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ESTATISTICA REGULAR 12

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-6 
-2 
2 
6 
 
Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X )4: 
 
Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )4 
0 - 4 
4 – 8 
8 – 12 
12 – 16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
10 
14 
-6 
-2 
2 
6 
1296 
16 
16 
1296 
 
 E agora a coluna (PM- X )4.fi: 
 
Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )4 (PM- X )4.fi 
0 - 4 
4 – 8 
8 – 12 
12 – 16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
10 
14 
-6 
-2 
2 
6 
1296 
16 
16 
1296 
1296 
32 
32 
1296 
 n=6 2656 
 
 Daí, aplicando a fórmula, teremos o seguinte: 
 
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( )
n
fiXPM
m
.
4
4
∑ −= ? 67,442
6
2656
4 ==m ? Resposta! 
 
 Fizemos questão de apresentar dois exemplos, com m3 e m4 (terceiro e quarto 
Momentos), porque serão precisamente estes os que serão exigidos em cálculos de Assimetria e 
Curtose, como veremos oportunamente. 
 
 Daí, conclusões finais: 
- Usaremos esta teoria dos Momentos como suporte para chegarmos aos valores de 
Assimetria e Curtose; 
- O momento centrado na Média de segunda ordem é o mesmo que a Variância; 
- Daremos ênfase ao m3 e m4 para efeito de utilização das fórmulas (que 
aprenderemos adiante) de Assimetria e de Curtose. 
 
# Resumo das Fórmulas de Momento: 
 
? Momento Centrado na Média Aritmética: 
 ( )
n
XXi
m
r
r
∑ −= ; ( )
n
fiXXi
m
r
r
.∑ −= ou ( )
n
fiXPM
m
r
r
.∑ −= 
 
 
# Medidas de Assimetria: 
 
Avançaremos agora na matéria e aprenderemos a calcular os índices de Assimetria de um 
conjunto. Este assunto, conforme dito já hoje, não constou mais no programa do último 
concurso do AFRF. Mas, já que estamos aqui mesmo, melhor é aprender de vez! 
A respeito deste assunto, já tivemos uma noção inicial, uma vez que aprendemos 
anteriormente que há uma relação estreita entre o comportamento da curva no tocante à sua 
assimetria, e entre as Medidas de Tendência Central. 
Naquela ocasião, vimos que existem três situações distintas sob as quais um conjunto 
pode apresentar-se, em termos de assimetria. E ainda, qual seria o comportamento da Média, 
Moda e Mediana para cada uma daquelas situações. 
Recordando um pouco: 
 
? Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva): 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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? Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa): 
 
 
 
 
 Média < Mediana < Moda 
 
 
? Distribuição Simétrica: 
 
 
 Média=Mediana=Moda 
 
 
 Somente este conhecimento já seria suficiente para acertarmos uma questão que 
perguntasse apenas se o conjunto é simétrico, ou assimétrico à esquerda ou à direita. 
 
 Porém, se o enunciado vier solicitando o valor do índice (ou coeficiente) de 
assimetria, então precisaríamos conhecer as fórmulas necessárias para chegarmos a essa 
resposta. 
 
 Existem cinco formas distintas de determinarmos índices de Assimetria. 
 
 Na questão, nossa primeira preocupação será saber qual dos métodos está sendo 
requerido. E a segunda, naturalmente, será conhecer a fórmula solicitada. 
 
 
? Índice Quartílico de Assimetria: 
 
 Será calculado pela fórmula seguinte: 
 ( )
( )13
213
QQ
MdQQA −
−+= 
 
 Onde: 
- Q1 é o primeiro Quartil; 
- Q3 é o terceiro Quartil; 
- Md é a Mediana. 
 
Uma boa forma de memorizar esta fórmula, seria usando as seguintes etapas: 
 
 
 
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 1o) Começando apenas o Q3 e o Q1: 
 
A = Q3 Q1 
 Q3 Q1 
 
 2o) Depois, acrescentando o “mais e menos”: 
 
13
13
QQ
QQA −
+= 
 
 3o) Completando, finalmente o numerador com o “menos duas Medianas”: 
 
13
213
QQ
MdQQA −
−+= 
 
 Naturalmente que essa é apenas uma sugestão. 
 
