Calculo diferencial e integral

Calculo diferencial e integral

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Cálculo Diferencial e Integral                                                                                      

 140

AULA 27 
 

 
11.4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS 
 
 Uma equação do tipo M dx + N dy = 0 é denominada diferencial exata, se e somente se: 

     
x
N

y
M

∂
∂=∂

∂
     →   condição necessária 

 

∫ ∫ =⎟⎟⎠
⎞

⎜⎜⎝
⎛

∂
∂−+= Cdy

y
PNMdxU  

 
onde, 

  ∫= MdxP  
 
Exemplos: 
1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 



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 141

3) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.4.1 - FATOR INTEGRANTE: 

 Quando a expressão Mdx + Ndy  não é diferencial exata, isto é, 
x
N

y
M

∂
∂≠∂

∂
, mostra-se que 

há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF +  é uma diferencial exata. 
 A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. 
 
F(x):       F(y): 

         ⎟⎟⎠
⎞

⎜⎜⎝
⎛

∂
∂−∂

∂=
x
N

y
M

N
xR 1)(       ⎟⎟⎠

⎞
⎜⎜⎝
⎛

∂
∂−∂

∂−=
x
N

y
M

M
yR 1)(  

 

         
∫= dxxRecxF )(.)(       ∫= dyyRecyF )(.)(  

 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator 
integrante. 
 
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 



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 142

2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 27 – EXERCÍCIOS 
 
1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 
 

2) 
2222 yxy

xdy
y

dy
yx

dx
+=++  

 
3) 2xy dx + x2 dy = 0 
 
4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 
 

5) 0)( 22 =−− θθ drrdre  
 
6) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 
 
7) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 
 
8) seny dx + cos y dy = 0 
 
Encontre a solução particular em: 
 
9) 2xy dy = (x2 + y2) dx   para y(1) = 2 
 
10) 3y2 dx + x dy = 0  para y(1) = 1/2 
 
 
 

 
 
Respostas: 
 

1) Ksenyxyx =++ 2
4

4
 

 

2) Kyxx =++ 22  
 
3) x2y = K 
 
4) coshycosy = K 
 

5) Kre =− 22θ  
 
6) x2 cos y + x4 = C 
 

7) Ctgyex =2  
 
8) Ceseny x =.  
 

9) xxy 32 +=  
 

10) 
2ln3

1
+= xy  



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 143

 

AULA 28 
 

11.5 - EQUAÇÕES LINEARES 
 

 Equações lineares são aquelas da forma QPy
dx
dy =+  onde P e Q são funções de x ou 

constantes. 
 Se Q = 0, a equação é denominada linear homogênea ou incompleta. 
 
 
1o Método: Substituição ou de Lagrange 

 

⎥⎦
⎤⎢⎣

⎡ +∫∫= ∫− CdxQeey PdxPdx ..  
 
 
 
2o Método: Fator Integrante 
 

Dado     QPy
dx
dy =+  

 
      (Py – Q) dx  + dy = 0 
 

multiplica-se tudo por 
∫ Pdxe  transformando a equação diferencial em exata. 

 
 
Exemplos: 
 

1) Resolver a equação 2−=− x
x
y

dx
dy

 por: 

 
a. Lagrange 



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 144

b. Fator integrante: 



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 145

2) senxytgx
dx
dy =−  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



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 146

3)  (x + seny – 1)dy – cosy.dx = 0 



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 147

AULA 28 – EXERCÍCIOS 
  

1) 0cot =−+
x
gx

x
y

dx
dy

 

 

2) arctgxy
dx
dyx =++ )1( 2  

 

3) xytgx
dx
dy cos. +=  

 

4) x
x
y

dx
dy =−  

 

5) 3
2 x
x
y

dx
dy =+  

 
6) Achar a solução particular para y = 0 e x 

= 0 em  
x

ytgx
dx
dy

cos
1=−  

 
 
 
 
Respotas: 
 

1) [ ]Csenx
x

y += )ln(1  
 
2) arctgxeCarctgxy −+−= .1  
 

3) xCxsenxy sec2
4
1

2
1

1 ⎟⎠
⎞⎜⎝

⎛ ++=  
 
4) 2xCxy +=  
 

5) 2
4

6
1

x
Cxy +=  

 

6) 
x

xy
cos

=  
 

 
 
 
   
 



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 148

AULA 29 
 

 
11.6 -  EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 

Equação da forma:      
nQyPy

dx
dy =+    (1)   para 1≠n  e 0≠n   

 
Pois, se: 
 
n = 0     ⇒   y’ + P(x)y = g(x)   ⇒  caso anterior 
 
n = 1     ⇒   y’ + [P(x) – g(x)] y = 0   ⇒  caso anterior e homogênea 
 
 
    Transformação de variável: 
      

Substitui por   ty n =−1  
        
Deriva-se em relação a x: 

       
dx
dt

dx
dyyn n =− −)1(  (2) 

 
Substituindo (1), que é:  

    
nQyPy

dx
dy =+   ⇒    PyQy

dx
dy n −=  

em (2) temos: 
 

     ( )
dx
dtPyQyyn nn =−− −)1(  

 

     ( )( )
dx
dtPyQn n =−− −11  

 

como ty n =−1 , temos: 
         

dx
dtPtQn =−− ))(1(  

 

         QntPndx
dt )1(])1[( −=−+  

 
Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 
 



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 149

Exemplos: 
 

1) 232 xy
x
y

dx
dy =−  



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 150

2) 32 xyxy
dx
dy =−  

 
 
      



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 151

AULA 29 – EXERCÍCIOS 
 

1) 33 yxxy
dx
dy =+  

 

2) xyy
dx
dyx ln2=+  

 

3) 33 yxy
dx
dyx =+  

 

4) yxy
xdx

dy += 4  
 

5) 02 2 =+− xy
dx
dyxy  

 
 
Respostas: 
 

1) 2
.1

1
2 xeCx

y
++

=  
 

2) 
Cxex

y += ).ln(
1

 

 
3) 1.2 2223 =+− yxCyx  
      

4) 
2

4 ln
2
1 ⎟⎠

⎞⎜⎝
⎛ += Cxxy  

 

5) 
x
Cxy ln.2 =