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Apol 03 Algebra linear Questão 1/10 Dado um conjunto “V”, deseja-se verificar se “V” é ou não um espaço vetorial. Qual alternativa a seguir descreve como esta verificação pode ser feita, levando-se em conta a definição de espaço vetorial. A De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada genericamente. B De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente. C De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada genericamente. D De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente. Questão 2/10 Analise se o conjunto R² com a operação usual de adição, mas com a operação de produto por escalar definida como a seguir, é ou não um espaço vetorial: Produto escalar: k.(x,y) = (k.x,0) Após essa análise, escolha a alternativa que apresenta a resposta correta: A R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: (axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo. B R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: (axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for nulo. C R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: (axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for não-nulo. D R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: (axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo. Questão 3/10 Dados os sistemas de equações lineares S1 e S2 a seguir, avalie as proposições e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale a alternativa correta: ( ) O conjunto das soluções de S1 é um subespaço vetorial de R³. ( ) O conjunto das soluções de S2 é um subespaço vetorial de R³. (f ) S1 é um sistema de equações lineares homogêneo. (v) S2 é um sistema de equações lineares homogêneo. A V F V F B V V F F C F V F V D F F V V Questão 4/10 Analise as 4 alternativas a seguir e marque a que apresenta uma explicação errada em relação à espaço vetorial: A O conjunto de todas as matrizes reais de duas linhas e uma coluna, M2x1, é um subespaço vetorial do conjunto de todas as matrizes reais de “m” linhas e “1” coluna, Mmx1, sendo “m” um número inteiro maior do que 2. B O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial real. C O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos os polinômios reais de grau 4. D O conjunto de todos os polinômios reais de grau 2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se pode dizer do conjunto de todos os polinômios reais de grau 3. Questão 5/10 Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale alternativa correta: ( ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser entendida como (2 + 3x) + (1 + 4x) = 3 + 7x. ( ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser entendida como: ( ) A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2, 3) e (1, 4). A V F V B F F V C V V F D V V V Questão 6/10 Dada a expressão c1.u + c2.v = w , analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta: a) Se existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de u e de v. b) Se não existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v. c) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c1 e c2 reais tais que a expressão dada é verdadeira. A Nenhuma das afirmativas acima está correta. B Somente a afirmativa “a” acima está correta. C Somente as afirmativas “a e c” acima estão corretas. D Todas as afirmativas acima estão corretas. Questão 7/10 Considere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c1.(1,2)+ c2.(0,1) + c3.(2,3) = (0,0). Classifique o tipo de sistema em relação as soluções. A Sistema Homogêneo, somente com a solução trivial. B Sistema Impossível. C Sistema Possível e Determinado. D Sistema Possível e Indeterminado. Questão 8/10 Analise os conjuntos descritos nas alternativas abaixo e marque a alternativa que apresente a resposta correta em relação à reta gerada: A Dado S = {(1,2)} tem-se ger(S) = R². B Dado S = {(1,2);(2,4)} tem-se ger(S) = R². C Dado S = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} tem-se ger(S) = R³. D Dado S = {(1,2,3);(2,4,6);(3,6,9)} tem-se ger(S) = R³. Questão 9/10 Analise os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta: A A = {(1,2)} é linearmente dependente. B B = {(1,2),(2,4)} é linearmente independente. C C = {(1,2);(0,0)} é linearmente independente. D D = {(1,2);(0,3);(5,1)} é linearmente dependente. Questão 10/10 Analise as proposições abaixo, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas em relação ao conjunto A = {(4,7);(1,3);(1,1)} , depois assinale a alternativa correta: ( ) A é linearmente dependente. ( ) A gera todo o espaço R². ( ) A é uma base de R². ( ) O vetor v = (3,5) é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de A. A V F F F B V F V V C V V F F D F F V V
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