ESTATISTICA REGULAR 12

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AULA 12 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS, ASSIMETRIA E CURTOSE 
Olá, amigos! 
Tudo bem com vocês? 
Antes de mais nada, quero desejar a todos vocês um ano novo realmente muito feliz! 
Que 2007 venha cheio de renovação das nossas forças e nossas energias, e de muita saúde, 
sobretudo, para que tenhamos coragem de enfrentar todos os desafios da vida, e superar todas 
as dificuldades, com a ajuda de Deus! 
Aliás, 2007 está prometendo ser um ano de muitos e bons concursos públicos! Muitas 
vagas serão preenchidas no serviço público, e uma delas, certamente, será sua! Já pensou, que 
maravilha! A fila da aprovação vai andar a passos largos no ano que está nascendo, e sua vez 
de passar se aproxima a cada dia! Eu não tenho nenhuma dúvida disso! 
Pois bem. Voltemos à Estatística. Fazendo a revisão das questões propostas para o 
nosso Curso, tomei um susto, pois vi que houve um salto nos enunciados dos assuntos: 
Momentos Estatísticos, Assimetria e Curtose. 
Mas não tem problema: veremos agora! 
Na verdade, estes três assuntos foram retirados do programa do AFRF no último edital, 
o de dezembro de 2005. Mas, como sempre foram objeto da prova do Fiscal da Receita (em 
1996, 1998, 2001, 2002-1, 2002-2 e 2003), é inteiramente possível que retornem ao próximo 
concurso! Nada impede! 
Assim, parece-me muito conveniente que aprendamos logo! Não é verdade? Sobretudo 
em se tratando de assuntos de compreensão tão fácil. 
Vamos lá, então! 
 
# Momentos Estatísticos: 
 Quem tenta estudar esse assunto por livros acadêmicos, em geral, faz uma salada na 
cabeça. A primeira confusão é que o leitor acaba por não entender o que significa esse tal de 
momento. Ou seja, não entende para que ele serve ou a que se aplica. 
 Então, para tentar dirimir qualquer espécie de atrapalho, simplifiquemos: o momento 
estatístico é apenas uma fórmula, a qual será utilizada, eventualmente, no estudo de dois outros 
assuntos: Assimetria e Curtose! 
 Ora, quando formos estudar, ainda hoje, a Assimetria e a Curtose, você irá compreender 
perfeitamente o que ambos significam. 
 E o momento? O momento é, repito, meramente uma fórmula, que se fará necessária aos 
cálculos de assimetria e curtose. 
 Resumindo: o momento é um assunto meio, para chegamos aos dois assuntos fim: 
assimetria e curtose. Ok? 
 Só isso! Você não vai pegar no Momento. Não vai senti-lo. Vai simplesmente aplicá-lo. 
Ok? 
 Assim, a respeito deste tema – Momentos Estatísticos – só precisaremos conhecer a 
fórmula, e mais adiante veremos quando ela será aplicada. Mais nada! 
 A rigor, existem três tipos de momentos estatísticos. Porém, para efeito de resolução de 
uma questão de prova, só iremos aplicar um deles. 
 É o seguinte. 
 
 
 
 
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# Momento Centrado na Média Aritmética: 
 
 É este o tipo de Momento que precisamos conhecer, e bem. Será exatamente ele que 
encontraremos nas nossas fórmulas de Assimetria e Curtose. Vejamos como se calcula este 
Momento para rol, dados tabulados e distribuição de freqüências. Teremos: 
 
? Para o rol: 
 
 Usaremos o seguinte: 
 ( )
n
XXi
m
r
r
∑ −= 
 
 Se durante nossa prova precisarmos determinar o Momento de Ordem 2 Centrado na 
Média, para um determinado conjunto, como ficaria nossa fórmula? Da seguinte forma: 
 ( )
n
XXi
m ∑ −= 22 
 
 Agora olhemos bem para a fórmula acima. É semelhante a uma medida que já 
conhecemos, que é justamente a Variância. Daqui, extraímos mais esta conclusão: O Momento 
de Segunda Ordem Centrado na Média Aritmética de um conjunto é o mesmo que a sua 
Variância. 
 
Em praticamente todas as questões de prova de estatística, quando eventualmente 
precisarmos trabalhar com o cálculo do Momento, o faremos quando o conjunto vier 
apresentado sob a forma de uma Distribuição de Freqüências. Então, vamos ganhar tempo e 
apresentar as outras fórmulas, deixando os exemplos para o caso da Distribuição de 
Freqüências. 
 
 
? Para Dados Tabulados: 
 
 Teremos que: ( )
n
fiXXi
m
r
r
.∑ −= 
 
 Creio que todos já tenham percebido: da fórmula do momento para um rol para a 
fórmula dos dados tabulados, seguimos aquela nossa velha conhecida transição! A mesma 
transição que usamos para memorizar cálculos da média, do desvio absoluto, do desvio padrão, 
da variância etc. 
 A mesma transição, obviamente, vai-se verificar também na transição da fórmula dos 
dados tabulados para a da distribuição de freqüências. Teremos: 
 
 
? Para Distribuição de Freqüências: 
 ( )
n
fiXPM
m
r
r
.∑ −= 
 
Observação: Notemos que as fórmulas dos Momentos não sofrem a Correção de Bessel. 
Recordando um pouco, a correção de Bessel nada mais é do que o “menos 1”, colocado no 
denominador das fórmulas do Desvio-Padrão e da Variância, quando o conjunto trazido pela 
questão representar uma amostra. Portanto, não esqueçamos disso: Correção de Bessel é 
somente para Desvio Padrão (S) e para Variância (S2). 
 
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Exemplo: Consideremos o conjunto abaixo. 
 
Xi fi 
0 -- 4 
4 -- 8 
8 --12 
12 -- 16 
1 
2 
2 
1 
 
 
 Determinemos o valor do Terceiro Momento Centrado na Média para o conjunto acima. 
 
Sol.: Para o que a questão solicitou, nossa fórmula será a seguinte: 
 ( )
n
fiXPM
m
.
3
3
∑ −= 
 
Ora, como o Momento será centrado na Média, o primeiro passo será, necessariamente, 
calcular o X . 
 
A pergunta: para essa distribuição de freqüências apresentada, precisaremos fazer contas 
para determinar o valor da Média? Percebamos que se trata de uma distribuição simétrica. 
 
Daí, sem maiores dificuldades, encontramos que: 8=X . 
 
