Cálculo Vetorial e Edo - D 20252 B 2

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Atividade de Autoaprendizagem 2 Nota final ENVIADO EM: 28/08/25 23:36 Tentativa com a nota mais alta RECIBO: 1 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de linha, analise as afirmativas a seguir: I. A função F(x,y,z) =f (x,y,z) i+ g + h (x,y,z) descreve um campo vetorial. II. A integral de linha mensura efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica. III. é uma representação de uma integral de linha. IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo. Está correto apenas o que se afirma em: A II e IV. II, III e IV. le II. D I, III e IV. Correta: Resposta correta I, e III.2 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas, comprimentos e volumes com elas de maneira extremamente distinta. A seguinte integral dupla de uma função de duas variáveis efetua a mensuração de uma dessas medidas: (x,y) dxdy R Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a integral supracitada mensura volume de uma superfície, porque: A integrando dessa integral é uma função de duas variáveis. o contradomínio dessa função faz parte dos reais R. Correta: Resposta correta a região integrativa é uma região R retangular. D o diferencial de volume dv = dxdy. E a função que compõe o integrando é uma função par. 3 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO 0/0 O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas para representar espaço. Isso faz sentido pois, dado um problema, resolvê-lo por um método ou outro não altera. Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ou esféricas em alguns problemas porque:A reduz número de coordenadas e integrais. só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica. reduz uma integral tripla em um produto de três integrais. Correta: a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da integral mais simples nessas Resposta correta coordenadas. E permite integrar em qualquer ordem as coordenadas. 4 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um sistema de coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os elementos de área ou volume, caso contrário, resultado da integração pode ficar comprometido. De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas, analise as afirmativas a seguir: I. O elemento de área em coordenadas polares é dA = rdrd0 II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = rdrd0dz III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV = IV. Dada uma função f(x,y,z) em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é escrita como Está correto apenas que se afirma em: A I, III e IV.I e II. Correta: Resposta correta I, e IV. D e III. E e IV. 5 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações algébricas que deixam os cálculos mais palatáveis. A mudança de coordenadas é uma manipulação algébrica que consegue, muitas vezes, transformar limites integrativos complexos em limites mais simples. As principais mudanças de coordenadas são para as polares, cilíndricas e esféricas.6 5 4 -9 3 -8 8 -7 7 6 2 -6 5 -5 4 -4 3 -1 -3 -4 3 4 -2 -5 -6 5 -7 -8 6 7 -3 8 Figura - Representação de um sólido. Considerando essas informações, esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos acerca de integrais triplas e mudança de coordenadas, pode se afirmar que volume do sólido em questão pode ser mensurado por coordenadas cilíndricas, porque: Correta: Resposta correta há simetria do sólido com relação ao eixo z.sólido é limitado por funções circulares. há simetria do sólido com relação ao eixo y. D os parâmetros utilizados são r, 0 e E há simetria do sólido com relação ao eixo X. 6 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO 0/0 Um dos requisitos do teorema de Green é que caminho de integração seja fechado. Isto é, ponto do começo da integração e do fim são mesmo. Lembrando que o que está sendo somado são os vetores do campo, portanto fato de ser fechado não torna a integral nula. A a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado. o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário. Correta: Resposta correta só é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada. D o caminho fechado permite definir um volume. E caminho aberto poder ter singularidades.7 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de linha em caminhos fechados. teorema relaciona a borda do caminho com a área formada pelo caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. teorema de Green possui mais de uma forma de ser escrito. Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir. I. dr kdA é uma forma do teorema de Green. D II. + = dA é uma forma do teorema de Green, sendo (x,y) = Mi + Nj. III. S é uma forma do teorema de Green. IV. F nds = V FdA é uma forma do teorema de Green. D Está correto apenas que se afirma em: A I, e III. e IV. e IV. D le II. Correta: Resposta correta I, e IV.8 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar volumes. De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir: I. V G = dxdydz é uma integral que mensura volume. G II. V = (x,y) dxdy, sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume. R III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: dV = dx * dy * dz. IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas. Está correto apenas o que se afirma em: A I, III e IV. I, e IV. e II. Correta: Resposta correta I, e III. E e IV.9 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte integral tripla: .V= rdzdrd0 0 0 r2 Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. () refere-se ao diferencial de volume dV. II. A integral será efetuada primeiro com relação a depois com relação a e por último com relação a III. A integral está escrita em coordenadas esféricas. IV. Essa integral mensura a área de uma região no plano xy. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: A V,F,V,F. V,F,F,V. Correta: Resposta correta E F,V,F,V.10 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO Existem métodos integrativos para diferentes regiões abaixo de superfícies. método mais simples envolve cálculo de algumas integrais a partir de regiões retangulares. Existem, porém, outros métodos, que envolvem cálculo de algumas integrais a partir de regiões limitadas por funções. Essas regiões são separadas em Tipo (limitadas no eixo y) e Tipo (limitadas no eixo x) e são escritas algebricamente como (x,y) dydx e (x,y) dxdy. a c h2 12