PraticasdeEngenhariaEletricaII

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Universidade Presbiteriana Mackenzie
Curso de Engenharia Ele´trica
Pra´ticas de Engenharia Ele´trica II
Notas de Aula
Prof. Marcio Eisencraft
Primeiro semestre de 2006
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
1 
Universidade Presbiteriana Mackenzie 
Práticas de Engenharia Elétrica II 
Professor Marcio Eisencraft (marcioft@mackenzie.com.br) 
2° semestre 2005 
1. Objetivos 
ƒ Apresentar uma introdução à modelagem de sinais e sistemas através de 
variáveis aleatórias e processos estocásticos. Estes conceitos são muito im-
portantes para o Engenheiro Elétrico atual sendo aplicado em diversas á-
reas como: 
o Telecomunicações; 
o Automação e Controle (Controle estocástico) 
o Projeto e dimensionamento de redes de computadores 
o Projeto e dimensionamento de redes de Distribuição de energia 
o Estudos de Engenharia biomédica 
o Mercados financeiros. 
 
2. Metodologia das aulas 
Aulas expositivas utilizando transparências e quadro negro. 
 
3. Conteúdo programático 
O curso abordará: 
1. Probabilidades (PEEBLES, 1993; p. 1-38) 
2. A Variável Aleatória (PEEBLES, 1993; p.39-74). 
3. Operações sobre uma variável – Esperança (PEEBLES, 1993; pp. 75-99). 
4. Múltiplas variáveis aleatórias (PEEBLES, 1993; p. 100-133). 
5. Operações sobre múltiplas variáveis (PEEBLES, 1993; p. 134-162). 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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6. Processos aleatórios (PEEBLES, 1993; p. 163-198). 
 
4. Avaliação 
ƒ A média do aluno será formada por três provas (P1, P2 e PAF). 
ƒ A média final será calculada como: 
4
221 PAFPPMF ++= 
ƒ As provas serão realizadas no horário das aulas nos seguintes dias: 
PROVA Turma 10F (5ª feira) Peso 
P1 22/09 Peso 1 
P2 27/10 Peso 2 
PAF A ser definida Peso dois
 
5. Bibliografia 
ƒ As notas de aula do curso estão organizadas aula a aula e estão disponíveis 
na página do curso http://meusite.mackenzie.com.br/marcioft/. 
ƒ Livros que serão usados durante o semestre: 
 
 COSTA NETO, P. L. O. Probabilidades: resumos teóricos, exercícios re-
solvidos, exercícios propostos [por] Pedro Luiz de Oliveira Neto [e] Mel-
vin Cymbalista. São Paulo: Edgard Blücher, 1993. 
 
 DEVORE, J. L. Probability and Statistics for Engineering and the 
Sciences, 6th edition, New York: Duxbury, 2003. 
 HSU, H. Schaum´s outline Theory and Problems of Probability, random 
variables, and random processes, New York: McGraw-Hill, 1997. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
3 
 
 HSU, H. Schaum´s outline Theory and Problems of Analog and Digital 
Communications. 2nd edition, New York: McGraw-Hill, 2003. 
 
 KAY, S. M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation 
Theory. New Jersey: Prentice Hall, 1993. 
 
 LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd 
edition, New York: Oxford University, 1998. 
 
 MONTGOMERY, D. C. Estatística aplicada e probabilidade para enge-
nheiros, 2ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
 
 PAPOULIS, A.; PILLAI, U. Probability, random variables and stochastic 
processes. 4th edition, New York: McGraw-Hill, 2002. 
 
 PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal prin-
ciples. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. 
 
5. Exemplos de questões a serem debatidas no curso 
1. (PEEBLES, 1993; p.69) A central de um sistema de intercomunicação pro-
vê música para seis quartos de um hospital. A probabilidade de que cada 
quarto seja ativado e consuma potência a qualquer instante é 0,4. Quando 
ativado, o quarto consome 0,5W. 
(a) Encontre e faça um gráfico das funções distribuição e densidade para a va-
riável aleatória “potência fornecida pela central”. 
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(b) Se o amplificador da estação principal fica sobrecarregado quando mais do 
que 2W é necessário, qual a probabilidade de sobrecarga? 
 
2. A potência refletida por uma aeronave com um formato complexo é rece-
bida por um radar e pode ser descrita por uma variável aleatória exponen-
cial P . A densidade de P é, portanto, 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ >=
−
contrário caso , 0
0 ,1 0
0
Pe
PPf
P
P
P 
em que 0P é o valor médio da potência recebida. Em um instante particular, P 
pode ter um valor diferente do seu valor médio. Qual a probabilidade de que a 
potência recebida seja maior do que o seu valor médio? 
 
3. Uma tensão aleatória X tem densidade gaussiana segundo 
( )
( )
2
2
2
22
1
X
Xax
X
X exf
σ
πσ
−−=
 
Esta tensão é aplicada a um amplificador linear que gera em sua saída a tensão 
( ) baXXTY +== . Determine a função densidade de probabilidade de Y , ( )yfY . 
 
4. (PEEBLES, 1993; p.173) Num sistema de controle, sabe-se que uma ten-
são aleatória X tem média 21 −== mX V e momento de segunda ordem 
92
2 == mX V2. Se a tensão X é amplificada por um amplificador que for-
nece como saída 25,1 +−= XY encontre 2Xσ , Y , 2Y , 2Yσ e XYR . 
5. (HSU, 2003; p. 149) Todos os dispositivos e máquinas produzidos falham 
mais cedo ou mais tarde. Se a taxa de falha é constante, o tempo até uma 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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falha T é modelado por uma variável aleatória exponencial. Suponha que 
se descobriu que uma classe particular de chips de memória para computa-
dores tem uma lei de falha exponencial dada por: 
( ) ( )tuaetf atT −= , 
com t em horas. 
(a) Medidas mostraram que a probabilidade de que o tempo de falha exceda 
104 horas para chips desta classe é de 1−e ( 368,0≈ ). Calcule o valor do parâme-
tro a para este caso. 
(b) Usando o valor do parâmetro a determinado na parte (a), calcule o tempo 
0t tal que a probabilidade de que o tempo de falha seja menor do que 0t seja 
de 0,05. 
 
6. (PEEBLES, 1993; p. 71) Uma linha de produção fabrica resistores de 
1000Ω que devem satisfazer uma tolerância de 10%. 
(a) Se a resistência é descrita adequadamente por uma variável aleatória gaus-
siana X com 1000=Xa Ω e 40=xσ Ω, qual fração de resistores espera-se que 
seja rejeitada? 
(b) Se a máquina não está ajustada corretamente, os resistores produzidos pas-
sam a ter 1050=Xa Ω (5% de erro). Qual fração será rejeitada agora? 
 
7. (GIROD et al., 2003; p. 224) A figura a seguir mostra dois processos alea-
tórios A e B que possuem valores esperados idênticos. Porém, as funções-
amostra do processo A variam mais lentamente no tempo do que as do 
processo B . O que pode se esperar das funções de autocorrelação dos pro-
cessos A e B ? 
 
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Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
1 
 
Aula 2 - Probabilidades - Definição 
Bibliografia 
 PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: 
McGraw-Hill, 1993. 
 LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford Uni-
versity, 1998. 
 
1. Probabilidades 
1.0. Introdução ao curso e ao capítulo 
Ö Os objetivos principais deste curso são introduzir os princípios de sinais 
aleatórios e prover as ferramentas através das quais pode-se lidar com sis-
temas envolvendo tais sinais. 
Ö Para chegar a esses objetivos, talvez a primeira coisa que deve ser feita é 
definir o que é um sinal aleatório: 
Sinal aleatório (ou randômico) é uma forma de onda que pode ser caracteri-
zada apenas de uma maneira probabilística. Em geral, pode ser umaforma de 
onda desejada ou não. 
 
Exemplos: 
ƒ O ruído de fundo ouvido quando escutamos uma rádio. A forma de onda 
causadora do ruído, se observada em um osciloscópio, apareceria como 
uma tensão flutuando aleatoriamente com o tempo. Ela é indesejável já que 
interfere com nossa habilidade de ouvir o programa de rádio e é chamada 
de ruído. 
ƒ Num sistema de televisão, o ruído aparece na forma de interferência de i-
magem, freqüentemente chamada de “snow”. 
ƒ Num sistema sonar, sons do mar gerados de forma aleatória geram ruídos 
que interferem com os ecos desejados. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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ƒ Bits em uma comunicação entre computadores parecem flutuar aleatoria-
mente com o tempo entre os níveis zero e um gerando um sinal aleatório. 
ƒ A saída de tensão em um gerador eólico é aleatória por cauda da variação 
randômica da velocidade do vento. 
ƒ A tensão de um detector solar varia aleatoriamente devido à imprevisibili-
dade das condições das nuvens e do tempo. 
ƒ A tensão de um analisador de vibração acoplado a um carro dirigido sobre 
um terreno irregular 
ƒ Para definir precisamente as características de um sinal aleatório precisa-
mos dos conceitos da teoria das probabilidades. 
 
1.1. Definições de conjuntos 
ƒ Um conjunto é uma coleção de objetos. Os objetos são chamados de ele-
mentos do conjunto. 
ƒ Existem dois modos para especificar os elementos de um conjunto: 
o método tabular – todos os elementos são enumerados explicita-
mente. Exemplo: { }9;8;7;6 . 
o método da regra – o conteúdo do conjunto é determinado por uma 
regra. Exemplo: { }10 e 5 entre inteiros . 
ƒ Um conjunto é dito enumerável se seus elementos podem ser postos em 
correspondência 1-a-1 (biunívoca) com os números naturais. Caso contrá-
rio será não-enumerável. 
ƒ Um conjunto é dito vazio (φ ) se não possui elementos. 
ƒ Um conjunto finito é aquele que contém um número finito de elementos. 
Caso contrário será infinito. 
ƒ Dois conjuntos, A e B, são disjuntos ou mutuamente exclusivos se não têm 
nenhum elemento em comum. 
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Exercícios 
1. Os conjuntos a seguir representam os possíveis valores que podem ser ob-
tidos na medição de certa corrente: 
{ }
{ }
{ }5,85,0
;3;2;1
7;5;3;1
≤<=
=
=
cC
B
A
" 
{ }
{ }
{ }125
14;12;10;8;6;4;2
0
≤<−=
=
=
fF
E
D
 
Determine se são finitos ou não, enumeráveis ou não e especificados de forma 
tabular ou por regra. 
 