 Como próximo passo, construiremos a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos, 
portanto: 
Xi Fi PM 
0 – 4 
4 -- 8 
8 --12 
12 -- 16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
10 
14 
 
 Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X ). Teremos: 
 
Xi fi PM (PM- X ) 
0 -- 4 
4 -- 8 
8 --12 
12 -- 
16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
10 
14 
-6 
-2 
2 
6 
 
Prosseguindo, encontraremos a coluna [(PM- X )3]. Ficaremos com: 
 
Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )3 
0 -- 4 
4 -- 8 
8 --12 
12 -- 16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
10 
14 
-6 
-2 
2 
6 
-216 
-8 
8 
216 
 
Observemos que não é preciso “decorar” esta seqüência de passos. Basta olharmos para 
a fórmula – que será nossa guia – e veremos o que já dispomos e o que precisamos encontrar. 
Daí, saberemos imediatamente qual será nosso passo seguinte. 
 
O que nos falta agora é acharmos a coluna do [(PM- X )3.fi] e determinarmos seu 
somatório. Teremos, portanto: 
 
 
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Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )3 (PM- X )3.fi 
0 -- 4 
4 -- 8 
8 --12 
12 -- 16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
10 
14 
-6 
-2 
2 
6 
-216 
-8 
8 
216 
-216 
-16 
16 
216 
 n=6 0 
 
Finalmente, aplicando a fórmula do Terceiro Momento, teremos: 
 ( )
n
fiXPM
m
.
3
3
∑ −= ? 0
6
0
3 ==m ? Resposta! 
 
Exemplo: Para o mesmo conjunto abaixo, determinemos o valor do Momento Centrado na 
Média de Ordem 4. Eis o conjunto: 
 
Xi fi 
0 -- 4 
4 -- 8 
8 --12 
12 -- 16 
1 
2 
2 
1 
 
 Nossa fórmula adaptada seria a seguinte: 
 ( )
n
fiXPM
m
.
4
4
∑ −= 
 
 Uma vez que se trata do mesmo conjunto do exemplo anterior, saltaremos aqui os 
passos iniciais e apresentaremos já a coluna do (PM- X ). Teremos: 
 
Xi fi PM (PM- X ) 
0 -- 4 
4 -- 8 
8 --12 
12 -- 16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
1014 
-6 
-2 
2 
6 
 
Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X )4: 
 
Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )4 
0 - 4 
4 – 8 
8 – 12 
12 – 16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
10 
14 
-6 
-2 
2 
6 
1296 
16 
16 
1296 
 
 E agora a coluna (PM- X )4.fi: 
 
Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )4 (PM- X )4.fi 
0 - 4 
4 – 8 
8 – 12 
12 – 16 
1 
2 
2 
1 
2 
6 
10 
14 
-6 
-2 
2 
6 
1296 
16 
16 
1296 
1296 
32 
32 
1296 
 n=6 2656 
 
 Daí, aplicando a fórmula, teremos o seguinte: 
 
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( )
n
fiXPM
m
.
4
4
∑ −= ? 67,442
6
2656
4 ==m ? Resposta! 
 
 Fizemos questão de apresentar dois exemplos, com m3 e m4 (terceiro e quarto 
Momentos), porque serão precisamente estes os que serão exigidos em cálculos de Assimetria e 
Curtose, como veremos oportunamente. 
 
 Daí, conclusões finais: 
- Usaremos esta teoria dos Momentos como suporte para chegarmos aos valores de 
Assimetria e Curtose; 
- O momento centrado na Média de segunda ordem é o mesmo que a Variância; 
- Daremos ênfase ao m3 e m4 para efeito de utilização das fórmulas (que 
aprenderemos adiante) de Assimetria e de Curtose. 
 
# Resumo das Fórmulas de Momento: 
 
? Momento Centrado na Média Aritmética: 
 ( )
n
XXi
m
r
r
∑ −= ; ( )
n
fiXXi
m
r
r
.∑ −= ou ( )
n
fiXPM
m
r
r
.∑ −= 
 
 
# Medidas de Assimetria: 
 
Avançaremos agora na matéria e aprenderemos a calcular os índices de Assimetria de um 
conjunto. Este assunto, conforme dito já hoje, não constou mais no programa do último 
concurso do AFRF. Mas, já que estamos aqui mesmo, melhor é aprender de vez! 
A respeito deste assunto, já tivemos uma noção inicial, uma vez que aprendemos 
anteriormente que há uma relação estreita entre o comportamento da curva no tocante à sua 
assimetria, e entre as Medidas de Tendência Central. 
Naquela ocasião, vimos que existem três situações distintas sob as quais um conjunto 
pode apresentar-se, em termos de assimetria. E ainda, qual seria o comportamento da Média, 
Moda e Mediana para cada uma daquelas situações. 
Recordando um pouco: 
 
? Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva): 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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? Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa): 
 
 
 
 
 Média < Mediana < Moda 
 
 
? Distribuição Simétrica: 
 
 
 Média=Mediana=Moda 
 
 
 Somente este conhecimento já seria suficiente para acertarmos uma questão que 
perguntasse apenas se o conjunto é simétrico, ou assimétrico à esquerda ou à direita. 
 
 Porém, se o enunciado vier solicitando o valor do índice (ou coeficiente) de 
assimetria, então precisaríamos conhecer as fórmulas necessárias para chegarmos a essa 
resposta. 
 
 Existem cinco formas distintas de determinarmos índices de Assimetria. 
 
 Na questão, nossa primeira preocupação será saber qual dos métodos está sendo 
requerido. E a segunda, naturalmente, será conhecer a fórmula solicitada. 
 
 
? Índice Quartílico de Assimetria: 
 
 Será calculado pela fórmula seguinte: 
 ( )
( )13
213
QQ
MdQQA −
−+= 
 
 Onde: 
- Q1 é o primeiro Quartil; 
- Q3 é o terceiro Quartil; 
- Md é a Mediana. 
 
Uma boa forma de memorizar esta fórmula, seria usando as seguintes etapas: 
 
 
 
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 1o) Começando apenas o Q3 e o Q1: 
 
A = Q3 Q1 
 Q3 Q1 
 
 2o) Depois, acrescentando o “mais e menos”: 
 
13
13
QQ
QQA −
+= 
 
 3o) Completando, finalmente o numerador com o “menos duas Medianas”: 
 
13
213
QQ
MdQQA −
−+= 
 
 Naturalmente que essa é apenas uma sugestão. 
 
 Acerca desta fórmula, convém sabermos que se o índice der positivo, isso indica uma 
Curva de Assimetria Positiva (Curva Assimétrica à Direita). Se negativo, teremos uma Curva de 
Assimetria Negativa (Curva Assimétrica à Esquerda). 
 
