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Sacha Friedli - Cálculo 1

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ax
2
+ bx+ c = 0 : (1.4)
Se a = 0, essa equação é do primeiro grau,
bx+ c = 0 ;
e a sua única solução é dada por x = �
c
b
(supondo b 6= 0). Isto é, S = f�
c
b
g. Por outro
lado, se a 6= 0, então dividindo (1.4) por a, e completando o quadrado obtemos:
0 = x
2
+
b
a
x+
c
a
= (x+
b
2a
)
2
� (
b
2a
)
2
+
c
a
:
Portanto,
(x+
b
2a
)
2
= (
b
2a
)
2
�
c
a
=
b
2
�4ac
4a
2
:
Defina �:=b
2
� 4ac. Se � < 0, não tem soluções: S = ∅. Se � � 0, podemos tomar a
raiz quadrada em ambos lados dessa última expressão, e obter
x+
b
2a
= �
p
�
2a
:
Isto é,
x =
�b�
p
�
2a
: (1.5)
Resumindo: quando a 6= 0, o conjunto das soluções de (1.4) é dado por
S =
8
>
>
<
>
>
:
∅ se � < 0 (zero soluções)
f
�b
2a
g se � = 0 (uma solução)
f
�b�
p
�
2a
g se � > 0 (duas soluções) :
Exercício 1.1. Resolva as seguintes equações.
1. 1� x = 1
2. x
2
= 1
3.
1
x
= x+ 1
4. (x+ 1)(x� 7) = 0
5. x = x
6. x = x
2
7. 1 = 0
8. 6x
3
� 1 = 3x(1 + 2x
2
)
9. (x+ 6)(x+ 1) = 1
Exercício 1.2. Existe um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12?
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CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
1.1.2 Ordem e intervalos
Existe em R uma relação de ordem: dois reais x; y podem ser comparados usando os
seguintes símbolos:
� x = y: �x é igual a y�,
� x 6= y: �x é diferente de y�,
� x � y: �x é maior ou igual a y�,
� x > y: �x é estritamente maior que y�,
� x � y: �x é menor ou igual a y�,
� x < y: �x é estritamente menor que y�.
A ordem permite definir subconjuntos elementares de R. Por exemplo, os reais não-
negativos R
+
são definidos por
R
+
:=fx 2 R : x � 0g ;
(leia-se: �o conjunto dos números reais x 2 R tais que x seja � 0) e os reais positivos
por
R�
+
:=fx 2 R : x > 0g :
Podem também ser definidos conjuntos particulares chamados intervalos. Começare-
mos com os intervalos limitados. Se a < b são dois números reais, o intervalo fechado
é definido como
[a; b]:=fx 2 R : a � x � bg :
Leia-se: �[a; b] é definido como o conjunto dos números reais x tais que x seja maior ou
igual a a, e menor ou igual a b�. O intervalo aberto é definido como
(a; b):=fx 2 R : a < x < bg :
Observe que (a; b) pode ser considerado como obtido a partir de [a; b] retirando as
extremidades: (a; b) = [a; b]nfa; bg. Definam-se também os intervalos semi-abertos (ou
semi-fechados)
[a; b):=fx 2 R : a � x < bg ; (a; b]:=fx 2 R : a < x � bg :
Graficamente, representaremos esses intervalos da seguinte maneira:
R
ap bp
[a; b)
cp dp
[c; d]
ep
f
p
(e; f ]
Introduziremos também intervalos não-limitados: os semi-infinitos fechados
(�1; a]:=fx 2 R : x � ag ; [c;+1):=fx 2 R : x � cg ;
e os semi-infinitos abertos
(�1; a):=fx 2 R : x < ag ; (c;+1):=fx 2 R : x > cg :
Por exemplo,
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CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Rp
a
(�1; a]
: : : pc
(c;+1)
: : :
Observe que �+1� e ��1� não são números reais propriamente ditos ; +1 (respec-
tivamente �1) é somente um símbolo usado para representar a idéia (meio abstrata)
de um número maior (respectivamente menor) do que qualquer real x.
Exercício 1.3. Simplifique as expressões, usando as notações introduzidas acima.
1. A = fx 2 R : x2 � 4g
2. B = fx : x � 0g \ fx : x < 1g
3. C = fx : x � 1g \ fx : x < 0g
4. D = fx : x � 1g \ fx : x � �1g
5. E = fx : x � 2g [ [0;+1)
6. F = [1; 2] \ (�1; 1]
7. G = [0; 1] \ [0;
1
2
] \ [0;
1
3
] \ [0;
1
4
] \ : : :
8. H = [0; 1] [ [1; 2] [ [2; 3] [ [3; 4] [ : : :
1.1.3 Valor absoluto
Informalmente, o valor absoluto de um número real x, denotado por jxj, representa o
seu �valor equivalente positivo�. Por exemplo, j5j = 5, j�3j = 3, e j0j = 0. Formalmente,
jxj:=
8
<
:
x se x � 0
�x se x < 0 :
(1.6)
Por exemplo, com essa definição, já que �3 < 0, temos j � 3j = �(�3) = 3. Observe
que por definição,
jxj � a() �a � x � a() x 2 [�a; a] : (1.7)
Exercício 1.4. Quais das expressões abaixo são verdadeiras (para qualquer x)?
