 5,02 3/3475,03
347.
2
1
6
694.
2
1
122
694 x
x
S ===⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ? Resposta! 
 
21. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de 
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna 
Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa 
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a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
1680
7
1
2 =∑ =i ii Zf , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de 
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. 
 
a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 
 
Sol.: Essa questão é das boas! Envolve uma transformação da variável original. Esta 
transformação foi fornecida pelo próprio enunciado, e está expressa pela seguinte conta: Z=(X-
140)/10. 
 A variável original é a Xi, e está sendo transformada na Zi por meio de duas operações: 
uma subtração por 140 e depois uma divisão por 10. 
 Pois bem! O que nos pede a questão? Que encontremos a variância amostral. 
 
 Reparemos que quando se trata de variância, faz toda diferença se estamos trabalhando 
com uma amostra ou com uma população! 
 
 As fórmulas para cálculo da variância amostral, conforme já sabemos, são as seguintes: 
 
 ? 
1
.)( 22
−
−= ∑
n
fiXPM
S ou ? 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
∑∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 ...
1
1
 
 
 Como decidir por uma delas? Ora, ambas nos fazem chegar ao mesmo resultado, porém 
haverá sempre uma que será mais conveniente para nossa resolução, de acordo com os dados 
adicionais fornecidos pelo enunciado! 
 Neste caso, o dado adicional foi o seguinte: 16807 1
2 =∑ =i ii fZ 
 
 Onde Zi é o ponto médio transformado, ou seja, o ponto médio da variável Z. 
 
 Dica: sempre que a questão trouxer em seu enunciado uma transformação da variável, é 
interessante que nós façamos de pronto um desenho que a represente. Trata-se do desenho de 
transformação da variável. 
 
 Teremos: 
 
 1ª)-140 2ª)÷10 
 
 
X Z 
 
 
 2ª)+140 1ª)x10 
 
 
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 Voltemos ao dado adicional trazido pelo enunciado: 16807 1
2 =∑ =i ii fZ 
 Comparemos esse dado com as duas fórmulas passíveis de serem usadas: 
 
 ? 
1
.)( 22
−
−= ∑
n
fiXPM
S ou ? 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
∑∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 ...
1
1
 
 
 Pronto! Já temos condição de afirmar que a fórmula boa para essa resolução é a fórmula 
desenvolvida! A maior! Para ficar melhor de enxergar, troquemos PM (Ponto Médio) por Zi (que 
é o ponto médio da variável Z), e teremos: 
 
? 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
∑∑ n
Zifi
Zifi
n
S
2
22 ...
1
1
 
 
 Viram? Daquele colchete, já conhecemos o valor da primeira parcela, que é igual a 1680. 
Sabemos também que para essa distribuição de freqüências, n=200, conforme dito na segunda 
linha do enunciado (...foram examinados 200 itens...). 
 Daí, até agora, substituindo os valores conhecidos na fórmula, teremos: 
 
? 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
∑
200
.
1680.
1200
1
2
2 ZifiS 
 
 Em suma: só nos resta descobrir o valor do numerador da segunda parcela do colchete, 
ou seja, o valor de (∑fi.Zi)2. 
 Vamos trabalhar as colunas de freqüência da nossa distribuição. A coluna P(%) 
representa neste caso, conforme já é do nosso conhecimento, a freqüência relativa acumulada 
crescente (Fac). Daí, construiremos primeiro a coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi) e 
depois a da freqüência absoluta simples (fi). 
 Esse trabalho com as colunas de freqüência é algo cujo conhecimento é imprescindível 
para nós! E estou contando que todos nós já saibamos fazer isso! O resultado deste trabalho 
será o seguinte: 
 
Classes Fac Fi fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 n=200 
 
 Do que precisamos mesmo? Da parcela (∑fi.Zi)2. Ora, a coluna fi já é nossa conhecida! 
Resta, pois, encontrarmos quem é o Zi. Sabemos que Zi=(Xi-140)/10, e que este Xi 
representa o Ponto Médio da variável original. Daí, precisamos logo construir a coluna do Xi. 
Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
70-90 5% 5% 10 80 
90-110 15% 10% 20 100 
110-130 40% 25% 50 120 
130-150 70% 30% 60 140 
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150-170 85% 15% 30 160 
170-190 95% 10% 20 180 
190-210 100% 5% 10 200 
 n=200 
 