 Acerca desta fórmula, convém sabermos que se o índice der positivo, isso indica uma 
Curva de Assimetria Positiva (Curva Assimétrica à Direita). Se negativo, teremos uma Curva de 
Assimetria Negativa (Curva Assimétrica à Esquerda). 
 
 No mais, precisaremos saber como calcular os Quartis, que são um tipo de Medida 
Separatriz. Adianto a vocês que as medidas separatrizes – Quartis, Decis e Percentis – são 
obtidas pelo mesmíssimo procedimento que se usa para determinar o valor da Mediana de um 
conjunto. A Mediana, em si, já é também uma medida separatriz. (Além de ser uma medida de 
tendência central). 
Como o próprio nome sugere, medida separatriz é aquela que separa. Ela divide o 
conjunto em um número de partes iguais. 
Já sabemos que a Mediana divide o conjunto ao meio, de sorte que só existe uma 
mediana. 
O Quartil, por sua vez, divide o conjunto em quatro partes. Assim, existem três quartis: o 
Q1 (primeiro quartil), o Q2 (segundo quartil) e o Q3 (terceiro quartil). 
 O Decil divide o conjunto em dez partes iguais. De sorte que existem nove decis. Claro! 
Só precisamos marcar nove pontos em uma reta para ela seja dividida em dez partes! 
Concordam? Assim, haverá o D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 e D10. 
Finalmente, o Percentil (ou Centil) divide o conjunto em cem partes iguais. Existem, 
portanto, noventa e nove percentis (P1, P2, P3, ..., P99). 
Vamos aprender de vez como se calculam estas medidas separatrizes. 
Estão todos lembrados que para calcular a Mediana de uma distribuição de freqüências, 
nós utilizamos uma fração logo no início do procedimento? Sim? Trata-se da fração da Mediana, 
que é a (n/2). 
Pois bem! Cada uma das demais separatrizes terá sua própria fração. E é somente isso! 
Conhecida a fração da medida separatriz que se deseja calcular, todo o restante do 
procedimento é idêntico ao que já conhecemos para calcular a mediana! 
E é muito fácil saber qual é esta fração! Senão vejamos. 
Qual a fração do primeiro quartil (Q1)? 
Ora, o quartil divide o conjunto em quantas partes? Em quatro partes. Daí, faremos logo: 
? n/4. 
O 1 do Q1 vai acompanhar o n do numerador. Assim, teremos: 
? Fração do Q1 = 1n/4. 
Este 1 multiplicando não precisa aparecer. Então fica só (n/4) mesmo! 
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E a fração do Q3, qual será? 
Ora, o quartil divide o conjunto em quatro partes. Daí, o começo da fração é: n/4. 
Só que estamos interessados no Q3. Assim, esse 3 vai para o numerador, acompanhar o 
n. Ficaremos, pois, que a fração do Q3 é: (3n/4). 
E assim por diante! 
Vejamos a fração do primeiro decil D1, por exemplo. O decil divide o conjunto em dez 
partes iguais. Logo, o início da fração é (n/10). O 1 do D1 vai para o numerador, e teremos: 
(1n/10), que fica apenas (n/10). 
Qual a fração do sétimo decil (D7)? Já adivinhou? Começamos com n/10, uma vez que o 
decil divide o conjunto em dez partes. Agora, o 7 do D7 vai para o numerador, e teremos, 
enfim, que a fração do D7 é (7n/10). 
Creio que agora tudo ficou esclarecido. Sim? 
Vejamos. Eu quero que você me diga qual a fração do P35 (trigésimo quinto percentil). 
Você saberia dizer qual é? Claro! Primeiro, pensaremos que o percentil divide o conjunto em 
cem partes iguais. Assim, começaremos por n/100. E agora, o 35 do P35 vai para o numerador, 
e teremos, finalmente, que a fração do P35 é (35n/100). 
Certo? Tudo entendido? 
Ótimo! Uma vez sabendo qual a fração que inicia o cálculo da medida separatriz 
desejada, o restante, conforme dito há pouco, é só seguir a receita de bolo que aprendemos 
para calcular a mediana! 
Com o exemplo resolvido abaixo, estou certo que tudo ficará ainda mais compreendido! 
AFRF-2002.2: O atributo