 No mais, precisaremos saber como calcular os Quartis, que são um tipo de Medida 
Separatriz. Adianto a vocês que as medidas separatrizes – Quartis, Decis e Percentis – são 
obtidas pelo mesmíssimo procedimento que se usa para determinar o valor da Mediana de um 
conjunto. A Mediana, em si, já é também uma medida separatriz. (Além de ser uma medida de 
tendência central). 
Como o próprio nome sugere, medida separatriz é aquela que separa. Ela divide o 
conjunto em um número de partes iguais. 
Já sabemos que a Mediana divide o conjunto ao meio, de sorte que só existe uma 
mediana. 
O Quartil, por sua vez, divide o conjunto em quatro partes. Assim, existem três quartis: o 
Q1 (primeiro quartil), o Q2 (segundo quartil) e o Q3 (terceiro quartil). 
 O Decil divide o conjunto em dez partes iguais. De sorte que existem nove decis. Claro! 
Só precisamos marcar nove pontos em uma reta para ela seja dividida em dez partes! 
Concordam? Assim, haverá o D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 e D10. 
Finalmente, o Percentil (ou Centil) divide o conjunto em cem partes iguais. Existem, 
portanto, noventa e nove percentis (P1, P2, P3, ..., P99). 
Vamos aprender de vez como se calculam estas medidas separatrizes. 
Estão todos lembrados que para calcular a Mediana de uma distribuição de freqüências, 
nós utilizamos uma fração logo no início do procedimento? Sim? Trata-se da fração da Mediana, 
que é a (n/2). 
Pois bem! Cada uma das demais separatrizes terá sua própria fração. E é somente isso! 
Conhecida a fração da medida separatriz que se deseja calcular, todo o restante do 
procedimento é idêntico ao que já conhecemos para calcular a mediana! 
E é muito fácil saber qual é esta fração! Senão vejamos. 
Qual a fração do primeiro quartil (Q1)? 
Ora, o quartil divide o conjunto em quantas partes? Em quatro partes. Daí, faremos logo: 
? n/4. 
O 1 do Q1 vai acompanhar o n do numerador. Assim, teremos: 
? Fração do Q1 = 1n/4. 
Este 1 multiplicando não precisa aparecer. Então fica só (n/4) mesmo! 
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E a fração do Q3, qual será? 
Ora, o quartil divide o conjunto em quatro partes. Daí, o começo da fração é: n/4. 
Só que estamos interessados no Q3. Assim, esse 3 vai para o numerador, acompanhar o 
n. Ficaremos, pois, que a fração do Q3 é: (3n/4). 
E assim por diante! 
Vejamos a fração do primeiro decil D1, por exemplo. O decil divide o conjunto em dez 
partes iguais. Logo, o início da fração é (n/10). O 1 do D1 vai para o numerador, e teremos: 
(1n/10), que fica apenas (n/10). 
Qual a fração do sétimo decil (D7)? Já adivinhou? Começamos com n/10, uma vez que o 
decil divide o conjunto em dez partes. Agora, o 7 do D7 vai para o numerador, e teremos, 
enfim, que a fração do D7 é (7n/10). 
Creio que agora tudo ficou esclarecido. Sim? 
Vejamos. Eu quero que você me diga qual a fração do P35 (trigésimo quinto percentil). 
Você saberia dizer qual é? Claro! Primeiro, pensaremos que o percentil divide o conjunto em 
cem partes iguais. Assim, começaremos por n/100. E agora, o 35 do P35 vai para o numerador, 
e teremos, finalmente, que a fração do P35 é (35n/100). 
Certo? Tudo entendido? 
Ótimo! Uma vez sabendo qual a fração que inicia o cálculo da medida separatriz 
desejada, o restante, conforme dito há pouco, é só seguir a receita de bolo que aprendemos 
para calcular a mediana! 
Com o exemplo resolvido abaixo, estou certo que tudo ficará ainda mais compreendido! 
AFRF-2002.2: O atributodo tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
Classes Freqüência (fi) 
29,5 – 39,5 
39,5 – 49,5 
49,5 – 59,5 
59,5 – 69,5 
69,5 – 79,5 
79,5 – 89,5 
89,5 – 99,5 
4 
8 
14 
20 
26 
18 
10 
 
Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria: 
a) 0,080 
b) –0,206 
c) 0,000 
d) –0,095 
e) 0,300 
 
Sol.: Comecemos pela Mediana. 
1o Passo) Determinamos n pelo somatório da coluna do fi e calculamos (n/2): 
 
Classes Freqüência (fi) 
29,5 – 39,5 
39,5 – 49,5 
49,5 – 59,5 
59,5 – 69,5 
69,5 – 79,5 
79,5 – 89,5 
89,5 – 99,5 
4 
8 
14 
20 
26 
18 
10 
 n=100 
 
 Daí, teremos n=100 e (n/2)=50 
 
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2o Passo) Construiremos a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente (fac): 
 
Classes fi fac↓ 
29,5 – 39,5 
39,5 – 49,5 
49,5 – 59,5 
59,5 – 69,5 
69,5 – 79,5 
79,5 – 89,5 
89,5 – 99,5 
4 
8 
14 
20 
26 
18 
10 
4 
12 
26 
46 
72 
90 
100 
 n=100 
3o Passo) Passamos às perguntas comparativas dos valores da fac com o valor de referência 
(n/2). Teremos: 
 
Classes fi fac↓ 
29,5 – 39,5 
39,5 – 49,5 
49,5 – 59,5 
59,5 – 69,5 
69,5 – 79,5 
79,5 – 89,5 
89,5 – 99,5 
4 
8 
14 
20 
26 
18 
10 
4 
12 
26 
46 
72 
90 
100 
? 4 é ≥ 50? Não! 
? 12 é ≥ 50? Não! 
? 26 é ≥ 50? Não! 
? 46 é ≥ 50? Não! 
? 72 é ≥ 50? SIM! 
 n=100 
 
Daí, nossa Classe Mediana será a quinta classe (69,5 – 79,5). 
 Feito isso, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 69,5 Md 79,5 
fac associadas: 46 50 72 
 
 
 
 
 
 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 10 x 
 26 4 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(4x10)/26 ? X=1,54 
 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao 
valor do X que acabamos de calcular. Teremos: 
 ? Md=69,5+1,54 ? Md=71,04 
26 
10 
4 
X 
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 Este valor vai ficar guardado, de molho, esperando o final da resolução! Adiante! 
 
