P2 - Derivada

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
Prova Escrita 2
Ca´lculo I
Profa: Allana Sthel
Nome completo:
Curso: Durac¸a˜o da prova: 2 horas. Data: 24/02/16
Nota
Questa˜o 1
[2.0pt] Calcule os limites.
(a) lim
x→0
cos2 x−1
ex2−1
(b) lim
x→0
tgx− x
x3
Questa˜o 2
[2.0pt] Determine a reta tangente a` curva
sec2(x+ y)− cos2(x− y) = 2
3
no ponto
(pi
4 ,0
)
.
Questa˜o 3
[2.0pt] Seja g diferencia´vel e f (x) = x2g2(lnx).
(a) Determine f ′(x).
(b) Calcule f ′(1) sabendo que g(0) = 4 e g′(0) = 1
Questa˜o 4
[2.0pt] Considere a curva f (x) = ln
( x
x−1
)
.
(a) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto (2,1)
(b) Em quais pontos o gra´fico da tangente e´ horizontal?
Questa˜o 5
(a)[1.0pt] Verifique se a func¸a˜o f (x) =
{
2− x, x≤ 1
x2−2x+1, x> 1 e´ diferencia´vel em x= 1.
(b)[1.0pt] Obtenha a func¸a˜o derivada de y= arcsen
(
(x+1)2
)
+ arccos
(
1√
x2+1
)
.
(c)[1.0pt] Obtenha y′, onde ln
(
x
y +
y
x
)
= 5.
Boa prova!