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Sistemas Lineares
Fabiano José dos Santos
28 de fevereiro de 2008
1 Matrizes
Muitas vezes é conveniente representar um conjunto de informações na forma de matriz:
um arranjo retangular de elementos dispostos em linhas e colunas1.
• As notas de um aluno, por disciplina, nos respectivos bimestres
Matemática Português Física Química Geografia História
Primeiro 8 5 10 5 9 9
Segundo 6 7 8 4 10 7
Terceiro 5 6 3 7 9 10
Quarto 3 4 7 4 6 9
Esta matriz possui 4 linhas e 6 colunas, logo 4× 6 = 24 elementos.
• O custo e o preço de venda dos produtos em um estoque
Custo (R$) Preço de venda (R$)
Caderno 8,00 13,00
Lápis 0,50 1,50
Borracha 0,70 2,00
Caneta 1,20 2,50
Esta matriz possui 4 linhas e 2 colunas, logo 4× 2 = 8 elementos.
Neste texto denotaremos as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos (ou co-
eficientes) pela mesma letra em minúsculo. Dizemos que uma matriz A com m linhas e
n colunas possui ordem m × n (lê-se: m por n) e denotaremos por aij o elemento de A
1Formalmanete uma matriz é definida da seguinte maneira: considere os conjuntos de números naturais
I = 1, 2, . . . ,m e J = 1, 2, . . . , n.
Uma matriz real m × n é uma função f : I × J −→ R. As imagens de f são dispostas em um arranjo
retangular de m linhas e n colunas, de modo que a imagem f(i, j), geralmente denotada aij , se localize
na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna.
1
que se encontra na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna. Assim, esta matriz
pode ser representada na forma
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 ou A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 .
Abreviadamente escrevemos A = [aij]m×n, ou A = (aij)m×n, onde i = 1 . . .m e j = 1 . . . n.
Exemplo 1 Escreva explicitamente a matriz A = [aij]2×4, onde aij = i+ j.
Esta matriz tem ordem 2× 4, logo possui 2 linhas e 4 colunas. Seus coeificentes são:
• a11 = 1+1 =
2
• a21 = 2+1 =
3
• a12 = 1+2 =
3
• a22 = 2+2 =
4
• a13 = 1+3 =
4
• a23 = 2+3 =
5
• a14 = 1+4 =
5
• a24 = 2+4 =
6
Assim
A =
[
2 3 4 5
3 4 5 6
]
.
1.1 Operações com matrizes
1.1.1 Igualdade de matrizes
As matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]m×n, de mesma ordem, são ditas iguais, se
aij = bij, ∀ i = 1 . . .m e ∀ j = 1 . . . n.
1.1.2 Adição de matrizes
Define-se a adição das matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]m×n, de mesma ordem, como
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
+

b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
...
...
bm1 bm2 . . . bmn
 =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
...
...
...
...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn ++bmn
 ,
ou, de modo abreviado,
A+B = [aij + bij]m×n, ∀ i = 1 . . .m e ∀ j = 1 . . . n.
Observe que a adição de matrizes só é definida para matrizes de mesma ordem, que é
a ordem da matriz soma. Além disto, cada elemento da matriz soma é obtido pela adição
dos elementos correspondentes das matrizes parcelas.
2
1.1.3 Multiplicação de escalar por matriz
Define-se a multiplicação do escalar α ∈ R pela matriz A = [aij]m×n como
α

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 =

αa11 αa12 . . . αa1n
αa21 αa22 . . . αa2n
...
...
...
...
αam1 αam2 . . . αamn

ou, de modo abreviado,
αA = [αaij]m×n, ∀ i = 1 . . .m e ∀ j = 1 . . . n.
Observe que cada elemento é obtido pela multiplicação do escalar pelo elemento cor-
respondente da matriz dada e que a matriz obtida possui a mesma ordem da matriz
dada.
Propriedades da adição e multiplicação por escalar
Dadas as matrizers Am×n, Bm×n e Cm×n e quaisquer escalares α, β ∈ R, as operações
de adição de matrizes e multiplicação de escalar por matriz possuem as seguintes pro-
priedades:
(A1) Comutativa: A+B = B + A
(A2) Associativa na adição: A+ (B + C) = (A+B) + C
(A3) Existência da matriz nula (todos os elementos são nulos), denotada 0m×n, tal que
A+ 0 = A
(A4) ∀A existe −A (denominada matriz oposta), tal que A+ (−A) = A− A = 0
(M1) Distributiva em relação à soma de matrizes: α(A+B) = αA+ αB
(M2) Distributiva em relação à soma de escalares: (α + β)A = αA+ βA
(M3) Associativa na multiplicação por escalar: α(βA) = (αβ)A = αβA
(M4) 1A = A
Deixamos a cargo do leitor as provas de tais propriedades. Finalmente salientamos
aqui que a subtração de matrizes não é definida: pela Propriedade (A4), o significado de
A−B é A+ (−B).
2 Matriz escalonada por linhas - Escalonamento
Iniciamos com a definição de matriz escalonada por linhas.
Definição 1 Uma matriz está na forma escalonada por linhas se:
3
(i) o primeiro coeficiente não nulo de cada linha, chamado pivô ou coeficiente
líder, está em uma coluna à direita das colunas dos pivôs das linhas anteriores;
(ii) as linhas nulas (linhas cujos coeficientes são todos nulos), se existirem, estão
abaixo das linhas não nulas (linhas nas quais pelo menos um coeficiente é não nulo).
Exemplo 2 Considere as matrizes
A =
 1 −3 4 −20 0 0 −1
0 0 0 0
 , B =
 1 −3 40 0 0
0 0 1
 , C =

