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Sacha Friedli - Cálculo 1

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grande.
Suponha também que lim
x!1
g(x) = lim
x!1
h(x) = `. Então lim
x!1
f(x) = `.
Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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CAPÍTULO 4. LIMITES
Exercício 4.5. Prove o teorema acima.
Exercício 4.6. Calcule:
1. lim
x!1
1
x
2
cos(x
2
+ 3x)
2. lim
x!1
x+senx
x�cosx
3. lim
x!1
e
�x
1+x
2
4. lim
x!1
x�bxc
x
Observação 4.5. Alguns limites no infinito, tais como lim
x!1
e
x
x
ou lim
x!1
lnx
x
, não
podem ser calculados com os métodos desenvolvidos até agora; serão estudados mais
tarde.
4.2 Limites laterais: lim
x!a
�
f(x)
Na seção anterior estudamos o comportamento de uma função f(x) para os grandes val-
ores de x, isto é, �numa vizinhança do infinito�. Consideremos agora o comportamento
de f(x) quando x está numa vizinhança de um ponto fixo a 2 R.
Será em particular natural considerar o limite de f(x) quando x tende a a. Isso sem-
pre significará que x fica arbitrariamente perto de a, mas diferente de a. Na verdade,
tudo que segue será feito independentemente do que a função faz em a (só na sua
vizinhança).
Como x pode estar ou à esquerda de a (x < a), ou à direita de a (x > a), começaremos
com dois tipos de limites, chamados de laterais: escreveremos x! a
+
(ou x& a) para
indicar que x se aproxima de a pela direita, e x! a
�
(ou x% a) para indicar que x se
aproxima de a pela esquerda. Observe que nesse processo, x pode estar arbitrariamente
perto de a, mas precisa sempre pertencer ao domínio de f (será sempre subentendido).
Exemplo 4.13. Considere a função f(x) =
x
2
+ 1, na vizinhança do ponto a = 1.
Olhemos primeiro os valores de f(x) quando x & 1, isto é, quando x decresce para 1,
e vemos que estes decrescem para 1:5 =
3
2
: lim
x&1
f(x) =
3
2
,
x = 1:5 1:1 1:01 1; 0001
f(x) = 1:75 1:55 1:505 1; 50005
Ao olharmos os valores de f(x) quando x % 1, isto é, quando x cresce para 1, vemos
que estes crescem para o mesmo valor
3
2
: lim
x%1
f(x) =
3
2
,
x = 0:5 0:9 0:99 0:9999
f(x) = 1:25 1:45 1:495 1; 49995
f(x)
x
1
3=2
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CAPÍTULO 4. LIMITES
Observação 4.6. É importante mencionar que os limites estudados no exemplo anterior
não dependem do valor da função no ponto a = 1! De fato, se g for uma modificação
de f em 1, por exemplo
g(x):=
8
<
:
x
2
+ 1 se x 6= 1;
0 se x = 1 ;
então os limites laterais de g em x = 1 são os mesmos que os de f , isto é: lim
x&1
g(x) =
lim
x%1
g(x) =
3
2
.
Exemplo 4.14. Consideremos agora f(x) =
x
3
�1
x�1
. Observe que o domínio de f é
D = R n f1g. Olhemos justamente o que acontece na vizinhança de x = 1, estudando
os valores de f(x), quando x& 1,
x = 1.1 1.02 1.002 1.0002
f(x) ' 3; 310 3; 060 3:006 3; 001
e quando x% 1:
x = 0,9 0,99 0.999 0.9999
f(x) ' 2; 710 2; 970 2; 997 2; 999
Esses números sugerem que lim
x!1
+
f(x) = lim
x!1
�
f(x) = 3. Para provar que é
verdade, basta observar que por uma simples divisão do polinômio x
3
�1 pelo polinômio
x� 1,
x
3
� 1
x� 1
= x
2
+ x+ 1 :
A divisão é sem resto, já que os polinômios x
3
� 1 e x� 1 possuem a mesma raíz x = 1.
Agora, fica claro que se x tende a 1 (não importa de qual lado), então
lim
x!1
�
(x
2
+ x+ 1) = 1
2
+ 1 + 1 = 3 ; (4.12)
logo,
�
�
�
�
x
3
� 1
x� 1
� 3
�
�
�
�
= j(x
2
+ x+ 1)� 3j ! 0 :
Observação 4.7. No exemplo anterior, a função não é definida no ponto a = 1, mas
em qualquer outro ponto da sua vizinhança, e à medida que x se aproxima de a = 1,
o numerador e o denominador ambos tendem a zero, mas o quociente dos dois tende a
três. É o nosso primeiro exemplo de resolução de uma indeterminação do tipo �
0
0
�.
