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Sabemos que toda teoria científica parte de um conjunto de hipóteses que são sugeridas pela observação, mas da qual representam uma idealização. A teoria deve então ser verificada pela comparação entre as predições deduzidas destas hipóteses com os resultados experimentais. Assim se expressou Karl Popper: ³$�FLrQFLD�p�LQYHQomR�GH�KLSyWHVHV��D�H[SHULrQFLD�GHVHPSHQKD�R SDSHO� GH� FRQWUROH� GDV� WHRULDV´� Se muitas dessas verificações são feitas e nenhum desacordo é encontrado, então as hipóteses adquirem gradualmente o status de ³OHLV�GD�QDWXUH]D´� Portanto a experiência é a única fonte da verdade; só ela nos pode dar a certeza sobre um determinado modelo. Um exemplo recente do que afirmei acima pode ser encontrado na Teoria da Relatividade Generalizada, que Einstein apresentou em 1915. Até 1960 a Teoria da Relatividade Generalizada era evitada por um grupo numeroso de físicos, os quais argumentavam ser ainda extremamente reduzido o número de testes comprovadores da sua veracidade. (Na realidade o único teste que até aquela data era aceito sem impugnações era o da explicação da diferença – 43 �SRU�VpFXOR�– entre o avanço observado do periélio do planeta Mercúrio e o avanço previsto pela teoria newtoniana). A partir de janeiro de 1960, no entanto, devido principalmente ao trabalho do grupo da Universidade de Harvard (USA), a Teoria da Relatividade Generalizada foi incorporada definitivamente à Física (lembro que esse trabalho consistiu, essencialmente, em utilizar o efeito Mössbauer para medir o desvio, para o vermelho, das raias espectrais, desvio esse devido à ação de um campo gravitacional). Este curso, como já declarei, destina-se a estudantes de engenharia, e visa desenvolver a habilidade em resolver problemas científicos. Isto envolve, portanto, decidir o que fazer, observar o que acontece e selecionar dados relevantes e de interesse, escolher entre o método sofisticado ou o simples, analisar os próprios erros e propor suas correções, etc. Mas é claro que nenhum estudante, no estágio inicial de seu desenvolvimento, será capaz de usar todas estas habilidades, mas sentirá a necessidade de desenvolvê-las depois que se defrontar com o primeiro problema experimental. Terá, então, oportunidade de desenvolver sua criatividade, curiosidade, capacidade de análise, atitude científica, ou seja, envolver-se totalmente com o problema e exercitar suas habilidades. Mas, para que estes objetivos sejam alcançados, é necessário que o estudante assuma uma atitude de participação ativa, pois que o trabalho de laboratório será útil na medida em que se saiba, a cada instante, o que se faz e por que é feito, devendo ter, por conseguinte, uma idéia clara de cada operação e do conjunto da experiência, sem o que esta se transformará numa simples execução de uma receita que pouco ou nenhum valor tem. Por outro lado, o laboratório tem, também, uma função de controle: indica se realmente a teoria foi compreendida, pois o não saber aplicar uma teoria nas questões experimentais é uma clara indicação de que ela não foi compreendida, ou – o que é ainda pior – foi compreendida de forma distorcida, uma vez que não se sabe aplicar o que não foi compreendido ou foi compreendido incorretamente. Por fim, se tornaria extremamente impossível citar todos os autores cujas idéias utilizei aqui. Mas seria uma injustiça não registrar o meu profundo reconhecimento a um professor que não conheci pessoalmente, mas que influenciou decisivamente minha vida acadêmica, primeiro como estudante e, depois, como docente, pelos seus extraordinários livros, de uma clareza e precisão inigualáveis: o professor L. P. M. Maia, Livre-Docente em Mecânica Clássica da Universidade Federal do Rio de Janeiro, de quem, muitas vezes, utilizei até suas próprias expressões. Como agradecimento a todos – e agradecer é um ato primário do espírito –, acho justo dizer que este é “nosso” livro. Algo que Blaise Pascal escreveu e que tem uma aplicação perfeita neste caso: 2V�DXWRUHV�TXH��DR�IDODU�GH�VXDV�REUDV��GL]HP��³0HX�OLYUR��PHX�FRPHQWiULR��PLQKD�KLVWyULD�HWF�´�� ID]HP�OHPEUDU�DTXHOHV�EXUJXHVHV�FRP�FDVD�SUySULD�TXH�MDPDLV�GHL[DP�GH�GL]HU�³PLQKD�FDVD´�� 0HOKRU�VHULD�TXH�GLVVHVVHP��³1RVVR�OLYUR��QRVVR�FRPHQWiULR��QRVVD�KLVWyULD�HWF�´��OHYDQGR�HP�FRQWD� TXH��HP�JHUDO��Ki�PXLWR�PDLV�GRV�RXWURV�GR�TXH�GH�VHX�HP�WXGR�LVVR��%��3DVFDO��2EUDV��$OIDJXDUD�� 0DGUL��������S�������� Uberlândia, março de 2005. ������������������������������������������������������������������������ Everaldo Ribeiro Franco Engenheiro e Ex-Professor Titular de Física da UFU � ��3$57(� 0HGLGDV�H�(UURV����������������������������������������������������������������������������������������������������� ���� 0HGLGD�GH�XPD�JUDQGH]D������������������������������������������������������������������������� ���� 2�FRQFHLWR�GH�HUUR������������������������������������������������������������������������������������ 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Desta forma, a observação de um fenômeno é incompleta quando dela não resultar uma informação quantitativa. Para se conseguir esse tipo de informação, é necessário medir uma propriedade física e, por isso, a medida constitui uma boa parte da rotina diária do físico experimental. William Thomson (/25'� .(/9,1, 1824-1907), dizia: “Tenho afirmado freqüentemente que quando se pode medir aquilo de que se está falando, e exprimir essa medida em números, então ficamos sabendo algo a seu respeito; mas quando não se pode exprimi-la em números, o conhecimento é limitado e insatisfatório. Ele pode ser o começo do conhecimento mas o pensamento terá avançado muito pouco para o estágio científico, qualquer que seja o assunto”. Ainda que esta afirmação possa parecer exagerada, principalmente para algumas áreas do conhecimento humano, ela exprime uma filosofia que um físico deve seguir durante todo o tempo que estiver fazendo pesquisas. Medir uma grandeza significa compará-la com outra da mesma espécie e verificar quantas vezes essa outra é menor ou maior do que ela. Assim, por exemplo, medir o comprimento, ��GH� uma haste, nada mais é do que verificar quantas vezes esse comprimento é maior (ou menor) do que um comprimento tomado para comparação (ou padrão). Suponhamos, para exemplificar, que o comprimento da haste considerada seja de 3 m. Isto significa que a haste contém 3 vezes o comprimento do metro padrão. Exprimiremos isto de uma maneira concisa, dizendo que o comprimento da haste é de 3 metros e escreveremos: � ���P� convencionando que a expressão 3 metros significa: 3 vezes o comprimento de 1 m. A porção de uma grandeza que é escolhida para termo de comparação das grandezas da sua espécie é chamada unidade de medida da grandeza. No caso acima, a unidade de comprimento escolhida foi o comprimento de 1 m. Observando a relação anterior, verificamos que a expressão completa de uma grandeza é constituída pelo produto de dois fatores: um deles é a unidade de medida da grandeza (no caso, m), e o outro é a medida relativa a essa unidade, ou seja, o número que exprime quantas vezes a grandeza medida contém a unidade utilizada (3, no caso acima considerado). As leis físicas são relações entre medidas das grandezas que caracterizam um fenômeno; são, pois, leis de naturezaexperimental que relacionam números resultantes de medidas Física Experimental – Mecânica 16 efetivamente realizadas em laboratório. Foi desta forma que Galileu chegou à lei fundamental da Mecânica, hoje conhecida como a 2ª lei do movimento de Newton-Galileu. A exatidão dessas leis está, porém, condicionada pela precisão das medidas das grandezas correspondentes ao