 Agora, sim: nosso próximo passo é construir a coluna do Zi. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
Zi= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
10
140Xi
 
70-90 5% 5% 10 80 -6 
90-110 15% 10% 20 100 -4 
110-130 40% 25% 50 120 -2 
130-150 70% 30% 60 140 0 
150-170 85% 15% 30 160 2 
170-190 95% 10% 20 180 4 
190-210 100% 5% 10 200 6 
 n=200 
 
 Voltemos agora para nosso objetivo: (∑fi.Zi)2. Próximo passo? Construir a coluna (fi.Zi), 
e somar seus valores. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
Zi= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
10
140Xi
 
fi.Zi 
70-90 5% 5% 10 80 -6 -60 
90-110 15% 10% 20 100 -4 -80 
110-130 40% 25% 50 120 -2 -100 
130-150 70% 30% 60 140 0 0 
150-170 85% 15% 30 160 2 60 
170-190 95% 10% 20 180 4 80 
190-210 100% 5% 10 200 6 60 
 n=200 (∑fi.Zi)=-40 
 
 Quase lá! O que queremos? (∑fi.Zi)2. Daí, teremos: (-40)2=1600. Agora só precisamos 
completar a fórmula e fazer as contas. Ficaremos com: 
 
? 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
∑
200
.
1680.
1200
1
2
2 ZifiSz ? ? ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
200
16001680.
199
12Sz ?
199
16722 =Sz 
 
 ? E: SZ2=8,4020 
 
 Bem que esta poderia ser nossa resposta! Só que ainda não é! Claro que não! O que 
encontramos foi a variância da variável transformada! E o que a questão pede é a variância 
da variável original. 
 É aí que entra aquele tal desenho de transformação da variável. 
 O resultado que temos até aqui (8,4020) está do lado da variável Z. Teremos: 
 
 1ª)-140 2ª)÷10X Z Sz2=8,4020 
 
 
 2ª)+140 1ª)x10 
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 Para chegarmos à variância do lado de cá, ou seja, da variável original X, teremos que 
percorrer o caminho de baixo, lembrando das propriedades da variância. 
 Variância é influenciada por produto ou divisão? Sim! Multiplicaremos (ou dividiremos) a 
variância pelo quadrado da constante! 
 Logo, se a primeira operação do caminho de baixo é uma multiplicação por dez, então 
faremos com a variância um produto pelo quadrado de dez, ou seja, multiplicaremos por 100 
(cem). 
 Já no tocante à segunda operação do caminho de baixo, lembraremos que a variância 
não é influenciada por operações de soma ou subtração. Ou seja, a segunda operação (soma 
com 140) não será realizada! Teremos: 
 
 1ª operação) 8,4020 x 100 = 840,20 
 
 2ª operação) Não realizaremos! 
 
 Daí: Variância da Variável Original = Sx2=840,20 ? Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, 
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, 
produziu a tabela de freqüências seguinte: 
 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. 
a) 16,0 d) 18,1 
b) 17,0 e) 13,0 
c) 16,6 
 
Sol.: O ponto de partida da resolução, como sabemos, é a fórmula! Neste caso, a nossa é a 
seguinte: 
n
fiXPM
DMA
∑ −= . 
 