−5 2
0 −11
0 0
0 0

D =
 1 2 10 2 3
0 0 5
 , E =
 −3 4 20 −2 7
0 4 5
 , F =
 −5 2 0 −110 4 −2 −1
7 0 0 2

(a) As matrizes A, C e D estão na forma escalonada por linhas, uma vez que satis-
fazem ambas propriedades.
(b) As matrizes B, E e F não estão na forma escalonada por linhas: a matriz B
não satisfaz à propriedade (ii); as matrizes E e F não satisfazem à propriedade (i).
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Para obtermos a forma escalonada de uma matriz utilizamos três operações elementares
sobre suas linhas.
(i) Operação elementar tipo 1: trocar a posição relativa entre duas linhas da matriz.
A notação
Li <=> Lj
indica a troca das posições da i-ésima com a j-ésima linhas.
(ii) Operação elementar tipo 2: multiplicar uma linha da matriz por uma constante
não nula. A notação
Li = kLi , k 6= 0
indica a multiplicação da i-ésima linha por uma constante (não nula) k.
(iii) Operação elementar tipo 3: substituir uma linha da matriz por um múltiplo de
outra linha mais a própria linha a ser substituída. A notação
Li = kLj + Li
indica a substituição da i-ésima linha pela soma de k vezes a j-ésima linha mais a
i-ésima linha.
4
Exemplo 3 Consideremos a matriz
 0 14 −1 13 −4 5 1
0 −3 2 1
.
(i) Aplicando a operação elementar L1 <=> L2 obtemos
 3 −4 5 10 1
4
−1 1
0 −3 2 1
 .
(ii) Aplicando a operação elementar L2 = 4L2 obtemos
 3 −4 5 10 1 −4 4
0 −3 2 1
 .
(iii) Aplicando a operação elementar L3 = 3L2 +L3 obtemos
 3 −4 5 10 1 −12 4
0 0 −10 13
 .
Observe que esta última matriz está na forma escalonada.
Exemplo 4 Determine a forma escalonada da matriz dada, indicando as operações ele-
mentares utilizadas. 
1 3 −1 4
3 9 1 5
2 7 1 −1
−4 −11 7 −14

(i) Para escalonar a primeira coluna, aplicamos as operações elementares
L2 = −3L1 + L2
L3 = −2L1 + L3
L4 = 4L1 + L4

1 3 −2 4
0 0 4 −7
0 1 3 −9
0 1 3 2

(ii) Trocamos a posição relativa das segunda e terceira linhas, isto é, aplicamos
L2 <=> L3 
1 3 −2 4
0 1 3 −9
0 0 4 −7
0 1 3 2

