A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
244 pág.
Sacha Friedli - Cálculo 1

Pré-visualização | Página 30 de 50

�1 e o seu mínimo global em x = +1.
Uma função pode não possuir mínimos e/ou máximos, por várias razões.
Exemplo 5.32. f(x) = e
�
x
2
2
em R (veja o gráfico do Exercício 5.28) possui um máximo
global em x = 0. Mas f não possui ponto de mínimo global. De fato, suponha que
existe x
�
tal que f(x
�
) � f(x) para todo x 2 R. Como f(2x
�
) < f(x
�
), obtemos uma
contradição.
Exemplo 5.33. A função f(x) =
1
1�x
em D = [0; 1) possui um mínimo global em x = 0.
Mas, como x = 1 é assíntota vertical de
1
x�1
, f não possui máximo global:
Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
115
CAPÍTULO 5. DERIVADA
x = 1
mín.
Exemplo 5.34. Uma função pode também ser limitada e não possuir extremos globais:
f(x):=
8
>
>
<
>
>
:
x se 0 � x < 1 ;
0 se x = 1 ;
x� 2 se 1 < x � 2 :
Os três últimos exemplos mostram que a não-existência de extremos globais para uma
função definida num intervalo pode ser oriundo 1) do intervalo não ser limitado (como
no Exemplo 5.32) ou não fechado (como no Exemplo 5.33), 2) da função não ser contínua
(como no Exemplo 5.34). O seguinte resultado garante que se a função é contínua e o
intervalo fechado, então sempre existem extremos globais.
Teorema 5.4. Sejam a < b, e f uma função contínua em todo [a; b]. Então f
possui (pelo menos) um mínimo e (pelo menos) um máximo global em [a; b].
Exercício 5.46. Para cada função f : D ! R a seguir, verifique se as hipóteses do
Teorema 5.4 são satisfeitas. Em seguida, procure os pontos de mínimo/máximo
global.
1. f(x) = 3, D = R.
2. f(x) = lnx, D = [1;1)
3. f(x) = e
�x
em R
+
4. f(x) = jx� 2j, D = (0; 4)
5. f(x) = jx� 2j, D = [0; 4]
6. f(x) = jx
2
� 1j+ jxj � 1, D = [�
3
2
;
3
2
]
7. f(x) =
x
3
3
� x, D = [�2; 2]
8. f(x) =
x
3
3
� x, D = [�1; 1]
9. f(x) =
8
<
:
x se x 2 [0; 2) ;
(x� 3)
2
se x 2 [2; 4] :
10. f(x) =
8
<
:
x se x 2 [0; 2) ;
(x� 3)
2
+ 1 se x 2 [2; 4] :
11. f(x) = x
2
3
em R
12. f(x) = senx em R
5.11.2 Extremos locais
Definição 5.5. Considere uma função real f .
1. Um ponto x
�
2 D é chamado de máximo local de f se existir um intervalo
aberto I 3 x
�
tal que f(x) � f(x
�
) para todo x 2 I.
2. Um ponto x
�
2 D é chamado de mínimo local de f se existir um intervalo
aberto I 3 x
�
tal que f(x) � f(x
�
) para todo x 2 I.
Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
116
CAPÍTULO 5. DERIVADA
x
1
global
x
2
local
I
Figura 5.3: Uma função com um máximo global em x
1
e um máximo local em x
2
.
Observe que um ponto de máximo (resp. mínimo) global, quando pertencente ao
interior do domínio, é local ao mesmo tempo. Vejamos agora como que extremos locais
podem ser encontrados usando derivada.
Teorema 5.5. Seja f uma função com um máximo (resp. mínimo) local em x
�
.
Se f é derivável em x, então f
0
(x
�
) = 0.
Demonstração. Suponha que x
�
é máximo local (se for mínimo local, a prova é pare-
cida). Isto é, f(x) � f(x
�
) para todo x suficientemente perto de x
�
. Como f
0
(x
�
) existe
por hipótese, podemos escrever f
0
(x
�
) = lim
x!x
+
�
f(x)�f(x
�
)
x�x
�
. Mas aqui x � x
�
> 0, e
como x
�
é máximo local, f(x) � f(x
�
) � 0. Portanto, f
0
(x
�
) � 0. Por outro lado,
podemos escrever f
0
(x
�
) = lim
x!x
�
�
f(x)�f(x
�
)
x�x
�
. Aqui, x�x
�
< 0, e f(x)�f(x
�
) � 0, logo
f
0
(x
�
) � 0. Consequentemente, f
0
(x
�
) = 0.