2. Ainda com relação aos conjuntos do exercício anterior, diga se é verdadei-
ro ou falso: 
(a) BA ⊂ (d) FC ⊂ 
(b) CA ⊂ (e) FD ⊄ 
(c) FA ⊄ (f) BE ⊂ 
 
3. Escreva todos os pares de conjuntos que são mutuamente exclusivos. 
 
o O conjunto que contém todos os objetos em discussão é chamado de con-
junto universo ( S ). 
 
Exercício 
4. Suponha que se considere o problema de jogar um dado. Estamos interes-
sados nos números que aparecem na face superior. Pede-se: 
(a) Escreva o conjunto universo S de todos os resultados possíveis. 
(b) Num jogo, suponha que uma pessoa ganhe se sair um número ímpar. Es-
creva o conjunto A dos resultados que interessam a esta pessoa. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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(c) Suponha que uma outra pessoa vence se sair um número menor ou igual a 
4. Escreva o conjunto de todos os resultados que interessam a esta pessoa. 
(d) Quantos subconjuntos de S existem? 
 
1.2. Operações com conjuntos 
Igualdade e diferença 
o Dois conjuntos A e B são iguais se todos os elementos de A estão presen-
tes em B e vice-versa. 
o A diferença de dois conjuntos BA − é o conjunto contendo todos os ele-
mentos de A que não estão em B . 
União e intersecção 
o A união de dois conjuntos ( BA∪ ) é o conjunto de todos os elementos per-
tencentes a A , B ou ambos. 
o A intersecção de dois conjuntos ( BA∩ ) é o conjunto de elementos comuns 
a A e B . Se A e B forem mutuamente exclusivos, φ=∩ BA . 
Complemento 
o O complemento de um conjunto A , denotado por A é o conjunto de todos 
os elementos que não estão em A . 
 
Exercício 
5. Dados os conjuntos: 
{ }12inteiros1 ≤≤=S { }11;10;9;8;7;6;2=B 
{ }12,5,3,1=A { }8;7;6;4;3;1=C 
pede-se: 
(a) BA∪ (d) BA∩ (g) A 
(b) CA∪ (e) CA∩ (h) B 
(c) CB ∪ (f) CB ∩ (i) C 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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Álgebra de conjuntos 
o Valem as propriedades comutativa, distributiva e associativa para união e 
intersecção. 
 
1.3. Probabilidade introduzida através de conjuntos 
Experimentos e espaços amostrais 
o Espaço amostral: conjunto de todos os possíveis resultados de um experi-
mento. Símbolo: S . 
 
Espaços amostrais discretos e contínuos 
o O espaço amostral é dito discreto se S é enumerável. O espaço amostral é 
dito contínuo se S é não-enumerável. 
 
Eventos 
o Um evento é definido como um subconjunto do espaço amostral. Como um 
evento é um conjunto, todas as definições e operações anteriores aplicadas 
a conjuntos se aplicam a eventos. Por exemplo, se dois eventos não têm re-
sultados comuns eles serão mutuamente exclusivos. 
 
Definição de probabilidade e axiomas 
o A cada evento definido no espaço amostral S associa-se um número não 
negativo chamado de probabilidade. A probabilidade é, portanto uma fun-
ção; é uma função dos eventos definidos. Adota-se a notação ( )AP para a 
“probabilidade do evento A ”. 
o A probabilidade deve satisfazer os seguintes axiomas para quaisquer even-
tos definidos num espaço amostral S : 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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Axioma um: ( ) 0≥AP 
Axioma 2: ( ) 1=SP 
Axioma três: ( )∑
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ N
n
n
N
n
n APAP
11
∪ se φ=∩ nm AA 
 
Modelo matemático de experimentos 
o Para resolver problemas de probabilidades são necessários 3 passos: 
(1) estabelecimento do espaço amostral 
(2) definição dos eventos de interesse 
(3) associar probabilidade aos eventos de forma que os axiomas sejam satisfei-
tos 
 
Exercício 
6. Um experimento consiste em observar a soma dos números que saem 
quando dois dados são jogados. Determine a probabilidade dos seguintes 
eventos: 
(a) { }7soma ==A 
(b) { }11soma8 ≤<=B 
(c) { }soma10 <=C 
 
7. [PEEBLES, p. 30] Um dado é jogado. Encontre a probabilidade dos even-
tos { }obtido éímpar número um=A , { }obtido é 3 que domaior número um=B , BA∪ 
e BA∩ . 
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Aula 3 - Probabilidade conjunta e condicional 
Independência estatística 
Bibliografia 
ƒ PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: 
McGraw-Hill, 1993. Páginas 13 – 35. 
 LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford Uni-
versity, 1998. Páginas 439 – 445. 
 
1.4. Probabilidade conjunta e condicional 
Probabilidade conjunta 
Ö ( )BAP ∩ é chamada de probabilidade conjunta para dois eventos A e B 
que se interceptam no espaço amostral. 
Ö Estudando um diagrama de Venn, obtém-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPBAPBPAPBAP +≤∩−+=∪ . 
ƒ Portanto, 
 
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∪−+=∩ 
 
ƒ Para eventos mutuamente exclusivos, ( ) φ=∩ BAP e ( ) ( ) ( )BAPBPAP ∪=+ . 
Probabilidade condicional 
ƒ Dado um evento B com probabilidade não-nula, define-se a probabilidade 
condicional de um evento A , dado B , como: 
 
( ) ( )( )BP BAPBAP∩= 
 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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Exercício 
1. Em uma caixa existem 100 resistores tendo a resistência e a tolerância 
mostradas na tabela a seguir: 
 
Figura 1 – Resistores em uma caixa (PEBLES, 1993). 
 
Considere que um resistor é selecionado da caixa e assuma que cada resistor 
tem a mesma possibilidade de ser escolhido. Defina três eventos: A como “se-
lecionar um resistor de 47Ω”, B como “selecionar um resistor com tolerância 
de 5%” e C como “selecionar um resistor de 100Ω”. A partir da tabela, de-
termine as seguintes probabilidades: 
(a) ( )AP (b) ( )BP (c) ( )CP (d) ( )BAP ∩ (e) ( )CAP ∩ 
(f) ( )CBP ∩ (g) ( )BAP (h) ( )CAP (i) ( )CBP 
 
Probabilidade Total 
ƒ Dado N eventos mutuamente exclusivos nB , Nn ,,2,1 …= , cuja união 
seja o espaço amostral S , a probabilidade de qualquer evento A pode ser 
escrita como: 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
3 
 
( ) ( ) ( )∑
=
=
N
n
nn BPBAPAP
1
 
 
 
Figura 2 – N eventos mutuamente exclusivos nB e A (PEEBLES, 1993). 
 
Teorema de Bayes 
ƒ O Teorema de Bayes, um dos mais importantes e usados na área de proba-
bilidades e na teoria de estimação estabelece que: 
( ) ( ) ( )( )AP
BPBAP
AP nn=nB . 
 
ƒ Usando a probabilidade total, 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )NN
nn
BPBAPBPBAPBPBAP
BPBAP
AP +++= "2211n
B
. 
ƒ As probabilidades ( )nBP são geralmente chamadas de probabilidades a 
priori já que são aplicadas a eventos antes de ocorrer o experimento. 
ƒ As probabilidades ( )ABP n são chamadas de a posteriori já que elas se apli-
cam quando um evento A é obtido. 
 
Exercício 
2. Um sistema de comunicação binário elementar consiste de um transmissor 
que envia um de dois símbolos possíveis (1 ou 0) sobre um canal para o re-
ceptor. O canal ocasionalmente causa erros de forma que um 1 é detectado 
quando foi transmitido um zero e vice-versa. 
O espaço amostral tem dois elementos (0 ou 1). Denota-se por iB , 2,1=i , 
como os eventos “o símbolo antes do canal é um” e “o símbolo antes do 
canal é zero”, respectivamente. Além disso, define-se iA , 2,1=i , como os 
eventos “o símbolo depois do canal é um” e “o símbolo depois do canal é 
zero”, respectivamente. 
Assume-se que as probabilidades de que os símbolos um e zero sejam sele-
cionados para transmissão sejam ( ) 6,01 =BP e ( ) 4,02 =BP . 
O seguinte diagrama mostra as probabilidades condicionais que descrevem 
o efeito que o canal tem sobre os símbolos transmitidos: 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
5 
 
 
Figura 3 – Sistema de comunicação binário simétrico [PEEBLES]. 
 
Pede-se: 
(a) as probabilidades de se receber um um e de receber um 0 ( )1AP e ( )2AP . 
(b) as probabilidades de acerto de bit ( )11 ABP e ( )22 ABP . 
(c) as probabilidades de erro de bit ( )12 ABP e ( )21 ABP . 
 
1.5. Eventos independentes 
ƒ Sejam dois eventos A e B tais que ( ) 0≠AP e ( ) 0≠BP . Dizemos que estes 
eventos são estatisticamente independentes se a probabilidade de ocorrên-
cia de um evento não afeta a ocorrência do outro evento. Matematicamen-
te, temos: 
( ) ( )APBAP = e ( ) ( )BPABP = 
ƒ Por substituição no teorema de Bayes, temos que, para eventos estatistica-
mente independentes, 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ 
ƒ Cuidado: não confundir independência estatística com eventos mutuamente 
exclusivos. Dois eventos serem independentes significa que a ocorrência de 
um não depende, não é influenciado, pela ocorrência do outro. Dois even-
tos serem mutuamente exclusivos significa que um não pode ocorrer se ou-
tro ocorreu. 
ƒ Em suma, 
A e B Independentes: ( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ 
A e B mutuamente exclusivos: ( ) 0=∩BAP 
 
ƒ Pelas definições, dois eventos não podem ser simultaneamente independen-
tes e mutuamente exclusivos. 
 
Exercícios 
3. Em um experimento, uma carta é selecionada de um conjunto comum de 
52 cartas. Defina os eventos A como “selecionar um rei”, B como “sele-
cionar um valete ou uma rainha” e C “selecionar uma carta de copas”. 
Pede-se: 
(a) Determine ( )AP , ( )BP e ( )CP . 
(b) Determine as probabilidades conjuntas ( )BAP ∩ , ( )CBP ∩ e ( )CAP ∩ . 
(c) Determine se os pares A e B , A e C e B e C são estatisticamente inde-
pendentes ou não. 
 