(iii) A seguir aplicamos a operação elementar
L4 = −L2 + L4

1 3 −2 4
0 1 3 −9
0 0 4 −7
0 0 0 11

5
3 Equações lineares
Uma equação linear nas variáveis x1, x2, x3, . . . , xn tem a forma
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . .+ anxn = b. (1)
As constantes a1, a2, a3, . . . , an são os coeficientes da equação e a constante b é chamada
termo independente. Observe que em uma equação linear todas as variáveis possuem
expoente 1. Por solução de uma equação linear da forma (1) entende-se qualquern-upla
ordenada de números que a satisfaça.
Exemplo 5 A equação 2x+ y − 5z = 3, nas variáveis x, y e z, é linear.
• Os coeficientes são 2, 1 e −5 e o termo independente é 3.
• A tripla ordenada (x, y, z) = (1, 6, 1) é solução desta equação, pois 2(1)+6−5(1) = 3.
• Obviamente tal equação admite infinitas soluções, uma vez que podemos escolher
valores para duas variáveis e determinarmos o valor da terceira. Por exemplo,
tomando-se x = 1 e y = 2, obtemos
2(1) + 1− 5z = 3 ∴ z = 0;
logo a tripla ordenada (x, y, z) = (1, 2, 0) é uma solução da equação.
Exemplo 6 A equação 2x1 − x22 + 4x3 = 2, nas variáveis x1, x2 e x3, é não linear, uma
vez que a variável x2 é quadrática.
Exemplo 7 A equação x − 4xy + 7x = −4, nas variáveis x, y e z, é não linear, devido
ao produto xy que ocorre entre variáveis.
4 Sistemas lineares
Segundo Steve J. Leon "o problema mais importante em Matememática é resolver um
sistema de equações lineares. Mais de 75% de todos os problemas matemáticos encontrados
em aplicações científicas e industriais envolvem a resolução de um sistema linear em
alguma etapa. Usando os métodos da Matemática moderna, muitas vezes é possível reduzir
um problema sofisticado em um único sistema de equações lineares".2
Um sistema linear, com m equações e n variáveis, possui a forma
a11x1 + a12x2 . . . a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 . . . a2nxn = b2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 . . . amnxn = bm
. (2)
As constantes a11, . . . , amn são os coeficientes do sistema e as constantes b1, b2, . . . , bm
são os termos independentes. Por solução de um sistema linear da forma (2) entende-se
qualquer n-upla ordenada de números que satisfaça todas as equações simultaneamente.
2Steve J. Leon - Álgebra Linear com Aplicações. Editora LTC. Rio de Janeiro. 1999. Página 1.
6
Exemplo 8 Considere o sistema linear com três equações nas variáveis x, y e z
x − y + 2z = 3
x + y − z = 2
x − 2y + 2z = −1
.
(a) A tripla ordenada (x, y, z) = (1, 4, 3) é solução do sistema, pois 1 − 4 + 2(3) = 31 + 4 − 3 = 21 − 2(4) + 2(3) = −1 .
(b) A tripla ordenada (x, y, z) = (2,−1, 0) não é solução do sistema, pois 2 − (−1) + 2(0) = 32 + (−1) − 0 6= 22 − 2(−1) + 2(0) 6= −1 .
Se b1 = b2 = . . . = bm = 0 em (2), o sistema é dito homogêneo. Em outras palavras,
um sistema homogêneo é um sistema da forma
a11x1 + a12x2 . . . a1nxn = 0
a21x2 + a22x2 . . . a2nxn = 0
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 . . . amnxn = 0
. (3)
É importante notar que todo sistema linear homogêneo sempre admite a solução
(denominada solução trivial)
(x1, x2, . . . , xn) = (0, 0, . . . , 0).
Forma matricial de um sistema linear
O sistema linear dado em (2) pode ser reescrito na forma matricial da seguinte maneira:
(i) seja A−m× n a matriz dos coeficientes
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 ;
(ii) sejam x−n× 1 a matriz coluna de variáveis e b−m× 1 a matriz coluna de termos
independentes
x =

x1
x2
...
xn
 , b =

b1
b2
...
bm
 .
7
Podemos então escrever Ax = b, ou seja,
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm
 . (4)
A equivalência entre as equações (2) e (4) pode ser prontamente obtida efetuando-se
o produto matricial em (4) e igualando as respectivas componentes.
Matriz aumentada de um sistema linear
Uma outra maneira de se representar matricialmente um sistema linear é através de sua
matriz aumentada, ou matriz completa. É a matriz de blocos formada da seguinte
forma: à esquerda colocamos a matriz dos coeficientes e à direita a matriz (coluna) de
termos independentes. Para o sistema linear (2), sua matriz aumentada fica
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn bm
 .
Exemplo 9 Dado o sistema linear

3x + y − z + 2w = 3
− 4y + 2z = −7
−x + 2y − 4w = 0
;
(a) sua forma matricial é
 3 1 −1 20 −4 2 0
−1 2 0 4


x
y
z
w
 =
 3−7
0
 ;
(b) sua matriz aumentada é
 3 1 −1 2 30 −4 2 0 −7
−1 2 0 4 0
 .
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando admitem a mesma solução.
Exemplo 10 Verifique se os sistemas lineares dados são equivalentes
−x + 3y + 2z = 14
4y + z = 14
7z = 14
e