Justifique.
p
x
2
= x ;
p
x
2
= x ;
p
x
2
= jxj :
Usaremos o valor absoluto para definir a distância entre dois números reais:
d(x; y):=jx� yj :
1.1.4 Inequações e sinal
Considere a inequação do primeiro grau:
2� 2x � 1 : (1.8)
Como antes, �resolver� essa inequação significa achar todos os valores de x para os
quais a expressão em (1.8) se torne verdadeira. Por exemplo, x = 0 é solução, pois
o lado esquerdo vale 2 � 2 � 0 = 2, que é � 1. Mas em geral uma inequação pode
possuir mais de uma solução, às vezes possui infinitas soluções. O conjunto de todas as
soluções, também denotado por S, pode ser calculado da seguinte maneira. Primeiro,
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CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
o conjunto S das soluções não é modificado ao adicionarmos (ou subtrairmos)
expressões iguais em ambos lados de uma inequação. Assim, adicionando 2x em
cada lado de (1.8), obtemos
2 � 1 + 2x :
Podemos em seguida subtrair 1 em ambos lados:
1 � 2x :
Agora, o conjunto S das soluções não é modificado ao multiplicarmos (ou di-
vidirmos) ambos lados de uma inequação por um número positivo. Assim, dividindo
ambos lados da inequação 1 � 2x por 2 obtemos
1
2
� x, isto é x �
1
2
. Assim, qualquer
real x menor ou igual a
1
2
torna a desigualdade em (1.8) verdadeira. Logo, S = (�1;
1
2
].
Observe que (1.8) pode também ser resolvida subtraindo 2 em ambos lados,
� 2x � �1 : (1.9)
Passando �2x para o lado direito e �1 para o lado esquerdo obtemos 1 � 2x, o que
equivale a
2x � 1 : (1.10)
Vemos que (1.10) é obtida a partir de (1.9) trocando os sinais (i.é. multiplicando
ambos lados por �1), e trocando o sentido da desigualdade.
Exemplo 1.1. Resolvamos agora uma inequação do segundo grau:
x
2
� 3x+ 2 > 0 : (1.11)
Primeiro, o polinômio do lado esquerdo da desigualdade em (1.11) pode ser fatorado:
x
2
� 3x+ 2 = (x� 1)(x� 2). Assim, (1.11) é equivalente a
(x� 1)(x� 2) > 0 : (1.12)
Observe agora que para o produto de dois números ser > 0, eles têm que ser ambos
não-nulos e ter o mesmo sinal. Portanto, a resolução de (1.12) passa pelo estudo do
sinal de x � 1 e x � 2. Isso pode ser feito como em (1.8). Por um lado, x � 1 < 0 se
x < 1, x � 1 = 0 se x = 1, e x � 1 > 0 se x > 1. Por outro lado, x � 2 < 0 se x < 2,
x � 2 = 0 se x = 2, e x � 2 > 0 se x > 2. Isso pode ser resumido nas duas primeiras
linhas da seguinte tabela:
x � 1
x � 2
(x� 1)(x� 2)
1 2
�
0
+ +
� �
0
+
+
0
�
0
+
A terceira linha foi obtida multiplicando os sinais de x� 1 e x� 2: (x� 1)(x� 2) > 0 se
x < 1, (x� 1)(x� 2) = 0 se x = 1, (x� 1)(x� 2) < 0 se 1 < x < 2, (x� 1)(x� 2) = 0
se x = 2, e (x � 1)(x � 2) > 0 se x > 2. Assim, S = (�1; 1) [ (2;+1) dá todas as
soluções de (1.11).
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CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Exercício 1.5. Resolva as seguintes inequações.
1. x > 4� 5
2. 3x � x+ 1
3. �8x < 3� 4x
4. 10 > 10� x
5. x
2
� 1
6. �x
2
> 1 + 2x
7. x > x
8. x � x
9. x � x
2
10. �2x
2
+ 10x� 12 < 0
11. x
2
(x+ 7) � 0
12. x
3
� 2x
2
� x+ 2 > 0
13. x
2
� x(x+ 3) � 0
14. x �
x+3
x�1
Exercício 1.6. Quantos números inteiros n existem tais que 3n� 1 � 5n� 2 < 4?
Exercício 1.7. Quantos números primos p existem tais