fenômeno estudado e esta precisão depende de inúmeros fatores inerentes ao mundo físico onde ocorrem os fenômenos. Em última análise, a medição de uma grandeza física consiste em uma operação pela qual se efetua uma amostragem de todas as observações possíveis da grandeza, e esses resultados estão por isso sujeitos a variações ou flutuações decorrentes de inúmeros fatores resultantes de inevitáveis imperfeições nos dispositivos de medida ou de limitações impostas pelos nossos sentidos que devem registrar a informação. ����� 2�FRQFHLWR�GH�HUUR� Do que acabamos de expor, fica claro que todas as vezes que medimos uma grandeza cometemos um certo erro, isto é, não encontramos, em geral, o seu valor correto ou exato, mas sim apenas um valor aproximado. Este valor aproximado encontrado é chamado valor experimental da grandeza medida. Neste nosso curso estaremos interessados em apenas dois índices de erro, dos quais passamos a tratar a seguir. Antes, porém, desejo esclarecer que a teoria dos erros, devida quase totalmente a C. F. *$866 (1777-1855), físico e matemático alemão e um dos maiores gênios de todos os tempos, tem sua origem no cálculo das probabilidades, e não será objeto de nosso estudo aqui. O estudante interessado deverá consultar livros especializados no assunto. ������� (UUR�DEVROXWR� Um valor experimental de uma grandeza contém, geralmente, um certo erro, ou seja, existe geralmente uma discrepância entre o valor verdadeiro de uma grandeza e o valor experimental que é resultado de uma operação de medida. A discrepância entre o valor verdadeiro (ou teórico) e o valor experimental é geralmente indicada por meio de um índice de erro. Assim, chamamos erro absoluto de uma medida de uma grandeza, por convenção, à diferença entre o valor teórico (ou verdadeiro) da grandeza e o valor experimental que é obtido pela medida efetuada: Ea = Vv – Ve. Por exemplo: se o valor verdadeiro da distância entre dois pontos for de 1m, e encontrarmos, como resultado de uma medida, um valor de 0,999 m, o erro absoluto, Ea, da medida, será de 0,001 m. Medidas e Erros 17 É interessante observar, no entanto, que os valores verdadeiros não nos são, em geral, acessíveis, a não ser em raríssimos casos. Para compreender isto, é interessante contrastar esse conceito com o que ocorre na Matemática. Quando dizemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º (na geometria euclidiana) ou ainda que sen² � �� FRVð � � ��� HVWDPRV� enunciando valores e relações absolutamente exatos. Tais valores e relações referem-se a entes abstratos que só existem em nossas mentes e não dependem de quaisquer experiências para serem provados, o que não ocorre com as leis físicas. A exatidão absoluta das propriedades matemáticas é simples conseqüência de elas serem estabelecidas mediante soluções lógicas, feitas a partir de definições previamente convencionadas, e essas definições introduzem entes que não existem no universo físico. Ao contrário, as medidas físicas referem-se a propriedades do mundo físico que não gozam da vantagem de serem verdades eternas. As medidas físicas estão sujeitas a incertezas, não tendo sentido falar em valores exatos ou verdadeiros – a não ser que tais valores sejam fixados convencionalmente, isto é, por definição. Por exemplo, o índice de refração do vácuo é exatamente 1,000...; a permeabilidade magnética do vácuo é exatamente 4 .10-7 weber/ampère.metro; em ambos os casos trata-se de valores adotados e não medidos. Assim, é importante insistir que os valores verdadeiros das diversas grandezas não nos são, em geral, acessíveis, a não ser em raríssimos casos, como citado. Os valores experimentais das grandezas é que nos são, em geral, acessíveis. Só muito raramente o valor experimental de uma grandeza coincide com o seu valor verdadeiro, isto é, só muito raramente é nulo o erro absoluto de uma medida. Suponhamos, para exemplificar, que desejamos saber qual o intervalo de WHPSR�� W��TXH�XP�SODQDGRU�JDVWD�SDUD�SHUFRUUHU��XPD�FHUWD�GLVWância sobre um trilho de ar. Para isto nos utilizamos de um cronômetro e suponhamos que, efetuando cinco vezes a medida do LQWHUYDOR�GH�WHPSR� W�HQFRQWUDmos os seguintes valores: 1,972s; 1,987s; 1,926s; 1,994s; 1,932s. (YLGHQWHPHQWH� R� LQWHUYDOR� GH� WHPSR� W� Qão pode ser simultaneamente 1,972s; 1,987s; 1,926s; 1,994s; 1,932s. Ou é 1,972s, ou é 1,987s, ou é 1,926s, ou é 1,994s, ou é 1,932s, ou não é nenhum desses valores. Como nos decidirmos então? Qual o verdadeiro intervalo de tempo? A resposta à segunda pergunta é simples: jamais poderemos saber qual o verdadeiro intervalo de tempo. A primeira questão, isto é, como nos decidirmos quando o verdadeiro valor de uma grandeza nos for inacessível, foi resolvida por Gauss, através do 32678/$'2�'(�*$866. Assim, após algum tempo de pesquisas, Gauss adquiriu a convicção de que o valor mais provável que uma série de medidas nos permite atribuir a uma certa grandeza é a média aritmética dos valores individuais da série. Este valor convencionou-se ser o valor verdadeiro da medida. No caso anteriormente considerado, o valor mais provável do intervalo de tempo, de acordo com Gauss é: Física Experimental – Mecânica 18 W� �������������������������������������������V��RX�VHMD� W� ������V� Consideraremos então, por convenção, 1,962s o valor verdadeiro do intervalo de tempo. Devemos acrescentar, ainda, uma informação importante: na apresentação do valor mais provável, o último algarismo deve corresponder à mesma casa decimal dos valores medidos, devendo ser arredondado para cima caso o próximo algarismo seja superior ou igual a 5. Pode-se provar, em Estatística, que a média aritmética é o valor verdadeiro da medida sempre que o número de medidas seja muito grande – teoricamente deveria ser infinito. Mas, na prática, realiza-se apenas um número limitado de medidas, resultando, assim, apenas uma estimativa do valor verdadeiro, em que esta se aproxima tanto mais do valor verdadeiro quanto maior for o número de medidas. ������� (UUR�UHODWLYR� Suponhamos que a distância entre dois dados pontos de uma rodovia seja de 400 km (valor verdadeiro, por hipótese), que o comprimento de uma certa via pública seja de 4 km (valor verdadeiro, por hipótese), e que duas pessoas, A e B, foram encarregadas de medir esses comprimentos. Suponhamos mais: que a pessoa A encontrou, para a distância entre os dois pontos da rodovia, um valor de 399 km, enquanto a pessoa B encontrou para o comprimento da via pública um valor de 3 km. Poderíamos perguntar então: qual das duas pessoas cometeu maior erro? Ora, os erros absolutos cometidos pelas duas pessoas foram iguais (no caso, 1 km). Percebemos nitidamente, no entanto, que a importância do erro cometido pela pessoa A é muito menor que a do erro cometido pela pessoa B, isto é, sentimos claramente que a pessoa A cometeu um erro muito menos grave que a pessoa B, a despeito do fato de serem iguais os erros absolutos cometidos por uma e outra. E isto pela simples razão de que 1 km a mais ou a menos em 400 km faz uma diferença muito menos sensível do que 1 km a mais ou a menos em 4 km. Somos levados, então, muito naturalmente, a dar mais importância não ao erro absoluto de uma medida de uma grandeza, mas sim ao valor da razão entre esse erro e o valor verdadeiro da grandeza, chamado, por convenção, de erro relativo, isto é: Er = Ea/Vv. Assim, no presente caso, os erros relativos cometidos pelasduas pessoas são: A ⇒ Er = 1 km/400 km = 0,0025 B ⇒ Er = 1 km/4 km = 0,25, o que nos mostra que o erro cometido pela pessoa A foi 100 vezes menor que o cometido pela pessoa B. Medidas e Erros 19 Os erros relativos são geralmente expressos sob a forma de