 O enunciado chamou a medida de desvio absoluto médio. Poderia ser também desvio 
médio absoluto ou simplesmente desvio absoluto. São sinônimos. 
 Esta nunca foi uma medida muito explorada em provas de estatística, embora sempre 
tenha figurado entre os programas! 
 Os passos de resolução serão determinados, obviamente, pela fórmula. Olhando para a 
equação, veremos aquilo que já dispomos, e o que ainda não temos e precisamos encontrar. 
Voltemos a olhar para a nossa distribuição de freqüências e para a fórmula: 
 
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Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
O que já temos? Olhemos para a equação! Temos os Pontos Médios? Ainda não! Então é 
nosso primeiro passo: construir a coluna dos Pontos Médios. Teremos: 
 
Classes fi PM 
29,5-39,5 4 34,5 
39,5-49,5 8 44,5 
49,5-59,5 14 54,5 
59,5-69,5 20 64,5 
69,5-79,5 26 74,5 
79,5-89,5 18 84,5 
89,5-99,5 10 94,5 
 
 
 
 
A fórmula agora pede a Média. Já a temos? Ainda não! Então é nosso próximo passo está 
definido: calcular a Média! É como se fossem duas questões em uma! Usaremos o método da 
variável transformada. Teremos: 
 
Classes fi PM ( ) YiPM =−
10
5,34
 
Yi.fi 
29,5-39,5 4 34,5 0 0 
39,5-49,5 8 44,5 1 8 
49,5-59,5 14 54,5 2 28 
59,5-69,5 20 64,5 3 60 
69,5-79,5 26 74,5 4 104 
79,5-89,5 18 84,5 5 90 
89,5-99,5 10 94,5 6 60 
 ∑Yi.fi=350 
 
 Daí, encontrando a média da variável transformada Y, teremos: 
 
 ? 
n
fiYi
Y ∑= . ? 50,3
100
350 ==Y 
 
 Agora, fazendo as operações do caminho de volta da transformação da variável, teremos: 
 ? 1º) 3,5 x 10 = 35,0 
 ? 2º) 35 + 34,5 = 69,5 ? X =69,5 
 
 
 A equação do Desvio Médio Absoluto pede agora a diferença (PM- X ). Teremos: 
 
Classes fi PM (PM- X ) 
29,5-39,5 4 34,5 -35 
n
fiXPM
DMA
∑ −= . 
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39,5-49,5 8 44,5 -25 
49,5-59,5 14 54,5 -15 
59,5-69,5 20 64,5 -5 
69,5-79,5 26 74,5 5 
79,5-89,5 18 84,5 15 
89,5-99,5 10 94,5 25 
 
 Reparando melhor na fórmula, veremos que ela pede o valor absoluto da coluna que 
acabamos de construir. O módulo! E o efeito do módulo é, senão outro, transformar em positivo 
quem estiver negativo. Daí, tomando a última coluna construída, faremos: 
 
Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| 
29,5-39,5 4 34,5 -35 35 
39,5-49,5 8 44,5 -25 25 
49,5-59,5 14 54,5 -15 15 
59,5-69,5 20 64,5 -5 5 
69,5-79,5 26 74,5 5 5 
79,5-89,5 18 84,5 15 15 
89,5-99,5 10 94,5 25 25 
 
 
 A fórmula agora pede que multipliquemos essa coluna por fi. Teremos: 
 
 
 
 
Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| |(PM- X )|.fi 
29,5-39,5 4 34,5 -35 35 140 
39,5-49,5 8 44,5 -25 25 200 
49,5-59,5 14 54,5 -15 15 210 
59,5-69,5 20 64,5 -5 5 100 
69,5-79,5 26 74,5 5 5 130 
79,5-89,5 18 84,5 15 15 270 
89,5-99,5 10 94,5 25 25 250 
 n=100 ∑|(PM- X )|.fi=1300 
 
 
 Agora, sim! Já temos tudo para aplicarmos a fórmula do DMA. Teremos, enfim, que: 
 
n
fiXPM
DMA
∑ −= . ? 
100
1300=DMA ? DMA=13,00 ? Resposta! 
 
 
 
23. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média 
aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi 
( Xi – M )2 . Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em 
valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opção correta. 
 
