lista05_gaal_2013_1s

Prévia do material em texto

GAAL - Lista de Exerc´ıcios - 5
Diagonalizac¸a˜o e coˆnicas
Exerc´ıcio 1: Considere o plano pi de equac¸a˜o 2x+ y − 3z = 0.
(a) Mostre que este plano e´ um subespac¸o de R3 exibindo uma base {W1,W2} para
pi. Observe que se este e´ o caso, enta˜o pi e´ o espac¸o gerado por W1 e W2, ou seja,
pi e´ o conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares de W1 e W2. Complete esta base
{W1,W2} de pi para uma base {W1,W2,W3} de R3.
(b) Determine uma base ortogonal {V1, V2} de pi. Complete esta base para uma base
ortogonal {V1, V2, V3} de R3.
(c) Determine uma base ortonormal {U1, U2} de pi. Complete esta base para uma base
ortonormal {U1, U2, U3} de R3.
Exerc´ıcio 2: Para cada uma das matrizes abaixo, fac¸a o que se pede.
A =
[
5 2
2 2
]
A =
0 1 11 0 1
1 1 0

(a) Mostre que A e´ diagonaliza´vel exibindo uma matriz invert´ıvel P e uma matriz
diagonal P tais que P−1AP = D.
(b) Como A e´ uma matriz sime´trica sabemos que A e´ diagonaliza´vel por uma matriz
ortogonal. Enta˜o construa uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D
tais que P−1AP = D.
(c) Para a matriz P que voceˆ calculou no item (b), verifique que P realmente e´ uma
matriz ortogonal, mostrando a igualdade P−1 = P t atrave´s do ca´lculo do produto
P tP .
Exerc´ıcio 3: No sistema de coordenadas usual xy considere a para´bola de equac¸a˜o
y = x(x− 2).
Efetue uma rotac¸a˜o de 30o nesta para´bola e determine a equac¸a˜o, no mesmo sistema
de coordenadas xy, da curva resultante apo´s a rotac¸a˜o. Determine explicitamente as
coordenadas do ve´rtice desta para´bola rodada.
Exerc´ıcio 4: Em cada item, trave´s de uma diagonalizac¸a˜o, ou seja, uma mudanc¸a de
varia´veis, reduza a equac¸a˜o dada a uma forma mais simples e fac¸a um esboc¸o do gra´fico
desta coˆnica no sistema de coordenadas de eixos x e y.
(a) 3x2 + 2
√
3xy + y2 + 2x− 2√3y = 0
(b) 13x2 − 6√3xy + 7y2 = 16
(c) 4x2 + 4xy + y2 − 3√5x − 4√5y = 15
- FIM -