−x + 3y + 2z = 14
x + y − 2z = −2
3x − 2y + z = −7
8
(a) Inicialmente observamos que a solução do primeiro sistema linear pode ser facil-
mente obtida através de uma substituição retroativa:
• da terceira equação obtemos z = 2;
• substituindo o valor encontrado para z na segunda equação obtemos y = 3;
• substituindo os valores encontrados para y e z na primeira equação obtemos
x = −1.
Assim a solução do primeiro sistema linear é a tripla ordenada (x, y, z) = (−1, 3, 2).
(b) A seguir verificamos que esta solução também satisfaz o segundo sistema, pois:
−(−1) + 3(3) + 2(2) = 14
−1 + (3) − 2(2) = −2
3(−1) − 2(3) + (2) = −7
.
Logo os sistemas são equivalentes.
5 Solução de um sistema linear
Podemos determinar a solução de um sistema linear utilizando o escalonamento por linhas.
Tal método, conhecido como método de eliminação de Gauss3, ou simplesmente método
de Gauss, consiste das seguintes etapas:
(i) escreva a matriz aumentada do sistema linear;
(ii) obtenha sua forma escalonada por linhas;
(iii) escreva o sistema equivalente obtido;
(iv) determine (se existir) a solução do sistema equivalente por substituição retroativa.
A idéia do método de eliminação de Gauss consiste em aplicar as operações elementares
sobre as linhas da matriz aumentada de um sistema linear até obter sua forma escalonada
por linhas, a qual representa um novo sistema linear, equivalente ao sistema linear orig-
inal (logo com mesma solução), cuja solução (se existir) pode ser facilmente obtida por
substituição retroativa.
Exemplo 11 Determine a solução do sistema linear

x1 − 2x2 + x3 = 5
2x1 − 4x2 + 3x3 = 0
3x1 − 5x2 + 4x3 = 7
.
(a) Inicialmente escrevemos a matriz aumentada do sistema:
 1 −2 1 52 −4 3 0
3 −5 4 7
.
3Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 - Göttingen 1855).
9
(b) A seguir obtemos sua forma escalonada por linhas:
L2 = −2L1 + L2
L3 = −3L1 + L3
 1 −2 1 50 0 1 −10
0 1 1 −8

L2 <=> L3
 1 −2 1 50 1 1 −8
0 0 1 −10
 .
(c) O sistema equivalente fica:

x1 − 2x2 + x3 = 5
x2 + x3 = −8
x3 = −10
.
(d) Obtemos a solução do sistema equivalente por substituição retroativa:
• da terceira equação obtemos x3 = −10;
• substituindo o valor encontrado para x3 na segunda equação obtemos x2 = 2;
• substituindo os valores encontrados para x2 e x3 na primeira equação obtemos
x1 = 19.
Logo a solução do sistema equivalente é a tripla ordenada (x1, x2, x3) = (19, 2,−10).
(e) Finalmente, verificamos que esta solução também satisfaz o sistema linear dado:
19 − 2(2) + −10 = 5
2(19) − 4(2) + 3(−10) = 0
3(19) − 5(2) + 4(−10) = 7
.
6 Discussão de um Sistema Linear
Quanto à existência e ao número de soluções, um sistema linear pode ser classificado
como:
• possível determinado, quando apresenta uma única solução;
• impossível, quando não apresenta solução;
• possível indeterminado, quando apresenta infinitas soluções.
Discutir um sistema linear significa classificá-lo em uma destas três possibilidades. Os
exemplos a seguir ilustram a utilização do método de eliminação de Gauss na discussão
de sistemas lineares.
Exemplo 12 Discuta o sistema linear

x1 + 2x2 + 3x3 = 9
3x1 − x3 = 3
2x1 − x2 + x3 = 8
.
10
(a) Matriz aumentada
 1 2 3 93 0 −1 3
2 −1 1 8
.
(b) Forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações elementares
utilizadas).
• Aplicando L2 = −3L1+L2e L3 = −2L1+L3 obtemos
 1 2 3 90 −6 −10 −24
0 −5 −5 −10
.
• Aplicando L2 = −12L2 e L3 = −15L3 obtemos
 1 2 3 90 3 5 12
0 1 1 2
.
• Aplicando L2 <=> L3 obtemos
 1 2 3 90 1 1 2
0 3 5 12
.
• Aplicando L3 = −3L2+L3 obtemos
 1 2 3 90 1 1 2
0 0 2 6
, que está na forma escalon-
ada.
(c) Sistema equivalente

x1 + 2x2 + 3x3 = 9
x2 + x3 = 2
2x3 = 6
.
(d) Solução do sistema linear equivalente por substituição retroativa.
• da terceira equação obtemos x3 = 3;
• substituindo o valor encontrado para x3 na segunda equação obtemos x2 = −1;
• substituindo os valores encontrados para x2 e x3 na primeira equação obtemos
x1 = 2.
Assim a solução do sistema equivalente é a tripla ordenada (x1, x2, x3) = (2,−1, 3).
Fica a cargo do leitor verificar que esta solução também satisfaz o sistema dado.
Exemplo 13 Discuta o sistema linear

x + 2y − z = 9
2x − y + z = 8
4x + 3y − z = 3
.
(a) Matriz aumentada
 1 2 −1 92 −1 1 8
4 3 −1 3
.
(b) Forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações elementares
utilizadas).
11
• Aplicando L2 = −2L1+L2 e L3 = −4L1+L3 obtemos
 1 2 −1 90 −5 3 −10
0 −5 3 −33
.
• Aplicando L3 = −L2 + L3 obtemos
 1 2 −1 90 −5 3 −10
0 0 0 −23
, que está na forma
escalonada.
(c) Sistema equivalente

