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Sacha Friedli - Cálculo 1

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f(x) :
6
Às vezes, essa operação é naturalmente chamada de antiderivada.
Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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CAPÍTULO 6. INTEGRAL
Como a operação �integrar com respeito a x� é a operação inversa da derivada, temos
Z
f
0
(x) dx = f(x) + C : (6.14)
Além disso, as seguintes propriedades são satisfeitas (� 2 R é uma constante):
Z
�f(x) dx = �
Z
f(x) dx ;
Z
(f(x) + g(x))dx =
Z
f(x) dx+
Z
g(x) dx :
As seguintes primitivas fundamentais foram calculadas no Exercício 6.5:
1.
R
k dx = kx+ C
2.
R
x dx =
x
2
2
+ C
3.
R
x
p
dx =
x
p+1
p+1
+ C (p 6= �1)
4.
R
cosx dx = senx+ C
5.
R
senx dx = � cosx+ C
6.
R
e
x
dx = e
x
+ C
7.
R
dx
1+x
2
= arctanx+ C
8.
R
dx
p
1�x
2
= arcsenx+ C
O caso p = �1 em (3) corresponde a
R
1
x
dx, que obviamente é definida somente para
x 6= 0. Ora, se x > 0, temos (ln(x))
0
=
1
x
, e se x < 0, temos (ln(�x))
0
=
�1
�x
=
1
x
. Logo,
Z
1
x
dx = ln jxj+ C (x 6= 0):
Exercício 6.11. Calcule as primitivas das seguintes funções.
1. (1� x)(1 + x)
2
2.
1
x
3
� cos(2x)
3.
x+5x
7
x
9
4. 2 + 2 tan
2
(x)
6.5.1 Integração por Substituição
Exemplo 6.7. Suponha que se queira calcular
Z
x cos(x
2
) dx :
Apesar da função x cos(x
2
) não ser a derivada de uma função elementar, ela possui uma
estrutura particular: o �x� que multiplica o cosseno é um polinômio cujo grau é um a
menos do que o polinômio �x
2
� contido dentro do cosseno. Ora, sabemos que a derivada
diminui o grau de um polinômio. No nosso caso: (x
2
)
0
= 2x. Logo, ao multiplicar e
dividir a primitiva por 2, podemos escrever
Z
x cos(x
2
) dx =
1
2
Z
(2x) cos(x
2
) dx =
1
2
Z
(x
2
)
0
cos(x
2
) dx :
Agora, reconhecemos em (x
2
)
0
cos(x
2
) uma derivada. De fato, pela regra da cadeia,
(sen(x
2
))
0
= cos(x
2
) � (x
2
)
0
. Logo, usando (6.14),
Z
(x
2
)
0
cos(x
2
) dx =
Z
(sen(x
2
))
0
dx = sen(x
2
) + C :
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CAPÍTULO 6. INTEGRAL
Portanto,
Z
x cos(x
2
) dx =
1
2
sen(x
2
) + C :
Do mesmo jeito,
Z
x
2
cos(x
3
) dx =
1
3
Z
3x
2
cos(x
3
) dx =
1
3
Z
(x
3
)
0
cos(x
3
) dx =
1
3
sen(x
3
) + C :
A idéia apresentada nesse último exemplo consiste em conseguir escrever a função in-
tegrada na forma da derivada de uma função composta; é a base do método de integração
chamado integração por substituição. Lembremos a regra da cadeia:
�
f(g(x))
�
0
= f
0
(g(x))g
0
(x) :
Integrando ambos lados dessa identidade com respeito a x e usando de novo (6.14)
obtemos f(g(x)) =
R
f
0
(g(x))g
0
(x) dx + constante, que é equivalente à fórmula de
integração por substituição:
Z
f
0
(g(x))g
0
(x) dx = f(g(x)) + C : (6.15)
Existem vários jeitos de escrever a mesma fórmula. Por exemplo, se H é primitiva de
h,
Z
h(g(x))g
0
(x) dx = H(g(x)) + C : (6.16)
Senão, a função g(x) pode ser considerada como uma nova váriavel : u:=g(x). Derivando
com respeito a x,
du
dx
= g
0
(x), que pode ser simbolicamente escrita como du = g
0
(x)dx.
Assim, a primitiva inicial pode ser escrita somente em termos da variável u, substiuindo
g(x) por u:
Z
h(g(x))g
0
(x) dx =
Z
h(u) du : (6.17)
Em seguida, se trata de calcular uma primitiva de h, e no final voltar para a variável
x. O objetivo é sempre tornar
R
h(u) du o mais próximo possível de uma primitiva
elementar como as descritas no início da seção.
