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ESTATISTICA REGULAR 9

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de θ. Daí, se θ é uma proporção máxima, é 
porque seu valor será menor ou igual a 0,25. Esta é a nossa resposta. Vejamos o que diz a 
opção a: 
 
“Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas 
sabe-se que 0,25 ≥ θ” 
 
 É exatamente o que encontramos! Letra A ? Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com 
N empregados produziram as estatísticas 
( ) 00,200.1$1
00,300.14$1
5,0
1
2
1
RXX
N
S
RX
N
X
N
i
i
N
i
i
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
==
∑
∑
=
=
 
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$ 
16.100,00]. Assinale a opção correta. 
a) P é no máximo 1/2 d) P é no máximo 1/2,25 
b) P é no máximo 1/1,5 e) P é no máximo 1/20 
c) P é no mínimo 1/2 
 
Sol.: Esta questão já foi resolvida na aula passada! Desculpem! 
 
25. (AFPS 2002/ESAF) Sejam X1, X2, X3, ... , Xn observações de um atributo X. 
Sejam 
( )∑
∑
=
=
−=
=
n
i
i
n
i
i
xx
n
s
x
n
x
1
22
1
1
1
 
Assinale a opção correta. 
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a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 
 
Sol.: Esta questão pergunta, em outras palavras, qual a proporção de elementos localizados 
dentro do intervalo que vai de (Média–2S) até (Média+2S). 
 Ora, na questão 23 (duas atrás), descobrimos a proporção dos elementos que ficam fora 
deste mesmo intervalo. Lá, por ser proporção do lado de fora, era uma proporção máxima! 
 E aqui, por ser uma proporção dentro do intervalo, será uma proporção mínima! 
 Aprendemos, na aula passada, que: Pmínima = 1 – Pmáxima 
 Assim: Pmínima=1-0,25 ? Pmínima=0,75 
 É o que diz a letra C das alternativas: pelo menos (=no mínimo) 75% das observações de 
X diferem da média, em valor absoluto, por menos que 2S. 
 Prestem atenção para o seguinte: 
 ? ...diferem por menos que... = proporção dentro! 
 ? ...diferem por pelo menos... = proporção fora! 
 Logo: Letra C ? Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
(AFC-94) Para a solução das três próximas questões considere os dados da tabela 
abaixo, que representa a distribuição de freqüências das notas em uma prova de 
estatística aplicada em três turmas de 100 alunos cada. 
 
 
Freqüências das Notas na Prova de Estatística Classes 
de Notas TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03 
0 |— 2 
2 |— 4 
4 |— 6 
6 |— 8 
8 |— 10 
20 
40 
30 
6 
4 
10 
15 
50 
15 
10 
5 
10 
70 
10 
5 
Total 100 100 100 
 
26. (AFC-94) Assinale a afirmação correta: 
a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) 
b) Média (turma 1) > Média (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3) 
c) Média (turma 2) < Média (turma 3) 
 
Sol.: Uma seqüência muito interessante de questões! O enunciado apresenta, em uma única 
tabela, três distribuições de freqüência. Separadamente, seriam elas as seguintes: 
 
 ? A primeira: 
Classes Turma 01 
fi 
0 – 2 20 
2 – 4 40 
4 – 6 30 
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6 – 8 6 
8 – 10 4 
 
 ? A segunda: 
Classes Turma 02 
fi 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 ? A terceira: 
Classes Turma 03 
fi 
0 – 2 5 
2 – 4 10 
4 – 6 70 
6 – 8 10 
8 – 10 5 
 
 
 Ora, a primeira coisa que procuraremos enxergar numa distribuição de freqüências é se 
ela é simétrica ou não! Como saber se uma distribuição é simétrica? Usando a técnica do 
elevador! No que consiste? Vamos aplicar a técnica na segunda tabela fornecida pela questão. 
Basta seguir os seguintes passos: 
 
 
 1º) Identificamos qual é a fi da classe intermediária! 
 