Exercício 4.7. Calcule lim
x!1
�
x
4
�1
x�1
, lim
x!1
�
x
5
�1
x�1
, ...
Eis agora a definição precisa de limite lateral:
Definição 4.2. Seja a 2 R.
1. Diz-se que f(x) tende a ` quando x tende a a pela direita se para todo � > 0
existe um � > 0 tal que se a < x � a + �, então jf(x) � `j � �. Escreve-se
lim
x!a
+
f(x) = `.
2. Diz-se que f(x) tende a ` quando x tende a a pela esquerda se para todo
� > 0 existe um � > 0 tal que se a�� � x < a, então jf(x)� `j � �. Escreve-se
lim
x!a
�
f(x) = `.
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CAPÍTULO 4. LIMITES
No Exemplo 4.13, a diferença jf(x) � `j vale
�
�
�(
x
2
+ 1) �
3
2
�
�
� =
1
2
jx � 1j. Logo, para ter
jf(x)� `j � �, basta escolher � := 2� e pegar jx� 1j � �.
Exercício 4.8. Usando a definição, mostre que lim
x!1
x
2
= 1.
Foi usado implicitamente em (4.12) que se cada termo de uma soma possui limite,
então a soma possui limite também, e este vale a soma dos limites; segue do seguinte
resultado, que é o análogo da Proposição 4.1:
Proposição 4.2. Suponha que duas funções, f e g, possuam limites quando x! a
+
:
lim
x!a
+
f(x) = `
1
; lim
x!a
+
g(x) = `
2
;
onde `
1
e `
2
são ambos finitos. Então
lim
x!a
+
ff(x) + g(x)g = lim
x!a
+
f(x) + lim
x!a
+
g(x) = `
1
+ `
2
; (4.13)
lim
x!a
+
f(x)g(x) =
�
lim
x!a
+
f(x)
�
�
�
lim
x!a
+
g(x)
�
= `
1
� `
2
: (4.14)
Além disso, se `
2
6= 0, então
lim
x!a
+
f(x)
g(x)
=
lim
x!a
+
f(x)
lim
x!a
+
g(x)
=
`
1
`
2
: (4.15)
As mesmas propriedades valem no caso x! a
�
.
Nos exemplos anteriores, os limites laterais x ! a
+
e x ! a
�
eram iguais. Vejamos
um exemplo onde eles são diferentes.
Exemplo 4.15. Considere f(x) =
x
3
+
x
2jxj
na vizinhança de a = 0. Como f(x) =
x
3
+
1
2
se x > 0, f(x) =
x
3
�
1
2
se x < 0, temos
lim
x!0
+
f(x) = +
1
2
; lim
x!0
�
f(x) = �
1
2
:
Isso significa que o gráfico de f(x), ao x crescer de < 0 para > 0 e atravessar 0, dá
um pulo de valores pertos de �
1
2
para valores perto de +
1
2
. Diz-se que essa função é
descontínua em x = 0:
f(x)
x
Exercício 4.9. Seja
f(x):=
8
<
:
5� x se x � 2
x
2
se x < 2 :
Calcule lim
x!a
�
f(x) para cada a 2 R.
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CAPÍTULO 4. LIMITES
Às vezes, limites laterais não existem:
Exemplo 4.16. Considere sen
1
x
(que obviamente não é definida em x = 0) para x > 0.
Já vimos (lembre o gráfico de x 7!
1
x
) que quando x > 0 se aproxima de 0,
1
x
toma
valores arbitrariamente grandes. Ora, como o seno não possui limite quando a sua
variável tende a +1, sen
1
x
não possui limite quando x! 0
+
:
x
sen
1
x
Observe, no entanto, que lim
x!1
sen
1
x
= 0.
Exercício 4.10. Considere a função definida por
f(x) =
8
<
:
+1 se x é racional diádico ;
0 caso contrário:
Estude os limites laterais de f(x) num ponto qualquer a.
Exercício 4.11. Seja f(x):=bxc. Calcule lim
x!
1
2
+
f(x), lim
x!
1
2
�
f(x), lim
x!
1
3
+
f(x),
lim
x!
1
3
�
f(x). Calcule lim
x!1
+
f(x), lim
x!1
�
f(x). Calcule, para qualquer número
inteiro n, lim
x!n
+
f(x), lim
x!n
�
f(x).
4.3 Limites lim
x!a
f(x)
Definição 4.3. Se uma função