4. Considere a retirada de quatro cartas de um conjunto com 52 cartas. Sejam 
os eventos 4321 ,,, AAAA definidos como a retirada de um ás na primei-
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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ra, segunda, terceira e quarta tentativas. Determine a probabilidade conjun-
ta ( )4321 AAAAP ∩∩∩ (ou seja, retirar quatro ases seguidos) nos seguintes 
casos: 
(a) cada carta é recolocada no baralho após ser retirada. 
(b) as cartas retiradas não são retornadas ao baralho. 
Em qual dos dois experimentos os eventos 4321 ,,, AAAA são independen-
tes? 
 
1.6. Tentativas de Bernoulli 
ƒ Problema: Seja A com ( ) pAP = um evento elementar tendo um de dois 
possíveis resultados como elemento. Deseja-se repetir esse experimento N 
vezes e determinar a probabilidade do evento A ser observado k vezes 
nessas N tentativas. Esse experimento é chamado de tentativas de Ber-
noulli (“Bernoulli trials”). 
ƒ Pode-se mostrar que: 
 
( ) ( ) kNk pp
k
N
kAP −−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 1 vezes exatamenteocorrer , 
com ( )!!
!
kNk
N
k
N
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ . 
ƒ Quando N é muito grande, uma aproximação para a fórmula acima é a a-
proximação de De Moivre-Laplace: 
( ) ( )
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−−= pNp
Npk
pNp
kAP
12
exp
12
1 vezes exatamenteocorrer 
2
π 
 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
8 
 
Exercícios 
5. Um submarino deseja afundar um porta-aviões. Ele terá sucesso apenas se 
dois ou mais torpedos atingirem a embarcação. Se o submarino dispara três 
torpedos e a probabilidade de cada torpedo atingir o alvo é 0,4, qual a pro-
babilidade do porta-aviões naufragar? 
 
6. Em uma cultura usada para pesquisa biológica, o crescimento inevitável de 
bactérias ocasionalmente estraga os resultados de um experimento que re-
quer pelo menos três de quatro culturas não estejam contaminadas para se 
obter um ponto de dado. Experiências mostram que cerca de 6 em cada 100 
culturas são aleatoriamente contaminadas por bactérias. 
Se um experimento requer três pontos de dados, encontre a probabilidade 
de sucesso para um conjunto de 12 culturas (três pontos de dados usando 
quatro culturas cada). 
 
7. Suponha que certa arma automática dispara balas por 3 segundos a uma 
taxa de 2400 por minuto e que a probabilidade de acertar um alvo seja 0,4. 
Encontre a probabilidade de que exatamente 50 balas atinjam o alvo. (Use 
a aproximação de De Moivre-Laplace). 
 
8. (PEEBLES, 1993; p. 32) Uma companhia vende amplificadores de alta fi-
delidade capazes de gerar potências de 10, 25 e 50W. Ela tem em mãos 100 
unidades de 10W das quais 15% são defeituosas, 70 unidades de 25W dos 
quais 10% são defeituosos e 30 dos de 50W dos quais 10% são defeituosos. 
(a) Qual a probabilidade de que um amplificador vendido entre os de 10W 
seja defeituoso? 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 
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(b) Se cada amplificador de potência é vendido com mesma probabilidade,qual a probabilidade de uma unidade selecionada aleatoriamente ser de 
50W e defeituoso? 
(c) Qual a probabilidade de uma unidade aleatoriamente selecionada para 
venda ser defeituosa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
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Aula 4 - Variáveis aleatórias 
Funções densidade e distribuição 
Bibliografia 
ƒ PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: 
McGraw-Hill, 1993. Páginas 41 – 51. 
ƒ LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford Uni-
versity, 1998. Páginas 445 – 452. 
 
2. A variável aleatória 
2.0. Introdução 
ƒ Neste capítulo é introduzido um conceito que permite definir eventos de 
uma forma mais consistente. Este novo conceito é o de variáveis aleatórias 
e se constitui em uma poderosa ferramenta na solução de problemas proba-
bilísticos práticos. 
 
2.1. O conceito de variável aleatória 
Definição de uma variável aleatória 
ƒ Define-se uma variável aleatória real como uma função real dos elementos 
de um espaço amostral S . 
ƒ Representa-se uma variável aleatória por letras maiúsculas (como W , X ou 
Y ) e um valor particular que ela assume por letras minúsculas (como w , x 
ou y ). 
ƒ Assim, dado um experimento definido pelo espaço amostral S com ele-
mentos s , atribui-se a cada s o número real ( )sX de acordo com alguma 
regra e diz-se que ( )sX é uma variável aleatória. 
 
Variáveis aleatórias contínuas e discretas 
ƒ Uma variável aleatória é discreta se possui apenas valores discretos. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
2 
 
ƒ Uma variável aleatória é contínua se abrange um contínuo de valores. 
 
Exercícios 
1. Um experimento consiste em jogar um dado e uma moeda. Considere uma 
variável aleatória X tal que: (1) uma cara (H) corresponde a valores positi-
vos de X que são iguais aos números que aparecem no dado e (2) uma co-
roa (T) corresponde a valores negativos de X cuja magnitude é o dobro do 
número que aparece no dado. Pede-se: 
(a) Represente o espaço amostral deste experimento; 
(b) Para cada evento s deste espaço amostral, determine ( )sX . 
 
2. Um espaço amostral é definido pelo conjunto { }4;3;2;1=S sendo as 
probabilidades de seus elementos ( )
24
41 =P , ( )
24
32 =P e ( )
24
73 =P . Definin-
do a variável aleatória ( ) 3ssXX == , calcule as probabilidades: 
(a) { }1=XP (b) { }8=XP (c) { }27=XP (d) { }64=XP 
 
3. Suponha que a temperatura de uma localidade seja modelada como uma 
variável aleatória contínua T que se sabe encontrar entre -5ºC e 35ºC. A-
lém disso, considere que todos os valores { }355 ≤≤− t são igualmente pro-
váveis. Calcule: 
(a) { }10≤TP (b) { }205 ≤≤ TP (c) { }10=TP 
 
2.2. Função distribuição 
ƒ A probabilidade { }xXP ≤ é a probabilidade do evento { }xX ≤ . É um núme-
ro que depende de x . Esta função, denotada por ( )xFX , é chamada de fun-
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
3 
 
ção distribuição de probabilidade cumulativa da variável aleatória X . As-
sim, 
( ) { }xXPxFX ≤= 
 
ƒ Freqüentemente, ( )xFX é chamada de função distribuição de X . O argu-
mento x é qualquer número real entre ∞− e ∞ . 
ƒ Propriedades: 
(1) ( ) 0=∞−XF 
(2) ( ) 1=∞XF 
(3) 10 ≤≤ XF 
(4) ( ) ( )21 xFxF XX ≤ se 21 xx < 
(5) { } ( ) ( )1221 xFxFxXxP XX −=≤< 
 
Exercícios 
4. Considere que X assuma valores discretos no conjunto 
{ }3;5,1;7,0;5,0;1 −− . As probabilidades correspondentes são 
{ }2,0;4,0;1,0;2,0;1,0 . Determine e faça um gráfico de ( )xFX . 
 
2.3. Função Densidade 
ƒ A função densidade de probabilidade ( )xf X é definida como a derivada da 
função de distribuição: 
( ) ( )
dx
xdFxf XX = 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
4 
 
 
ƒ Freqüentemente, chama-se ( )xf X apenas de função densidade da variável 
aleatória X . 
 
Existência 
ƒ ( )xf X existe desde que a derivada de ( )xFX exista. No caso de variáveis 
aleatórias discretas, pode ser necessária a utilização de funções impulso 
( ) ( )
dx
xdux =δ para sua representação. 
 
Propriedades da função densidade 
 (1) ( )xf X≤0 para todo x 
 (2) 
( ) 1=∫∞
∞−
dxxf X 
 (3) ( ) ( )∫
∞−
=
x
XX dfxF ξξ 
 (4) { } ( )∫=<< 2
1
21
x
x
X dxxfxXxP 
 
Exercícios 
5. A tensão contínua X sobre um capacitor é uma variável aleatória cuja fun-
ção densidade ( )xg X é dada na figura a seguir: 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
5 
 
 
Figura 2 – Função densidade triangular (PEEBLES, 1993). 
 
(a) Determine a para que ( )xg X seja uma função densidade. 
(b) Para o valor de a do item anterior, determine e esboce ( )xGX . 
 
6. Suponha que uma tensão aleatória X tenha a densidade de probabilidade 
triangular do exercício anterior com 80 =x , 5=α e 5
11 == αa . Determine a 
probabilidade { }7,65,4 ≤< XP . 
 
7. A quantidade acessos normalizada a um servidor durante um dia é descrita 
por uma variável aleatória X que tem distribuição: 
( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
−
b
x
X exuxF
2
1 
Determine a função densidade ( )xf X . 
 
8. (PEEBLES, 2001, p.69) A central de um sistema de intercomunicação 
provê música para seis quartos de um hospital. A probabilidade de que ca-
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
6 
 
da quarto seja ativado e consuma potência a qualquer instante é 0,4. Quan-
do ativado, o quarto consome 0,5W. 
(a) Encontre e faça um gráfico das funções distribuição e densidade para a 
variável aleatória “potência fornecida pela central”. 
(b) Se o amplificador da estação principal fica sobrecarregado quando mais 
do que 2W é necessário, qual a probabilidade de sobrecarga? 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
1 
 
Aula 5 - Exemplos de funções densidade e distribuição 
Bibliografia 
ƒ PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 4ª edição, McGraw-Hill, 
2001. Páginas 51 – 65. 
ƒ LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3ª edição, Oxford University Press, 
1998. Páginas 452 – 463. 
 
