GEX112_ESTATISTICA_aulas_15_a_18

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GEX112 – ESTATÍSTICA 
Turmas 2A, 13A e 13B - Aulas 15 a 18 – 17 e 18/11/2015 
 
Lista 1.1.1 Magalhães – pg. 23... Exercícios 3 (a e b) e 5 (a, b e c) 
Lista 1.1.2 Para os dados de idade, peso e altura de sua turma: 
 
 1
 Construir os histogramas de frequências 
 
 2
 Construir as tabelas de frequências acumuladas abaixo e acima 
 
 3
 Calcular as medidas de posição: meia-amplitude, mediana e média 
 
 4
 Calcular as medidas de dispersão: amplitude, variância e desvio padrão 
Lista 1.3 Magalhães – pg. 41 Exercícios 3, 4 e 5. Respostas: pg. 366. 
Revisão 
 
Probabilidade Axiomática. Fundamentos 
Espaço Amostral 
 Define-se o espaço amostral de um determinado experimento como o conjunto 

de todos os resultados possíveis do experimento. 
 
Uma álgebra de eventos em 

 
É qualquer coleção de de subconjuntos 

que tenha as propriedades: 
 a
 

 
 b
 
A
 

 
A
 em que 
 |A w w A  
 
 c
 Se 
A
 e 
B
 

 
A B 
 
 
Observe que: 
 a
 e 
 b
 

 
c 
 
 
 b
 e 
 c
 

 
A
B
 

 
 

 A
B
 


 
 

 
A B 
 

 
A B A B   
 
 
 
2 
 
Função Probabilidade 
 É qualquer função 
 .P
, com domínio em , que satisfaça: 
 1P
 
A
 

 
  0P A 
 
 2P
 
  1P  
 
 3P
 Se 
A
, 
B
 e 
A B 
 

 
     P A B P A P B  
 
 
 Observe que: 
 i
 
    1P A P A P     
 

  
 
1
0 1
P A P A
P A
      

 
 
 ii
 

 

 
   1 1 1 0P P      
 
 
O CASO GERAL DE ESPAÇOS AMOSTRAIS DISCRETOS 
 Seja uma álgebra no espaço amostral discreto e enumerável 
 1 2, ,...w w
. 
Considere os reais 
1 2, ,...p p
 tais que 
0jp 
 e 
1
1j
j
p



. Para todo 
A
 a função 
 
| j
j
j w A
P A p
 
 

 
 é uma legítima função de probabilidade. Em particular, 
 j jP w p   
. 
 
O CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
 Seja 
 .P
 uma função de probabilidade definida em uma álgebra . Se 
A
 e 
B
 são 
eventos em , então: 
 a
 
  0P  
 
 b
 
 0 1P A 
 
 c
 
 1P A P A    
 
 d
 
       P A B P A P B P A B    
 
 e
 
A B
 

 
   P A P B
 
3 
 
 f
 
 
1
j
j
P A P A C


   
 para qualquer partição 
1 2, , ...C C
 de 

. Teorema da 
 probabilidade total. 
 
Fim da revisão 
 
2.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 
 Suponha dois eventos A e B, tais que 
  0AP A p 
 e 
  0BP B p 
. 
Em uma realização do experimento, sabe-se que o evento B aconteceu. Isto pode alterar a 
probabilidade do evento A. A nova probabilidade de A, chamada de probabilidade 
condicional de A dado que aconteceu B, com notação 
 /P A B
, é dada por: 
 
 
 
/
P A B
P A B
P B


 
Exemplo: No lançamento de um dado honesto, considere os eventos “A=resultado 
par” e “B=resultado diferente de 6”. Então: 
 
 2,4,6A 
 

 
 
3 1
6 2
P A  
 
 
 1,2,3,4,5B 
 

 
 
5
6
P B 
 
 

 
 /P A B
  
 
   
 
 
 
2,4,6 1,2,3,4,5 2,4
1,2,3,4,5 1,2,3,4,5
P PP A B
P B P P
         
      
 
 
2 6 2 6 2
5 6 6 5 5
  
 # 
 Decorre da definição de probabilidade condicional a chamada regra do produto de 
probabilidades: 
 
 
 