 Agora, vamos à procura do Primeiro Quartil – Q1: 
 
1o Passo) Determinemos o valor da fração do Q1, ou seja, de (n/4): 
 
 Como n=100, teremos que (n/4)=25 
 
2o Passo) Como já dispomos da coluna da fac, passamos às perguntas comparativas: 
 
Classes fi fac↓ 
29,5 – 39,5 
39,5 – 49,5 
49,5 – 59,5 
59,5 – 69,5 
69,5 – 79,5 
79,5 – 89,5 
89,5 – 99,5 
4 
8 
14 
20 
26 
18 
10 
4 
12 
26 
46 
72 
90 
100 
? 4 é ≥ 25? Não! 
? 12 é ≥ 25? Não! 
? 26 é ≥ 25? SIM! 
 
 n=100 
 
 Daí, a classe do Q1 é a terceira classe (49,5 – 59,5). Resta-nos fazer o desenho. 
Teremos: 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 49,5 Q1 59,5 
fac associadas: 12 25 26 
 
 
 
 
 
 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 10 x 
 14 13 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(10x13)/14 ? X=9,28 
 Somando este x com o limite inferior da classe, teremos: 
 ? Q1=49,5+9,29 ? Q1=58,78 
 
 Este resultado também aguardará o final da resolução! Adiante! 
 
Finalmente, resta-nos encontrar o valor do Terceiro Quartil, Q3: 
 
14 
10 
13 
X 
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1o Passo) Calculamos o valor da fração do Q3, que é, conforme sabemos: (3n/4). 
 
Como n=100, teremos: (3n/4)=75 
 
2o Passo) Uma vez que já temos a coluna da fac, passemos às perguntas de praxe: 
 
Classes fi fac↓ 
29,5 – 39,5 
39,5 – 49,5 
49,5 – 59,5 
59,5 – 69,5 
69,5 – 79,5 
79,5 – 89,5 
89,5 – 99,5 
4 
8 
14 
20 
26 
18 
10 
4 
12 
26 
46 
72 
90 
100 
? 4 é ≥ 75? Não! 
? 12 é ≥ 75? Não! 
? 26 é ≥ 75? Não! 
? 46 é ≥ 75? Não! 
? 72 é ≥ 75? Não! 
? 90 é ≥ 75? SIM! 
 n=100 
 
 Achamos nossa Classe do Terceiro Quartil: é a penúltima classe (79,5 – 89,5). Daí, 
construindo o desenho, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 79,5 Q3 89,5 
fac associadas: 72 75 90 
 
 
 
 
 
 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 10 x 
 18 3 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(3x10)/18 ? X=1,67 
 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: 
 ? Q3=79,5+1,67 ? Q3=81,17 
 
Agora, vamos relacionar os valores das medidas encontradas por nós: 
 
 ? Q1=58,78 ; ? Q3=81,17 e ? Md=71,04 
 
 Daí, aplicando a fórmula do Índice Quartílico de Assimetria, teremos: 
 
18 
10 
3 
X 
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13
213
QQ
MdQQA −
−+= ? 
78,5817,81
04,71278,5817,81
−
−+= xA 
 
? E: 095,0−=A ? Resposta! 
 
 À primeira vista, parece ser uma questão bem mais demorada do que fato é. Na hora da 
prova, com o candidato já bastante “treinado”, realmente não se perde muito tempo nesta 
resolução. Mesmo porque é um procedimento bastante repetitivo, e que deverá estar, 
certamente, automatizado pelo aluno. 
 
# Coeficientes de Assimetria de Pearson: 
 
 Veremos agora duas outras maneiras de calcular o índice de assimetria de um conjunto, 
as quais envolvem as Medidas de Tendência Central. São as seguintes: 
 
? Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson: 
 
Dado pela fórmula que se segue: 
 ( )
S
MoXA −= 
 Onde: 
 - X é a Média Aritmética; 
 - Mo é a Moda; e 
 - S é o Desvio-Padrão do conjunto. 
 
Observando bem esta fórmula que define o Primeiro Coeficiente de Pearson, verificamos 
que o sinal da assimetria será definido pelo seu numerador. Assim, apenas comparando os 
valores da Média Aritmética e da Moda, saberemos qual o tipo de assimetria da distribuição. 
 
Assim, de acordo com este coeficiente, teremos: 
 
→ Se X = Mo → Assimetria Nula! Ou seja, distribuição Simétrica! 
→ Se X > Mo → Assimetria Positiva! Curva Assimétrica à Direita! 
→ Se X < Mo → Assimetria Negativa! Curva Assimétrica à Esquerda. 
 
 
? Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson: 
 
Será calculado da seguinte maneira: 
 ( )
S
MdXA −= 3 
 
 Onde: 
- X é a Média Aritmética; 
 - Md é a Mediana; e 
 - S é o Desvio-Padrão do conjunto. 
 
 Aqui, para este Segundo Coeficiente de Pearson, observamos que o sinal da assimetria 
será definido apenas comparando os valores da Média Aritmética e da Mediana do conjunto. 
Teremos, portanto: 
 
→ Se X = Md → Assimetria Nula. Ou seja, distribuição Simétrica. 
→ Se X > Md → Assimetria Positiva. Curva Assimétrica à Direita. 
→ Se X < Md → Assimetria Negativa. Curva Assimétrica à Esquerda. 
 
 
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 Estes dois Coeficientes de Assimetria de Pearson não costumavam ser muito exigidos em 
provas de Estatística Básica dos concursos. Tal foi, portanto, a surpresa dos candidatos que 
enfrentaram a prova do AFRF 2002.1. Vejamos a questão abaixo: 
AFRF-2002.1: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu 
a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais 
e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observaçõescoincidentes 
com os extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70 – 90 5 
90 – 110 15 
110 – 130 40 
130 – 150 70 
150 – 170 85 
170 – 190 95 
190 – 210 100 
 
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de 
assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
 
a) 3/S 
b) 4/S 
c) 5/S 
d) 6/S 
e) 0 
 
Sol.: Para resolvermos esta questão, precisaríamos inicialmente trabalhar com as colunas de 
freqüências, para chegarmos à freqüência absoluta simples – fi. O resultado deste 
procedimento, já realizado para este enunciado em aulas anteriores, é o seguinte: 
 
Classes Fac↓ Fi fi 
70 – 90 5% 5% 10 
90 – 110 15% 10% 20 
110 – 130 40% 25% 50 
130 – 150 70% 30% 60 
150 – 170 85% 15% 30 
170 – 190 95% 10% 20 
190 – 210 100% 5% 10 
 
 Agora o que nos resta é apenas recordarmos da fórmula do Primeiro Coeficiente de 
Assimetria de Pearson: 
 ( )
S
MoXA −= 
 
 Se observarmos as opções de resposta, veremos que elas vêm com o Desvio-Padrão – S 
– no denominador. Ou seja, só precisaremos nos preocupar com o numerador da fórmula. 
 