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, 
mas sabe-se que 0,25 ≥ θ. 
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na 
realidade tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
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c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na 
realidade tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na 
realidade tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na 
realidade tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
 
Sol.: O enunciado nos fala que para um dado conjunto o valor da média vale M e a variância 
vale S2. Ora, sabemos que variância é o quadrado do Desvio-Padrão. Logo, se variância é S2, 
então o Desvio-Padrão será apenas S (a raiz quadrada da variância). 
 Fala também acerca de uma proporção θ, que é a proporção dos elementos do conjunto 
que diferem da Média M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Quando se diz “em valor 
absoluto” queremos dizer uma diferença para mais e para menos. 
 
 Nosso intervalo está, pois, estabelecido: (Média-2S a Média+2S). Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M-2S M M+2S 
 
 Pois bem! O que a questão quer saber? A proporção dos elementos que diferem da média 
por pelo menos 2S. Esse pelo menos significa no mínimo. E no mínimo vai significar além de 2S. 
Ou seja: queremos saber a proporção dos elementos que estão fora do intervalo (M-2S a 
M+2S). 
 Essa proporção fora do intervalo será uma proporção máxima ou uma proporção mínima? 
Máxima, conforme já aprendemos! 
 Seria mínima caso fosse a proporção dos elementos dentro do intervalo. 
 Sabendo disso tudo, só nos resta seguir os passos aprendidos acima. Teremos: 
 
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo e a 
média do conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M-2S M M+2S 
 
 D D 
 
 Daí, encontramos que a distância D=2S. 
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2º Passo) Calcular a fração K. Teremos: 
 
? K=
S
D
 ? k=(2S/S) ? k=2 
 
3º Passo) Aplicar o Teorema de Tcheb. Teremos: 
 
? PMÁXIMA= 2
1
K
 ? PMÁXIMA=(1/4)=0,25 
 
 
Ora, a questão chamou esta proporçãode θ. Daí, se θ é uma proporção máxima, é 
porque seu valor será menor ou igual a 0,25. Esta é a nossa resposta. Vejamos o que diz a 
opção a: 
 
“Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas 
sabe-se que 0,25 ≥ θ” 
 
 É exatamente o que encontramos! Letra A ? Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com 
N empregados produziram as estatísticas 
( ) 00,200.1$1
00,300.14$1
5,0
1
2
1
RXX
N
S
RX
N
X
N
i
i
N
i
i
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
==
∑
∑
=
=
 
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$ 
16.100,00]. Assinale a opção correta. 
a) P é no máximo 1/2 d) P é no máximo 1/2,25 
b) P é no máximo 1/1,5 e) P é no máximo 1/20 
c) P é no mínimo 1/2 
 
Sol.: Esta questão já foi resolvida na aula passada! Desculpem! 
 
25. (AFPS 2002/ESAF) Sejam X1, X2, X3, ... , Xn observações de um atributo X. 
Sejam 
( )∑
∑
=
=
−=
=
n
i
i
n
i
i
xx
n
s
x
n
x
1
22
1
1
1
 
Assinale a opção correta. 
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a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
 
Sol.: Esta questão pergunta, em outras palavras, qual a proporção de elementos localizados 
dentro do intervalo que vai de (Média–2S) até (Média+2S). 
 Ora, na questão 23 (duas atrás), descobrimos a proporção dos elementos que ficam fora 
deste mesmo intervalo. Lá, por ser proporção do lado de fora, era uma proporção máxima! 
 E aqui, por ser uma proporção dentro do intervalo, será uma proporção mínima! 
 Aprendemos, na aula passada, que: Pmínima = 1 – Pmáxima 
 Assim: Pmínima=1-0,25 ? Pmínima=0,75 
 É o que diz a letra C das alternativas: pelo menos (=no mínimo) 75% das observações de 
X diferem da média, em valor absoluto, por menos que 2S. 
 Prestem atenção para o seguinte: 
 ? ...diferem por menos que... = proporção dentro! 
 ? ...diferem por pelo menos... = proporção fora! 
 Logo: Letra C ? Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
(AFC-94) Para a solução das três próximas questões considere os dados da tabela 
abaixo, que representa a distribuição de freqüências das notas em uma prova de 
estatística aplicada em três turmas de 100 alunos cada. 
 
