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Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Estrutura do átomo
Unidade I
Aula 7 em 28/1/2025
2
Teoria quântica - aula 4
Matéria: partículas 
Física clássica 
Radiação: ondas
Experimentos que impulsionaram a teoria quântica:
 Radiação do corpo negro (Planck)
 Efeito fotoelétrico (Einstein)
3
 Comportamento ondulatório dos elétrons
 =
ℎ
𝑚𝑣
 Estrutura atômica – átomo de hidrogênio
O MODELO MECÂNICO-QUÂNTICO
Formulação Matemática 
Proposta por Heisenberg e Schrödinger 
Por volta de 1925
Que vai envolver a quantização e a 
dualidade partícula-onda
5
 
Em Mecânica Quântica, o conceito de 
Trajetória ou Órbita
É abandonado e substituído por
Orbital
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
 Estrutura atômica – átomo de hidrogênio
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA MECÂNICA QUÂNTICA
H i = Ei i 
Em que:
H = Hamiltoniano (Energia cinética + energia potencial coulômbica)
Ei = energias permitidas (autovalores: E1, E2, E3, etc); 
i (psi) = funções de onda dos elétrons nos átomos, ou seja, 
 orbitais atômicos (autofunções: 1, 2, 3, etc).
Equação de autovalor 
 (forma compacta)
7
 Comportamento ondulatório do elétrons
The Nobel Prize in Physics 1933
Erwin Schrödinger and Paul Adrien
Maurice Dirac “for the discovery of new
productive forms of atomic theory”
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1933/
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1933/schrodinger/facts/
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1933/dirac/facts/
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1933/dirac/facts/
8
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Schroedinger desenvolveu uma equação geral para o 
movimento ondulatório, posteriormente adaptada para o 
elétron no átomo de hidrogênio.
Equação geral  Equação adaptada
A equação de onda em sua forma geral ou adaptada é 
conhecida como equação de Schroedinger. 
Se resolvermos a equação de Schrödinger, teremos as funções de 
onda e as energias para as funções de onda.
Chamamos as funções de onda de orbitais.
9
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
H i = Ei i 
i (psi) é uma entidade matemática que contém todas 
as informações sobre o sistema estudado 
Entretanto é apenas uma equação, sem significado físico em si, 
para ter esse significado é preciso operar sobre a função psi. 
Qualquer onda é descrita por uma função matemática. 
Exemplo: x(t) = A cos (wt + )
i (psi) Para um elétron a função que descreve as suas 
propriedades não é uma função simples como a anterior. 
10
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
H i = Ei i 
i (psi) dever ser contínua
i (psi) dever ser unívoca, para um x tem um único valor 
de y
i
2 é integrável 
Ter a 1ª derivada integrável
i (psi) obedecendo essas regras é uma 
função bem comportada
11
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Funções que obedecem essas regras são as exponenciais, 
agregadas com outras funções.
Embora i (psi) não tem significado físico, i
2 é muito importante
A densidade de probabilidade de se encontrar uma partícula 
em uma região do espaço é dada por i
2
i
2V = probabilidade de encontrar o elétron a uma 
determinada distância do núcleo. 
12
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
i
2V = probabilidade de encontrar o elétron a uma 
determinada distância do núcleo. 
The Nobel Prize in Physics 1954
Max Born “for his fundamental research in 
quantum mechanics, especially for his statistical 
interpretation of the wavefunction”
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1954/
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1954/born/facts/
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Interpretação de Born da função de onda. A densidade de 
probabilidade (linha azul) é dada pelo quadrado da função de 
onda e representada como uma variação da densidade do 
sombreado da banda. 
i é zero → i
2 = 0
i
2 é sempre positiva
i
2 = 0, implica zero de probabilidade de 
encontrar o elétron: chamamos de Nó, 
Node, região nodal 
Funções de Onda do Elétron no Sistema de Coordenadas Polares
  (r,,) = R(r) Y(,) 
Em que: 
R(r)  função de onda radial, pois depende apenas da distância núcleo-
elétron (r)
Y(,)  função de onda angular, pois depende apenas dos ângulos  e .
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Funções de Onda do Elétron no Sistema de Coordenadas Polares
  (r,,) = R(r) Y(,) 
Em que: 
R(r)  função radial depende de n e l
Y(,)  função de onda angular, depende de l e ml
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
A equação de Schrodinger prevê a existência de 3 números 
quânticos para caracterizar a função de onda
Os números quânticos são restrições numéricas que determinam a forma 
do orbital 
A função está associada ao orbital 
 