 
 
 
Classes Turma 02 
fi 
 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 ? Classe intermediária! 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 2º) Subimos um andar e descemos um andar, e comparamos as duas fi encontradas! 
Teremos: 
 
Classes Turma 02 
fi 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 São iguais essas novas fi? Sim! Daí, prossegue a técnica, novamente subindo e descendo 
um andar! Teremos: 
 
Classes Turma 02 
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fi 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 Iguais novamente? Sim! Ainda tem para onde subir ou descer? Não! Então, acabou a 
nossa análise, e nossa conclusão é a seguinte: estamos diante de uma distribuição simétrica! 
 Se em qualquer momento dessa análise, ao subir e descer um andar, tivéssemos 
encontrado fi diferentes, diríamos então que a distribuição não seria simétrica, mas assimétrica. 
 Qual a razão de estarmos fazendo esse estudo? Muito simples: quando a distribuição de 
freqüências é simétrica, teremos sempre que a Média será igual à Moda, e será igual à 
Mediana! E essas três medidas serão calculadas da seguinte forma: somaremos o limite inferior 
da primeira classe com limite superior da última classe, e este resultado dividiremos por dois. 
Da seguinte forma: 
 
Classes Turma 02 
Fi 
0 – 2 10 
2 – 4 15 
4 – 6 50 
6 – 8 15 
8 – 10 10 
 
 ? X = Mo = Md = ( )
2
100+
 = 5,0 
 
 E não precisamos fazer mais nenhum cálculo! 
 
 Vamos agora descobrir se a distribuição de freqüências da Turma 03 é simétrica ou não. 
 
Teremos: 
 
 
Classes Turma 03 
fi 
0 – 2 5 
2 – 4 10 
4 – 6 70 
6 – 8 10 
8 – 10 5 
 
 E aí? Simétrica! Daí, concluiremos que: 
 
 ? X = Mo = Md = ( )
2
100+
 = 5,0 
 
 E a distribuição de freqüências da Turma 01? Vejamos: 
 
Classes Turma 01 
fi 
0 – 2 20 
2 – 4 40 
4 – 6 30 
6 – 8 6 
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8 – 10 4 
 
 Logo no primeiro salto, concluímos que a distribuição é assimétrica! 
 
 Daí, até o presente momento, já descobrimos que: 
 
 ? X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02 
= 5,0 
? X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03 
 
 Sabendo disso, já descartamos as opções a, c e e, as quais comparam medidas relativas 
às turmas 02 e 03. 
 Restam, portanto, as opções b e d. 
 Analisemos a opção d: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) 
 A Mediana da Turma 02 já sabemos que vale 5,0. Agora, observemos melhor a Tabela da 
turma 01: 
 
Classes Turma 01 
fi 
0 – 2 20 
2 – 4 40 
4 – 6 30 
6 – 8 6 
8 – 10 4 
 
 Uma análise atenta nos fará ver que esse conjunto tem 100 elementos (n=100). Para 
isso, basta somar a coluna da fi. Também vemos, sem maiores esforços, que só as duas 
primeiras classes já somam 60 elementos! Sendo 20 na primeira classe e 40 na segunda. Ou 
seja: mais da metade dos elementos do conjunto estão nas duas primeiras classes. Ora, a 
Mediana é exatamente aquele elemento que está no meio do conjunto, dividindo-o em duas 
partes iguais. 
 Daí, concluímos que a Classe Mediana será a segunda (2 a 4). De sorte que a Mediana 
dessa distribuição será um valor qualquer inserido nesta classe! 
 Mesmo sem calcular essa Mediana da turma 01, vemos que não haveria como esta 
medida ser maior que 5, uma vez que 5 é um valor que faz parte da terceira classe (e não da 
segunda)! 
 
 Conclusão: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) ? Resposta! 
 
 
27. (AFC-94) A única opção errada é: 
a) 1º quartil