 Na primeira questão desta prova, já havia sido exigido o cálculo da Média. Inclusive já a 
fizemos, em oportunidade anterior, na página 6 da nossa aula 5, para ser mais preciso! 
 
Vamos transcrever aquela solução: 
 
 
 
 
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 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: 
Classes Fac Fi fi PM 
70-90 5% 5% 10 80 
90-110 15% 10% 20 . 
110-130 40% 25% 50 . 
130-150 70% 30% 60 . 
150-170 85% 15% 30 . 
170-190 95% 10% 20 . 
190-210 100% 5% 10 . 
 100% n=200 
 
 2º) Construir a coluna de transformação da variável: 
Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM =−
20
80
 
70-90 5% 5% 10 80 0 
90-110 15% 10% 20 . 1 
110-130 40% 25% 50 . 2 
130-150 70% 30% 60 . 3 
150-170 85% 15% 30 . 4 
170-190 95% 10% 20 . 5 
190-210 100% 5% 10 . 6 
 n=200 
 
 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: 
Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM =−
20
80
 
fi.Yi 
70-90 5% 5% 10 80 0 0 
90-110 15% 10% 20 . 1 20 
110-130 40% 25% 50 . 2 100 
130-150 70% 30% 60 . 3 180 
150-170 85% 15% 30 . 4 120 
170-190 95% 10% 20 . 5 100 
190-210 100% 5% 10 . 6 60 
 n=200 580 
 
 4º) Calcular a média da variável transformada: Y 
 ? 9,2
200
580 ==Y 
 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminho 
de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 
 1º)-80 2º)÷20 
 
 Xi Yi 
 
 2º)+80 1º)x20 
 
 ? 2,9 x 20 = 58,0 e 58,0 + 80 = 138 
9,2=Y
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 Agora, tudo o que temos a fazer é descobrir o valor da Moda desta distribuição de 
freqüências. Seguiremos os passos já nossos conhecidos para isso: 
 
Classes fi 
70 – 90 10 
90 – 110 20 
110 – 130 50 
130 – 150 60 
150 – 170 30 
170 – 190 20 
190 – 210 10 
 
1º Passo) Determinaremos da Classe Modal: 
 
Xi fi 
70 – 90 10 
90 – 110 20 
110 – 130 50 
130 – 150 60 
150 – 170 30 
170 – 190 20 
190 – 210 10 
 
 
 
 
? Classe Modal! ? (a de maior fi) 
 
Para a qual teremos: linf=130 e h=10 
 
2º Passo) Calcularemos os elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp 
 
Xi fi 
70 – 90 10 
90 – 110 20 
110 – 130 50 
130 – 150 60 
150 – 170 30 
170 – 190 20 
190 – 210 10 
 
 
 
? Classe Anterior: Δa=60-50 ? Δa=10 
? Classe Modal! 
? Classe Posterior: Δp=60-30 ? Δp=30 
 
 
3º Passo) Aplicaremos a fórmula da Moda de Czuber: 
 
Segundo Czuber, teremos que: h
pa
alMo ⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
Δ+Δ
Δ+= inf 
 
Daí: 20
3010
10130 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++=Mo ? E: Mo=135 
 
Finalmente, dispondo já de todos os elementos que procurávamos, aplicaremos a fórmula 
do Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson. Teremos: 
 ( )
S
MoXA −= ? ( )
S
A 135138−= 
 
? 
S
A 3= ? Resposta! 
 
 
 
 
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# Índice Momento de Assimetria: 
 
 Este é o quarto método pelo qual aprenderemos a determinar o valor do grau de 
Assimetria de um conjunto. 
 Será dado pela seguinte fórmula: 
 
3
3
S
m
A = 
 Onde: 
 - m3 é o Terceiro Momento Centrado na Média Aritmética; e 
 - S3 é o Desvio-Padrão, elevado à terceira potência. 
 
Para efeitos mnemônicos, lembraremos deste cálculo como sendo a Fórmula do 3, uma 
vez que é o único algarismo que aparece nela. 
 
 Trata-se de um índice cuja aplicação não é das mais rápidas. Vamos relembrar como se 
calculam os elementos deste índice. 
 
 No numerador, teremos m3, que é terceiro momento (ou momento de terceira ordem), 
cuja fórmula aprendemos já nesta aula de hoje, e que é dado por: 
 ( )
n
fiXPM
m ∑ −= .33 
 
 E, no denominador, o Desvio-Padrão ao cubo, que poderá ser encontrado da seguinte 
maneira: 
 
( ) 323 .
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −= ∑
n
fiXPM
S 
 
 Daí, teremos que a fórmula completa do Índice Momento de Assimetria será: ( )
( ) 32
3
.
.
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
A 
 
 Percebemos, portanto, que para encontrar o Índice Momento de Assimetria teríamos que 
trabalhar o numerador e o denominador da fórmula isoladamente, para em seguida chegar ao 
resultado. Exatamente como se fossem duas questões em uma só. 
 
 O que pode acontecer, é de a prova já fornecer uma tabela de freqüências bastante 
completa, de forma que já nos estivessem disponíveis todas as colunas que precisaríamos para 
usar na fórmula. Por exemplo, suponhamos que o enunciado da questão nos fornecesse uma 
distribuição nos moldes dessa abaixo: 
 
Classes fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )3 (PM- X )3.fi 
... ... ... ... ... ... ... ... 
Σ n E F 
 
Vejam que escolhi algumas letras (E e F) para os somatórios das colunas que nos 
interessarão, somente para efeitos de desenvolvermos o raciocínio a seguir. 
 
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 Nossa resolução, neste caso, se resumiria quase a uma transposição dos dados da tabela 
para a fórmula. Teríamos, portanto: 
 
3
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
n
E
n
F
A 
 
# Índice Decílico de Assimetria: 
 Uma quinta e última maneira de se determinar a assimetria de um conjunto é por este 
índice decílico. Nesta fórmula, só estarão presentes decis. Vejamos: 
19
219
DD
MdDDA −
−+= 
 
 
# Resumo das Fórmulas de Assimetria: 
 
 Segue, abaixo, um sumário das fórmulas dos índices e coeficientes de Assimetria que 
aprendemos hoje, e que seguramente poderão ser, eventualmente, cobrados nas próximas 
provas de estatística dos concursos. 
 