 
Freqüências das Notas na Prova de Estatística Classes 
de Notas TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03 
0 |— 2 
2 |— 4 
4 |— 6 
6 |— 8 
8 |— 10 
20 
40 
30 
6 
4 
10 
15 
50 
15 
10 
5 
10 
70 
10 
5 
Total 100 100 100 
 
26. (AFC-94) Assinale a afirmação correta: 
a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) 
b) Média (turma 1) > Média (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3) 
c) Média (turma 2) < Média (turma 3) 
 
Sol.: Uma seqüência muito interessante de questões! O enunciado apresenta, em uma única 
tabela, três distribuições de freqüência. Separadamente, seriam elas as seguintes: 
 
 ? A primeira: 
Classes Turma 01 
fi 
0 – 2 20 
2 – 4 40 
4 – 6 30 
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6 – 8 6 
8 – 10 4 
 
 ? A segunda: 
Classes Turma 02 
fi 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 ? A terceira: 
Classes Turma 03 
fi 
0 – 2 5 
2 – 4 10 
4 – 6 70 
6 – 8 10 
8 – 10 5 
 
 
 Ora, a primeira coisa que procuraremos enxergar numa distribuição de freqüências é se 
ela é simétrica ou não! Como saber se uma distribuição é simétrica? Usando a técnica do 
elevador! No que consiste? Vamos aplicar a técnica na segunda tabela fornecida pela questão. 
Basta seguir os seguintes passos: 
 
 
 1º) Identificamos qual é a fi da classe intermediária! 
 
 
 
 
Classes Turma 02 
fi 
 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 ? Classe intermediária! 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 2º) Subimos um andar e descemos um andar, e comparamos as duas fi encontradas! 
Teremos: 
 
Classes Turma 02 
fi 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 São iguais essas novas fi? Sim! Daí, prossegue a técnica, novamente subindo e descendo 
um andar! Teremos: 
 
Classes Turma 02 
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fi 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 Iguais novamente? Sim! Ainda tem para onde subir ou descer? Não! Então, acabou a 
nossa análise, e nossa conclusão é a seguinte: estamos diante de uma distribuição simétrica! 
 Se em qualquer momento dessa análise, ao subir e descer um andar, tivéssemos 
encontrado fi diferentes, diríamos então que a distribuição não seria simétrica, mas assimétrica. 
 Qual a razão de estarmos fazendo esse estudo? Muito simples: quando a distribuição de 
freqüências é simétrica, teremos sempre que a Média será igual à Moda, e será igual à 
Mediana! E essas três medidas serão calculadas da seguinte forma: somaremos o limite inferior 
da primeira classe com limite superior da última classe, e este resultado dividiremos por dois. 
Da seguinte forma: 
 
Classes Turma 02 
Fi 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 ? X = Mo = Md = ( )
2
100+
 = 5,0 
 
 E não precisamos fazer mais nenhum cálculo! 
 
 Vamos agora descobrir se a distribuição de freqüências da Turma 03 é simétrica ou não. 
 
Teremos: 
 
 
Classes Turma 03 
fi 
0 – 2 5 
2 – 4 10 
4 – 6 70 
6 – 8 10 
8 – 10 5 
 
 E aí? Simétrica! Daí, concluiremos que: 
 
 ? X = Mo = Md = ( )
2
100+
 = 5,0 
 
 E a distribuição de freqüências da Turma 01? Vejamos: 
 
Classes Turma 01 
fi 
0 – 2 20 
2 – 4 40 
4 – 6 30 
6 – 8 6 
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8 – 10 4 
 
 Logo no primeiro salto, concluímos que a distribuição é assimétrica! 
 