O resultado acima permite achar candidatos a pontos de mínimo/máximo local. Ve-
jamos alguns exemplos.
Exemplo 5.35. Considere f(x) = 1 � x
2
, que é obviamente derivável. Logo, sabemos
pelo Teorema 5.5 que qualquer extremo local deve anular a derivada. Como f
0
(x) =
�2x, e que f
0
(x) = 0 se e somente se x = 0, o ponto x = 0 é candidato a ser um
extremo local. Para determinar se de fato é, estudemos o sinal de f
0
(x), e observemos
que f
0
(x) > 0 se x < 0, f
0
(x) < 0 se x > 0. Logo, f cresce antes de 0, decresce depois:
x = 0 é um ponto de máximo local:
x
f
0
(x)
Var. f
0
+
0
�
máx.máx.
00
máx.
Observe que podia também calcular f
00
(x) = �2, que é sempre < 0, o que implica que
f é côncava, logo x = 0 só pode ser um máximo local. A posição do máximo local no
gráfico de f é (0; f(0)) = (0; 1).
Observação 5.7. No exemplo anterior, localizamos um ponto onde a primeira derivada
é nula, e em seguida usamos o teste da segunda derivada: estudamos o sinal da
segunda derivada neste mesmo ponto para determinar se ele é ummínimo ou ummáximo
local.
Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
117
CAPÍTULO 5. DERIVADA
Exemplo 5.36. Considere f(x) = x
3
, derivável também. Como f
0
(x) = 3x
2
, x = 0 é
candidato a ser ponto de mínimo ou máximo local. Ora, vemos que f
0
(x) � 0 para todo
x, logo f
0
não muda de sinal em x = 0. Portanto esse ponto não é nem mínimo, nem
máximo.
Exemplo 5.37. A função f(x) = jxj possui um mínimo local (que também é global)
em x = 0. Observe que esse fato não segue do Teorema 5.5, já que f não é derivável em
zero.
Exemplo 5.38. Considere f(x) =
x
4
4
�
x
2
2
, que também é derivável. Como f
0
(x) =
x
3
� x = x(x
2
� 1), as soluções de f
0
(x) = 0 são x = �1, x = 0, x = +1. A tabela
de variação já foi montada no Exercício 5.28. Logo, x = �1 e x = +1 são pontos de
mínimo local (posições: (�1; f(�1)) = (�1;�
1
2
) e (+1; f(+1)) = (+1;�
1
2
)), e x = 0 é
máximo local (posição: (0; 0)).
Exercício 5.47. Para cada função abaixo (todas são deriváveis), determine os
extremos locais (se tiver).
1. 2x
3
+ 3x
2
� 12x+ 5
2. 2x
3
+ x
3.
x
4
4
+
x
3
3
4.
x
2
+1
x
2
+x+1
5. e
�
x
2
2
6. xe
�x
7.
x
1+x
2
8. x
x
, x > 0
9. x(lnx)
2
, x > 0
Exercício 5.48. Determine os valores dos parâmetros a e b para que f(x) = x
3
+
ax
2
+ b tenha um extremo local posicionado em (�2; 1).
Exercício 5.49. A energia de interação entre dois átomos (ou moléculas) a dis-
tância r > 0 é modelizado pelo potencial de Lennard-Jones
a
:
V (r) = 4�
�
�
ff
r
�
12
�
�
ff
r
�
6
ff
;
onde � e ff são duas constantes positivas.
1. Determine a distância r
0
tal que o potencial seja zero.
2. Determine a distância r
�
tal que a interação seja mínima. Existe máximo
global? Determine a variação e esboce V .
a
Sir John Edward Lennard-Jones (27 de outubro de 1894 � 1 de novembro de 1954).
5.11.3 Extremos em intervalos fechados
Daremos agora o método geral para determinar os extremos globais de uma função
f : [a; b] ! R. Suporemos que f é contínua ; assim o Teorema 5.4 garante que os
extremos existem.
Vimos que extremos locais são ligados, quando f é derivável, aos pontos onde a
derivada de f é nula. Chamaremos tais pontos de pontos críticos.
Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
118
CAPÍTULO 5. DERIVADA
Definição 5.6. Seja f : D ! R. Um ponto a 2 D é chamado de ponto crítico de
f se a derivada de f não existe em a, ou se ela existe e é nula: f
0
(a) = 0.
Por exemplo, a = 0 é ponto crítico de f(x) = x
2
, porqué f
0
(0) = 0. Por outro lado,
a = 0 é ponto crítico da função f(x) = jxj,