porcentagem, o que nos dois casos considerados nos leva a escrever: A ⇒ Er = 0,0025 ou 0,25% B ⇒ Er = 0,25 ou 25% . É fácil observar, então, que quanto menor for o erro relativo de uma medida de uma grandeza, mais próximo do seu valor verdadeiro estará o resultado encontrado, ou seja, mais precisa foi a medida realizada. Finalizando, desejamos alertar que o erro relativo é um número adimensional (por ser a razão de duas grandezas de mesma espécie); o erro absoluto tem as mesmas unidades (ou dimensões) da grandeza medida. E uma das razões de se medir a precisão pelo erro relativo é que isto permite comparar as precisões de grandezas de espécies diferentes, o que, evidentemente, não é possível utilizando o erro absoluto. ����� $OJDULVPRV�6LJQLILFDWLYRV� Sabemos, então, que uma medida de uma grandeza qualquer é geralmente aproximada, a aproximação sendo, em geral, função do operador e do instrumento utilizado. A grande parte das medidas físicas envolve leituras de escalas quando, evidentemente, o instrumento não for digital. Há óbvias limitações quanto à separação entre as linhas numa escala, sem falar no fato de que estas linhas não têm, por certo, espessura nula. Em cada caso, portanto, a determinação do algarismo final numa leitura terá que ser obtido por estimativa e, portanto, será, até certo ponto, incerto. Não obstante, este algarismo incerto é significativo no sentido de que ele dá informação utilizável sobre a quantidade que está sendo medida. Assim, a necessidade de se utilizarem instrumentos de medidas nos leva a conceituar o que chamamos de algarismos significativos de uma medida. Vejamos alguns exemplos. Utilizando-se uma régua centimetrada (dividida em centímetros), conforme ilustra a figura, podemos observar que o comprimento AB pode ser avaliado em 8,3 cm. Sendo o comprimento do segmento AB = 8,3 cm, temos os algarismos 8 e 3, onde o 8 é correto e o 3 é avaliado (ou estimado). Um segundo observador poderia considerar 8,2 cm ou 8,4 cm. Por este motivo denominamos o algarismo 3 (no caso da primeira leitura) de duvidoso. Física Experimental – Mecânica 20 Se utilizarmos uma régua comum (uma régua graduada até milímetros) para medir o mesmo segmento, podemos ter uma situação conforme ilustrado a seguir. Neste caso podemos avaliar seu comprimento como sendo AB = 8,26 cm. Os algarismos corretos são agora 8 e 2, pois sabemos que o comprimento é maior que 8,2 cm e menor que 8,3 cm, ao passo que o duvidoso é 6, uma vez que sua obtenção surgiu de uma avaliação do experimentador. Se utilizássemos um paquímetro, poderíamos obter, para a medida em foco, um valor de 8,271 cm, e um micrômetro nos permitiria obter um valor que poderia ser 8,2713 cm. Uma régua graduada em centímetros nos permitiu ler a grandeza com dois algarismos (um exato e um duvidoso); uma régua comum nos forneceu, para a mesma grandeza medida, três algarismos (dois exatos e um duvidoso ou estimado), etc. Um instrumento de maior precisão poderá medir uma mesma grandeza com um número maior de algarismos, ou seja, a precisão do valor de uma quantidade física é refletida no número de algarismos significativos usados na indicação do valor. Mas, estaríamos chegando ao verdadeiro valor da grandeza, ou apenas nos aproximando de seu valor mais provável? Com a segunda régua jamais poderíamos ler, digamos, 8,269 cm, pois no máximo poderíamos ler apenas até centésimos de centímetro (avaliando). Conseqüentemente, usando tal régua só poderíamos considerar representativos, ou seja, significativos, algarismos que exprimissem até centésimos de centímetro, no máximo. Escrever, como resultado de medidas efetuadas com tal régua, algarismos que representassem milésimos de centímetro, seria uma atitude totalmente desprovida de significado lógico. Estas considerações introduzem, de forma natural, o conceito de algarismos significativos de uma medida, entendendo ser aqueles algarismos que sabemos serem corretos e mais o primeiro duvidoso. Em Física só devemos escrever algarismos significativos. Por este motivo vamos nos deter um pouco mais na análise deste assunto. Suponhamos que um certo estudante determinou a massa de um objeto como sendo m = 0,02130 kg. Esta grandeza foi obtida com quatro algarismos significativos. Observe que o zero à direita é significativo (surgiu de uma avaliação) ao passo que os da esquerda não. Assim poderíamos escrever também: 2,130.10 ² kg; 21,30.10 ³ kg; 2,130.10 g; 21,30 g. Em todas estas formas apresentadas a medida continuou com quatro algarismos significativos. Qualquer Medidas e Erros 21 representação da mesma que altere o número de algarismos significativos é incorreta como, por exemplo, 2,13.10 ² kg. Neste caso o algarismo duvidoso agora é o 3, e a medida passou a ter três algarismos significativos. É importante notar que a localização do ponto decimal nada tem a ver com o número de algarismos significativos. Utilizando-se o conceito de algarismo significativo pode-se compreender que, fisicamente, 5 m/s não é idêntico a 5,0 m/s. Por fim desejo alertar o leitor para o fato de que, freqüentemente, o valor de uma grandeza não é obtido por medida direta da grandeza, mas sim por meio de operações sobre valores de outras grandezas. Foi nosso propósito não entrar no mérito das operações com algarismos significativos, bem como remeter a textos específicos a questão referente à propagação de erros. No entanto, considerando o conjunto das experiências aqui descritas e a aparelhagem existente em nosso laboratório, iremos adotar em todo este nosso curso o procedimento mais simples, que consiste em realizar todas as operações matemáticas sem tomar conhecimento do problema das operações com algarismos significativos, devendo o resultado final, após o arredondamento, ser apresentado com dois algarismos significativos após a vírgula. ����� 4XHVW}HV� 1. No exemplo citado no parágrafo 1.1, relativo ao comprimento da haste, falou-se em “medida da grandeza relativa à unidade escolhida”. Quer isto dizer que a medida de uma grandeza depende da unidade escolhida? Explique. 2. Podemos comparar a precisão de medidas de grandezas de espécies diferentes? Em caso afirmativo, que índice de erro devemos usar? ����� 3UREOHPDV� 1. Medindo-se várias vezes, com uma mesma régua e usando-se a mesma técnica, a distância d entre dois pontos fixos, A e B, encontraram-se os seguintes valores: 21,23 cm, 21,25 cm, 21,28 cm, 21,27 cm, 21,22 cm. Pede-se: a) quantos algarismos significativos há em cada medida?; b) em cada medida quais os algarismos que sabemos serem corretos?; c) qual a menor subdivisão da régua utilizada?; d) qual o valor mais provável que as medidas efetuadas nos permitem atribuir à distância d?; e) qual o erro absoluto de cada uma das medidas efetuadas?; f) qual o erro relativo percentual da terceira medida? 2. Medindo-se os ângulos agudos de um triângulo retângulo, encontraram-se os seguintes valores: = 58Û��¶� H� � � ��Û��¶�� 3HGH-se calcular o erro relativo percentual que essas medidas acarretam para a soma S = ��� � Física Experimental – Mecânica 22 3. Em um porta-aviões, os aviões, partindo do repouso, são impelidos por uma catapulta, alcançando uma velocidade de 100 km/h no final da pista de lançamento. Supondo ser de 10% o erro relativo cometido na medida de tal velocidade, pede-se calcular quais poderão ser os valores verdadeiros das velocidades dos aviões no final da pista de lançamento. 4. Um motorista viajando numa rodovia observa que o odômetro de seu automóvel assinala 5344km quando passa pelo marco quilométrico 398 km da rodovia. Minutos depois ele passa por outro marco que indica 448 km enquanto o odômetro registra 5392 km. Supondo que a marcação da estrada esteja correta, qual o erro relativo percentual que se comete quando se utiliza esse odômetro para medir distâncias? 