2. 4. A variável aleatória gaussiana. 
ƒ Uma variável aleatória X é chamada de gaussiana se sua função densidade 
de probabilidade tem a forma 
( )
( )
2
2
2
22
1
x
xax
x
X exf
σ
πσ
−−
=
 
em que 0>xσ e ∞<<∞− xa são constantes reais. 
ƒ A densidade gaussiana é a mais importante de todas as densidades e apare-
ce praticamente em todas as áreas da ciência e da Engenharia. 
ƒ Esta importância vem de sua descrição precisa de muitas quantidades práti-
cas e significado no mundo real, especialmente as quantidades resultantes 
de muitos efeitos aleatórios pequenos que se somam agindo para criar a 
quantidade de interesse. 
ƒ A função distribuição é dada por: 
( )
( )
∫
∞−
−−
=
x a
x
X dexF x
x
ξπσ
σ
ξ
2
2
2
22
1
. 
ƒ Esta integral não tem forma fechada conhecida. Para obter ( )xFX , define-
se: 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
2 
 
( ) ∫
∞−
−=
x
dexF ξπ
ξ
2
2
2
1
. 
ƒ Com esta definição, 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
x
x
X
axFxF σ 
 
ƒ A função ( )xF ou a função ( ) ( )xFxQ −= 1 são tabeladas e podem ser encon-
tradas em muitos livros para 0≥x . Para 0<x ,usa-se ( ) ( )xFxF −=− 1 . 
 
Figura 1 – Valores tabelados de ( )xF [PEEBLES]. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
3 
 
Exercícios 
1. A relação sinal-ruído no canal de um sistema de comunicações dada em dB 
pode ser aproximada por uma variável aleatória gaussiana tendo 3=xa e 
2=xσ . Encontre a probabilidade do evento { }5.5≤X . 
2. Assuma que a altura das nuvens sobre o solo em um determinado local é 
uma variável aleatória gaussiana X com 1830=xa m e 460=xσ m. Encontre 
a probabilidade de que uma nuvem esteja a uma altura superior a 2750m. 
3. Seja uma variável aleatória gaussiana para a qual 7=xa e 5,0=Xσ . Encon-
tre a probabilidade do evento { }3,7≤X . 
 
2.5. Outros exemplos de distribuições e densidades 
Binomial 
ƒ Para 10 << p e …,2,1=N então a função 
( ) ( ) ( )∑
=
−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
N
k
kk
X kxppk
N
xf
0
1 δ 
é chamada de função densidade binomial. 
ƒ A densidade binomial pode ser aplicada aos experimentos de Bernoulli. É 
aplicada a muitos problemas de detecção em radar e sonar e muitos expe-
rimentos tendo apenas dois possíveis resultados. 
ƒ Integrando, obtém-se a função distribuição binomial: 
( ) ( ) ( )∑
=
−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
N
k
kk
X kxuppk
N
xF
0
1 . 
ƒ A figura a seguir ilustra as funções densidades e distribuição binomial para 
6=N e 25,0=p . 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
4 
 
 
Figura 2 – Exemplo de densidade e distribuição binomial [PEEBLES]. 
 
Poisson 
ƒ Densidade e distribuição dadas por: 
( ) ( )∑∞
=
− −=
0 !k
k
b
X kxk
bexf δ 
( ) ( )∑∞
=
− −=
0 !k
k
b
X kxuk
bexF 
 
em que 0>b é uma constante positiva. 
ƒ Caso limite em que ∞→N e 0→p da distribuição binomial com bNp = . 
ƒ Usada para descrever número de unidades defeituosas numa linha de pro-
dução, o número de chamadas telefônicas feitas durante um período de 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
5 
 
tempo, o número de elétrons emitidos de uma pequena porção de um cáto-
do num intervalo de tempo. 
ƒ Se o intervalo de tempo de interesse tem duração T e os eventos sendo 
contados ocorrem a uma taxa λ , então b é dado por: 
 
Tb λ= 
 
Exercício 
4. Assuma que a chegada de carros num posto de gasolina é uma distribuição 
de Poisson e ocorrem a uma taxa média de 50/h. O posto tem apenas uma 
bomba. Assumindo que todos os carros necessitam de 1 minuto para abas-
tecer, qual a probabilidade de que uma fila se forme na bomba? 
 
Uniforme 
ƒ A densidade de probabilidade uniforme e a sua função de transferência são 
definidas por: 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤−=
contrário caso ,0
 ,1 bxa
abxf X 
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
<≤−
−
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xFX
 ,1
 ,
 ,0
 
para constantes reais ∞<<∞− a e ab > . 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
6 
 
 
Figura 3 – Funções densidade e distribuição uniforme [PEEBLES]. 
 
ƒ Aplicação importante: quantização de sinais amostrados precedente à codi-
ficação em sistemas de comunicações digitais Æ erro introduzido por arre-
dondamentos são distribuídos uniformemente. 
 
Exponencial 
ƒ As funções distribuição e densidade são: 
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>=
−−
ax
axe
bxf
b
ax
X
 ,0
 ,1
 
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>−=
−−
ax
axexF b
ax
X
 ,0
 ,1
 
para números reais ∞<<∞− a e 0>b . 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
7 
 
 
Figura 4 – Densidade e distribuição exponencial [PEEBLES]. 
 
ƒ Aplicações: descrição do tamanho das gotas de chuva, flutuação da inten-
sidade de um sinal de radar recebido da reflexão de certas aeronaves. 
 
Exercício 
5. A potência refletida por uma aeronave com um formato complexo é rece-
bida por um radar e pode ser descrita por uma variável aleatória exponen-
cial P . A densidade de P é, portanto, 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ >=
−
contrário caso , 0
0 ,1 0
0
Pe
PPf
P
P
P 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
8 
 
em que 0P é o valor médio da potência recebida. Em um instante particular, P 
pode ter um valor diferente do seu valor médio. Qual a probabilidade de que a 
potência recebida seja maior do que o seu valor médio? 
 
Rayleigh 
ƒ As funções densidade e distribuição de Rayleigh são 
( ) ( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−=
−−
ax
axeax
bxf
b
ax
X
 , 0
 ,2
2
 
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−=
−−
ax
axexF b
ax
X
 , 0
 ,1
2
 
para constantes reais ∞<<∞− a e 0>b . 
 
Figura 5 – Funções densidade e distribuição de Rayleigh [PEEBLES]. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
9 
 
ƒ Aplicações: descreve a envoltória de um tipo de ruído quando passa por um 
filtro passa-faixas. Também é importante na análise de erros em vários sis-
temas de medição. 
 
Exercício 
6. O valor 0xx = tal que { } { }00 xXPxXP >=≤ é chamado de mediana de uma 
distribuição. Determine a mediana de uma distribuição de Rayleigh. 
 
7. [PEEBLES, p.72] Uma tensão aleatória gaussiana X para o qual 0=Xa e 
2,4=Xσ V aparece através de um resistor de 100Ω com uma potência má-
xima tolerável de 0,25W. Qual a probabilidade de que esta tensão cause 
uma potência instantânea que exceda a máxima do resistor? 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 7 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2005 
1 
 
Aula 7 - Questões da Prova P1 
 
1. (SOARES NETO; CYMBALISTA, 1974) Um método A de diagnóstico de certa en-
fermidade dá resultados positivos para 80% dos portadores da enfermidade e para 10% 
dos sãos. Um método B de diagnóstico da mesma enfermidade dá positivo para 70% 
dos portadores e para 5% dos sãos. Se 15% da população são portadores da dita enfer-
midade, calcular a probabilidade: 
(a) (1,0) de uma pessoa fornecer resultado positivo pelos dois métodos. 
(b) (1,5) de, entre duas pessoas enfermas, pelo menos uma fornecer resultado positivo por 
algum método. 
 
2. (SOARES NETO; CYMBALISTA, 1974) Considere dois eventos A e B tais que: 
( )
4
1=AP ; ( )
2
1=ABP ; ( )
4
1=BAP . 
(a) (1,0) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Justifique. 
(b) (0,5) Os eventos A e B são independentes? Justifique. 
(c) (1,0) Calcule ( )BAP , ( ) ( )BAPBAP + e ( )BAP . 
 
3. (HSU, 1996) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de proba-
bilidade: 
( )
⎩⎨
⎧ <<=
contrário caso,0
10, xkx
xf X . 
em que k é uma constante. 
(a) (0,5) Determine o valor de k e esboce ( )xf X . 
(b) (1,0) Encontre e esboce a função distribuição de probabilidade correspondente. 
(c) (1,0) Encontre ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≤< 2
4
1 XP . 
 
4. (SOARES NETO; CYMBALISTA, 1974) (2,5) No circuito abaixo é igualmente prová-
vel que a chave seletora esteja nas posições A ou B , bem como que os interruptores 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 7 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2005 
2 
 
P , Q , R , S e T estejam abertos ou fechados. Calcular a probabilidade de que a lâm-
pada esteja acesa. Se a lâmpada está acesa, qual a probabilidade de que a chave seletora 
esteja na posição A ? 
 
 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
1 
 
Aula 8 - Valor esperado e variância 
Bibliografiaƒ PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: 
McGraw-Hill, 1993. Páginas 66 – 87. 
ƒ LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford Uni-
versity, 1998. Páginas 463 – 472. 
 
3. Operações sobre uma variável aleatória – Valor esperado 
3.0. Introdução 
ƒ Introduziremos neste capítulo algumas operações importantes que podem 
ser realizadas sobre uma variável aleatória. 
 
3.1. Valor esperado 
ƒ Valor esperado é o nome dado ao processo de tomar uma média quando 
uma variável aleatória está envolvida. 
ƒ Para uma variável aleatória X , usa-se a notação [ ]XE , que pode ser lida 
como “a esperança matemática de X ”, “o valor esperado de X ”, “o valor 
médio de X ” ou “a média estatística de X ”. 
ƒ Ocasionalmente, usa-se a notação X que é lida da mesma forma que [ ]XE , 
ou seja, [ ]XEX = . 
ƒ Vamos começar com um exemplo: 
 
Exercício 
1. Noventa pessoas foram selecionadas aleatoriamente e o valor em reais fra-
cionário das moedas em seus bolsos foi contado. Se a conta dava acima de 
um real, o valor inteiro era descartado e tomava-se apenas a parte que ia de 
0 a 99 centavos. Observou-se que 8, 12, 28, 22, 15 e 5 pessoas tinham 18, 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
2 
 
45, 64, 72, 77 e 95 centavos respectivamente. Determine o valor médio da 
quantidade de centavos nos bolsos. 
 
Valor esperado de uma variável aleatória 
ƒ Seguindo o exemplo do exercício anterior, o valor esperado de uma variá-
vel aleatória X é definido por: 
[ ] ( )∫∞
∞−
== dxxxfXXE X . 
 
