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analogia

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das massas deve ser igual ao alongamento da
mola: x1 + x2 = x. Derivando essa expressão em relação ao tempo obte-
mos uma relação para as velocidades, _x1+ _x2 = _x, que no caso do circuito
equivale à lei dos nós, i1 + i2 = i. Comprovamos, então, que a associ-
ação em paralelo de dois indutores e um capacitor é o circuito análogo do
oscilador constituído de duas massas separadas por uma mola.
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b) A partir dos resultados do item anterior podemos escrever:�
F1 = F2 = F
_x1 + _x2 = _x
 !
�
V1 = V2 = V
i1 + i2 = i
) x1 + x2 = x ! ) di1dt + di2dt = didt
) F1m1 + F2m2 = Fm ! ) V1L1 + V2L2 = VL
) 1m =
1
m1
+ 1m2 ! ) 1L = 1L1 + 1L2
ou m = m1 m2m1+m2 ! ou L = L1 L2L1+L2
A expressão m = m1 m2m1+m2 é denominada massa reduzida do oscilador, sendo
um conceito muito útil no caso de sistemas constituídos de dois corpos.
c) A frequência angular do oscilador é dada por:
! =
q
k (m1+m2)
m1 m2
 ! ! =
q
(L1+L2)
C L1 L2
Exemplo 3
Uma massa m encontra-se presa entre duas molas de constantes elásticas k1
e k2.
a) Qual o circuito análogo a esse sistema?
b) Qual a expressão da constante elástica equivalente e, no circuito, qual a
grandeza análoga?
c) Qual a frequência angular desse oscilador?
Solução:
a) O circuito análogo deve possuir dois capacitores e um indutor. Para desco-
brir o tipo da associação notemos que a força sentida pela massa deve ser a
soma das forças exercidas pelas duas molas, F1+F2 = F . No circuito isso
equivale a V1 + V2 = V , ou seja, a voltagem no indutor é dada pela soma
das voltagens nos capacitores. Esse é o resultado da lei das malhas no
caso da associação em série. A comparação entre deslocamentos e cargas
ou velocidades e correntes comprova ser essa a associação correta. Nessa
comparação temos: x1 = x2 = x ou _x1 = _x2 = _x no sistema mecânico e
q1 = q2 = q ou i1 = i2 = i no circuito elétrico.
b) Utilizando resultados do item anterior podemos escrever:
�
x1 = x2 = x
F1 + F2 = F
 !
�
q1 = q2 = q
V1 + V2 = V
) k1 x1 + k2 x2 = k x ! ) q1C1 +
q2
C2
= qC
) k = k1 + k2 ! ) 1C = 1C1 + 1C2
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c) A frequência angular desse oscilador é dada por:
! =
q
k1+k2
m ! ! =
q
C1+C2
L C1 C2
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