? Índice Quartílico de Assimetria: 
 ( )
( )13
213
QQ
MdQQA −
−+= 
 
? Índice Decílico de Assimetria: 
19
219
DD
MdDDA −
−+= 
 
? Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson: 
 ( )
S
MoXA −= 
 
? Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson: 
 ( )
S
MdXA −= 3 
 
? Índice Momento de Assimetria: 
 
3
3
S
m
A = ? 
( )
( ) 32
3
.
.
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
A 
 
 
 
 
 
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# Medidas de Curtose: 
 
Este é um assunto de fácil compreensão e muito freqüente em provas de estatística dos 
concursos públicos. 
 
 O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose? Significa apenas verificar o “grau 
de achatamento da curva”.Ou seja, saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto é 
mais “afilada” ou mais “achatada” em relação a uma curva padrão, chamada curva normal. 
 
 Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes 
possibilidades: 
 
 
 Logo, como vemos acima, uma curva (um conjunto) poderá ser, quanto à sua Curtose: 
 
- Mesocúrtica: ou de curtose média. “Meso” lembra meio. Esta curva está no meio 
termo: nem muito achatada, nem muito afilada; 
 
- Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu desenho lembra o de um prato emborcado. 
Então, “prato” lembra “plati” e “plati” lembra “platicúrtica”; 
 
- Leptocúrtica: é a curva mais afilada. 
 
Em capítulos anteriores, vimos que existe uma relação estreita entre o valor das Medidas 
de Tendência Central (Média, Moda e Mediana) e o comportamento da Assimetria de um 
conjunto. 
 
Todavia, quando se trata de Curtose, não há como extrairmos uma conclusão sobre qual 
será a situação da distribuição – se mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica – apenas 
conhecendo os valores da Média, Moda e Mediana. 
 
Outra observação relevante, e que já foi bastante explorada em questões teóricas de 
provas anteriores, é que não existe uma relação entre as situações de Assimetria e as situações 
de Curtose de um mesmo conjunto. Ou seja, Assimetria e Curtose são medidas independentes e 
que não se influenciam mutuamente. 
 
Aprenderemos duas distintas maneiras de calcular o Índice de Curtose de um conjunto. 
 
? Índice Percentílico de Curtose: 
 
 Encontraremos este índice usando a seguinte fórmula: 
 ( )
( )1090
13
2 PP
QQC −
−= 
 Onde: 
- Q3 é o terceiro quartil; 
- Q1 é o primeiro quartil; 
- P90 é o nonagésimo percentil e 
- P10 é o décimo percentil. 
Curva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Curva Platicúrtica
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Podemos ainda, levando em consideração a relação que há entre as medidas 
separatrizes, dizer que o Índice Percentílico de Curtose será dado por: 
 ( )
( )19
13
2 DD
QQC −
−= 
 
Onde: 
- Q3 é o terceiro quartil; 
- Q1 é o primeiro quartil; 
- D9 é o nono decil; e 
- D1 é o primeiro decil. 
 
Ou seja, trabalharemos aqui com duas Medidas Separatrizes – o Quartil e o Decil. 
 
 Vejamos uma questão resolvida deste assunto. 
 
AFRF-2002.1: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu 
a tabela de freqüência abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e 
a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. 
 
Classes P(%) 
70 – 90 
90 – 110 
110 – 130 
130 – 150 
150 – 170 
170 – 190 
190 - 210 
5 
15 
40 
70 
85 
95 
100 
 
Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido 
em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente k = Q / (P90-
P10), onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 
90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose k para a distribuição 
de X. 
a) 0,263 
b) 0,250 
c) 0,300 
d) 0,242 
e) 0,000 
Sol.: 
 No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a compreensão da fórmula do 
índice percentílico de Curtose. Além disso, usou Percentis em lugar de Decis. Todavia, sabemos 
perfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o mesmo que Primeiro Decil (D1), e que 
Nonagésimo Percentil (P90) é a mesma coisa que Nono Decil (D9). 
 Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta resposta, o Índice 
Percentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos: 
 ( )
( )19
13
2 DD
QQC −
−= 
 
Aproveitaremos que todo esse trabalho de encontrar os Quartis (Q1 e Q3) e os Decis (D1 
e D9) já foram feitos para este mesmo enunciado, e reproduziremos aqui a resolução desta 
questão. 
 
Obviamente que todos perceberam que havia um trabalho preliminar a ser realizado, que 
era exatamente o de chegarmos à coluna da freqüência absoluta simples – fi. 
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Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar o Caminho das 
Pedras para chegar às freqüências desejadas, expomos a seguir o resultado destas operações e, 
finalmente, a coluna da fi. 
 
Classes Fac↓ Fi fi 
70 – 90 5% 5% 10 
90 – 110 15% 10% 20 
110 – 130 40% 25% 50 
130 – 150 70% 30% 60 
150 – 170 85% 15% 30 
170 – 190 95% 10% 20 
190 – 210 100% 5% 10 
 
? Cálculo da fração do Primeiro Quartil – Q1: 
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4): 
 
Xi fi 
70 !--- 90 
 90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
 
Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=50 
 
2º Passo) Construímos a fac: 
 
Xi fi fac↓ 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
 
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a pergunta de praxe, 
adaptada ao primeiro quartil: 
 
Xi fi fac↓ 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
? 10 é maior ou igual a 50? NÃO! 
? 30 é maior ou igual a 50? NÃO! 
? 80 é maior ou igual a 50? SIM! 
 n=200 
 
Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe correspondente 
(110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro Quartil. 
 
4º Passo) Fazendo o desenho adequado, teremos: 
 
 
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Limites da Classe: 110 Q1 130 
fac associadas: 30 50 80 
 
 
 
 
 
 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 20 x 
 50 20 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(20x20)/50 ? X=8,0 
 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: 
 ? Q1=110+8 ? Q1=118,0 
 
 
? Cálculo do Terceiro Quartil: Q3 
 
Sol.: 
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4): 
 
Xi fi 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
 
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150 
 
2º Passo) Já dispondo da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), 
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil: 
 
 
 
 
 
50 
20 
20 
X 
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Xi fi fac↓ 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
? 10 é maior ou igual a 150? NÃO! 
? 30 é maior ou igual a 150? NÃO! 
? 80 é maior ou igual a 150? NÃO! 
? 140 é maior ou igual a 150? NÃO! 
? 170 é maior ou igual a 150? SIM! 
 
 
 n=200 
 
Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos que esta 
será nossa Classe do Terceiro Quartil. 
 