5. Na construção de uma régua milimetrada, de 30 cm, houve um defeito na fabricação e ela apresenta apenas 29 cm. Qual o erro relativo que se comete na utilização desta régua? Um torneiro mecânico usando esta régua construiu um parafuso de 10 cm de comprimento. Qual o verdadeiro comprimento do parafuso? ����� %LEOLRJUDILD� � AXT, R. & GUIMARÃES, V.H.. )tVLFD� H[SHULPHQWDO� ,� H� ,,. Porto Alegre, Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1981. 91p. HENNIES, C.E. et alii. 3UREOHPDV�H[SHULPHQWDLV�HP�ItVLFD. Campinas, Editora da UNICAMP, 1986. v.1, 221p. MAIA, L.P.M.. ,QWURGXomR�j�ItVLFD. Rio de Janeiro, Nacionalista, 1961. 143p. MARTINS, N. et alii. )tVLFD� SDUD� D� XQLYHUVLGDGH�� DQiOLVH� GLPHQVLRQDO. São Paulo, Editora Pedagógica e Universitária, 1979. v.1, 133p. MORENO, M.Q.. ,QLFLDomR�j�DQiOLVH�GH�GDGRV�H[SHULPHQWDLV. Belo Horizonte, Universidade Federal de Minas Gerais, 1986. 97p. A Análise Dimensional 23 $�$QiOLVH�'LPHQVLRQDO� ����� ,QWURGXomR� O fim último da Física é o conhecimento do Universo em que vivemos. Para isto esta ciência procura descobrir as possíveis relações existentes (equações) entre as várias grandezas físicas, isto é, entre os vários parâmetros capazes de caracterizar os fenômenos observáveis no mundo físico; e as suas leis nada mais são do que as expressões dessas relações. As mais importantes dessas leis são quantitativas, isto é, podem ser expressas por fórmulas contendo símbolos representativos das medidas das grandezas consideradas. Muitas dessas equações são conhecidas, enquanto que outras ainda não o são. Por exemplo, o aluno pode se recordar da expressão que fornece a força centrípeta que mantém uma partícula de massa m, e velocidade escalar v, em trajetória circular, de raio R; no entanto, julgamos nós, ele já esqueceu, ou não estudou em seu curso pré-universitário, a expressão que fornece a velocidade de escape – velocidade mínima necessária para que um corpo lançado de um planeta não mais volte a ele. A $QiOLVH� 'LPHQVLRQDO é desenvolvida a partir do estabelecimento do conceito de dimensão de uma grandeza. E um dos muitos objetivos desse assunto, de particular interesse na engenharia moderna, em que os problemas são às vezes tão complexos que os métodos da Matemática Clássica são totalmente impotentes para resolvê-los, é o da previsão de fórmulas físicas. Tal previsão, feita pela Análise Dimensional, se baseia no “SULQFtSLR�GD�KRPRJHQHLGDGH GLPHQVLRQDO” e num importantíssimo teorema, conhecido como “WHRUHPD�GH�%ULGJPDQ”. Antes, porém, devemos definir o que é um VtPEROR�GLPHQVLRQDO. ����� 2V�6tPERORV�'LPHQVLRQDLV� Há tantas grandezas físicas que difícil se torna organizá-las. Elas não são, entretanto, independentes uma das outras. Por exemplo, a energia cinética de uma partícula é igual ao semiproduto da massa pelo quadrado da velocidade da partícula. O que fazemos é selecionar, entre todas as grandezas físicas possíveis, um número pequeno delas que chamamos fundamentais, sendo todas as demais grandezas derivadas delas. Surgem, em conseqüência, duas perguntas: (a) quantas grandezas fundamentais deveriam ser selecionadas?; (b) Quais seriam? A resposta é simples e lógica: deveremos selecionar o menor número de grandezas físicas que conduzirá a uma descrição completa da Física nos termos mais simples. Muitas escolhas são possíveis. Em um dado sistema, por exemplo, força é uma grandeza fundamental. No sistema que vamos adotar, é uma grandeza derivada. Física Experimental – Mecânica 24 Para ficar somente na área da Mecânica, a escolha de apenas três grandezas fundamentais são suficientes para que possamos expressar todas as outras grandezas pertencentes a esse campo da Física. A 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas (1971), estruturada no trabalho de conferências e comitês internacionais precedentes, selecionou como grandezas fundamentais o comprimento, a massa e o tempo. Esta é a base do Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, do francês “Le Système International d’Unités”. Desta forma, os símbolos dimensionais – que dão uma idéia da dimensão da grandeza – usados em Mecânica são representados usualmente por L, M e T, respectivamente, isto é, usa-se pôr: [ s ] = L, [ m ] = M, [ t ] = T, em que por s, m e t estamos representando, respectivamente, as grandezas comprimento, massa e tempo. Assim, a velocidade, que é uma grandeza derivada, tem por símbolo dimensional LT-1, isto é: [ v ] = LT-1 . A força escrita em símbolos dimensionais é: [ F ] = LMTز, pois, força = massa x aceleração. ����� 2�3ULQFtSLR�GD�+RPRJHQHLGDGH�'LPHQVLRQDO� As equações da Física exprimem relações existentes entre um certo número de grandezas. Representam, portanto, igualdades nas quais os dois lados da equação devem ter as mesmas dimensões, isto é, devem ser de mesmo grau em relação aos símbolos dimensionais. Ou seja: as equações físicas verdadeiras devem ser homogêneas em relação aos símbolos dimensionais. Esta condição, necessária a toda e qualquer equação da Física, fornece-nos um critério cômodo e seguro para reconhecer, de partida, se uma determinada equação é falsa ou se pode ser verdadeira. Tal critério, que é denominado “princípio da homogeneidade dimensional” é o seguinte: “Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea”. Note-se que esse princípio fornece-nos apenas uma condição necessária, mas não suficiente para a legitimidade de uma equação física, isto é, uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea, mas nem toda equação dimensionalmente homogênea é obrigatoriamente verdadeira fisicamente. Assim, em qualquer equação física autêntica as dimensões de todos os termos devem ser as mesmas. Para exemplificar, citemos um fato comum entre os alunos. Sabemos que o volume de um cilindro reto de altura h e raio de base r é dado por V = r²h, uma igualdade dimensionalmente homogênea. No entanto, é comum estudantes apresentarem em seus relatórios que o volume do A Análise Dimensional 25 cilindro é V = 2 rh, uma equação dimensionalmente não homogênea. Por outro lado, se o estudante escrevesse, para tal volume, V = rh², podemos notar que a equação é dimensionalmente homogênea, mas não verdadeira. Portanto, uma das maneiras de verificar se uma equação apresenta erro, é examinar as dimensões de cada um de seus termos. ����� $�'LPHQVLRQDO�GH�XP�1~PHUR�5HDO� Algumas equações da Física apresentam constantes puramente numéricas, enquanto que outras têm constantes universais mas que possuem unidades, isto é, possuem dimensão. Assim, a expressão da energia cinética de uma partícula de massa m, animada de velocidade escalar v, é K = (1/2)mv². Neste caso 1/2 é um fator puramente numérico, como se pode comprovar aplicando o princípio da homogeneidade dimensional. Já a lei de Newton da gravitação universal mostra-nos que G – constante gravitacional – possui dimensão. Sugerimos que o leitor determine e verifique o seu símbolo dimensional. Nestas condições, embora exista uma demonstração a respeito, deve-se ter concluído que o símbolo dimensional de um fator puramente numérico (um número puro ou um número adimensional, como se costuma chamar) é igual a um, isto é, [fator puramente numérico] = LÛ�0Û�7Û�� = 1. ����� 2�7HRUHPD�GH�%ULGJPDQ� Enfatizamos, anteriormente, que uma das possibilidades da Análise Dimensional é a previsão de fórmulas físicas. Consegue-se, mediante simples considerações dimensionais, determinar o aspecto geralda expressão de uma lei física, isto é, determinar com que dimensões irão aparecer, nessa expressão, as diversas