Números quânticos 
1. Número quântico principal, n. Este é o mesmo n de Bohr. À medida
que n aumenta, o orbital torna-se maior e o elétron passa mais tempo 
mais distante do núcleo. 
2. O número quântico secundário, l. Esse número quântico depende do 
valor de n. Os valores de l começam de 0 e aumentam até n -1. 
Normalmente utilizamos letras para l (s, p, d e f para l = 0, 1, 2, e 3). 
Geralmente nos referimos aos orbitais s, p, d e f. 
3. O número quântico magnético, ml. Esse número quântico depende de l. 
O número quântico magnético tem valores inteiros entre -l e +l. 
Fornecem a orientação do orbital no espaço.
Nome (Símbolo) Valores Significado
Principal (n) 1, 2, ... especifica as energias, tamanho do 
orbital
Momento angular orbital (l) 0, 1, 2, n-1 especifica o momento angular e a 
forma do orbital
l = 0, 1, 2, 3, 4, ...
 s, p, d, f, g, ...
Magnético orbital (ml) l, l -1, ..., - l especifica momento angular e a 
orientação 
Magnético de spin (ms) +1/2, -1/2 especifica o estado do spin
 
Números quânticos 
n l Orbital ml ms Número de Combinações
1 0 1s 0 + 
1
2
 , −
1
2
2
2 0 2s 0 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
2
2 1
2p
+1, 0, -1 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
6
3 0 3s 0 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
2
3 1 3p +1, 0, -1 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
6
3 2 3d +2, +1, 0, -1, -2 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
10
4 0 4s 0 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
2
4 1 4p +1, 0, -1 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
6
4 2 4d +2, +1, 0, -1, -2 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
10
4 3 4f +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
14
8
18
32
Números Quânticos
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
https://toutestquantique.fr/en/spin/
1922A existência do Spin
a) A experiência de Stern-Gerlach 
b) Resultado clássico
c) Resultado obtido para átomos de 
prata vaporizados
Campo magnético 
não homogêneo
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio – o spin 
O spin do elétron: propriedade magnética do elétron 
O spin é uma propriedade de natureza inteiramente quântica, 
não apresentando análogo clássico
O spin corresponde ao momento magnético intrínseco de qualquer 
partícula quântica parada ou em movimento 
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Os orbitais tem regiões nodais 
Parte angular da função de onda 
Pontos onde o valor da função de onda é nula 
 (r,,) = R(r) Y(,)
Podemos ter regiões nodais na função radial e na 
parte angular 
Determina a forma do orbital
 Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
 (r,,) = R(r) Y(,)
Y(,) = 
1
4𝜋
1/2
 - ângulo de r com o eixo z, varia de 0 a 180º 
 - valores de 0 a 360º 
 r - varia de 0 ao infinito
Não tem dependência com os ângulos, ou seja 
pode assumir todos os valores de  e 
Quando se olha os valores a 
figura gerada será uma esfera
Logo todo orbital s será esférico
Independentemente do nível o orbital s será sempre esférico, 
a parte angular independe do numero quântico n
A parte angular do orbital s não possui nenhuma região nodal
Orbitais s
Todos os orbitais s são esféricos.À medida que n aumenta, os orbitais s ficam maiores (será visto 
na parte radial).
Um nó é uma região no espaço onde a probabilidade de se 
encontrar um elétron é zero.
Em um nó, Ѱ2 = 0 
Para um orbital s, o número de nós é zero na parte angular.
 
