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Sacha Friedli - Cálculo 1

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5. DERIVADA
O que foi usado acima é que se g é derivável, então pela regra da cadeia,
(e
g(x)
)
0
= e
g(x)
g
0
(x) : (5.13)
Essa expressão permite calcular as derivadas das funções da forma f(x)
g(x)
. De fato, se
f(x), sempre podemos escrever f(x) = e
ln f(x)
, transformando f(x)
g(x)
= e
g(x) ln f(x)
. Por
exemplo,
Exemplo 5.10. Considere uma exponencial numa base qualquer, a
x
, a > 0. Exponen-
ciando a base a = e
ln a
, temos a
x
= e
x ln a
. Logo,
(a
x
)
0
= (e
x ln a
)
0
= (x ln a)
0
e
x ln a
= (ln a)a
x
: (5.14)
Exemplo 5.11. Considere x
x
, com x > 0. Escrevendo o x (de baixo) como x = e
lnx
,
temos x
x
= (e
lnx
)
x
= e
x lnx
, logo
(x
x
)
0
= (e
x lnx
)
0
= (x lnx)
0
e
x lnx
= (lnx+ 1)x
x
:
Exercício 5.21. Derive as seguintes funções (supondo sempre que x > 0).
1. x
p
x
2. (senx)
x
3. x
senx
4. x
x
x
5.4.2 Derivadas logarítmicas
Vimos que derivar uma soma é mais simples do que derivar um produto. De fato, a
derivada da soma se calcula termo a termo, enquanto para derivar o produto, é necessário
usar a regra de Leibnitz repetitivamente. Ora, lembramos que o logaritmo transforma
produtos em soma, e que esse fato pode ser usado para simplificar as contas que apare-
cem para derivar um produto.
Considere uma função f definida como o produto de n funções, que suporemos todas
positivas e deriváveis:
f(x) = h
1
(x)h
2
(x) : : : h
n
(x) �
n
Y
k=1
h
k
(x) :
Para calcular f
0
(x), calculemos primeiro
ln f(x) = lnh
1
(x) + lnh
2
(x) + � � �+ lnh
n
(x) �
n
X
k=1
lnh
k
(x) ;
e derivamos ambos lados com respeito a x. Do lado esquerdo, usando a regra da cadeia,
(ln f(x))
0
=
f
0
(x)
f(x)
. Derivando termo a termo do lado direito, obtemos
f
0
(x)
f(x)
= (lnh
1
(x) + lnh
2
(x) + � � �+ lnh
n
(x))
0
= (lnh
1
(x))
0
+ (lnh
2
(x))
0
+ � � �+ (lnh
n
(x))
0
=
h
0
1
(x)
h
1
(x)
+
h
0
2
(x)
h
2
(x)
+ � � �+
h
0
n
(x)
h
n
(x)
:
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CAPÍTULO 5. DERIVADA
Logo, obtemos uma fórmula
f
0
(x) = f(x)
�
h
0
1
(x)
h
1
(x)
+
h
0
2
(x)
h
2
(x)
+ � � �+
h
0
n
(x)
h
n
(x)
�
Exercício 5.22. Derive, usando o método sugerido acima:
1.
(x+1)(x+2)(x+3)
(x+4)(x+5)(x+6)
2.
x sen
3
x
p
1+cos
2
x
3.
Q
n
k=1
(1 + x
k
)
5.4.3 Derivar uma função inversa
Sabemos que (senx)
0
= cosx e (a
x
)
0
= (ln a)a
x
, mas como derivar as suas respectivas
funções inversas, isto é, (arcsenx)
0
e (log
a
x)
0
?
Vimos que o inverso de uma função f , quando é bem definido, satisfaz às relações:
8x; (f(f
�1
(x)) = x :
Logo, derivando em ambos lados com respeito a x, e usando a regra da cadeia do lado
esquerdo,
f
0
(f
�1
(x)) � (f
�1
)
0
(x) = 1
Logo,
(f
�1
)
0
(x) =
1
f
0
(f
�1
(x))
:
Exemplo 5.12. Calculemos a derivada do arcsenx, que é por definição a inversa da
função f(x) = senx, e bem definida para x 2 [�1; 1]. Como f
0
(x) = cosx, a fórmula
acima dá
(arcsenx)
0
=
1
f
0
(f
�1
(x))
=
1
cos(arcsenx)
:
Usando a identidade provada no Exemplo 2.23: cos(arcsenx) =
p
1� x
2
, obtemos
(arcsenx)
0
=
1
p
1� x
2
: (5.15)
Observe que, como pode ser visto no gráfico da Seção 2.4.3, as retas tangentes ao gráfico
de arcsenx são verticais nos pontos x = �1, o que se traduz pelo fato de (arcsenx)
0
não
existir nesses pontos.