grandezas que influem no fenômeno em estudo. No entanto, o pesquisador que procura prever a fórmula de um fenômeno deve conhecer, a priori, as diversas grandezas que influem nele, pois o processo para a previsão de fórmulas baseia-se no princípio da homogeneidade das leis físicas. O processo geral para a previsão consiste em estabelecer a igualdade entre as dimensões das grandezas correspondentes dos dois membros da expressão procurada. Chega-se, assim, a um sistema de equações, que resolvido dá as dimensões que se quer determinar. A equação matemática que relaciona as diversas grandezas envolvidas no fenômeno é fornecida pelo seguinte teorema, conhecido como teorema de Bridgman, que, como já dissemos, é fundamental para a Análise Dimensional. Tal teorema afirma: “Uma qualquer grandeza física pode sempre ser posta, a menos de um fator puramente numérico, sob a forma de produto de potências de grandezas das quais a considerada dependa, isto é, se a grandeza G depende das grandezas A, B, C,..., pode-se sempre escrever que”: Física Experimental – Mecânica 26 G =K. Aa Bb Cc... onde K, a, b, c, ... são números puros”. Admitiremos este teorema, neste nosso curso, sem demonstração, uma vez que a mesma está acima do escopo e do objetivo proposto. Para finalizar, duas observações se fazem necessárias: 1ª) a previsão de fórmulas físicas através da Análise Dimensional só é possível, como já enfatizado, quando sabemos de quais grandezas a grandeza procurada depende. Desse modo a Análise Dimensional é inoperante quando não são conhecidas as relações qualitativas existentes entre as grandezas relativas a um determinado problema, isto é, quando não se sabe de quais grandezas uma determinada grandeza depende. Por este motivo a Análise Dimensional deve ser usada, na tecnologia, juntamente com a experimentação, pois que só a experiência pode indicar, de maneira simples, quais os fatores que têm influência sobre um determinado fenômeno. Tal fato está, na realidade, ligado ao conceito de função, onde a palavra função é empregada aqui em sua acepção científica, isto é, no sentido de Dirichlet-Moore: correspondência unívoca; 2ª) a Análise Dimensional não admite coeficientes numéricos; isto faz com que, em geral, não seja possível determinar completamente a lei física de um fenômeno qualquer, pois nela poderá figurar um coeficiente puramente numérico. A determinação desse coeficiente deverá ser feita experimentalmente. ([HPSOR� Prever, usando Análise Dimensional, uma expressão que permita calcular a força centrípeta atuante sobre uma partícula de massa m, que descreve, com uma velocidade escalar v, uma curva de raio R, sabendo-se experimentalmente que a força centrípeta, F, depende apenas de m, v e R e que é igual a 1 o fator adimensional que figura na relação de dependência procurada. De acordo com os dados fornecidos no enunciado do problema, temos pelo teorema de Bridgman: F = f (m; v; R) ⇒ F = K. ma.vb.Rc onde K é um fator puramente numérico e a, b e c são os expoentes a serem determinados. Passando-se os símbolos dimensionais na equação precedente e de acordo com o princípio da homogeneidade dimensional, vem que: [F] = [m]a. [v]b. [R]c donde, tendo-se os símbolos dimensionais das grandezas envolvidas e que são: [F] = LMT-2, [K] = 1, [m] = M, [v] = LT-1, [R] = L, vem que: A Análise Dimensional 27 LMT-2 = Ma.(LT-1)b.Lc = Lb+c.Ma.T-b , donde resulta: b + c = 1; a = 1; -b = -2, que fornece: a = 1, b = 2, c = -1. Levando-se para a equação procurada estes valores dos expoentes encontrados, vem que: F = K.m.v².RØ1, e sabendo-se que K = 1, resulta a equação já conhecida: F = mv²/R. ����� 3UREOHPDV� 1. A velocidade mínima necessária para que um corpo lançado de um dos pólos da Terra não volte mais a esta é de aproximadamente 11,2 km/s (considerando-se desprezível a resistência do ar), velocidade esta chamada velocidade de escape. Determine a expressão desta velocidade, sabendo-se que ela depende apenas da constante G da gravitação universal e da massa, M, e do raio, R, da Terra. 2. A potência P de uma hélice de avião depende da densidade absoluta � GR� DU�� GD� YHORFLGDGH� DQJXODU� � H� GR� UDLR� U� GD� Kélice. Determine a equação que dá a potência em função das grandezas das quais depende. 3. A velocidade com a qual uma onda transversal se propaga num fio de massa específica OLQHDU� �� VXEPHWLGR� D� XPD� WUDção uniforme T, depende apenas de � H� 7�� &DOFXOH� D� velocidade com a qual uma onda transversal se propagará num fio metálico submetido a uma tração uniforme de 9,0 kgf, sabendo-se que o fio tem 50 cm de comprimento e 0,050 kg de massa. Sabe-se mais: que o fator adimensional que figura na relação de dependência da velocidade da onda em função de �H�7�YDOH��� 4. Calcule a velocidade v coma qual uma onda longitudinal se propaga num meio elástico, contínuo, cuja massa específica vale � H� FXMR�Pódulo de Young vale E. Sabe-se que v GHSHQGH�DSHQDV�GH� �H�(�H�TXH�R�IDWRU�DGLPHQVLRQDO�WHP�YDORU�LJXDO�D��� 5. A altura h que um líquido, num tubo capilar, alcança acima do nível livre fora do tubo é inversamente proporcional ao diâmetro d do tubo. Explique como h depende da tensão VXSHUILFLDO� �GR�Oíquido, da sua massa específica �H�GD�DFHOHUDção da gravidade g no local onde esteja situado o tubo. 6. O tempo de contato entre duas esferas idênticas, parcialmente elásticas, ao se chocarem centralmente, é diretamente proporcional ao raio R das esferas e inversamente proporcional à raiz quinta da velocidade relativa v de aproximação das esferas. Calcule como o tempo de contato, t, depende também do módulo de Young E e da massa específica �GR�PDWHULDO�GDV�HVIHUDV��VDEHQGR-VH�TXH�W�GHSHQGH�DSHQDV�GH�5��Y��(�H� � Física Experimental – Mecânica 28 7. Kepler, apoiado em observações do astrônomo Tycho Brahe, de quem ele havia sido colaborador, encontrou que os quadrados dos períodos, T1 e T2, de revolução de dois planetas em torno do Sol estão entre si como uma certa potência, n, da razão entre os comprimentos, a1 e a2, dos semi-eixos maiores das elipses que eles descrevem em torno do Sol, isto é, encontrou que: T1²/T2² = (a1/a2) ��6DEHQGR-se que o período de revolução de um planeta em torno do Sol depende apenas da massa M do Sol, da constante G da gravitação universal e do comprimento a do semi-eixo maior da órbita do planeta, calcule o valor de n que satisfaça a equação acima, equação essa que traduz matematicamente a 3ª lei de Kepler. ����� %LEOLRJUDILD� � AXT, R. & GUIMARÃES, V.H.. )tVLFD� H[SHULPHQWDO� ,� H� ,,. Porto Alegre, Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1981. 91p. HENNIES, C.E. et alii. 3UREOHPDV�H[SHULPHQWDLV�HP�ItVLFD. Campinas, Editora da UNICAMP, 1986. v.1, 221p. MAIA, L.P.M.. ,QWURGXomR�j�ItVLFD. Rio de Janeiro, Nacionalista, 1961. 