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n-upla
ordenada de números que a satisfaça.
Exemplo 5 A equação 2x+ y − 5z = 3, nas variáveis x, y e z, é linear.
• Os coeficientes são 2, 1 e −5 e o termo independente é 3.
• A tripla ordenada (x, y, z) = (1, 6, 1) é solução desta equação, pois 2(1)+6−5(1) = 3.
• Obviamente tal equação admite infinitas soluções, uma vez que podemos escolher
valores para duas variáveis e determinarmos o valor da terceira. Por exemplo,
tomando-se x = 1 e y = 2, obtemos
2(1) + 1− 5z = 3 ∴ z = 0;
logo a tripla ordenada (x, y, z) = (1, 2, 0) é uma solução da equação.
Exemplo 6 A equação 2x1 − x22 + 4x3 = 2, nas variáveis x1, x2 e x3, é não linear, uma
vez que a variável x2 é quadrática.
Exemplo 7 A equação x − 4xy + 7x = −4, nas variáveis x, y e z, é não linear, devido
ao produto xy que ocorre entre variáveis.
4 Sistemas lineares
Segundo Steve J. Leon "o problema mais importante em Matememática é resolver um
sistema de equações lineares. Mais de 75% de todos os problemas matemáticos encontrados
em aplicações científicas e industriais envolvem a resolução de um sistema linear em
alguma etapa. Usando os métodos da Matemática moderna, muitas vezes é possível reduzir
um problema sofisticado em um único sistema de equações lineares".2
Um sistema linear, com m equações e n variáveis, possui a forma
a11x1 + a12x2 . . . a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 . . . a2nxn = b2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 . . . amnxn = bm
. (2)
As constantes a11, . . . , amn são os coeficientes do sistema e as constantes b1, b2, . . . , bm
são os termos independentes. Por solução de um sistema linear da forma (2) entende-se
qualquer n-upla ordenada de números que satisfaça todas as equações simultaneamente.
2Steve J. Leon - Álgebra Linear com Aplicações. Editora LTC. Rio de Janeiro. 1999. Página 1.
6
Exemplo 8 Considere o sistema linear com três equações nas variáveis x, y e z
x − y + 2z = 3
x + y − z = 2
x − 2y + 2z = −1
.
(a) A tripla ordenada (x, y, z) = (1, 4, 3) é solução do sistema, pois 1 − 4 + 2(3) = 31 + 4 − 3 = 21 − 2(4) + 2(3) = −1 .
(b) A tripla ordenada (x, y, z) = (2,−1, 0) não é solução do sistema, pois 2 − (−1) + 2(0) = 32 + (−1) − 0 6= 22 − 2(−1) + 2(0) 6= −1 .
Se b1 = b2 = . . . = bm = 0 em (2), o sistema é dito homogêneo. Em outras palavras,
um sistema homogêneo é um sistema da forma
a11x1 + a12x2 . . . a1nxn = 0
a21x2 + a22x2 . . . a2nxn = 0
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 . . . amnxn = 0
. (3)
É importante notar que todo sistema linear homogêneo sempre admite a solução
(denominada solução trivial)
(x1, x2, . . . , xn) = (0, 0, . . . , 0).
Forma matricial de um sistema linear
O sistema linear dado em (2) pode ser reescrito na forma matricial da seguinte maneira:
(i) seja A−m× n a matriz dos coeficientes
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 ;
(ii) sejam x−n× 1 a matriz coluna de variáveis e b−m× 1 a matriz coluna de termos
independentes
x =

x1
x2
...
xn
 , b =

b1
b2
...
bm
 .
7
Podemos então escrever Ax = b, ou seja,
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm
 . (4)
A equivalência entre as equações (2) e (4) pode ser prontamente obtida efetuando-se
o produto matricial em (4) e igualando as respectivas componentes.
Matriz aumentada de um sistema linear
Uma outra maneira de se representar matricialmente um sistema linear é através de sua
matriz aumentada, ou matriz completa. É a matriz de blocos formada da seguinte
forma: à esquerda colocamos a matriz dos coeficientes e à direita a matriz (coluna) de
termos independentes. Para o sistema linear (2), sua matriz aumentada fica
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn bm
 .
Exemplo 9 Dado o sistema linear