x + 2y − z = 9
5y − 3z = 10
0z = −23
(d) Solução do sistema linear equivalente por substituição retroativa: este sistema
não possui solução, uma vez que nenhuma tripla ordenada satisfaz a última equação
0x+ 0y + 0z = −23 (trata-se de uma equação inconsistente). Dizemos então que o
sistema é impossível.
Exemplo 14 Discuta o sistema linear

x + 3y − 2z = 1
2x + 5y − 3z = 3
5x + 14y − 9z = 6
.
(a) Matriz aumentada
 1 3 −2 12 5 −3 3
5 14 −9 6
.
(b) Forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações elementares
utilizadas).
• Aplicando L2 = −2L1 + L2 e L3 = −5L1 + L3 obtemos
 1 3 −2 10 −1 1 1
0 −1 1 1
.
• Aplicando L3 = −L2 + L3 obtemos
 1 3 −2 10 −1 1 1
0 0 0 0
, que está na forma
escalonada.
(c) Sistema equivalente: a forma escalonada da matriz aumentada apresenta uma
linha nula (linhas na qual todos os coeficientes são nulos). Uma linha nula pode ser
removida da matriz aumentada do sistema, uma vez que nos leva a uma equação da
forma
0x+ 0y + 0z = 0,
que obviamente é satisfeita por qualquer tripla ordenada, não afetando a determi-
nação da solução. Logo o sistema equivalente (escalonado) possui 2 equações e 3
variáveis {
x + 3y − 2z = 1
− y + z = 1 ,
12
tratando-se assim de um sistema possível indeterminado, isto é, um sistema com
infinitas soluções, uma vez que na segunda equação podemos escolher (arbitraria-
mente) valores para uma das variáveis e então determinar os valores das demais
variáveis do sistrema.
Apesar de o sistema linear possuir infinitas soluções, não é qualquer tripla ordenada
que o satisfaz. O conjunto de todas as triplas que satisfaz o sistema é denominado
seu conjunto solução. Para determiná-lo procedemos da seguinte forma:
• pela terceira equação podemos exprimir y em função de z (ou exprimir z em
função de y)
−y = 1− z ∴ y = z − 1.
Neste caso dizemos que z é uma variável livre do sistema.
• Substituindo o valor encontrada para y na primeira equação obtemos
x+ 3(z − 1)− 2z = 1 ∴ x = 4 + z.
• Assim as infinitas soluções do sistema podem ser expressas na forma paramétrica
(onde a variável livre z é o parâmetro)
(4 + z, z − 1, z).
Note que para cada valor atribuído (arbitrariamente) à variável livre z (isto é,
ao parâmetro z) obtemos uma tripla ordenada que é solução do sistema linear
dado.
Considerações Finais
Pelos exemplos anteriores observamos que um sistema linear pode ser discutido através
de um sistema equivalente na forma escalonada. Temos então as seguintes possi-
bilidades:
(i) se a forma escalonada possui mesmo número de equações e de variáveis, veja Exem-
plo 12, o sistema apresenta solução única;
(ii) a ocorrência de uma equação inconsistente, veja Exemplo 13, nos mostra que o
sistema não possui solução;
(iii) se a forma escalonada possui um número de equações menor que o número de var-
iáveis, veja Exemplo 14, o sistema apresenta infinitas soluções; neste caso é impor-
tante determinar tais soluções na forma paramétrica (conjunto solução).
7 Aplicações
Nesta seção ilustramos algumas aplicações simples envolvendo sistemas lineares.
13
Exemplo 15 (Planejamento de Produção) Uma fábrica de móveis artesanais pro-
duz 3 modelos de cadeiras: colonial, clássico e moderno. Cada cadeira do modelo colonial
exige 2 horas para corte da madeira, 3 horas para montagem e 1 hora para lixamento. O
modelo Clássico exige 1 hora para corte, 2 horas para montagem e 1 hora para lixamento.
O modelo Moderno exige 1 hora para corte, 2 horas para montagem e 2 horas para lixa-
mento. Se a capacidade operacional diária da fábrica é de 40 horas de corte, 72 horas de
montagem e 42 horas de lixamento, qual a quantidade diária deve ser produzida de cada
cadeira para que a fábrica funcione plenamente (nenhum processo fique ocioso)?
A tabela (matriz) a seguir sumariza os dados fornecidos no problema
Colonial Clássico Moderno Disponibilidade
Corte 2 1 1 40
Montagem 3 2 2 72
Lixamento 1 1 2 42
Se o número de cadeiras modelo Colonial a serem fabricadas é x, o número de cadeiras
modelo Clássico a serem fabricadas é y e o número de cadeiras modelo Moderno a serem
fabricadas é z, obtemos o sistema linear
2x + y + z = 40
3x + 2y + 2z = 72
x + y + 2z = 42
,
cuja solução (a ser verificada pelo leitor) é (x, y, z) = (12, 6, 12). Assim, para que nenhum
processo da fábrica fique ocioso, deverão ser fabricadas diariamente 12 cadeiras do modelo
Colonial, 6 cadeiras do modelo Clássico e 12 cadeiras do modelo Moderno.
Exemplo 16 (Interpolação Polinomial) Em muitas ocasiões trabalhamos com funções
dadas na forma tabelada, sem conhecer sua expressão analítica. Quando estes dados
tabelados são marcados no plano cartesiano temos uma idéia aproximada do gráfico da
função. Estudaremos agora como ajustar uma função polinomial por um conjunto de
pontos do plano cartesiano. Este processo é conhecido como interpolação polinomial de
Lagrange e o polinômio obtido nos dá uma expressão analítica (aproximada) para a função
tabelada.
Dados n pontos do plano cartesiano
(x1, y1) , (x2, y2) , . . . , (xn−1, yn−1) , (xn, yn) ,
onde x1 6= x2 6= . . . 6= xn−1 6= xn, podemos ajustar um (único) polinômio de grau n − 1,
da forma
P (x) = an−1 xn−1 + . . .+ a2 x2 + a1 x+ a0
que passa por estes n pontos. Devemos então determinar os coeficientes an−1, . . . , a2, a1, a0
para obtermos o polinômio de ajuste.
14
Como exemplo numérico, consideremos os pontos A(1, 3), B(3, 13) e C(−1, 9). Por
estes 3 pontos ajustaremos um polinômio de grau 2, da forma
P (x) = ax2 + bx+ c.
Logo devemos ter
• P (1) = 3 ∴ a+ b+ c = 3;
• P (3) = 13 ∴ 9a+ 3b+ c = 13;
• P (−1) = 9 ∴ a− b+ c = 9.
Com estas três equações formamos o sistema linear nas variáveis a, b e c (que são os
coeficientes do polinômio procurado)
a + b + c = 3
9a + 3b + c = 13
a − b + c = 9
,
cuja solução é (a, b, c) = (2,−3, 4). Assim o polinômio quadrático que se ajusta aos pontos
dados é
P (x) = ax2 + bx+ c = 2x2 − 3x+ 4.
Exemplo 17 (Reações Químicas) No estudo das reações químicas, as moléculas são
representadas por fórmulas químicas, que descrevem sua composição atômica. Por exem-
plo, o octano (um dos componentes da gasolina) tem fórmula química C8H18, indicando
que cada molécula de octano é composta de 8 átomos de carbono e 18 átomos de hidrogênio.
As reações químicas são indicadas através de equações químicas, nas quais aparecem
as fórmulas químicas dos reagentes à esquerda e as fórmulas químicas dos produtos à
direita.
reagentes −→ produtos
Por exemplo, quando ooctano (presente na gasolina) reage com o oxigênio (presente no
ar), produz-se dióxido de carbono e água. Esta reação é indicada pela seguinte equação
química
octano oxigênio −→ dióxido de carbono água
C8H18 + O2 −→ CO2 + H2O
Dizemos que uma equação química está equilibrada (ou balanceada) se, para cada el-
emento químico, o número de átomos nos reagentes é igual ao número de átomos nos
produtos. Para balancearmos a equação química anterior devemos encontrar inteiros pos-
itivos x1, x2, x3 e x4, tais que
x1C8H18 + x2O2 −→ x3CO2 + x4H2O.
Balanceando os átomos de cada elemento presente na reação obtemos a seguinte tabela
15
Reagentes Produtos
Carbono 8x1 x3
Oxigênio 2x2 2x3 + x4
Hidrogênio 18x1 2x4
,
cujo sistema linear homogêneo correspondente é
8x1 = x3
2x2 = 2x3 + x4
18x1 = 2x4
∴