ƒ Caso X seja discreta com N possíveis valores de ix com probabilidades 
( )ixP , então: 
[ ] ( )∑
=
=
N
n
ii xPxXE
1
 
 
Exercício 
2. A potência captada na entrada de uma antena interna pode ser modelada 
aproximadamente por uma variável aleatória contínua distribuída exponen-
cialmente com: 
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>=
−−
ax
axe
bxf
b
ax
X
,0
,1 
Determine o valor médio da potência recebida. 
Dica: ( )ax
a
edxxe
ax
ax +−=
−
−∫ 12 . 
 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
3 
 
Valor esperado de uma função de uma variável aleatória 
ƒ Como ficará evidente na próxima seção, muitos parâmetros úteis relacio-
nados a uma variável aleatória X podem ser obtidos encontrando o valor 
esperado de uma função real ( )⋅g de X . Pode-se mostrar que este valor es-
perado é dado por 
( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞−
= dxxfxgXgE X (1) 
ƒ Se X for uma variável aleatória discreta, 
( )[ ] ( ) ( )∑
=
=
N
n
ii xPxgXgE
1
 
 
Exercícios 
3. Sabe-se que uma dada tensão aleatória pode ser representada por uma vari-
ável aleatória de Rayleigh V com função densidade dada por: 
( ) ( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−=
−−
av
aveav
bvf
b
av
V
,0
,2
2
 
com 0=a e 5=b . Esta tensão é aplicada a um dispositivo que gera uma ten-
são ( ) 2VVgY == que é igual, numericamente, à potência de V (sobre um re-
sistor de 1Ω). Encontre a potência média de V . 
 
4. Um problema em sistemas de comunicações é como definir a informação 
de uma fonte. Considere a modelagem de uma fonte capaz de emitir L 
símbolos distintos (mensagem) representada pelos valores 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
4 
 
Lixi ,,2,1, …= de uma variável aleatória discreta X ( 2=L é o caso 
binário). Seja ( )ixP a probabilidade do símbolo ixX = . Pergunta-se, qual a 
informação contida nesta fonte, em média. É necessário fazer três conside-
rações. 
Primeiro, considera-se que a informação deve ser maior para saídas da fon-
te com baixa probabilidade. Por exemplo, contém pouca informação prever 
tempo quente e seco para o deserto do Saara já que estas condições preva-
lecem quase todo o tempo. Mas prever tempo frio e chuvas fortes carrega 
“muita informação”. A seguir, as informações de duas fontes independen-
tes devem se somar de acordo e finalmente a informação deve ser uma 
quantidade positiva (uma escolha feita) e zero para um evento que ocorre 
com certeza. A única função com estas propriedades é a logarítmica. Como 
duas quantidades representam o menor número para uma escolha, o loga-
ritmo na base 2 é escolhido para medir informação e sua unidade é chama-
da de bit. 
Para uma fonte, definimos a informação de um símbolo ix como 
( ) ( )[ ]ii xPxP 22 log
1log −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ . Determine então a informação média de uma fon-
te, ou entropia, discreta com L símbolos possíveis. 
 
3.2. Momentos 
ƒ Uma aplicação imediata do valor esperado de uma função ( )⋅g de uma va-
riável aleatória X é o cálculo de momentos. Dois tipos de momentos são 
de interesse, os em torno da origem e os em torno da média. 
Momentos em torno da origem 
ƒ A função 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
5 
 
( ) …,2,1,0== nXXg n 
quando usada em (1) dá o momento em torno da origem da variável aleatória 
X . Denotando o n-ésimo momento por nm , temos: 
[ ] ( )∫∞
∞−
== dxxfxXEm Xnnn 
ƒ Claramente, 10 =m , a área sob a função ( )xf X e Xm =1 , o valor esperado 
de X . 
 
Momentos centrais 
ƒ Momentos em torno da média são chamados de momentos centrais e são 
simbolizados por nμ . São definidos pelo valor esperado da função 
( ) ( ) …,2,1,0, =−= nXXXg n 
que é 
( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞−
−=−= dxxfXxXXE Xnnnμ . 
 
ƒ O momento 10 =μ , a área sob ( )xf X , enquanto 01 =μ . (Por quê?). 
 
Variância e distorção (skew) 
ƒ O segundo momento central 2μ é tão importante que é conhecido por um 
nome especial: variância representada por 2Xσ . Assim, a variância é dada 
por: 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
6 
 
( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞−
−=−== dxxfXxXXE XX 2222 μσ . 
ƒ A raiz positiva Xσ da variância é chamada de desvio padrão de X e é uma 
medida do espalhamento da função ( )xf X ao redor da média. 
ƒ A variância pode ser determinada conhecendo-se o primeiro e segundo 
momento em torno da origem. Temos: 
( )[ ] [ ] [ ] [ ] 212222222 22 mmXXEXXEXXXXEXXEX −=+−=+−=−=σ
 
ƒ O terceiro momento central ( )[ ]33 XXE −=μ é uma medida da assimetria de 
( )xf X ao redor de 1mXx == . É chamada de distorção (skew) da função 
densidade. 
ƒ Se uma densidade é simétrica em torno de Xx = então ela tem distorção 
zero. 
ƒ O terceiro momento central normalizado 33
Xσ
μ é chamado de coeficiente de 
distorção (skewness). 
 
Exercícios 
5. Seja X uma variável aleatória com a função densidade exponencial do E-
xercício dois. Determine a variância de X . 
 
6. Ainda para a variável X do exercício anterior, 
(a) Mostre que 3233 3 XXX X −−= σμ . 
(b) Calcule 3μ e o coeficiente de distorção. 
Dicas: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=∫ 3222 22 mmxmxedxex mxmx . ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−=∫ 432233 663 mmxmxmxedxex mxmx . 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
7 
 
7. (PEEBLES, 2001, p.101) Certo medidor é projetado para ler pequenas ten-
sões, porém comete erros por causa de ruídos. Os erros são representados 
de forma acurada por uma variável aleatória gaussiana com média nula e 
desvio padrão 10-3V. Quando o nível DC é desconectado, descobre-se que 
a probabilidade da leitura do medidor ser positiva devido ao ruído é 0,5. 
Quando a tensão DC é presente, a probabilidade torna-se 0,2514. Qual o 
nível DC? 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
1 
 
Aula 9 - Variáveis aleatórias múltiplas 
Bibliografiaƒ PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: 
McGraw-Hill, 1993. Páginas 109 – 122. 
ƒ HSU, H. Schaum´s outline Theory and Problems of Analog and Digital Communications. 2nd edition, 
New York: McGraw-Hill, 2003. Páginas 133-135. 
 
4. Múltiplas variáveis aleatórias 
4.0. Introdução 
• Estendemos agora a teoria para incluir duas variáveis aleatórias na discri-
ção de um fenômeno. Por exemplo, a posição de um ponto aleatório no 
plano. 
 
4.1.Variáveis aleatórias vetoriais 
• Suponha que duas variáveis aleatórias X e Y sejam definidas num espaço 
amostral S em que valores específicos de X e Y são denotados por x e y 
respectivamente. 
• Então, qualquer para ordenado de números ( )yx, pode ser convenientemen-
te considerado como um ponto aleatório no plano xy . 
• O ponto pode ser tomado como o valor específico de uma variável aleatória 
vetorial ou um vetor aleatório. A Figura 1 a seguir ilustra o mapeamento 
envolvido em ir de S para o plano xy . 
 
4.2. Distribuição conjunta e suas propriedades 
 As probabilidades dos eventos { }xXA ≤= e { }yYB ≤= já foram definidas 
como funções de x e y , respectivamente e chamadas de funções distribui-
ção de probabilidades: 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
2 
 
 
Figura 1 – Mapeamento do espaço amostral S para o plano xy (PEEBLES, 
2001). 
 
( ) { }
( ) { }yYPyF
xXPxF
Y
X
≤=
≤=
. 
ƒ Será introduzido agora um novo conceito para incluir a probabilidade do 
evento conjunto { }yYxX ≤≤ , . 
 
Função Distribuição Conjunta 
ƒ Define-se a probabilidade do evento conjunto { }yYxX ≤≤ , , que é uma fun-
ção dos números x e y como uma função distribuição de probabilidades 
conjunta e a denotamos pelo símbolo ( )yxF YX ,, . Assim, 
( ) { }yYxXPyxF YX ≤≤= ,,, 
ƒ { } ( )BAPyYxXP ∩=≤≤ , em que o evento BA∩ foi definido em S . 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
3 
 
 
Exercício 
1. Assuma que o espaço amostral conjunto JS tenha apenas três elementos 
possíveis: (1,1), (2,1) e (3,3). As probabilidades destes elementos são 
( ) 2,01,1 =P , ( ) 3,01,2 =P e ( ) 5,03,3 =P . Encontre ( )yxF YX ,, . 
Resposta: 
 
Figura 2 – Função distribuição conjunta do Exercício 1 [PEEBLES]. 
 
Propriedades da distribuição conjunta 
(1) ( ) 0,, =−∞∞−YXF ( ) 0,, =∞− yF YX ( ) 0,, =−∞xF YX . 
(2) ( ) 1,, =∞∞YXF . 
(3) ( ) 1,0 , ≤≤ yxF YX 
(4) ( )yxF YX ,, é uma função não-decrescente de x e y . 
(5) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0,,,,, 212112,21,11,22, ≥≤≤≤≤=−−+ yYyxXxPyxFyxFyxFyxF YXYXYXYX . 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
4 
 
(6) ( ) ( )xFxF XYX =∞,, ( ) ( )yFyF YYX =∞,, . 
 
Funções de distribuição marginal 
ƒ A propriedade (6) acima afirma que a função distribuição de uma variável 
aleatória pode ser obtida fazendo o valor da outra variável aleatória ser in-
finito em ( )yxF YX ,, . As funções ( )xFX ou ( )yFY obtidas desta forma são 
chamadas de funções de distribuição marginal. 
 
Exercício 
2. Encontre expressões explícitas para ( )yxF YX ,, e as distribuições marginais 
( )xFX e ( )yFY para o espaço amostral conjunto do Exercício um. 
 