143p. MARTINS, N. et alii. )tVLFD� SDUD� D� XQLYHUVLGDGH�� DQiOLVH� GLPHQVLRQDO. São Paulo, Editora Pedagógica e Universitária, 1979. v.1, 133p. Gráficos 29 *UiILFRV� ����� ,QWURGXomR� Como sabemos, as leis físicas expressam relações entre quantidades físicas. Estas relações podem ser apresentadas de várias maneiras: I. em palavras, através de um enunciado; II. em símbolos, por meio de uma equação; III. pictoricamente, através de um gráfico. A escolha dependerá do uso que se quer fazer da informação. Por exemplo, se queremos fazer cálculos, então uma equação é o meio de expressão mais conveniente. A representação gráfica, que constitui o objetivo desta unidade, é um dos recursos mais valiosos para a análise de dados experimentais, ou, em outras palavras, soluções gráficas são particularmente usadas quando o fenômeno estudado vem definido por dadosexperimentais; daí sua ampla utilização em Física. Assim, recorre-se aos gráficos seja para verificar se uma determinada lei física é válida em condições especificadas, seja para estabelecer a lei física que porventura relacione certas grandezas, seja ainda para calcular o valor de constantes físicas. De maneira geral, no estudo de qualquer fenômeno, os cientistas devem lançar mãos de gráficos e equações para relacionar as grandezas ligadas ao fenômeno. Por isto mesmo, nesta unidade, vamos estudar alguns aspectos importantes dos gráficos que serão usados, ao longo do curso, para descrever fenômenos não só da Física mas também de outras ciências. ����� &RQVWUXomR�GH�*UiILFRV� Um gráfico serve para mostrar a conexão entre duas quantidades variáveis, sendo uma representação diagramática do modo como uma varia em função da outra. Para representar graficamente a relação entre duas variáveis, costuma-se observar algumas regras práticas tradicionalmente adotadas, a seguir descritas: a. Todo gráfico deve ser construído a partir de dados adequadamente tabulados. A tabela deve conter os símbolos das grandezas envolvidas e suas respectivas unidades de medida e, a seguir, os valores das variáveis medidas. b. No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente, isto é, a variável cujos valores são escolhidos pelo experimentador; no eixo vertical (ordenada) é lançada a variável dependente, isto é, aquela obtida em função da primeira. Física Experimental – Mecânica 30 c. Para lançar os pares de pontos, precisamos adotar uma escala que não necessita ser igual para os dois eixos, pois representam grandezas diferentes, mas que deverá estar de acordo com os algarismos significativos dos dados e escolhida de maneira que o gráfico ocupe todo o papel e não fique restrito a um canto. A escala deve ser simples. Adotam-se valores múltiplos ou submúltiplos de números inteiros (0,1; 0,2; 0,3;...; 1; 2; 3; ...; 10; 20; 30; ...). Quando for necessário ressaltar algum ponto, deve-se fazê-lo de maneira clara. Finalmente, se os valores a representar forem muito grandes ou muito pequenos, convém escrevê-los usando potências de 10 que devem ser lançadas junto com a unidade de medida correspondente. d. O traçado da curva deve ser suave e contínuo, adaptando-se da melhor maneira aos dados experimentais a menos que não se trate de uma função contínua. Unir pontos experimentais com traços retos, dois a dois, implica em que a relação entre as duas grandezas tenha uma forma quebrada, o que, exceto em circunstâncias especiais, é pouco provável ocorrer. e. Cada ponto deve ser claramente identificado por símbolos, tais como um ponto (�), um quadrado ( ), um círculo( ���XP�WULkQJXOR�� ���Às vezes, em um mesmo sistema de eixos são traçados dois ou mais gráficos a fim de permitir comparar o comportamento de um sistema em diferentes circunstâncias. É conveniente, nesses casos, identificar os pontos de cada gráfico com símbolos diferentes, indicando em uma legenda o significado de cada um. f. Efetuado o traçado do gráfico, deve-se indicar o fenômeno representado, dando-lhe um título objetivo e claro. A título de ilustração, mostramos um gráfico do trabalho realizado pela força resultante sobre três carrinhos de massas diferentes em função do quadrado da velocidade de cada carrinho, onde os dados foram obtidos experimentalmente com um trilho de ar. Gráficos 31 ����� /LQHDUL]DomR�GH�XPD�)XQomR� É importantíssimo acrescentar que somente quando o gráfico de uma lei física é retilíneo podem ser obtidos dados quantitativos sobre ela, tais como os valores de constantes que figuram na lei física do fenômeno. Como nem todas as leis físicas são lineares, o problema então é como lançar os dados experimentais no gráfico para obter uma linha reta. No gráfico anterior, que é linear, observe que está representado o trabalho em função do quadrado da velocidade dos carrinhos. Se tivéssemos representado o trabalho em função da velocidade de cada carrinho, o gráfico seria uma parábola, como se mostra a seguir, e, neste caso, pouca ou nenhuma utilidade teria esse gráfico em laboratório. Os gráficos curvilíneos quase sempre têm apenas o propósito de ilustrar o comportamento de um sistema físico, isto é, esses gráficos descrevem visualmente as propriedades do sistema estudado mas não permitem extrair informações quantitativas. Geralmente são desse tipo os gráficos que figuram nos livros didáticos de Física. Como afirmamos, nem sempre a lei física de um dado fenômeno é linear; entretanto, é sempre possível transformar, mediante simples artifícios de cálculo, expressões não lineares em lineares. E como os gráficos retilíneos são os que permitem obter informações quantitativas, freqüentemente, é necessário fazer uma transformação matemática na expressão de uma lei física e reagrupar convenientemente os dados experimentais, a fim de que o gráfico correspondente seja retilíneo. A este processo chamamos de linearização. Como não existe um método geral, aplicável a todos os casos, cada um deve ser examinado individualmente, para se conseguir a transformação adequada. O fato é que devemos sempre proceder a uma transformação na função para que ela tome exatamente o aspecto de uma reta, isto é, fique da forma y = a + bx. Por exemplo, seja a função x.y = c, que representa a dependência entre as variáveis x e y, sendo o gráfico cartesiano de y versus x equivalente a uma Física Experimental – Mecânica 32 hipérbole. Se fizermos x = 1/z, então teremos transformado uma hipérbole numa reta que passa pela origem, pois teremos obtido a equação linear y = cz. ����� 5HJUHVVmR�/LQHDU�6LPSOHV� Para que o gráfico representativo de um dado fenômeno seja retilíneo, como já explicado, freqüentemente é preciso reagrupar as variáveis a serem representadas nos eixos cartesianos. Uma vez linearizada a função temos então a garantia de que os pontos, devidamente transformados pela linearização, pertencem a uma reta. No entanto, como os valores medidos acham-se afetados por erros, os pontos não estarão nunca exatamente alinhados, o que nos leva à procura da “melhor reta” que represente esses pontos. O procedimento consagrado para se encontrar a “melhor reta” é uma combinação de análise gráfica e análise numérica, denominada regressão linear, e se baseia no método dos mínimos quadrados. Quando apenas duas variáveis estiverem envolvidas, uma independente e outra dependente, ter-se-á o caso de regressão simples. Se duas ou mais variáveis independentes e uma dependente estiverem envolvidas, ter-se-á uma regressão múltipla. Trataremos, aqui, somente do primeiro caso. Sejam, então, duas grandezas tais que a variação do valor de uma delas acarreta a do valor da outra. Assim, depois de obtidos n valores experimentais das grandezas e realizadas as devidas transformações necessárias à linearização, temos, portanto, uma representação gráfica que é uma função linear da forma y = a + bx, onde a e b são as constantes, a serem encontradas, da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais. No caso da regressão linear simples, demonstra-se em Estatística, pelo método dos mínimos quadrados, que a equação da “melhor reta” será determinada pela resolução do sistema de equações: \� �QD���E[ [\� �D[���E[² , que nos permitirá determinar o coeficiente linear, a, e o coeficiente angular, b, da reta de regressão linear, y = a + bx, que é a reta que melhor se ajusta aos pontos. Aqui, n representa o número de pares de pontos obtidos experimentalmente. Por fim, é importante salientar que uma das grandes vantagens do método da regressão linear é que o traçado da “melhor reta” passa a ser um processo inteiramente objetivo, dispensando o julgamento visual de melhor ajustamento