Orbitais s
 
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Funções angulares
 (r,,) = R(r) Y(,)
Y(,) = 
3
4𝜋
1/2cos
 - ângulo de r com o eixo z, varia de 0 a 180º 
 - valores de 0 a 360º 
 r - varia de 0 ao infinito
pz depende de  e não tem dependência com  
(livre pra girar em torno de z)
A função vai zerar em  = /2 (Nó)
Girar em torno de z
 - varre de 0 a 180º 
l = 1→ 2pz, 2px e 2py θ cosθ
0 1
30° √3/2
45° 1/√2
60° 1/2
90° 0
180° -1
As cargas – e + nos dois lobos representam os sinais relativos da 
função de onda e não deve ser confundido com cargas elétricas. 
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Orbitais p
Existem três orbitais p → px, py, e pz. 
Os três orbitais p localizam-se ao longo dos eixos x, y e z de um sistema
cartesiano. 
As letras correspondem aos valores permitidos de ml, -1, 0 e +1.
Os orbitais têm a forma de halteres. 
À medida que n aumenta, os orbitais p ficam maiores.
Todos os orbitais p têm um nó no núcleo (lembrar da função cosseno). 
Fonte: http://www.uky.edu/%7Eholler/html/g.html
ml = 0
ml = +1
ml = -1
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Funções angulares dos orbitais d
)1cos3()
16
5
(),( 22/10
2 −= 

Y




i
eY cossen)
8
15
(),( 2/11
2 =
+




i
eY −−
= cossen)
8
15
(),( 2/11
2




i
eY
222/12
2 sen)
32
15
(),( =




i
eY
222/12
2 sen)
32
15
(),(
−−
=
ml = -1ml = -2 ml = 0
ml = +1 ml = +2
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Orbitais d e f
Existem cinco orbitais d e sete orbitais f. 
Três dos orbitais d encontram-se em um plano bissecante aos eixos x, y e z.
Dois dos orbitais d se encontram em um plano alinhado ao longo dos eixos
x, y e z.
Quatro dos orbitais d têm quatro lóbulos cada.
Um orbital d tem dois lóbulos e um anel.
Possuem dois planos nodais.
ml = -2 ml = -1
ml = -3
ml = 0
ml = +2 ml = +3ml = +1
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
ml = -4 ml = -3
ml = -2
ml = -1 ml = 0
ml = +1 ml = +2
ml = +3 ml = +4
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
 (r,,) = R(r) Y(,)
Funções radiais
O que determina a forma do orbital é a função angular
O que determina extensão do orbital é a função radial 
Exemplo: se é 1s, 2s, 3s ou seja o nível de energia
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Todas as funções radiais tendem a zero quando r aumenta
O que faz com que todas as funções radiais tendem a zero 
quando r aumenta é o termo da exponencial que todas elas 
possuem
Orbital 1 s não possui nenhum nó radial 
Orbital 2 s possui 1 nó radial (ver a parte do polinômio da função) 
Orbital 3 s possui 2 nós radiais 
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
E os orbitais d?
O orbital s sofre mais a influencia do núcleo do que um p e 
que um d num mesmo nível energético
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
The Nobel Prize in Physics 1935
James Chadwick “for the discovery of the 
neutron”
 Mais sobre os átomos
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1935/
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1935/chadwick/facts/
Desenvolvimento do entendimento da matéria
Número atômico (Z) – número de prótons existentes no núcleo do átomo
Em um átomo neutro o 
numero de próntos (ou Z) 
vai ser igual o número de 
elétrons.
Número de nêutrons (N) – número de nêutrons existentes no núcleo do 
átomo
Número de massa (A) – soma do número de prótons com o número de 
nêutrons existentes no núcleo do átomo
Número de massa: A = Z + N
O número de prótons não se modifica durante as reações química. 
Pois os átomos reagem com os elétrons.
Elemento químico – é o conjunto de átomos que possuem mesmo 
número de prótons, isto é, mesmo número atômico (Z).
Massa atômica ~ massa dos 
prótons e neutros Quantidade de nêutrons e 
prótons
Uma das representações 
comuns de elementos 
químicos 
Constituintes do átomo Símbolo Carga
Carga
(C)
Massa aproximada
(Kg)
Equivalência 
entre massas
Núcleo
Elétron
e- -1 1,6022 10-19 9,11 10-31
Próton
p+ +1
1,6022 10-19 1,67 10-27 ˜ 1836 vezes 
a massa do 
elétron
Nêutron n 0 1,68 10-27 ˜ igual ao 
próton
 Propriedades das subpartículas atômicas 
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
Estrutura do átomo
Unidade I
Aula 8 em 3/2/2025
n l Orbital ml ms Número de Combinações
1 0 1s 0 + 
1
2
 , −
1
2
2
2 0 2s 0 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
2
2 1
2p
+1, 0, -1 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
6
3 0 3s 0 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
2
3 1 3p +1, 0, -1 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
6
3 2 3d +2, +1, 0, -1, -2 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
10
4 0 4s 0 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
2
4 1 4p +1, 0, -1 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
6
4 2 4d +2, +1, 0, -1, -2 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
10
4 3 4f +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3 + 
𝟏
𝟐
 , −
𝟏
𝟐
14
8
18
32
Números Quânticos
 