3º Passo) Faremos o desenho adequado para descobrir o Q3. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 150 Q3 170 
fac associadas: 140 150 170Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 20 x 
 30 10 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(20x10)/30 ? X=6,67 
 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: 
 ? Q3=150+6,67 ? Q3=156,67 
 
? Cálculo do Primeiro Decil: D1 
 
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10): 
 
 
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (n/10)=20 
 
 
2º Passo) Conhecedores da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de 
(n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil: 
 
30 
20 
10 
X 
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Xi fi fac↓ 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
? 10 é maior ou igual a 20? NÃO! 
? 30 é maior ou igual a 20? SIM! 
 
 n=200 
 
Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa Classe do Primeiro 
Decil! 
 
3º Passo) Fazer o desenho. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 90 D1 110 
fac associadas: 10 20 30 
 
 
 
 
 
 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 20 x 
 20 10 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(20x10)/20 ? X=10,0 
 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: 
 ? D1=90+10 ? D1=100,0 
 
? Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9: 
 
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10): 
 
 
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180 
 
 
 
 
 
20 
20 
10 
X 
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2º Passo) Conhecedores da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de 
(9n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil: 
 
Xi fi fac↓ 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
? 10 é maior ou igual a 180? NÃO! 
? 30 é maior ou igual a 180? NÃO! 
? 80 é maior ou igual a 180? NÃO! 
? 140 é maior ou igual a 180? NÃO! 
? 170 é maior ou igual a 180? NÃO! 
? 190 é maior ou igual a 180? SIM! 
 n=200 
 
Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa Classe do 
Nono Decil. 
 
3º Passo) Faremos o desenho adequado, e teremos que: 
 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 170 D9 190 
fac associadas: 170 180 190 
 
 
 
 
 
 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
 20 x 
 20 10 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: ? X=(20x10)/20 ? X=10,0 
 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: 
 ? D9=170+10 ? D9=180,0 
 
 Agora sim! Chegou o momento de reunirmos os valores encontrados, para compormos a 
fórmula da Curtose! Teremos, portanto: 
 
? ( )( )19
13
2 DD
QQC −
−= ? ( )( )1001802
1186,156
−
−=C ? 242,0=C ? Resposta! 
 
 
20 
20 
10 
X 
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? Interpretação do Resultado do Índice Percentílico de Curtose: 
 
 A questão acima foi resolvida pela mera aplicação da fórmula do índice percentílico. 
Todavia, questões haverá que solicitarão não apenas o resultado do índice, mas questionarão a 
situação de curtose em que se encontra aquele conjunto. Ou seja, desejarão saber se a 
distribuição será Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica. 
 
 Daí, teremos que saber interpretar o resultado do índice de Curtose. 
 
 No caso deste Índice Percentílico, a leitura que faremos do resultado é a seguinte: 
 
Se C<0,263 ? A distribuição é LEPTOCÚRTICA; 
 
Se C=0,263 ? A distribuição é MESOCÚRTICA; 
 
Se C>0,263 ? A distribuição é PLATICÚRTICA. 
 
 Para a questão que resolvemos acima, por exemplo, tendo encontrado C=0,242, 
concluiríamos que se tratava de uma distribuição Leptocúrtica, caso isso estivesse sendo 
perguntado pela questão. 
 
 
# Índice Momento de Curtose: 
 
 Será dado pela seguinte fórmula: 
 
4
4
S
mC = 
Onde: 
- m4 é o Momento de 4a Ordem Centrado na Média Aritmética; e 
- S4 é o Desvio-Padrão do conjunto, elevado à quarta potência. 
 
Como só aparece número “4” nesta fórmula, lembraremos dela como sendo a fórmula do 
4. 
 
Esta nos parece tão trabalhosa quanto a primeira (a do índice percentílico). Pois, na 
verdade, teríamos que encontrar isoladamente o valor do numerador (que já é uma questão em 
si) e depois o valor do denominador. As fórmulas seriam as seguintes: 
 
? O numerador (m4): Quarto Momento Centrado na Média: 
 ( )
n
fiXPM
m ∑ −= .44 
 
 ? O denominador (S4): Quarta potência Desvio-Padrão: 
 
( ) ( )
22
224 .
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −== ∑
n
fiXPM
SS 
 
Como vimos acima, a quarta potência do Desvio-Padrão é a mesmíssima coisa que o 
quadrado da Variância. 
 
 
Então, nossa fórmula completa do índice momento de Curtose seria a seguinte: 
 
 
 
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 ( )
( ) 22
4
.
.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
C 
 
Questão de prova que venha a exigir o cálculo deste índice Momento de Curtose deverá, 
naturalmente, fornecer uma tabela já bastante completa, de modo que, apenas pelas colunas 
fornecidas na distribuição, já tivéssemos condições chegar ao resultado. 
 
 Caso a prova nos dê na questão apenas uma tabela com a coluna das classes e a coluna 
da freqüência absoluta simples, teríamos que fazer um trabalho bastante demorado para 
chegarmos à resposta. 
 
Vejamos um exemplo ilustrativo dos passos que precisaríamos seguir. 
 
A tabela abaixo representa os dados fornecidos pelo enunciado: 
 
Classes fi 
... ... 
 
Daí, como primeiro passo, teríamos que encontrar o valor da Média do conjunto. 
Provavelmente, seria mais rápido determinarmos o X se utilizarmos o método da Variável 
Transformada. Então, construiríamos a coluna dos Pontos Médios – PM: 
 
Classes fi PM 
... ... ... 
 
Em seguida, a Coluna de Transformação da Variável: 
 
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi 
 h 
... ... ... ... 
 
Daí, faríamos a coluna do (Yi.fi): 
 
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi 
h 
Yi.fi 
... ... ... ... ... 
 
E aplicaríamos a fórmula da Média da Variável Transformada: 
 
n
fiYi
Y ∑= . 
 
E, com este resultado, percorreríamos o Caminho de Volta da transformação, fazendo: 
 
(Y x h ) e {(Y x h)+ 1ºPM} = X 
 
Neste ponto, construiríamos a coluna (PM- X ): 
 
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi 
h 
Yi.fi PM- X 
... ... ... ... ... ... 
 
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E a coluna (PM- X )2 : 
 
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi 
 h 
Yi.fi PM- X (PM- X )2 
... ... ... ... ... ... ... 
 
 
E a coluna [(PM- X )2.fi]: 
 
Xi fi PM (PM-1ºPM)=Yi 
h 
Yi.fi PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi 
... ... ... ... ... ... ... ... 
 
E a coluna (PM- X )4 : (Desaparecerão aqui a coluna de transformação e a coluna do 
(Yi.fi) apenas por uma questão de espaço). 
 
Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4 
... ... ... ... ... ... ... 
 