4.3. Densidade conjunta e suas propriedades 
Função densidade conjunta 
ƒ Para duas variáveis aleatórias X e Y , a função densidade de probabilidade 
conjunta, denotada por ( )yxf YX ,, é definida como a segunda derivada da 
função distribuição conjunta onde quer que ela exista. 
( ) ( )
yx
yxF
yxf YXYX ∂∂
∂= ,, ,
2
, 
 
Propriedades da densidade conjunta 
(1) ( ) 0,, ≥yxf YX 
(2) ( ) 1,, =∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
dxdyyxf YX 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
5 
 
(3) ( ) ( )∫ ∫
∞− ∞−
=
y x
YXYX ddfyxF 2121,, ,, ξξξξ 
(4) ( ) ( )∫ ∫
∞−
∞
∞−
=
x
YXX ddfxF 1221, , ξξξξ ( ) ( )∫ ∫
∞−
∞
∞−
=
y
YXY ddfyF 2121, , ξξξξ 
(5) { } ( )∫ ∫=≤<≤< 2
1
2
1
,, ,2121
y
y
x
x
YX dxdyyxfyYyxXxP 
(6) ( ) ( )∫∞
∞−
= dyyxfxf YXX ,, ( ) ( )∫∞
∞−
= dxyxfyf YXY ,, 
ƒ As propriedades (1) e (2) podem ser usadas para testar se uma dada função 
pode ser uma função densidade válida. 
Exercício 
3. Seja b uma constante positiva. Determine seu valor para que a função 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤≤≤=
−
contrário caso,0
2
0 e 20,cos
,
πyxybe
yxg
x
 
seja uma função densidade de probabilidade válida. 
 
Função Densidade Marginal 
ƒ As funções ( )xf X e ( )yfY da propriedade (6) são chamadas de funções den-
sidade de probabilidade marginal ou apenas funções densidade marginal. 
ƒ Elas são as funções densidades das variáveis simples X e Y , definidas co-
mo as derivadas das funções distribuição marginais: 
( ) ( )
( ) ( )
dy
ydFyf
dx
xdFxf
Y
X
=
=
 
 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
6 
 
Exercício 
4. As tensões X e Y foram medidas em volts em dois pontos diferentes de 
um circuito elétrico. Encontre ( )xf X e ( )yfY se a função densidade de pro-
babilidade conjunta dada dessas tensões é dada por: 
( ) ( ) ( ) ( )1, , +−= yxYX xeyuxuyxf . 
 
4.4. Densidade e distribuição condicional 
ƒ A função distribuição condicional de uma variável aleatória X , dado al-
gum evento B é definida como: 
( ) { } { }( )BP BxXPBxXPBxFX ∩≤=≤= . 
ƒ A função densidade condicional correspondente foi definida através da de-
rivada 
( ) ( )
dx
BxdF
Bxf XX = . 
 
Densidade e distribuição condicional – condição pontual 
ƒ Pode-se mostrar que, para variáveis discretas, vale: 
 
( ) ( )( ) ( )∑= −==
N
i
i
k
ki
kX xxyP
yxP
yYxf
1
, δ . 
 
ƒ Para o caso contínuo vale: 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
7 
 
( ) ( ) ( )( )yf
yxf
yxfyYxf
Y
YX
X
,,=== 
 
Exercício 
5. Encontre ( )xyfY para a função densidade definida no Exercício quatro. 
 
4.5. Independência Estatística 
ƒ Dois eventos A e B são independentes se (e somente se): 
( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩ . 
ƒ Assim, pela definição de funções distribuição, duas variáveis aleatórias X e 
Y são estatisticamente independentes se: 
( ) ( ) ( )yFxFyxF YXYX ⋅=,, 
ou 
( ) ( ) ( )yfxfyxf YXYX ⋅=,, . 
ƒ Usando a densidade e a distribuição condicionais, vemos que se duas vari-
áveis aleatórias X e Y forem independentes, vale: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xfyf yfxfyf
yxf
yxf X
Y
YX
Y
YX === ,, 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )yfxf yfxfxf
yxf
xyf Y
X
YX
X
YX === ,, . 
ƒ Assim, as densidades deixam de ser condicionais e tornam-se iguais às 
marginais. 
 
Exercícios 
6. Verifique se as tensões do Exercício quatro são independentes. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
8 
 
7. A densidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y tem densidade 
conjunta 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ <<−<<−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
contrário caso,0
11 e 11,
2
cos
,
2
,
yxxyk
yxf YX
π
 
em que ( ) 315,02 ≈+= ππ
π
Si
k e o seno integral é definido por: 
( ) ( )∫= x dxSi
0
sin ξξ
ξ
. 
Determine se X e Y são estatisticamente independentes. 
 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
1 
 
Aula 10 - Correlação e covariância 
Bibliografia 
ƒ PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: 
McGraw-Hill, 1993. Páginas 122 – 146. 
ƒ HSU, H. Schaum´s outline Theory and Problems of Analogand Digital Communications. 2nd edition, 
New York: McGraw-Hill, 2003. Páginas 137-138. 
 
5. Operações sobre múltiplas variáveis aleatórias 
5.0. Introdução 
ƒ Vamos estender o conceito de valor esperado para o caso de duas ou mais 
variáveis aleatórias. 
5.1. Valor esperado de uma função de variáveis aleatórias 
ƒ O valor esperado de uma função de uma variável aleatória foi definido no 
Capítulo 3 como: 
( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞−
= dxxfxgxgE X . 
ƒ Quando mais de uma variável aleatória é envolvida, o valor esperado deve 
ser tomado em relação a todas as variáveis envolvidas. 
ƒ Por exemplo, se ( )YXg , é uma função de duas variáveis aleatórias X e Y , 
o valor esperado de ( )⋅⋅,g é dado por: 
( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
== dxdyyxfyxgYXgEg YX ,,, , 
 
ƒ Para N variáveis aleatórias 1X , 2X ,..., NX e uma função dessas variáveis 
denotada por ( )NXXg ,,1 … , o valor esperado dessa função se torna: 
( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
== NNXXNN dxdxxxfxxgXXgEg N ………"… … 11,,11 ,,,,,, 1 . 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
2 
 
ƒ Um resultado que segue diretamente da definição acima é que o valor 
esperado de uma soma ponderada de variáveis aleatórias 
( ) ∑
=
=
N
i
iiN XXXg
1
1 , α… 
é a soma ponderada de seus valores médios: 
[ ]∑∑
==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
N
i
ii
N
i
ii XEXEg
11
αα 
 
Momentos Conjuntos em torno da origem 
ƒ Uma importante aplicação do valor esperado é na definição de momentos 
conjuntos em torno da origem. 
ƒ Eles são denotados por nkm e são definidos por: 
[ ] ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
== dxdyyxfyxYXEm YXknknnk ,, 
para o caso de duas variáveis aleatórias X e Y . 
ƒ Claramente, [ ]nn XEm =0 são os momentos nm de X e [ ]kk YEm =0 são os 
momentos de Y . 
ƒ A soma kn + é chamada de ordem dos momentos. 
ƒ Assim, 02m , 20m e 11m são todos momentos de segunda ordem de X e Y . 
ƒ Os momentos de primeira ordem [ ] YYEm ==01 e [ ] XXEm ==10 são os 
valores esperados de X e Y respectivamente e são as coordenadas do 
“centro de gravidade” da função ( )yxf YX ,, . 
ƒ O momento de segunda ordem [ ]XYEm =11 é chamado de correlação de X 
e Y . 
ƒ Ele é tão importante que recebe um símbolo especial XYR .Assim, 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
3 
 
[ ] ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
=== dxdyyxxyfXYEmR YXXY ,,11 
ƒ Se a correlação puder ser escrita na forma 
[ ] [ ]YEXERXY ⋅= , 
então X e Y são ditas não correlacionadas. 
ƒ Independência estatística de X e Y é suficiente para garantir que elas são 
não correlacionadas. Porém, o contrário não é verdade em geral. Ou seja, 
independência implica não-correlação, mas não-correlação não implica 
independência. 
ƒ Se 0=XYR as variáveis X e Y são ditas ortogonais. 
ƒ Resumindo: 
 
( ) ( ) ( )yfxfyxf YXYX ⋅=,, Æ X e Y são independentes 
[ ] [ ]YEXERXY ⋅= Æ X e Y são não-correlacionadas 
0=XYR Æ X e Y são ortogonais 
X e Y independentes ⇒ X e Y não correlacionadas 
 
Exercício 
1. Seja X uma variável aleatória com um valor médio [ ] 3== XEX e 
variância 22 =Xσ e uma outra variável Y dada por 226 +−= XY . Pede-se: 
(a) [ ]2XE (b) Y (c) XYR 
(d) as variáveis são correlacionadas? 
(e) as variáveis são ortogonais? 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
4 
 
Momentos conjuntos centrais 
ƒ Uma outra aplicação importante da definição de valores esperado é a 
definição de momentos centrais conjuntos. 
ƒ Para duas variáveis aleatórias X e Y , estes momentos denotados por mμ 
são dadas por: 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−−=−−= dxdyyxfYyXxYYXXE YXknknnk ,,μ 
ƒ Os momentos centrais de segunda ordem 
( )[ ]
( )[ ] 2202
22
20
Y
X
YYE
XXE
σμ
σμ
=−=
=−=
 
são as variâncias de X e Y . 
ƒ O momento conjunto de segunda ordem 11μ é muito importante. É 
chamado de covariância de X e Y e é simbolizado por XYC . Assim, 
( )( )[ ] ( )( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−−=−−== dxdyyxfYyXxYYXXEC YXXY ,,11μ
 
Expandindo diretamente o produto ( )( )YYXX −− esta integral se reduz a: 
[ ] [ ]YEXERYXRC XYXYXY −=−= 
ƒ Se X e Y forem independentes ou não correlacionadas, então 
[ ] [ ]YEXERXY = e 0=XYC . 
ƒ Se X e Y forem ortogonais então 
[ ] [ ]YEXECXY −= , X e Y ortogonais. 
ƒ Claramente, 0=XYC se X ou Y também tiverem média nula além de serem 
ortogonais. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 
5 
 
ƒ O momento de segunda ordem normalizado: 
YX
XYC
σσμμ
μρ ==
0220
11
 
dado por 
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
YX
YYXXE σσρ 
é conhecido como coeficiente de correlação de X e Y . Pode-se mostrar que 
11 ≤≤− ρ . 
ƒ Uma aplicação direta das definições acima é que se X é uma soma 
ponderada de variáveis aleatórias iX , ∑
=
=
N
i
ii XX
1
α , então: 
[ ] ∑
=
=
N
i
ii XXE
1
α e 
2
1
22
iX
N
i
iX σασ ∑
=
= . 
 
