Técnicas de Somatório em Estatística

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS
GEX 112 - Estatística
Prof. Tales Jesus Fernandes 1o Aula Prática Técnicas de Somatório
Notação:
O símbolo Xj (leia X índice j) representa qualquer um dos n valores, X1, X2, ..., Xn, assumidos pela
variável X, no conjunto de dados. A letra j, usada como índice, pode representar qualquer um dos valores
da variável: 1, 2, ..., n. Evidentemente pode ser usada qualquer outra letra além de j.
A soma é indicada pela letra grega maiúscula sigma “
∑
”.
Dessa forma o símbolo
n∑
j=1
é usado para representar a soma de todos os valores de X desde j = 1 até
j = n, ou seja, por definição:
n∑
j=1
xj = x1 + x2 + x3 + ...+ xn
Propriedades:
a)
n∑
j=1
axj = ax1 + ax2 + ax3 + ...+ axn = a
n∑
j=1
xj
b)
n∑
j=1
(axj + byj) = a
n∑
j=1
xj + b
n∑
j=1
yj
c)
n∑
j=1
(xjyj) = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn 6=
(
n∑
j=1
xj
)(
n∑
j=1
yj
)
d)
n∑
j=1
k = nk
Em que a, b e k são constantes.
Exercícios propostos:
1- Sejam as amostras de tamanho n = 4 dados por X = [2, 7, 4, 3] e Y = [3, 1, 6, 5]. Calcule:
a)
4∑
j=1
xj b)
4∑
j=1
y2j c)
4∑
j=1
xjyj d)
(
4∑
j=1
xj
)(
4∑
j=1
yj
)
e)
4∑
j=1
3xj f)
4∑
j=1
(2xj + 4y
2
j ) g)
4∑
j=1
(x2jyj + 3) h)
4∑
j=1
(xj + 4)
2
2- Considerando X =
n∑
j=1
Xj
n
. Mostre numericamente e algebricamente que:
a)
n∑
j=1
(Xj −X) = 0 b)
n∑
j=1
(Xj −X)2 =
n∑
j=1
X2j −
(
n∑
j=1
Xj
)2
n
1