 Daí, até o presente momento, já descobrimos que: 
 
 ? X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02 
= 5,0 
? X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03 
 
 Sabendo disso, já descartamos as opções a, c e e, as quais comparam medidas relativas 
às turmas 02 e 03. 
 Restam, portanto, as opções b e d. 
 Analisemos a opção d: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) 
 A Mediana da Turma 02 já sabemos que vale 5,0. Agora, observemos melhor a Tabela da 
turma 01: 
 
Classes Turma 01 
fi 
0 – 2 20 
2 – 4 40 
4 – 6 30 
6 – 8 6 
8 – 10 4 
 
 Uma análise atenta nos fará ver que esse conjunto tem 100 elementos (n=100). Para 
isso, basta somar a coluna da fi. Também vemos, sem maiores esforços, que só as duas 
primeiras classes já somam 60 elementos! Sendo 20 na primeira classe e 40 na segunda. Ou 
seja: mais da metade dos elementos do conjunto estão nas duas primeiras classes. Ora, a 
Mediana é exatamente aquele elemento que está no meio do conjunto, dividindo-o em duas 
partes iguais. 
 Daí, concluímos que a Classe Mediana será a segunda (2 a 4). De sorte que a Mediana 
dessa distribuição será um valor qualquer inserido nesta classe! 
 Mesmo sem calcular essa Mediana da turma 01, vemos que não haveria como esta 
medida ser maior que 5, uma vez que 5 é um valor que faz parte da terceira classe (e não da 
segunda)! 
 
 Conclusão: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) ? Resposta! 
 
 
27. (AFC-94) A única opção errada é: 
a) 1º quartil(turma 1) > 1º quartil (turma 3) 
b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3) 
c) média (turma 2) = média (turma 3) 
d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3) 
e) na turma 3: média = mediana = moda 
 
Sol.: Aqui procura-se pela opção errada! 
 Observemos que a opção c compara a média das turmas 02 e 03. Já sabemos que são 
iguais! Descartada está, pois, esta opção! 
 A opção e afirma que a média, moda e mediana da turma 03 são iguais. Perfeito! Já 
sabíamos disso, uma vez que se trata de uma distribuição simétrica! Descartamos mais essa 
opção de resposta! 
 Restaram as opções a, b e d. 
 Essas duas últimas comparam duas medidas – Desvio-Padrão e Coeficiente de Variação – 
das turmas 02 e 03. Acerca dessas turmas, já sabemos que: 
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 ? X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02 
= 5,0 
? X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03 
 
 Vejamos qual é o conceito do Coeficiente de Variação: 
X
SCV = 
 Ora, uma vez que as duas médias são iguais, temos que os denominadores dos 
Coeficientes de Variação das turmas 02 e 03 são os mesmos! 
 Se os denominadores são iguais, o que vai definir se um CV é maior que o outro será 
apenas o numerador, ou seja, o Desvio-Padrão! 
 Daí, apenas por hipótese, consideremos que seja verdadeiro o que está dito na opção b: 
 ? Desvio-Padrão (Turma 02) > Desvio-Padrão (Turma 03) 
 
 Ora, se isto acima for verdadeiro, então, resta que será também necessariamente 
verdadeiro o que está dito na opção d: 
 ? coeficiente de variação (Turma 2) > coeficiente de variação (Turma 3) 
 
 Perceberam? Claro! Se o denominador (média) é o mesmo para as duas turmas! 
 Da mesma forma, se considerarmos que o que está dito na opção b é falso, resta que 
será também necessariamente falsa a opção d. Em suma: uma vez que a média das turmas 02 
e 03 são iguais, então as duas opções b e d estão amarradas: ou ambas serão verdadeiras, ou 
ambas serão falsas. 
 Como só há uma opção falsa, concluímos (sem precisar fazer uma só conta!) que não 
podem ser nem a b e nem a d. E o que resta? Resta a Opção A ? Resposta! 
 
 
 
 
 
28. (AFC-94) A distribuição de notas é simétrica em relação à média aritmética: 
a) Nas três turmas c) Nas turmas 1 e 3 e) Nas turmas 2 e 3 
b) Nas turmas 1 e 2 d) Somente na turma 1 
 
Sol.: Esta já foi resolvida acima! As distribuições simétricas são as turmas 2 e 3. 
 Assim: Letra E ? Resposta! 
 
 
 É isso, meus queridos! 
 Na próxima aula, avançaremos na matéria! Ok? 
 Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!