apol 2 álgebra linear 100% eng produção

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Questão 1/10 
Classifique o sistema a seguir: 
 
 
 
A Sistema Impossível - SI 
 
 
Você acertou! 
 
 
B Sistema Possível e Determinado - SPD 
 
 
 
C Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI 
 
 
 
D Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 - SPI 
 
Questão 2/10 
Classifique o sistema a seguir: 
 
 
 
A Sistema Impossível - SI 
 
 
 
B Sistema Possível e Determinado - SPD 
 
 
 
C Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI 
 
 
Você acertou! 
 
 
D Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 - SPI 
 
Questão 3/10 
Ao resolver corretamente um sistema de equações lineares pelo Método de 
Gauss-Jordan, um engenheiro encontrou a matriz “A” mostrada mais 
abaixo. Em relação à essa matriz “A”, analise as proposições abaixo, 
marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a 
alternativa correta: 
 
Matriz “A” = 
 
( ) O sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é 0; 
( ) O sistema é Possível e Indeterminado, pois seu grau de liberdade é 1; 
( ) O sistema é Impossível, pois foi obtida uma equação falsa; 
( ) Uma solução do sistema é: (1, 2, 0) 
 
A V V V V 
 
B V F F V 
 
C V F F F 
Você acertou! 
Resolução: 
i) VERDADEIRO: o grau de liberdade do sistema é igual a 0 (todas as colunas da matriz dos coeficientes possuem pivô) e pode ser classificado como SPD. 
ii) FALSO: afirmativa falsa porque contraria a primeira, que é verdadeira. 
iii) FALSO: afirmativa falsa porque contraria a primeira, que é verdadeira. 
iv) FALSO: O terno ordenado apresentado não é uma solução para o sistema, até porque, o sistema possui duas incógnitas – portanto, suas soluções são pares ordenados (possuem duas coordenadas e não três). 
 
D F V V F 
 
Questão 4/10 
 Após resolver um sistema de equações lineares pelo Método de 
Gauss-Jordan, você encontrou a matriz “W”, apresentada mais 
abaixo. Em relação à essa matriz “W”, analise as proposições a 
seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois 
assinale a alternativa correta: 
 
Matriz “W” = 
( ) O sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é 0; 
( ) O sistema é Possível e Indeterminado, pois seu grau de liberdade é 1; 
( ) O sistema é Impossível, pois foi obtida uma equação falsa; 
( ) A matriz encontrada não está no formato escada reduzido por linhas. 
 
A V F V V 
 
B V F F V 
 
C F F V F 
Você acertou! 
Resolução: 
o sistema é Impossível, já que foi obtida uma equação falsa (terceira linha da matriz). 
 
D F V V F 
 
Questão 5/10 
Analise as afirmativas em relação à equações lineares e a seguir, marque V 
para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta: 
( ) Ao se obter a matriz escada reduzida por linhas correspondente a um 
sistema de equações lineares, pode-se classificar este sistema apenas pela 
análise do seu grau de liberdade. 
( ) Depois de aplicado o Método de Gauss-Jordan em um sistema de 
equações lineares impossível, necessariamente terá sido obtida pelo menos 
uma equação falsa. 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de 
equações e de incógnitas pode ser classificado apenas pela análise do 
determinante da sua matriz dos coeficientes. 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo pode ser impossível, 
mas tal situação acontece raramente. 
 
A V V F V 
 
B V F F V 
 
C V F F F 
 
D F V V F 
Você acertou! 
Resolução: 
i) FALSO: além do grau de liberdade é preciso avaliar se há uma (ou mais) equações falsas, o que resultaria em um sistema impossível. 
ii) VERDADEIRO: é porque isto acontece que se pode classificar os sistemas impossíveis usando o Método de Gauss-Jordan. 
iii) VERDADEIRO: neste caso, pode-se determinar se o sistema é SPD ou SPI apenas pela análise do determinante da matriz dos coeficientes: se for nulo, o sistema é SPI, se for diferente de zero, o sistema é SPD. 
iv) FALSO: um sistema de equações lineares homogêneo é sempre possível. 
 
Questão 6/10 
Analise as proposições a seguir que abordam o assunto “sistemas lineares” 
e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, a seguir assinale a 
alternativa correta: 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo sempre possui solução. 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de 
incógnitas e de equações pode ser classificado pela análise do 
determinante da sua matriz dos coeficientes. 
( ) Um sistema de equações lineares com grau de liberdade igual a 2 e que 
não possua equações falsas pode ser classificado como SPI, isto é, 
Sistema Possível e Indeterminado. 
( ) Em um sistema de equações lineares o grau de liberdade indica 
quantas são as soluções existentes, isto é, se o grau de liberdade é igual a 
2, o sistema terá somente duas soluções. 
( ) Um sistema de equações lineares com mais incógnitas do que 
equações nunca será SPD, isto é, nunca será um Sistema Possível e 
Determinado. 
 