8x1 − x3 = 0
2x2 − 2x3 − x4 = 0
18x1 − 2x4 = 0
,
A solução deste sistema, na forma paramétrica, é dada por
(x1, x2, x3, x4) =
(
t
9
,
25t
18
,
8t
9
, t
)
.
Tomando-se t = 18, para que todas as variáveis assumam valores inteiros positivos, obte-
mos
(x1, x2, x3, x4) = (2, 25, 16, 18),
e a equação, balanceada, fica
2C8H18 + 25O2 −→ 16CO2 + 18H2O.
Exemplo 18 (Circuitos Elétricos) Neste exemplo aplicamos as Leis de Kirchoff e a
Lei de Ohm para determinar as correntes que fluem em um circuito elétrico de várias
malhas que possuam apenas resistores (tais como lâmpadas incandescentes e resistências
de aquecimento) e geradores de tensão (tais como pilhas e baterias).
A Figura 1 ilustra um circuito deste tipo, contendo 2 malhas, 4 resistores e 2 geradores
de tensão. As setas indicam o sentido postulado das correntes elétricas; quando seu valor
numérico é negativo significa que a corrente tem sentido oposto àquele indicado pela seta.
+
−
8V 2Ω
4Ω 2Ω
3Ω
+
−
9V
A
B
→i1 ←i2
↑i3
←
i1
→
i2↑i3
Figura 1: Circuito com 2 fontes e 4 resistores em duas malhas
Para modelarmos matematicamente estes tipos de circuitos, e assim determinar as
diversas correntes, utilizamos as duas Leis de Kirchoff e a Lei de Ohm:
(i) Lei de Kirchoff das Correntes - LKC: em cada nó, a soma algébrica das
correntes que chegam é igual à soma algébrica das correntes que saem.
16
(ii) Lei de Kirchoff das Tensões - LKT: em cada ciclo fechado (em cada malha),
a soma da tensões aplicadas é igual a soma das quedas de tensão.
(iii) lei de Ohm: a queda de tensão em um resistor é dado por
ER = Ri,
onde:
• ER é a queda de tensão no resistor, em volts (V );
• R é a resistência do resistor, em ohms (Ω);
• i é a corrente que passa pelo resistor, em ampéres (A).
Para o circuito dado na Figura 1 temos:
• a LKC resulta nas equações
para o nó A: i1 + i2 = i3 (5a)
para o nó B: i3 = i1 + i2 (5b)
• a LKT resulta nas equações
malha esquerda: 4i1 + 2i3 = 8 (5c)
malha direita: 5i2 + 2i3 = 9 (5d)
As equações (5a) , (5c) e (5d) nos levam ao sistema linear4
i1 + i2 − i3 = 0
4i1 + 2i3 = 8
5i2 + 2i3 = 9
,
cuja solução é (i1, i2, i3) = (1, 1, 2).
8 Problemas Propostos
1 Para cada sistema linear dado
(i) escreva sua matriz aumentada;
(ii) obtenha a forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações ele-
mentares);
(iii) escreva o sistema linear equivalente obtido;
(iv) determine a solução do sistema linear equivalente por substituição retroativa;
4A equação (5b) foi suprimida pois é igual à equação (5a), não contribuindo para a solução do sistema
(por quê?).
17
(v) verifique que a solução do sistema equivalente também é solução do sistema pro-
posto.
(a)