Exercício 5.23. Mostre que
(log
a
x)
0
=
1
(ln a)x
; (arcosx)
0
=
�1
p
1� x
2
; (arctanx)
0
=
1
1 + x
2
: (5.16)
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CAPÍTULO 5. DERIVADA
Exercício 5.24. Calcule as derivadas das funções abaixo.
1. log
a
(1� x
2
)
2. arcsen(1� x
2
)
3. arctan(tanx), �
�
2
< x <
�
2
4. arcsen(cosx), 0 < x <
�
2
5. cos(arcsenx), �1 < x < 1
5.5 O Teorema de Rolle
A seguinte afirmação geométrica é intuitiva: se A e B são dois pontos de mesma altura
(isto é: com a mesma segunda coordenada) no gráfico de uma função diferenciável f ,
então existe pelo menos um ponto C no gráfico de f tal que a reta tangente em C seja
horizontal. Em outras palavras:
Teorema 5.2. Seja f uma função contínua em [a; b] e derivável em (a; b). Se
f(a) = f(b), então existe c 2 (a; b) tal que
f
0
(c) = 0 :
Exemplo 5.13. Considere f(x) = senx, e a = 0, b = �. Então f(a) = f(b). Nesse
caso, o ponto c cuja existência é garantida pelo teorema é c =
�
2
:
0
�
2
�
De fato, f
0
(x) = cosx, logo f
0
(
�
2
) = 0.
Exercício 5.25. Em cada um dos casos a seguir, mostre que a afirmação do Teo-
rema de Rolle é verificada, achando explicitamente o ponto c.
1. f(x) = x
2
+ x, a = �2, b = 1.
2. f(x) = cosx, a = �
3�
2
, b =
3�
2
3. f(x) = x
4
+ x, a = �1, b = 0.
Como consequência do Teorema de Rolle,
Corolário 5.1. Seja f uma função contínua em [a; b], derivável em (a; b). Então
existe c 2 (a; b) tal que
f(b)� f(a)
b� a
= f
0
(c) :
Demonstração. Defina
~
f(x):=f(x) �
f(b)�f(a)
b�a
(x � a). Então
~
f é diferenciável, e como
~
f(a) =
~
f(b) = f(a), pelo Teorema de Rolle existe um c 2 [a; b] tal que
~
f
0
(c) = 0. Mas
como
~
f
0
(x) = f
0
(x)�
f(b)�f(a)
b�a
, temos f
0
(c)�
f(b)�f(a)
b�a
= 0.
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CAPÍTULO 5. DERIVADA
a c
b
A
B
C
Geometricamente, o Corolário 5.1 representa um Teo-
rema do valor intermediário para a derivada: se
A:=(a; f(a)), B:=(b; f(b)), o corolário afirma que existe
um ponto C no gráfico de f , entre A e B, em que a
inclinação da reta tangente é igual à inclinação do seg-
mento AB.
Exemplo 5.14. Considere por exemplo f(x) = x
2
no in-
tervalo [0; 2].
A
B
C
c
2
A construção geométrica de C é clara: traçamos a reta paralela a AB, tangente à
parábola. Neste caso a posição do ponto C = (c; f(c)) pode ser calculada explicitamente:
como f
0
(x) = 2x, e como c satisfaz f
0
(c) =
2
2
�0
2
2�0
= 2, temos 2c = 2, isto é: c = 1.
Exercício 5.26. Considere f(x) = senx, com a = �
�
2
, b =
�
2
. Ache graficamente o
ponto C e em seguida, calcule-o usando uma calculadora.
Exercício 5.27. Considere a função f definida por f(x) =
x
2
se x � 2, f(x) = x� 1
se x > 2, e A = (0; f(0)), B = (3; f(3)). Existe um ponto C no gráfico de f , entre
A e B, tal que a reta tangente ao gráfico em C seja paralela ao segmento AB?
Explique.
5.6 Derivada e Variação
Voltemos agora ao significado geométrico da derivada, e do seu uso no estudo de funções.
Sabemos que para um ponto x do domínio de uma função f , a derivada f
0
(x) (se existir)
dá o valor da inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x; f(x)).
A observação importante para ser feita aqui é que observando os valores de f
0
fornece
uma informação importante sobre a variação de f , isto é, sobre os intervalos em que
ela cresce ou decresce.
Exemplo 5.15. Considere f(x) =