     / /
P A B
P A B P A B P A B P B
P B

   
 
 1
 
 Observe que também se pode calcular a probabilidade de B dado A: 
 
 
 
     / /
P A B
P B A P A B P B A P A
P A

   
 
 2
 
4 
 
 Juntando 
 1
 e 
 2
: A regra de Bayes 
 
       / /P A B P B P B A P A
 

 
 
   
 
 
   
 
/
/
/
/
P B A P A
P A B
P B
P A B P B
P B A
P A




 


 
 
 Diz-se que o evento A é independente do evento B se, e somente se, 
   /P A B P A
 
 Significa que a ocorrência do evento B não altera a probabilidade do evento A. 
Observe que, nesse caso: 
 
   /P A B P A
 

  
 
 
P A B
P A
P B


 

 
     P A B P A P B 
 
 

  
 
 
P B A
P B
P A


 

 
   /P B A P B
 
 Significa que, se A é independente de B, então B é independente de A. É 
apropriado, portanto, se dizer que os eventos A e B são independentes. 
 
Exemplo: No lançamento de dois dados honestos, sejam: 
1D
 o resultado do primeiro 
dado, 
2D
 o resultado do segundo dado e 
1 2S D D 
. 
O espaço amostral equiprovável: 
         1, 2 1,1 , 1,2 ,..., 6,6D D  
 
Para 
, 1,2,...,6i j 
, 
  ,P i j  
 
1
36

 
 
 1P D i
 
      
6 1
,1 , ,2 ,... ,6
36 6
P i i i    
 
 
 2P D j
 
      
6 1
1, , 2, ,... 6,
36 6
P j j j    
 
A v.a. S assume valores no conjunto 
 2,3,...,12
 
 
   2 12P S P S  
 
     
1
1,1 6,6
36
P P        
 
5 
 
 
   3 11P S P S  
 
         
2 1
1,2 , 2,1 5,6 , 6,5
36 18
P P         
 
 
   4 10P S P S  
 
      1,3 , 2,2 , 3,1P    
 
 
      
3 1
4,6 , 5,5 , 6,4
36 12
P     
 
 
   5 9P S P S  
 
        1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1P    
 
 
        
4 1
3,6 , 4,5 , 5,4 , 6,3
36 9
P     
 
 
   6 8P S P S  
 
          1,5 , 2,4 , 3,3 , 4,2 , 5,1P    
 
 
          
5
2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2
36
P    
 
 
 7P S 
 
            
6 1
1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1
36 6
P     
 
Algumas probabilidades condicionais: 
 
 1 3 | 2 5P D D 
          
    
3,1 ,... 3,6 1,5 ,..., 6,5
1,5 ,..., 6,5
P
P
  
 
 
 
   
    
3,5 1 36 6 1
1 6 36 61,5 ,..., 6,5
P
P
 
    
 
 
 
 
 1 4 | 7P D S 
            
      
4,1 ,... 4,6 1,6 , 2,5 ,..., 6,1
1,6 , 2,5 ,..., 6,1
P
P
  
 
 
 
   
      
4,3 1 36 1
6 36 61,6 , 2,5 ,..., 6,1
P
P
 
   
 
 
 
 
 1 3 | 4P D S 
            
      
3,1 ,... 3,6 1,3 , 2,3 , 3,1
1,3 , 2,3 , 3,1
P
P
  
 
 
 
   
      
3,1 1 36 1
3 36 31,3 , 2,3 , 3,1
P
P
 
   
 
 
 # 
 
 
6 
 
Observe que 
 i
 
   
1
1 3 | 2 5 1 3
6
P D D P D    
. Significa que os eventos 
1 3D 
 e 
2 5D 
 são 
independentes. 
 ii
 
   
1
1 4 | 7 1 4
6
P D S P D    
. Significa que os eventos 
1 4D 
 e 
7S 
 são 
independentes. 
 iii
 
   
1 1
1 3 | 4 1 3
3 6
P D S P D     
. Significa que os eventos 
1 3D 
 e 
4S 
 não sãoindependentes. 
 
Lista 1.4 Magalhães – pg. 48 e 49 Exercícios 1,2,3,4 e 5.