aos pontos experimentais. � Gráficos 33([HPSOR��� Os valores da tabela correspondem a um exemplo experimental, no qual um planador desloca-se com aceleração constante sobre um trilho retilíneo, partindo da origem do referencial com velocidade inicial nula. Para o estudo da lei posição-tempo, s = f(t), medem-se os tempos gastos pelo planador para atingir diferentes posições. s(m) t(s) 0,2 1,671 0,3 2,050 0,4 2,352 0,5 2,626 0,6 2,868 0,7 3,100 Lançando-se estes dados em um gráfico da posição em função do tempo teremos uma parábola, pois para um movimento de aceleração constante a equação correspondente é da forma s = so + vot + t²/2, onde no caso presente so = 0 e vo = 0. Para linearizar a função anterior, basta fazer t² = u, resultando assim a função s = ( /2)u, uma reta que passa pela origem e de inclinação igual a /2. É o que nos mostra o gráfico de s contra t². Física Experimental – Mecânica 34 Deste último gráfico podemos obter a aceleração do planador pela inclinação da reta, ou VHMD��WHUHPRV��WJ � � /2, que dá aproximadamente ≈ 0,15 m/s². Este mesmo resultado poderá ser obtido por regressão linear, onde: y = s, x = t², a = 0 e b = /2. A tabela a seguir ajudará nos cálculos de a e b da reta de regressão linear. y x xy x² 0,2 2,792 0,558 7,795 0,3 4,203 1,261 17,665 0,4 5,532 2,213 30,603 0,5 6,896 3,448 47,555 0,6 8,225 4,935 67,651 0,7 9,610 6,727 92,352 2,7 37,258 19,142 263,621 Aplicando-se as equações para determinação de a e b, teremos: 2,7 = 6a + 37,258b 19,142 = 37,258a + 263,621b, que, resolvidas, dão: a = - 0,0073 ≈ 0 (um resultado esperado) e b = 7,36.10-2. Assim a aceleração do movimento é: /2 = 7,36.10-2 ⇒ ≈ 0,15 m/s². � Gráficos 35 ([HPSOR��� Resolver o mesmo problema anterior admitindo que a função s = f(t) seja da forma s = k.t �� Para linearizar essa função devemos tomar logaritmos: log s = log k + n log t, e fazer y = log s e x = log t. Teremos então uma reta cuja inclinação é n (o valor do expoente) e como coeficiente linear, log k. A tabela a seguir ajudará nos cálculos de a e b da reta de regressão linear, onde a = log k e b = n. s(m) t(s) x = log t y = log s 0,2 1,671 0,22298 -0,69897 0,3 2,050 0,31175 -0,52288 0,4 2,352 0,37144 -0,39794 0,5 2,626 0,41929 -0,30103 0,6 2,868 0,45758 -0,22185 0,7 3,100 0,49136 -0,15490 Resolvendo-se de forma semelhante ao exercício anterior, encontramos (a complementação da tabela deixamos a cargo do leitor): a = -1,15 e b = 2,03. Deste modo obteremos: -1,15 = log k ⇒ k = 7,08.10 ², que fornece uma aceleração de 2x7,08.10 ² ≈ 0,14 m/s², bem próxima àquela calculada no exemplo anterior. Como o valor de b dá o expoente da função, vem que o seu valor a partir dos dados experimentais é 2,03, com um erro absoluto de 0,03 (o seu valor verdadeiro é 2). ����� 3UREOHPDV� 1. A equação dos focos conjugados, que exprime a relação entre as distâncias imagem e objeto (p' e p) de uma lente esférica delgada com a respectiva distância focal f, é: 1/f = 1/p + 1/p'. Como devemos transformar as variáveis para se obter uma reta? Qual a inclinação da reta? E o seu coeficiente linear? 2. A tabela mostra o acréscimo �QR�FRPSULPHQWR�GH�XP�ILR�GH�Dço em função da variação �GD�WHPSHUDWXUD��2�FRPSULPHQWR�LQLFLDO�GR�ILR�é o = 1 m. Física Experimental – Mecânica 36 �PP� �ºC) 0,20 18 0,35 32 0,50 44 0,75 68 1,00 90 Determine, por regressão linear, o coeficiente de dilatação linear do material. Construa um gráfico de �FRQWUD� �H�REWHQKD�GR�PHVPR�R�FRHILFLHQWH� . 3. Uma experiência muito simples, cujo resultado revela um decaimento exponencial de temperatura, consiste em aquecer água alguns graus acima da temperatura ambiente e, após colocá-la num recipiente fechado, controlar como sua temperatura decresce em função do tempo. A tabela a seguir mostra dados desse experimento, sendo � D� temperatura da água. Durante a coleta dos dados a temperatura ambiente permaneceu constante. t(min) (ÛC) 0 35,2 10 33,1 20 31,5 30 30,0 40 28,8 50 27,6 60 26,0 Trace um gráfico da temperatura em função do tempo, e outro do Q� � HP� IXQção do tempo. Em seguida, aplique a regressão linear e encontre a função � �I�W�� 4. A tabela registra o período de oscilação, T, de um corpo de massa m suspenso de uma mola helicoidal que vibra verticalmente. A equação que relaciona T e m é: __________ T = 2 ¥��P���0����N��� sendo M a massa da mola e k uma constante. Gráficos 37 m(kg) 0,1910 0,2395 0,2880 0,3365 0,3850 0,4335 T(s) 0,731 0,816 0,892 0,964 1,030 1,090 Aplicando regressão linear, encontre a constante k e a massa M da mola. 5. Em uma lente convexa, a distância do objeto ao primeiro foco, x, e a distância da imagem ao segundo foco, y, estão relacionadas pela equação x.y = f², sendo f a distância focal da lente. Em uma experiência foram obtidos os dados seguintes: x(mm) 61 114 145 162 200 y(mm) 236 126 99 89 72 A partir dos dados construa um gráfico que permita encontrar o valor da distância focal f da lente. Aplique a regressão linear e obtenha f. ����� %LEOLRJUDILD� � AXT, R. & GUIMARÃES, V.H.. )tVLFD� H[SHULPHQWDO� ,� H� ,,. Porto Alegre, Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1981. 91p. HENNIES, C.E. et alii. 3UREOHPDV�H[SHULPHQWDLV�HP�ItVLFD. Campinas, Editora da UNICAMP, 1986. v.1, 221p. MORENO, M.Q.. ,QLFLDomR�j�DQiOLVH�GH�GDGRV�H[SHULPHQWDLV. Belo Horizonte, Universidade Federal de Minas Gerais, 1986. 97p. ��3$57(� � 'HVFULomR�GDV�([SHULrQFLDV� *DOLOHX�p�FRQVLGHUDGR�DWXDOPHQWH�R�3DL�GD�&LrQFLD�0RGHUQD��QmR�DSHQDV�SHOR�YDORU�LQWUtQVHFR�GDV� VXDV�FRQWULEXLo}HV��PDV�WDPEpP��H�SULQFLSDOPHQWH��SHOR�PpWRGR�SRU�HOH�LQWURGX]LGR�QD�SHVTXLVD� FLHQWtILFD��R�PpWRGR�H[SHULPHQWDO��1mR�TXHUHPRV�FRP�LVVR�GL]HU�TXH�DQWHV�GH�*DOLOHX�QmR�VH� IL]HVVHP�H[SHULPHQWDo}HV�QD�SHVTXLVD�GD�1DWXUH]D��2�TXH�GLVWLQJXLX�R�PpWRGR�H[SHULPHQWDO�GH� *DOLOHX�IRL�D�VXD�PHQWDOLGDGH�LQWHLUDPHQWH�QRYD��ID]HQGR�D�H[SHULPHQWDomR�VXEVWLWXLU�R�SULQFtSLR�GD� DXWRULGDGH��H�WDPEpP�D�IRUPD�SRU�HOH�DGRWDGD�QD�LQWHUSUHWDomR�GRV�GDGRV�IRUQHFLGRV�SHOD� H[SHULrQFLD��D�IRUPD�VLPSOLILFDGRUD�GR�UDFLRFtQLR�PDWHPiWLFR��$OLiV��*DOLOHX�HUD�XP�DSDL[RQDGR�GD� DSOLFDomR�GD�0DWHPiWLFD�DR�HVWXGR�GD�1DWXUH]D��1XP�GRV�VHXV�OLYURV�PDLV�IDPRVRV��,O�6DJJLDWRUH�� 5RPD��������HOH�GHFODUD�H[SOLFLWDPHQWH�� ³2�OLYUR�GD�1DWXUH]D�p�HVFULWR�HP�OLQJXDJHP�PDWHPiWLFD��RV�VHXV�FDUDFWHUHV�VHQGR�WULkQJXORV�� FtUFXORV�H�RXWUDV�ILJXUDV�JHRPpWULFDV��VHP�WDLV�PHLRV�p�KXPDQDPHQWH�LPSRVVtYHO�HQWHQGHU�VH�XPD� SDODYUD��p�XP�GHEDWHU�VH�LQXWLOPHQWH�QXP�ODELULQWR�HVFXUR´�� BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB� � $V�H[SHULrQFLDV�DTXL�GHVFULWDV�RIHUHFHP�D�YDQWDJHP�GH�IXQFLRQDU�FRP�HTXLSDPHQWR�SRXFR� GLYHUVLILFDGR��VLPSOHV��GH�IiFLO�RSHUDomR�H�FDSD]�GH�DVVHJXUDU�PHGLGDV�UiSLGDV�H�SUHFLVDV�� $SDUHOKRV�VRILVWLFDGRV�RFXOWDP��HP�JHUDO��D�VLPSOLFLGDGH�GD�TXHVWmR�LQYHVWLJDGD��HQTXDQWR�TXH� DSDUHOKRV�PDLV�VLPSOHV�IDYRUHFHP�D�REVHUYDomR�GRV�SULQFtSLRV�GH�)tVLFD��$�ULJRU��JUDQGH�SDUWH�GR� HTXLSDPHQWR�TXH�VHUi�XWLOL]DGR�IRL�SURGX]LGR�QDV�RILFLQDV�H�ODERUDWyULRV�GD�8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO� GH�8EHUOkQGLD�� � $�GHVFULomR�GRV�WUDEDOKRV�GHVWD�SDUWH�GHYHUi�VHU�IHLWD�DWUDYpV�GH�UHODWyULRV��'DGRV��FiOFXORV�H� JUiILFRV�FRQVWLWXHP�R�FRUSR�GR�UHODWyULR��2V�PHVPRV�GHYHUmR��WDPEpP��WHU�XP�WtWXOR��XPD� LQWURGXomR�FRP�GHVWDTXH�SDUD�R�LQWHUHVVH�ItVLFR�GR�SUREOHPD��H�XPD�GHVFULomR�GR�SURFHGLPHQWR� H[SHULPHQWDO�DGRWDGR��$OpP�GLVWR��DV�UHVSRVWDV�jV�TXHVW}HV�SURSRVWDV�H�XPD�GLVFXVVmR�GRV� UHVXOWDGRV��LQFOXLQGR�XPD�HVWLPDWLYD�GR�HUUR�H�FRPHQWiULRV�DGLFLRQDLV�UHOHYDQWHV��p�IXQGDPHQWDO�� � 3RU�ILP��DFUHVFHQWR�TXH�WRGDV�DV�H[SHULrQFLDV�IRUDP�WHVWDGDV�DQWHV�GH�VHUHP�SURSRVWDV�DR�DOXQR�� H�RV�UHVXOWDGRV�REWLGRV�VmR�GH�H[FHOHQWH�SUHFLVmR��O Pêndulo Simples 41 2�3rQGXOR�6LPSOHV� ����� ,QWURGXomR� Teoricamente um SrQGXOR� VLPSOHV� é um sistema ideal que consiste de uma massa puntiforme suspensa por um fio leve e inextensível. Em termos práticos pode ser considerado como uma massa suspensa por um fio preso em um ponto fixo. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e largado, o pêndulo oscilará em um plano vertical executando um tipo de movimento denominado de PRYLPHQWR�KDUP{QLFR�VLPSOHV (0�+�6�). Se o ângulo máximo de afastamento for SHTXHQR� �DPSOLWXGH� ���º), o pêndulo executará um movimento cujo período T independe de �� dependendo apenas do comprimento �GR�Sêndulo e da aceleração da gravidade local g. ����� 3URFHGLPHQWR� Sabe-se que o comprimento �GH�XP�Sêndulo simples não coincide com o comprimento do fio, sendo, na realidade, a distância do ponto de suspensão até o centro de gravidade da massa pendular. Como, em geral, a posição exata do centro de gravidade do pêndulo é desconhecida, torna-se impossível medir �GLUHWDPHQWH��0DV�LVWR�SRGH�VHU�FRQWRUQDGR�ID]HQGR-se uma marca no fio um pouco acima da massa pendular, de modo a dividir o comprimento �HP�GXDV�SDUWHV��XPD�GR� centro de gravidade até a marca (distância c), e outra da marca até o ponto de suspensão (distância p). Assim teremos que � �S���F��VHQGR�SRVVtYHO�PHGLU�S�GLUHWDPHQWH� Nesta experiência determinaremos o valor da constante adimensional, K, da equação do período do pêndulo simples, e a posição do centro de gravidade do pêndulo (distância c). Para tal devemos construir cinco pêndulos diferentes, isto é, tomaremos cinco valores diferentes de p, e mediremos, com auxílio do cronômetro, o tempo para o pêndulo executar 20 oscilações completas. Física Experimental – Mecânica 42 p(m) 20T(s) 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 A fim de ajudar na obtenção dos valores pretendidos, siga as instruções a seguir: I. Obtenha, por Análise Dimensional, a equação do período do pêndulo simples, sabendo que T = f( ���J�� II. Substitua, na equação encontrada acima, �SRU�S���F� III. Linearize a nova equação, identificando o coeficiente linear e o coeficiente angular da reta de regressão com os parâmetros desejados. IV. Aplique aos dados da tabela a regressão linear e encontre K e c (é dado o valor da aceleração da gravidade de Uberlândia: g = 9,79 m/s²). ����� 4XHVW}HV� 1. Sabendo-se que o valor verdadeiro da constante adimensional K é 2 , qual o erro relativo cometido no valor experimental encontrado? 2. Trace, em papel milimetrado, um gráfico de T² em função de p e obtenha do gráfico os valores de K e de c. 3. Esboce um gráfico qualitativo da velocidade da esfera em função do tempo, considerando apenas o tempo correspondente a meio período. Em que pontos a aceleração tangencial da esfera é máxima? E nula? Em que pontos a velocidade é mínima? E máxima? Mostre como tudo isso é evidenciado no gráfico. ����� %LEOLRJUDILD� GOLDEMBERG, J.. )tVLFD� JHUDO� H� H[SHULPHQWDO. 3.ed. São Paulo, Companhia Editora Nacional, 1977. v.1, 525p. HEINE & HOLZER. 3K\VLFV�� XQLYHUVLW\� ODERUDWRU\� H[SHULPHQWV. Göttingen, Phywe Series of Publications, 1980. O Pêndulo Simples 43 RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. )tVLFD. 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1980. v.2, 309p. TIPLER, P.A.. )tVLFD. 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p. Pêndulo Bifilar 45 3rQGXOR�%LILODU� ������ ,QWURGXomR� Chama-se SrQGXOR�ELILODU ao sistema formado por uma barra horizontal homogênea presa por dois fios verticais de mesmo comprimento e igualmente distanciados das extremidades, que pode oscilar em torno de um eixo vertical central O-O, conforme mostra a figura. Sabe-se que o período T de um tal pêndulo, para pequenas oscilações, depende do comprimento �GR�Sêndulo (distância do ponto de suspensão até o centro de gravidade da barra), da distância d entre os fios, da aceleração da gravidade local g, da massa m da barra e de seu momento de inércia I em relação ao eixo de rotação (símbolo dimensional igual a L²M), isto é: T = f( � �� G� �� J� �� P� �� ,��� 1R� HQWDQWR�� VRPHQWH� SHOR� 7HRUHPD� GH� %ULGJPDQ não é possível prever a equação física que relaciona tais parâmetros, o que nos obriga a apelar para a experimentação a fim de levantar as indeterminações que surgem e, assim, chegarmos à equação física do fenômeno. ������ 3URFHGLPHQWR� Do acima exposto, aplique o Teorema de Bridgman para se certificar de que é impossível prever a equação do fenômeno somente por Análise Dimensional (nunca será demais lembrar que a constante adimensional não é encontrada pela Análise Dimensional). Como o número de incógnitas é maior do que o número de equações, devemos levantar esta indeterminação procurando obter experimentalmente dois dos expoentes desconhecidos, e para isto usaremos um método básico em ciência que é fixar todas as grandezas, exceto a que se quer estudar. Por questão de facilidade de ordem prática, determinaremos os expoentes de � � H� GH� G�� PDV� D� pesquisa dos outros expoentes poderia ser feita da mesma maneira. Para encontrar experimentalmente o valor do expoente de ��GHYHPRV�IL[DU�WRGRV�RV�RXWURV� parâmetros e fazer variar somente , obtendo, para cada valor de �� R� YDORU� � FRUUHVSRQGHQWH� GR� Física Experimental – Mecânica 46 período T do pêndulo, medindo o tempo para a barra realizar dez oscilações completas (neste caso fixe o valor de d = 0,30m). �P� 10T(s) 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 Linearizando-se a equação de T = f( �� H� DSOLFDQGR-se aos dados da tabela a regressão linear (use cinco casas decimais para os logaritmos), encontra-se o valor experimental do expoente procurado. No entanto, o valor verdadeiro do expoente será aquele indicado pelo princípio heurístico da simplicidade, ou seja, arredondando-se convenientemente o expoente encontrado. De forma similar, para se encontrar o valor experimental do expoente de d devemos fixar os outros parâmetros da equação, variando somente d e obtendo, para cada valor de d, o período T correspondente, de acordo com a tabela a seguir (neste caso fixe � �����P����� d(m) 10T(s) 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 Linearize a nova equação de T = f(d), aplique a regressão linear (use cinco casas decimais para os logaritmos) e obtenha o valor experimental do expoente procurado. Proceda de acordo com o princípio heurístico da simplicidade para obter o valor verdadeiro do expoente, que não coincide com o valor experimental em virtude dos inevitáveis erros cometidos nas medições. Finalmente, de posse dos valores verdadeiros dos expoentes de � H� G� HQFRQtre, matematicamente, os outros expoentes e expresse a equação geral de dependência do período em função de todas as variáveis envolvidas. Restará determinar a constante adimensional, K, cujo valor mais provável poderá ser encontrado, de acordo com o Postulado de Gauss, pela média aritmética de dez valores obtidos das tabelas precedentes. Para isto são dados: 1) aceleração da gravidade local g = 9,79 m/s²; 2) Pêndulo Bifilar 47 momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa I = mL²/12 (onde L é o comprimento da barra oscilante, a ser medido em metros, e m é a massa da barra, em kg). ������ 4XHVW}HV� 1. Se o valor verdadeiro da constante adimensional é K = 4 , qual o erro relativo cometido na experiência? 2. Qual a unidade de medida da grandeza momento de inércia, em um sistema de unidades cujas unidades fundamentais são o metro, o quilograma e o segundo? 3. Qual seria o símbolo dimensional de massa, em um sistema cujas grandezas fundamentais fossem força, comprimento e tempo? ����� %LEOLRJUDILD� BEER,
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