E, finalmente, a coluna [(PM- X )4.fi]: 
 
Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4 (PM- X )4.fi 
... ... ... ... ... ... ... ... 
 
Daí, vamos designar nomes aos somatórios das colunas que nos interessam,só para 
enxergarmos melhor como será nossa conclusão: 
 
Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4 (PM- X )4.fi 
... ... ... ... ... ... ... ... 
 n E F 
 
Para concluir a questão, aplicaríamos a fórmula do 4: 
 ( )
( ) 22
4
.
.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
C 
E encontraríamos que: 
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
n
E
n
F
C ? Resposta da Questão! 
 
 Aprenderemos, na seqüência, como interpretar o resultado do índice Momento de 
Assimetria e, após, faremos uma questão extraída da prova do AFRF-2002.2, para termos uma 
noção mais precisa de como este assunto tem sido cobrado. 
 
? Interpretação do Resultado do Índice Momento de Curtose: 
 
Novamente aqui precisaremos conhecer como analisar o resultado do índice de Curtose, a 
fim de podermos definir nossa distribuição como Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica. 
 
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Interpretaremos o Índice Momento de Curtose da seguinte maneira: 
 
Se C > 3 ? A distribuição é LEPTOCÚRTICA; 
 
Se C = 3 ? A distribuição é MESOCÚRTICA; 
 
Se C < 3 ? A distribuição é PLATICÚRTICA. 
 
É, portanto, de suma importância que tenhamos bem memorizados estes valores de 
referência, a partir dos quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se encontra 
determinado conjunto. 
 
 Passemos à questão. 
 
AFRF-2002-2: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência (fi) 
29,5 – 39,5 
39,5 – 49,5 
49,5 – 59,5 
59,5 – 69,5 
69,5 – 79,5 
79,5 – 89,5 
89,5 – 99,5 
4 
8 
14 
20 
26 
18 
10 
 
Para a distribuição de freqüências do atributo X, sabe-se que: 
 ( )∑ =− 500.24.2 fiXXi e ( )∑ =− 500.682.14.4 fiXXi 
 
Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e X a média amostral. 
 
Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos 
momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. 
 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base 
nos momentos centrados de X. 
e) A distribuição de X é normal. 
 
Sol.: A questão foi bastante clara, ao definir que o índice de curtose a ser empregado será o 
índice Momento. Daí, teremos que relembrar a fórmula: 
 
4
4
S
mC = ? 
( )
( ) 22
4
.
.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
C 
 
 Agora, reparemos nos dados fornecidos pelo enunciado. Observemos que o que ele 
chamou de Xi é o nosso Ponto Médio, que chamamos de PM. Daí, não resta dúvida: já nos foram 
fornecidos o numerador do m4 e o numerador do S4. 
 
 
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Ora, o n – número de elementos do conjunto – será obtido somando a coluna da fi. E 
chegaremos ao valor de n=100. Daí, concluímos: já dispomos de todos os elementos da 
fórmula. Resta-nos transpô-los. 
 
Assim, teremos: 
 ( )
( ) 22
4
.
.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
C ? 2
100
500.24
100
500.682.14
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=C ? 44,2=C 
 
E agora passamos à interpretação do resultado. Se utilizamos o índice Momento de 
Curtose, e encontramos que C=2,44 (portanto, um valor menor que 3) concluímos que a 
distribuição é platicúrtica! 
 
Logo: Opção b ? Resposta da Questão! 
 
 
 
 É isso! 
 Esta aula já se tornou por demais repleta de informações! 
 Foi nosso penúltimo encontro! Na próxima aula, que será a última do nosso Curso, 
resolverei as questões que ficarão pendentes de nosso dever de casa de hoje, e falarei sobre 
mais alguma coisa que tenha sido esquecida. 
 Ok? 
 Forte abraço a todos! E fiquem com Deus! 
 
Dever de Casa 
 
84. (AFPS-2002/ESAF) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente 
de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três μ3 . 
Assinale a opção correta. 
 
a) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação 
à média. 
b) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em 
relação à média. 
c) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação 
à média. 
d) O valor de μ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da 
média dos cubos das observações. 
e) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação 
à média. 
 
85. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado 
forneceram os seguintes sumários: média aritmética = $1,20 , mediana = $0,53 
e moda = $0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta: 
 
a) A distribuição é assimétrica à direita. 
b) A distribuição é assimétrica à esquerda. 
c) A distribuição é simétrica. 
d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a 
melhor medida de tendência central. 
e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. 
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86. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram 
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa 
bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 
15, 16, 16, 18, 23 
 
Pode-se afirmar que: 
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa 
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva 
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica 
d) A distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-
populações com assimetria negativa 
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços 
 
87. (AFTN-98) Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual 
específica que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva 
para executar a tarefa. Assinale a opção que, em geral, mais se aproxima da 
distribuição amostral de tais observações. 
a) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica 
e com duas modas nos extremos. 
b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sino. 
c) Na maioria das vezes a distribuição de T será retangular. 
d) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda. 
e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triangular. 
 
88. (AFTN-94) Assinale a alternativa correta: 
a) Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável 
aleatória. 
b) A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade independe 
da variação da variável, mas depende do grau de assimetria da distribuição de 
freqüência. 
c) Em qualquer distribuição de freqüência, a média aritmética é mais 
representativa do que a média harmônica. 
d) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à média aritmética é nula. 
e) A moda, a mediana e a média aritmética são medidas de posição com valores 
expressos em reais que pertencem ao domínio da variável a que se referem. 
 
89. (AFTN-94) Indique a opção correta: 
a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor 
do que o coeficiente de curtose. 
b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um realno 
intervalo [-3, 3]. 
c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três 
vezes o quadrado da variância da distribuição. 
d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão. 
e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. 
 
90. (AFTN-98) Assinale a opção correta. 
a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das 
observações relativamente à média for negativa, a distribuição 
amostral terá assimetria negativa. 
b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que 
as observações amostrais são medidas. 
c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média 
de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está 
definido. 
d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 
95% das observações amostrais estarão compreendidas entre a média 
menos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões. 
e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda 
pesada e curtose excessiva. 
 
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91. (AFPS-2002/ESAF) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um 
atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 
classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
 
Classes Freqüências
4-9 5 
9-14 9 
14-19 10 
19-24 15 
24-29 12 
29-34 6 
34-39 4 
39-44 3 
44-49 2 
 
Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a 
opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na 
média, na mediana e no desvio padrão. 
a) -0,600 c) 0,709 e) -0,610 
b) 0,191 d) 0,603