x + y − z = 4
2x + y − 2z = 6
3x − 2y + z = 6
(b)

x + y − z = −3
x + y = 0
x − y + z = 5
3x + y − z = −1
(c)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2x1 + x2 + x4 = 1
x2 − x3 + 2x4 = −6
−x1 + x2 + − 3x4 = 3
(d)

x1 + x2 = 1
2x1 − x3 = 4
x2 + x3 + x4 = −3
x1 + x2 + x3 + x4 = −2
2 Discuta os sistemas lineares a seguir. Caso o sistema apresente solução única, determine-
a. Caso apresente infinitas soluções, escreva-as na forma paramétrica.
(a)

x + y + z = 6
x − y + z = 2
2x − 2y + z = 3
(b)

x − 2y + z = 3
x − y + z = 2
3x − 5y + 3z = 0
(c)

x + 2y + z = 2
x − y + z = 2
3x + 5y + 3z = 6
(d)

x + y + 3z = 1
2x − 3y − 2z = −3
3x − 2y − z = 1
(e)

x1 + x2 = 1
2x1 − x3 = 3
x2 + x3 + x4 = −3
x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0
(f)

x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = −1
3x1 − x2 + 2x3 + 4x4 = 1
− x2 − x3 + x4 = 1
2x1 − 2x2 + 3x4 = 2
18
3 Determine o valor da constante k para que o sistema admita: solução única, infinitas
soluções, nenhuma solução.
(a)

3x + y − k2z = −1
3x + 2y − 5z = k
6x + 3y − 14z = 2
(b)