Exemplo 6.8. Considere
R
cosx
sen
2
x
dx. Aqui queremos usar o fato do cosx ser a derivada
da função senx. Façamos então a substituição u = senx, que implica du = (senx)
0
dx =
cosx dx, o que implica
Z
cosx
sen
2
x
dx =
Z
1
u
2
du �
Z
h(u) du :
Mas h(u) =
1
u
2
, é a derivada (com respeito a u!) de H(u) = �
1
u
. Logo,
Z
cosx
sen
2
x
dx =
Z
h(u) du = H(u) + C = �
1
senx
+ C :
Exemplo 6.9. Para calcular
R
x
1+x
dx, definemos u:=1+ x. Logo, du = dx e x = u� 1.
Assim,
Z
x
1 + x
dx =
u� 1
u
du =
Z
n
1�
1
u
o
du =
Z
du�
Z
1
u
du
= u� lnu+ C = 1 + x� ln(1 + x) + C :
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CAPÍTULO 6. INTEGRAL
Exemplo 6.10. Calculemos agora
R
x+1
p
1�x
2
dx. Para começar, separemos a primitiva em
dois termos:
Z
x+ 1
p
1� x
2
dx =
Z
x
p
1� x
2
dx+
Z
1
p
1� x
2
dx :
Para o primeiro termo, vemos que com u = g(x):=1� x
2
, cuja derivada é g
0
(x) = �2x,
temos du = �2x dx, e
Z
x
p
1� x
2
dx = �
Z
1
2
p
u
du = �
p
u+ C = �
p
1� x
2
+ C :
No segundo termo reconhecemos a derivada da função arcseno. Logo, somando,
Z
x+ 1
p
1� x
2
dx = �
p
1� x
2
+ arcsenx+ C : (6.18)
Observação 6.4. Lembra que um cálculo de primitiva pode sempre ser verificado,
derivando o resultado obtido! Por exemplo, não perca a oportunidade de verificar que
derivando o lado direito de (6.18), obtém-se
x+1
p
1�x
2
!
Às vezes, é preciso transformar a função integrada antes de fazer uma substituição útil,
como visto nos três próximos exemplos.
Exemplo 6.11. Para calcular
R
1
9+x
2
dx podemos colocar 9 em evidência no denomi-
nador, e em seguida fazer a substituição u =
x
3
:
Z
1
9 + x
2
dx =
1
9
Z
1
1 + (
x
3
)
2
dx =
1
9
Z
3
1 + u
2
dx
=
1
3
Z
1
1 + u
2
du =
1
3
arctanu+ C =
1
3
arctan(
x
3
) + C :
Exemplo 6.12. Para calcular
R
1
x
2
+2x+2
dx comecemos completando o quadrado: x
2
+
2x+ 2 = f(x+ 1)
2
� 1g+ 2 = 1 + (x+ 1)
2
. Logo, usando u:=x+ 1,
Z
1
x
2
+ 2x+ 2
dx =
Z
1
1 + (x+ 1)
2
dx
=
Z
1
1 + u
2
du = arctanu+ C = arctan(x+ 1) + C :
Exemplo 6.13. Considere
R
sen
2
x dx. Lembrando a identidade trigonométrica sen
2
x =
1�cos(2x)
2
,
Z
sen
2
x dx =
1
2
Z
dx�
1
2
Z
cos(2x) dx =
x
2
�
1
2
Z
cos(2x) dx :
Agora com u = 2x obtemos
R
cos(2x) dx =
1
2
R
cos(u) du =
1
2
senu+ constante. Logo,
Z
sen
2
x dx =
x
2
�
1
4
sen(2x) + C :
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CAPÍTULO 6. INTEGRAL
Exercício 6.12. Calcule as primitivas das seguintes funções.
1. (x+ 1)
7
2.
1
(2x+1)
2
3.
1
(1�4x)
3
4. x sen(x
2
)
5. senx cosx
6.
1
p
x
cos(
p
x)
7. cos
2
(t)
8.
x
1+x
2
9. cosx
p
1 + senx
10. tanx
11.
3x+5
1+x
2
12.
1
x
2
+2x+3
13. e
x
tan(e
x
)
14.
y
(1+y)
3
15. x
p
1 + x
2
16.
x
(1+x
2
)
2
17.
cos
3
t
sen
4
t
18. sen
3
x cos
3
x
A fórmula (6.19) mostra que a primitiva (ou integral indefinida) de uma função da
forma h(g(x))g
0
(x) se reduz a achar uma primitiva de h. Aquela fórmula