Exercício 
2. (PEEBLES, 2001, p.173) Num sistema de controle, sabe-se que uma tensão 
aleatória X tem média 21 −== mX V e momento de segunda ordem 
92
2 == mX V2. Se a tensão X é amplificada por um amplificador que 
fornece como saída 25,1 +−= XY encontre 2Xσ , Y , 2Y , 2Yσ e XYR . 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 12 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 
1 
 
Aula 12 - Questões da Prova P2 
 
1. (PEEBLES, 2001, p. 173) (2,5) Em um sistema de controle, sabe-se que 
uma tensão aleatória X tem valor médio 21 −== mX V e um momento de 
segunda ordem [ ] 922 == mXE V2. Se a tensão X é amplificada por um am-
plificador que tem como saída 25,1 +−= XY , encontre 2Xσ , Y , [ ]2YE , 2Yσ e 
XYR . 
 
2. (PEEBLES, 2001, p. 101) (2,5) Certo medidor é projetado para medir pe-
quenas tensões dc, mas comete erros por causa de ruído. Estes erros podem 
ser representados de forma precisa por uma variável aleatória gaussiana 
com média zero e desvio padrão 310− V. Quando a tensão dc está desconec-
tada descobre-se que a probabilidade do medidor registrar um valor positi-
vo é 0,5 por causa do ruído. Quando a tensão dc está presente, esta proba-
bilidade torna-se 0,2514. Qual o valor da tensão dc? 
 
3. (PEEBLES, 2001, p. 99) (2,5) Mostre que o valor médio e a variância de 
uma tensão aleatória com função densidade uniforme dada por: 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤−=
contrário caso,0
,1 bxa
abxf X 
são [ ] ( )
2
baXEX +== e ( )
12
2
2 ab
X
−=σ . 
 
4. (HSU, 1997, p. 98) A pdf conjunta de um v.a. bivariada ( YX , ) é dada por: 
( )
⎩⎨
⎧ <<<<=
contrário caso,0
10,10,
,,
yxkxy
yxf YX 
em que k é uma constante. 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 12 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 
2 
 
(a) (1,0) Determine o valor de k . 
(b) (1,0) X e Y são independentes? 
(c) (0,5) Encontre ( )1<+YXP . 
 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 13– Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 
1 
 
Aula 13 Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas 
Bibliografia 
ƒ PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: 
McGraw-Hill, 1993. Páginas 148 – 178. 
ƒ KAY, S. M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. New Jersey: Prentice 
Hall, 1993. Páginas 1-14. 
 
5.3. Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas 
ƒ Variáveis aleatórias gaussianas são muito importantes porque aparecem 
praticamente em todas as áreas da Engenharia e das Ciências. 
ƒ Nesta seção o caso de duas variáveis aleatórias conjuntas gaussianas será 
examinado. 
 
Duas variáveis aleatórias 
ƒ Duasvariáveis aleatórias X e Y são ditas conjuntamente gaussianas se sua 
função densidade conjunta é 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+−−−−−
−
−
=
YYXXYX
YX
YyYyXxXxyxf σσσ
ρ
σρρσπσ
2
2
2
22,
2
12
1exp
12
1,
 
com: 
[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( )[ ]
YX
XY
YX
Y
X
CYYXXE
YYE
XXE
YEY
XEX
σσσσρ
σ
σ
=−−=
−=
−=
=
=
22
22
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 13– Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 
2 
 
ƒ A Figura 1 ilustra a aparência da função densidade gaussiana. Seu máximo 
ocorre em ( )YX , . 
 
Figura 1 – Densidade conjunta de duas v.a. ’s gaussianas (PEEBLES, 2001). 
 
Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 13– Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 
3 
 
ƒ Pode-se ver que se 0=ρ , correspondendo a variáveis X e Y não-
correlacionadas, ( )yxf YX ,, pode ser reescrita como: 
( ) ( ) ( )yfxfyxf YXYX ⋅=,, 
em que ( )xf X e ( )yfY são as densidades marginais de X e Y dadas por: 
( ) ( )
( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −−=
2
2
2
2
2
2
2
exp
2
1
2
exp
2
1
YY
Y
XX
X
Yyyf
Xxxf
σπσ
σπσ
. 
ƒ Assim, concluímos que quaisquer variáveis aleatórias gaussianas não cor-
relacionadas são estatisticamente independentes. 
 
Exercício 
1. Sejam duas variáveis aleatórias gaussianas X e Y com médias X e Y , va-
riâncias 2Xσ e 2Yσ e coeficiente de correlação ρ . Determine o ângulo θ tal 
que as variáveis: 
θθ
θθ
cossin
sincos
YXB
YXA
+−=
+=
 
sejam independentes. 
 
2. (PEEBLES, 2001, p. 176) Suponha que a queda de neve anual (quantidade 
de neve acumulada em metros) em dois hotéis de esqui alpinos vizinhos se-
ja representada por variáveis aleatórias gaussianas conjuntas X e Y para as 
quais 82,0=ρ , 5,1=Xσ m, 2,1=Yσ m e 476,81=XYR m2. Se a queda de neve 
média no primeiro hotel é 10m, qual a taxa de queda média no outro hotel? 
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
1 
 
Práticas de Engenharia Elétrica II 
Lista de Exercícios Suplementares 1 – 2º semestre 2005 
 
1. Resolver Exercício 10.1-9 da página 481 do (LATHI, 1998). O primeiro aluno a 
entregar uma resolução completa e correta deste exercício ganhará 0,5 ponto 
na P1. 
RESP: (a) 9,562%; (b) 0,001004. 
 
2. (NETO, 1993, p. 17] Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% 
dos dias em que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de 
chuva, qual a probabilidade de chover? 
RESP: 47,06%. 
 
3. (HSU, 2003, p. 149) Todos os dispositivos e máquinas produzidos falham mais cedo 
ou mais tarde. Se a taxa de falha é constante, o tempo até uma falha T é modelado 
por uma variável aleatória exponencial. Suponha que se descobriu que uma classe 
particular de chips de memória para computadores tem uma lei de falha exponencial 
dada por: 
( ) ( )tuaetf atT −= , 
com t em horas. 
(a) Medidas mostraram que a probabilidade de que o tempo de falha exceda 104 horas 
para chips desta classe é de 1−e ( 368,0≈ ). Calcule o valor do parâmetro a para este 
caso. 
(b) Usando o valor do parâmetro a determinado na parte (a), calcule o tempo 0t tal que 
a probabilidade de que o tempo de falha seja menor do que 0t seja de 0,05. 
RESP: (a) 
410−=a ; (b) 512,93h. 
 
4. (PEEBLES, 1993, p. 71) Uma linha de produção fabrica resistores de 1000Ω que 
devem satisfazer uma tolerância de 10%. 
(a) Se a resistência é descrita adequadamente por uma variável aleatória gaussiana X 
com 1000=Xa Ω e 40=xσ Ω, qual fração de resistores espera-se que seja rejeitada? 
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
2 
 
(b) Se a máquina não está ajustada corretamente, os resistores produzidos passam a ter 
1050=Xa Ω (5% de erro). Qual fração será rejeitada agora? 
RESP: (a) 1,24%; (b) 10,57%. 
 
5. (PEEBLES, 1993, p.101) Certo medidor é projetado para ler pequenas tensões, po-
rém comete erros por causa de ruídos. Os erros são representados de forma acurada 
por uma variável aleatória gaussiana com média nula e desvio padrão 10-3V. Quan-
do o nível DC é desconectado, descobre-se que a probabilidade da leitura do medi-
dor ser positiva devido ao ruído é 0,5. Quando a tensão DC é presente, a probabili-
dade torna-se 0,2514. Qual é o nível DC? 
RESP: -0,67mV. 
 
6. (NETO, 1993, p. 25) Rivelino e Zé Maria estão machucados e talvez não possam 
defender o Corinthians em sua próxima partida contra o Palmeiras. A probabilidade 
de Rivelino jogar é de 40% e a de Zé Maria, 70%. Com ambos os jogadores, o Co-
rinthians terá 60% de probabilidade de vitória; sem nenhum deles, 30%; com Rive-
lino, mas sem Zé Maria, 50%, e com Zé Maria, mas sem Rivelino, 40%. Qual é a 
probabilidade de o Corinthians ganhar a partida? 
RESP: 0,45. 
 
7. (PEEBLES, 1993, p. 67) O resistor 2R na Figura 1 a seguir é escolhido aleatoria-
mente de uma caixa de resistores contendo resistores de 180Ω, 470Ω, 1000Ω e 
2200Ω. Todos os valores de resistores têm mesma possibilidade de ser selecionado. 
A tensão 2E é uma variável aleatória discreta. Encontre o conjunto de valores que 
2E pode assumir e dê a suas probabilidades. 
 
Figura 1 – Circuito do Exercício 2 [PEEBLES]. 
RESP: { }VVVVE 74,8;59,6;37,4;16,22 ∈ sendo que cada valor tem 25% de probabilidade. 
 
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
3 
 
8. (HSU, 1997, p. 26) Duas máquinas produzem peças semelhantes. A maquina A pro-
duz 1000 peças, 100 das quais são defeituosas. A maquina B produz 2000 peças 
sendo 150 defeituosas. Uma peça é selecionada aleatoriamente e é considerada de-
feituosa. Qual a probabilidade dela ter sido produzida pela máquina A? 
RESP: 0,4. 
9. (HSU, 1997, p. 33) Um sistema constituído de n componentes separados é chamado 
de sistema paralelo se ele funciona quando pelo menos um dos componentes fun-
ciona (Figura a seguir). Assuma que os componentes falhem de forma independente 
e que a probabilidade de falha do componente i seja ip , ni ,,2,1 …= . Encon-
tre a probabilidade de funcionamento do sistema. 
 
RESP: ∏
=
−
n
i
ip
1
1 . 
 
10. (HSU, 1997, p. 37) A rede de relês mostrada na figura a seguir funciona se e somen-
te se existe um caminho fechado de relês da esquerda para a direita. Assuma que os 
relês falhem de forma independente e que a probabilidade de falha de cada relê seja 
a indicada na figura. Qual a probabilidade da rede funcionar? 
 