2x + 3y − z = k
2x + 2y + k2z = 7
4x + 5y + 3z = 5
4 Uma editora publica um livro com três encadernações diferentes: brochurão, capa dura
e encadernação de luxo. Cada exemplar de brochurão necessita 1 minuto para montagem,
2 minutos para costura e de 4 minutos para colagem. Cada exemplar da edição de capa
dura necessita 3 minutos para montagem, 2 minutos para costura e de 7 minutos para
colagem. Cada exemplar da encadernação de luxa necessita 4 minutos para montagem, 5
minutos para costura e de 10 minutos para colagem. Se a editora dispõe de 48 horas/dia
para montagem, 55 horas/dia para costura e 134 horas/dia para colagem, quantas unidades
diárias de cada tipo de encadernação devem ser fabricadas para que nenhum processo fique
ocioso.
5 Uma dieta para aves consiste em 4 tipos de alimentos: farelos (de milho e pão), vitam-
inas, alpiste e mistura (sementes de girassol, painço etc). A Tabela 1 mostra a quantidade
de nutrientes (em miligramas) para cada 100 gramas de cada tipo alimento desta dieta
(dados fictícios).
Farelos Vitaminas Alpiste Mistura
fibras alimentares 10 5 6 8
carboidratos 4 6 5 7
proteínas 4 6 8 2
gorduras 0 0 2 1
Tabela 1: Composição (g) para 100 g de cada alimento da dieta
A Tabela 2 mostra a quantidade diária a ser ingerida (em miligramas) por uma ave
adulta (dados fictícios).
fibras alimentares carboidratos proteínas gorduras
282 233 194 39
Tabela 2: Consumo diário mínimo para cada ave
Com base nestes dados, qual a quantidade de cada tipo de alimento a ave deve consumir
diariamente para satisfazer suas necessidades nutricionais?
6 Determine o polinômio de grau 3 que se ajusta aos pontos A = (1, 2), B = (2,−12),
C = (−1, 12) e D = (0,−4).
7 Determine o polinômio de grau 4 que se ajusta aos pontos A = (−2, 2), B = (−1,−10),
C = (1,−4) e D = (2, 38), sabendo-se ainda que uma de suas raízes é x = 0.
19
8 (Necessita de cálculo diferencial) Determine o polinômio de grau 3 que satisfaz as
seguintes propriedades
(i) uma raiz é x = −2;
(ii) possui reta tangente horizontal em x = −1 e x = 3;
(iii) o intercepto com o eixo-y vale 2.
9 (Necessita de cálculo diferencial) Determine o polinômio de graus 3 cujo gráfico apre-
senta tangentes horizontais nos pontos (−2, 32) e (2, 0).
10 Equilibre as seguintes equações químicas
(a) C2H5OH +O2 −→ CO2 +H2O Combustão do etanol (álcool etílico)
(b) C3H8 +O2 −→ CO2 +H2O Combustão do propano
(c) CO2 +H2O −→ C6H12O6 +O2 Fotossíntese
(d) C6H12O6 −→ C2H5OH + CO2 Fermentação do açucar
11 Para cada circuito dado, determine as correntes i1, i2 e i3.
+
−
16V 2Ω
2Ω
3Ω
A
B
→i1 ←i2
↑i3
←
i1
→
i2↑i3
(a)
2Ω
−
+
38V
4Ω
3Ω 2Ω
A
B
→i1 ←i2↑i3
←
i1
→
i2↑i3
(b)
Figura 2: Circuitos do Problema 11
Apêndice A
• Problema A.1 (pág. 17)
(a) (3, 2, 1) (b) (1,−1, 3) (c)
(2,−1, 1,−2)
(d)
(1, 0,−2,−1)
• Problema A.2 (pág. 18)
(a) Solução única: (x, y, z) = (3, 2, 1)
(b) Nenhuma solução (sistema impossível)
(c) Infinitas soluções: (x, y, z) = (2− t, 0, t), ∀ t ∈ R
20
(d) Solução única: (x, y, z) =
(
21
10
, 17
5
,−3
2
)
(e) Nenhumasolução (sistema impossível)
(f) Infinitas soluções: (x1, x2, x3, x4) = (0,−1− t, 0, t), ∀ t ∈ R
• Problema A.3 (pág. 19)
(a) Solução única: k 6= ±3; infinitas soluções: k = 3; impossível: k = −3
(b) Solução única: k 6= ±2; infinitas soluções: k = −2; impossível: k = 2
• Problema A.4 (pág. 19) 720 exemplares de brochurão, 480 exemplares de capa dura
e 180 exemplares de luxo.
• Problema A.5 (pág. 19) 5 gramas de farelo, 8 gramas de vitamina, 12 gramas de
alpiste e 15 gramas de mistura.
• Problema A.6 (pág. 19) p(x) = −7x3 + 11x2 + 2x− 4
• Problema A.7 (pág. 19) p(x) = 4x4 + 2x3 − 11x2 + x
• Problema A.8 (pág. 20) p(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 2
• Problema A.9 (pág. 20) p(x) = x3 − 2x+ 16
• Problema A.10 (pág. 20)
(a) C2H5OH +O2 −→ 2CO2 + 3H2O
(b) C3H8 + 5O2 −→ 3CO2 + 4H2O
(c) 6CO2+6H2O −→ C6H12O6+6O2
(d) C6H12O6 −→ 2C2H5OH + 2CO2
• Problema A.11 (pág. 20)
(a) (i1, i2, i3) = (5,−2, 3) (b) (i1, i2, i3) = (2, 5, 7)
21

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