3x + y − z + 2w = 3
− 4y + 2z = −7
−x + 2y − 4w = 0
;
(a) sua forma matricial é
 3 1 −1 20 −4 2 0
−1 2 0 4


x
y
z
w
 =
 3−7
0
 ;
(b) sua matriz aumentada é
 3 1 −1 2 30 −4 2 0 −7
−1 2 0 4 0
 .
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando admitem a mesma solução.
Exemplo 10 Verifique se os sistemas lineares dados são equivalentes
−x + 3y + 2z = 14
4y + z = 14
7z = 14
e

−x + 3y + 2z = 14
x + y − 2z = −2
3x − 2y + z = −7
8
(a) Inicialmente observamos que a solução do primeiro sistema linear pode ser facil-
mente obtida através de uma substituição retroativa:
• da terceira equação obtemos z = 2;
• substituindo o valor encontrado para z na segunda equação obtemos y = 3;
• substituindo os valores encontrados para y e z na primeira equação obtemos
x = −1.
Assim a solução do primeiro sistema linear é a tripla ordenada (x, y, z) = (−1, 3, 2).
(b) A seguir verificamos que esta solução também satisfaz o segundo sistema, pois:
−(−1) + 3(3) + 2(2) = 14
−1 + (3) − 2(2) = −2
3(−1) − 2(3) + (2) = −7
.
Logo os sistemas são equivalentes.
5 Solução de um sistema linear
Podemos determinar a solução de um sistema linear utilizando o escalonamento por linhas.
Tal método, conhecido como método de eliminação de Gauss3, ou simplesmente método
de Gauss, consiste das seguintes etapas:
(i) escreva a matriz aumentada do sistema linear;
(ii) obtenha sua forma escalonada por linhas;
(iii) escreva o sistema equivalente obtido;
(iv) determine (se existir) a solução do sistema equivalente por substituição retroativa.
A idéia do método de eliminação de Gauss consiste em aplicar as operações elementares
sobre as linhas da matriz aumentada de um sistema linear até obter sua forma escalonada
por linhas, a qual representa um novo sistema linear, equivalente ao sistema linear orig-
inal (logo com mesma solução), cuja solução (se existir) pode ser facilmente obtida por
substituição retroativa.
Exemplo 11 Determine a solução do sistema linear

x1 − 2x2 + x3 = 5
2x1 − 4x2 + 3x3 = 0
3x1 − 5x2 + 4x3 = 7
.
(a) Inicialmente escrevemos a matriz aumentada do sistema:
 1 −2 1 52 −4 3 0
3 −5 4 7
.
3Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 - Göttingen 1855).
9
(b) A seguir obtemos sua forma escalonada por linhas:
L2 = −2L1 + L2
L3 = −3L1 + L3
 1 −2 1 50 0 1 −10
0 1 1 −8

L2 <=> L3
 1 −2 1 50 1 1 −8
0 0 1 −10
 .
(c) O sistema equivalente fica:

x1 − 2x2 + x3 = 5
x2 + x3 = −8
x3 = −10
.
(d) Obtemos a solução do sistema equivalente por substituição retroativa:
• da terceira equação obtemos x3 = −10;
• substituindo o valor encontrado para x3 na segunda equação obtemos x2 = 2;
• substituindo os valores encontrados para x2 e x3 na primeira equação obtemos
x1 = 19.
Logo a solução do sistema equivalente é a tripla ordenada (x1, x2, x3) = (19, 2,−10).
(e) Finalmente, verificamos que esta solução também satisfaz o sistema linear dado:
19 − 2(2) + −10 = 5
2(19) − 4(2) + 3(−10) = 0
3(19) − 5(2) + 4(−10) = 7
.
6 Discussão de um Sistema Linear
Quanto à existência e ao número de soluções, um sistema linear pode ser classificado
como:
• possível determinado, quando apresenta uma única solução;
• impossível, quando não apresenta solução;
• possível indeterminado, quando apresenta infinitas soluções.
Discutir um sistema linear significa classificá-lo em uma destas três possibilidades. Os
exemplos a seguir ilustram a utilização do método de eliminação de Gauss na discussão
de sistemas lineares.
Exemplo 12 Discuta o sistema linear

x1 + 2x2 + 3x3 = 9
3x1 − x3 = 3
2x1 − x2 + x3 = 8
.
10
(a) Matriz aumentada
 1 2 3 93 0 −1 3
2 −1 1 8
.
(b) Forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações elementares
utilizadas).
• Aplicando L2 = −3L1+L2