(HSU, 1997) 
1s
 
ns 
2s 
....
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
4 
 
 
RESP: 0,865. 
 
11. (HSU, 1997, p. 37) Sejam A e B dois eventos independentes em S . Sabe-se que 
( ) 16,0=∩ BAP e ( ) 64,0=∪ BAP . Encontre ( )AP e ( )BP . 
RESP: ( ) ( ) 4,0== BPAP . 
 
12. (HSU, 1997, p. 56) A função densidade de probabilidade (p.d.f.) de uma variável 
aleatória (v.a.) X é dada por: 
( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<<
<<
=
contrário caso,0
21,
3
2
10,
3
1
x
x
xf X . 
Encontre a correspondente função distribuição (c.d.f.) ( )xFx e esboce ( )xf X e ( )xFx . 
 
13. (HSU, 1997, p. 57) Seja X uma v.a. contínua com p.d.f. 
( )
⎩⎨
⎧ <<=
contráriocaso
xkx
xf X 0
10,
 
em que k é uma constante. 
(a) Determine o valor de k e esboce ( )xf X . 
(b) Encontre e esboce a correspondente c.d.f. ( )xFX . 
(c) Encontre ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≤< 2
4
1 XP . 
RESP: (a) 2; (c)16
15
. 
 
14. (HSU, 1997, p. 75) Um sistema de transmissão digital tem uma probabilidade de 
erro de 610− por dígito. Encontre a probabilidade de três ou mais erros em 610 dígi-
tos utilizando a aproximação da distribuição de Poisson. 
RESP: 0,08. 
 
15. (HSU, 1997, p. 75) Sabe-se que os disquetes produzidos por uma companhia A são 
defeituosos com uma probabilidade de 0,01. A companhia vende os discos em paco-
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
5 
 
tes de 10 e oferece garantia de troca se ao menos 1 dos 10 discos for defeituoso. En-
contre a probabilidade de que um pacote comprado tenha que ser trocado. 
RESP: 0,004. 
 
16. (HSU, 1997, p. 77) Um lote constituído de 100 fusíveis é inspecionado pelo seguinte 
processo: cinco fusíveis são selecionados aleatoriamente e se os cinco “queimarem” 
na corrente especificada, o lote é aceito. Suponha que um lote contenha 10 fusíveis 
defeituosos. Qual a probabilidade de se aceitar o lote? 
RESP: 0,584. 
 
17. (NETO, 1993, p. 25) Uma cápsula espacial aproxima-se da Terra com dois defeitos: 
nos seus circuitos elétricos e no sistema de foguetes propulsores. O comandante 
considera que, até o instante de reingresso na atmosfera, existe 20% de probabilida-
de de reparar os circuitos elétricos e 50% de probabilidade de reparar o sistema de 
foguetes. Os reparos se processam independentemente. Por outro lado, os especialis-
tas em Terra consideram que as probabilidades de êxito no retorno são as seguintes: 
 (a) 90% com os circuitos elétricos e o sistema de foguetes reparados. 
(b) 80% só com o sistema de foguetes reparado. 
(c) 60% só com os circuitos elétricos reparados. 
(d) 40% com os circuitos elétricos e o sistema de foguetes defeituosos. Com base nas 
considerações acima, qual é a probabilidade de êxito no retorno? Se o retorno se proces-
sar com êxito, qual a probabilidade de que tenha se realizado nas condições mais adver-
sas (ambos os sistemas não-reparados)? 
RESP: 63% e 25,40% respectivamente. 
 
18. (PEEBLES, 1993, p. 73) Assuma que as lâmpadas fluorescentes fabricadas por uma 
empresa tenham probabilidade de 0,05 de serem inoperantes quando novas. Uma 
pessoa compra oito lâmpadas para uso doméstico. 
(a) Qual a probabilidade de exatamente uma lâmpada ser inoperante entre as oito? 
(b) Qual a probabilidade de que as oito lâmpadas estejam funcionando? 
(c) Determine a probabilidade de que uma ou mais lâmpadas sejam inoperantes. 
(d) Faça um gráfico da função distribuição de probabilidades da variável aleatória “o 
número de lâmpadas inoperantes”. 
RESP: (a) 27,93%; (b) 66,34%; (c) 33,66%. 
 
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 
6 
 
19. (PEEBLES, 1993, p. 72) Suponha que a altura da base das nuvens seja uma variável 
aleatória gaussiana X com 4000=Xa m e 1000=Xσ m. João afirma que a altura 
das nuvens amanhã estará no conjunto { }m3300m1000 ≤<= XA enquanto Pedro 
afirma que a altura estará no conjunto { }m4200m2000 ≤<= XB . Paulo afirma que 
os dois estarão corretos. Encontre a probabilidade de cada um acertar a previsão. 
RESP: João: 24,07%; Pedro: 55,66% e Paulo: 21,93%. 
 
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – outubro2005 
1 
 
Práticas de Engenharia Elétrica II 
Lista de Exercícios Suplementares 2 – 2º semestre 2005 
 
1. Resolver Exercício 10.2-8 da página 483 do (LATHI, 1998). 
Resposta: (a) ( ) ( )xuxexf xX 2
2
−= ; ( ) ( )yuyeyf yY 2
2
−= ; ( ) ( )xfyxf XYX = ; ( ) ( )yfxyf YXY = ; (b) 
Sim. 
 
2. Resolver Exercício 10.3-5 da página 485 do (LATHI, 1998). 
Respostas: [ ]
18
1;
6
17;
3
5 22 === XXEX σ . 
 
3. Resolver Exercício 10.5-2 da página 486 do (LATHI, 1998). 
 
4. Resolver Exercício 10.5-3 da página 486 do (LATHI, 1998). O primeiro aluno a 
entregar uma resolução completa e correta deste exercício ganhará 0,5 ponto 
na P2. 
 
5. (PEEBLES, 2001, p. 173) 
2
1=X , 
2
5____2 =X , 2=Y , 
2
19____2 =Y e 
32
1−=XYC para 
variáveis aleatórias X e Y . 
(a) Encontre 2Xσ , 2Yσ , XYR e ρ . 
(b) Qual a media da variável aleatória ( ) 323 2 +++= XYXW ? 
Resposta: (a) 
4
92 =Xσ ; 2
112 =Yσ ; 6
36 −=XYR ; 99
66−=ρ ; (b) 96,27. 
 
6. (DEVORE, 2003, p. 210) Dois componentes de um microcomputador têm a seguin-
te pdf conjunta para seus tempos de vida útil X e Y : 
( ) ( )
⎩⎨
⎧ ≥≥=
+−
contrário caso,0
0 e 0,
,
1 yxxe
yxf
yx
XY . 
(a) Quais são as pdf’s marginais de X e Y ? Estes tempos de vida são independentes? 
Justifique. 
(b) Qual a probabilidade de que o tempo de vida X do primeiro componente exceda 3? 
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – outubro2005 
2 
 
Resposta: (a) ( ) 0, ≥= − xexf xX ; ( ) ( )21
1
y
yfY += ; (b) 0,0498. 
 
7. Duas variáveis aleatórias podem assumir os valores indicados na tabela. 
x y PROBABILIDADE 
-1 -2 1/8 
-0,5 -1 1/4 
0,5 1 1/2 
1 2 1/8 
 
(a) (MONTGOMERY, 2003, p. 103) Determine as seguintes probabilidades: 
( )5,1;5,0 << YXP , ( )5,0<XP , ( )5,1<YP e ( )5,4;25,0 <> YXP . 
(b) (MONTGOMERY, 2003, p. 103) Determine [ ]XE e [ ]YE . 
Respostas: (a) 3/8; 3/8; 7/8; 5/8 respectivamente. (b) 0,125 e ¼ respectivamente. 
 
 
8. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1974, p. 55) Seja X uma variável aleatória con-
tínua com função densidade constante entre a e b , ba < . Mostre que: 
[ ]
2
baXE += e ( )
12
2
2 ab
X
−=σ . 
 
9. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1974, p. 70) Sendo a função densidade conjunta 
de ( )YX , dada por ( ) yeyxf −=
4
1, , para 04 >> x , 0>y e zero em qualquer outro 
ponto, calcular a probabilidade ( )4,2 <> YXP . 
Resposta: 0,4908. 
 
10. (PEEBLES, 2001, p. 174) As variáveis aleatórias estatisticamente independentes X 
e Y têm respectivamente médias 1=X e 
2
1−=Y . Seus momentos de segunda or-
dem são 42 =X e 
4
112 =Y . Uma outra variável aleatória é definida como 
123 2 ++= YXW . Encontre 2Xσ , 2Yσ , XYR , XYC e WYR . 
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – outubro2005 
3 
 
Resposta: 32 =Xσ ; 5,22 =Yσ ; 5,0−=XYR ; 0=XYC ; 1−=WYR . 
 
11. (HSU, 1997, p. 77) Uma variável aleatória X é chamada de variável aleatória de 
Laplace se sua função densidade de probabilidade é dada por: 
( ) ∞<<∞−>= − xkexf xX ,0, λλ 
em que k é uma constante. 
(a) Encontre o valor de k . 
(b) Encontre ( )xFX . 
(c) Encontre a média e a variância de X . 
Resposta: (a) 
2
λ=k ; (b) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
<
=
0,
2
11
0,
2
1
xe
xe
xF
x
x
X
λ
λ
; (c) [ ] [ ] 22;0 λ== XVarXE . 
 
12. (PEEBLES, 2001, p.98) Uma tensão aleatória gaussiana X tem valor médio 
0== XaX e variância 92 =Xσ . A tensão X é aplicada a um diodo detector de on-
da completa com lei quadrática que tem função de transferência 25XY = . Encontre 
o valor médio da tensão de saída Y . 
 
13. (PEEBLES, 2001, p. 98) Uma variável aleatória X tem função densidade: 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ <<−=
contrário caso,0
22
,cos
2
1 ππ xx
xf X . 
Encontre o valor médio da função ( ) 24XXg = . 
 
14. (HSU, 1997, p. 98) A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é 
dada por: 
( ) ( )
⎩⎨
⎧ <<<<+=
contrário. caso,0
20,20,
,,
yxyxk
yxf YX . 
em que k é uma constante. 
(a) Encontre o valor de k . 
(b) Encontre as funções densidade marginais de X e Y . 
(c) X e Y são independentes? 
Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares