Aula 6 - Probabilidade condicional e indeoendencia

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Estatística II
Aula 6
Centro de Formacao de Saude de Chicumbane
Curso de Tec. Estatistica Sanitaria
Prof. Belmiro Mahita Contacto: 826569939
Conteudos:
 Regra da Multiplicação
 
 Probabilidade Condicional
 Independência de Eventos
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Estamos interessados na probabilidade de o evento A ocontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em uma segunda prova
Palavra – chave  e
 Notação
P(A e B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova e evento B ocorrer na segunda prova)
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Exemplo: Supor que em um teste temos duas questões: a 1ª é verdadeiro ou falso e a 2ª possui 5 alternativas (a, b, c, d, e). Qual a probabilidade de que, se uma pessoa responde aleatoriamente as ambas as questões, a 1ª resposta esteja certa e a 2ª resposta esteja certa?
Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c
Queremos P(V e c)
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
1ª 
2ª 
Resultados possíveis
V
e
a
b
c
d
Va
Vb
Vc
Vd
Ve
Espaço
amostral
F
e
a
b
c
d
Fa
Fb
Fc
Fd
Fe
2 x 5 = 10
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Se vocês prestaram a atenção
P(V)
P(c)
P(V e C) = P(V) . P(c)
Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ?
Este problema foi resolvido com o auxílio de um diagrama de árvore porque o no de resultados possíveis não foi muito grande
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Pelo menos 1 ...
Pelo menos um é equivalente a um ou mais
Ache a probabilidade de que, entre várias provas, pelo menos uma forneça um resultado especificado
O complementar de se obter pelo menos um de um item particular é não se obter qualquer item daquele tipo
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Pelo menos 1 ...
Exemplo: Ache a probabilidade de uma casal ter, pelo menos, 1 menina entre 3 crianças. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã
Seja A = pelo menos 1 das 3 crianças é menina
Evento complementar:
 = não obter pelo menos 1 menina em 3 crianças = todas as 3 crianças são meninos = menino, menino, menino
menino-menino-menino
menino-menino-menina
menino-menina-menino
menino-menina-menina
menina-menino-menino
menina-menino-menina
menina-menina-menino
menina-menina-menina
Para achar a probabilidade de pelo menos um de alguma coisa, calcule a probabilidade de nenhum, então subtraia o resultado de 1
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Pelo menos 1 ...
P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum)
Probabilidade Condicional
 Como será que a probabilidade de um evento muda
 após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos
 leva à idéia de probabilidade condicional
 A idéia de probabilidade condicional está intimamente
 relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar
 ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento
 Uma probabilidade condicional nada mais é do que
 uma probabilidade calculada não mais a partir do
 espaço amostral inteiro E, e sim a partir de um
 subconjunto de E
Probabilidade Condicional
 Suponha uma população com N indivíduos
 Suponha dois eventos:
 A: o indivíduo é do sexo feminino
 B: o indivíduo é daltônico 
 Pode-se definir as probabilidades
 P(A) = Nf / N 
 P(B) = Nd / N 
 Poderíamos estar interessados em saber a probabilidade de
 ser daltônico dentro da população feminina 
 ou seja: P(B|A) = Ndf / Nf
 dividindo os dois lados por N:
Motivação
Probabilidade Condicional
A
B
A ∩ B
Espaço amostral E
A
B
A ∩ B
Na probabilidade condicional, A faz o papel do espaço amostral
E
Motivação
Qual a Prob. de que a 1ª tenha vagem verde e 2ª amarela?
Probabilidade Condicional
Exemplo da genética
Se 2 ervilhas são escolhidas aleatoriamente sem reposição ...
Probabilidade Condicional
Exemplo da genética
1ª seleção: 
Há 14 ervilhas, 8 das quais têm vagem verde
2ª seleção: 
Restam 13 ervilhas, 6 das quais têm vagem amarela
Probabilidade Condicional
O ponto chave é que temos que ajustar a probabilidade do 2º evento para refletir o resultado do 1º evento
A probabilidade para o 2º evento B tem que levar em conta o fato de que o 1º evento A já ocorreu
P (B | A)  lê-se “P de B dado A”
Notação
P(A e B) = P(A) . P(B|A)
Probabilidade Condicional
Ao calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela a probabilidade do evento B, mas certifique-se de que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A
Formal
P(A  B) = P(A) . P(B|A)
Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, chama-se P(B | A) a probabilidade condicional de B dado A (ou probabilidade de B condicionada a A) definida pela expressão
Definição
Analogamente:
(com P(B) > 0)
Probabilidade Condicional
Se A e B são disjuntos:
A
B
Caso geral:
B
A
Se B A :
U
A
B
Se A B :
U
B
A
Probabilidade Condicional
Uma vez que:
e 
e 
Uma vez que:
Temos:
Logo:
Esse resultado é também conhecido como Teorema da Multiplicação
Este teorema nos permite escrever uma probabilidade condicional em termos da probabilidade condicional
“inversa”, o que é útil quando uma delas for difícil de calcular
Em particular:
Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
Exemplo 1
Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior, 
20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de diploma do curso superior e microempresários.
Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que ele tem diploma de curso superior.
 Sejam os eventos:
 A = { pessoa tem diploma de curso superior }
 
 B = { pessoa é um microempresário }
Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente.
Então:
Probabilidade Condicional
Exemplo 1
P( A ) = 40/50 , P( B ) = 20/50 e P( A ∩ B ) = 10/50
Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se que ela tem diploma de curso superior
A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser microempresária, visto que agora o espaço amostral não consiste mais nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma de curso superior
Probabilidade Condicional
Exemplo 1
A probabilidade condicional de que uma pessoa seja microempresária sabendo-se que ela tem diploma de curso superior é dada por:
O exemplo mostra que devemos olhar para as 10 pessoas na interseção dentre as 40 pessoas com diploma de curso superior
O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso superior, e não mais às 50 pessoas do grupo original
Observações
Probabilidade Condicional
Exemplo 2
Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa:
 35 são homens e fumantes,
 28 são homens e não fumantes,
 17 são mulheres e fumantes,
 20 são mulheres e não fumantes.
 Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao
 acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?
Probabilidade Condicional
Exemplo 2
 Sejam os eventos:
 A = { o funcionário é fumante }
 
 B = { o funcionário é homem }
Probabilidade Condicional
Exemplo 2
Note que, quando definimos que o evento B correu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante)
O novo universo passa a ser o próprio evento B
Probabilidade Condicional
Exemplo 2
 Utilizando o número de elementos de cada conjunto: 
 P(A | B) = 35/63 = 0,556
 Ou empregando a expressão da definição:
 P(B) = 63/100 = 0.63
 P(A ∩ B) = 35/100 = 0.35
 P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,35/0,63 =
0,556
Probabilidade Condicional
Exemplo 3
Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser 8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado.
Sejam os eventos:
A = { a soma das duas faces é 8 }
B = { ocorre face 3 no primeiro dado }
Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36 
A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) }
B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) }
(3;5)
Independência de Eventos
Dois eventos A e B são independentes quando se verifica:
e
Portanto, se A e B são eventos independentes vale: 
Independência de Eventos
Dois eventos são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira:
P(A│B) = P(A)
P(B│A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Probabilidade Condicional
Exemplo 4
A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar, com base na presença de duas moléculas raras. Faça A denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 2. Calcule P(B) e P(B│A).
Molécula 1
Não
Sim
Molécula 2
Não
32
24
Sim
16
12
Probabilidade Condicional
Exemplo 4
Resposta:
P(B) = 28 / 84 = 0,333
P(A) = 36 / 84 = 0,428
P(B│A) = P(A ∩ B)/P(A) = (12/84) / (36/84) = 12/36 = 0,333
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = (36/84).(28/84) = 0,142
P(A ∩ B) = 12/84 = 0,142