A V V F V V 
 
B V V V F V 
Você acertou! 
Resolução: 
1. a) VERDADEIRO: um sistema de equações lineares homogêneo sempre possui pelo menos a solução trivial (todas as incógnitas com valor nulo). 
2. b) VERDADEIRO: neste caso, pode-se determinar se o sistema é SPD ou SPI apenas pela análise do determinante da matriz dos coeficientes: se for nulo, o sistema é SPI, se for diferente de zero, o sistema é SPD. 
3. c) VERDADEIRO: este é o critério utilizado para se classificar um sistema depois de aplicado o Método de Gauss-Jordan. 
4. d) FALSO: um sistema de equações lineares pode não possuir solução, possuir apenas uma solução ou uma quantidade ilimitada de soluções – não ocorrerá de, por exemplo, possuir apenas duas soluções. O grau de 
liberdade indica quantas são as variáveis livres do sistema (as incógnitas que podem assumir um valor qualquer para serem determinadas soluções do sistema). 
5. e) VERDADEIRO: para ser SPD o sistema teria de, necessariamente, ter grau de liberdade igual a zero, mas, neste caso, o grau de liberdade sempre será positivo – depois de escalonada a matriz ampliada do sistema, 
sempre haverá pelo menos uma coluna da matriz dos coeficientes sem pivô. 
 
C V V F V F 
 
D F F V F F 
 
Questão 7/10 
Analise as alternativas e assinale a alternativa verdadeira: 
 
A 
É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é: 
 
 
 
 
B 
É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é: 
 
C 
É igual a 1 o grau de liberdade do sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é: 
 
D 
É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é: 
Você acertou! 
Resolução: 
a) FALSO: o sistema é possível e determinado (SPD), já que o grau de liberdade é igual a 0 e não há equação falsa. 
b) FALSO: o sistema é impossível (SI), já que apresenta duas equações falsas. 
c) FALSO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas colunas sem pivô na matriz dos coeficientes). 
d) VERDADEIRO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas colunas sem pivô na matriz dos coeficientes) e não há equação falsa, portanto, o sistema pode ser classificado como SPI. 
 
Questão 8/10 
Analise as proposições a seguir e marque V paras as verdadeiras e F para 
as falsas, depois assinale a alternativa correta: 
( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um espaço vetorial. 
( ) O conjunto R³, de todos os vetores (x,y,z), é um espaço vetorial.( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um subespaço vetorial de R³, 
isto é, do conjunto de todos os vetores (x,y,z). 
( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um subespaço vetorial de R³, 
isto é, do conjunto de todos os vetores (x,y,z), mas não é um espaço 
vetorial. 
 
A V V V V 
 
B V F F V 
 
C V F F F 
 
D V V V F 
Você acertou! 
Resposta: 
Como R² está contido em R³ e ambos são espaços vetoriais, sendo R² um subespaço vetorial de R³, pode-se afirmar que a alternativa d é a única alternativa incorreta. 
 
Questão 9/10 
Seja “V” um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta 
disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w pertencentes a V e k um 
escalar real: 
i u + v = v + u 
ii Existe um elemento 0 pertencente a V tal que 0 + u = u + 0 = u, para 
todo u pertencente a V. 
iii Se u e v pertencem a V, o produto vetorial entre u e v, denotado 
por uxv, também pertencente a V. 
iv Dado um escalar k e um objeto u qualquer de V, ku pertence a V. 
 
Neste caso, “V” deve atender obrigatoriamente a: 
 
A somente aos axiomas i e iv, enunciados acima. 
 
B somente aos axiomas ii, iii e iv enunciados acima. 
 
C somente aos axiomas ii e iii enunciados acima. 
 
 
 
D somente aos axiomas i, ii, iv enunciados acima. 
Você acertou! 
Resolução: 
Como os axiomas enunciados em i, ii e iv fazem parte da definição de espaço vetorial (estão dentro o conjunto de dez axiomas listados na definição), V deve obrigatoriamente atendê-los – diferentemente do axioma enunciado 
em iii que não participa da definição de espaços vetoriais e, portanto, pode ou não ser atendido por V. 
 
Questão 10/10 
Seja “V” um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta 
disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w pertencentes a V e k 
e l escalares reais: 
i u + (v + w) = (u + v) + w 
ii Para cada u pertencente a V há um objeto –u também pertencente a V 
tal que u + (–u) = (–u) + u = 0. 
iii k(u + v) = (ku + kv) 
iv (k + l)u = ku + lu 
v K(lu) = (kl)u 
Neste caso, “V” deve atender obrigatoriamente a: 
 
A somente aos axiomas i, iii, iv e v enunciados acima. 
 
B somente aos axiomas ii, iii e v enunciados acima. 
 
C somente aos axiomas i, ii, iii e iv enunciados acima. 
 
D todos os axiomas enunciados acima. 
Você acertou! 
Resolução: 
Como todos os axiomas listados acima participam da definição de espaço vetorial (isto é, estão listados entre os dez axiomas da definição), todos os axiomas enunciados acima devem ser atendidos pelo espaço vetorial V.