Tratamento Mecânico-Quântico do Átomo de Hidrogênio 
 (r,,) = R(r) Y(,)
Funções radiais
O que determina a forma do orbital é a função angular
O que determina extensão do orbital é a função radial 
Exemplo: se é 1s, 2s, 3s ou seja o nível de energia é diferente, mas 
mesma forma
 
Átomos multieletrônicos – ou seja, Z > 1 
𝐸𝑐 =
𝑚𝑒𝑣
2
2
𝐸 =
−𝑅ℎ𝑐
𝑛2
Energia total = Ec + Epeletrostática
Ep = 
−𝐾𝑒2
𝑟
 
Átomos multieletrônicos – configuração eletrônica
Quebra de degenerescência dos orbitais ou 
desdobramento das energias 
Níveis de energia para o H
Orbitais degenerados – eles 
tem a mesma energia
Níveis de energia para o Li
Para átomos polieletrônicos para um certo valor de n, a energia de um orbital aumenta, em geral, com o 
aumento do valor de l
𝐸 =
−𝑅ℎ𝑐
𝑛2
Regra de Mandelung – seguir a ordem E = n + l 
 
Átomos multieletrônicos – configuração eletrônica
Desdobramento das Energias nos Átomos Multieletrônicos
Para explicar o comportamento energético do Li, devemos 
considerar os efeitos de:
penetração dos elétrons nos orbitais (descrita pelas curvas de 
probabilidade radial)
blindagem da carga nuclear
Efeitos de penetração e Blindagem da Carga Nuclear
 
Átomos multieletrônicos – configuração eletrônica
Desdobramento das Energias nos Átomos Multieletrônicos
O efeito de blindagem, promovido principalmente pelos elétrons 
internos, pode ser avaliado através da “carga nuclear efetiva (Zef) 
definida como:
Zef = Z – b
Em que:
 
Z  carga nuclear (ou melhor, número atômico) e
b  constante de blindagem, as quais podem 
 ser determinadas pelas regras de Slater.
Zef é a carga nuclear sentida por um eletron no átomo
 
Átomos multieletrônicos – configuração eletrônica
Desdobramento das Energias nos Átomos Multieletrônicos
Ilustração física da 
blindagem da carga 
nuclear do Na (Z = 11)
Em termos de uma visão 
pontual de cargas (visão da 
Física Clássica)
Elétron mais externo = 11 -10 = 1
11 P
 
Átomos multieletrônicos – configuração eletrônica - Zeff
Self-Consistent Field (SCF) Method
 
Átomos multieletrônicos – configuração eletrônica
Penetração do elétron no átomo de hidrogênio
Penetrabilidade dos orbitais: é a capacidade do orbital de se aproximar do 
núcleo
 
Átomos multieletrônicos – configuração eletrônica
Penetração do elétron no átomo de hidrogênio
i. O elétron “1s” do H passa a maior parte do 
tempo próximo ao núcleo; 
ii. Em média, um elétron “2s” passa a maior 
parte do tempo a uma distância maior do 
núcleo que o elétron “1s”; 
iii. Como conseqüência de (ii), E1s p >d > 
f. Logo a energia dos orbitais seria: ns