Respostas_do_Capitulo_10-Cálculo numérico - Neide Bertoldi

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Respostas_do_Capitulo_10.pdf
Cap´ıtulo 10
10.2) Para o (p.v.i.) I)
a) b) c) d)
xn yn yn yn yn
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
0.4 0.408 0.4163 0.416 0.412
0.6 0.6413 0.6705 0.6692 0.6589
0.8 0.9236 0.9993 0.9951 0.9721
1.0 1.2942 1.4789 1.4653 1.4122
Para o (p.v.i.) II)
a) b) c) d)
xn yn yn yn yn
0.0 1 1 1 1
0.3 1 0.91 0.91 0.91
0.6 0.82 0.6790 0.6721 0.6643
Para o (p.v.i.) III)
a) b) c) d)
xn yn yn yn yn
0.0 2 2 2 2
0.1 2 1.99 1.99 1.99
0.2 1.98 1.9602 1.9602 1.9702
0.3 1.9404 1.9116 1.8818 1.9209
10.3) A ordem q e a constante do erro Ci sa˜o, respectivamente:
a) q = 2 e C3 =
1
3
.
b) q = 4 e C5 = − 190 .
c) q = 3 e C5 = − 124 .
d) q = 2 e C4 =
5
12
.
e) q = 4 e C5 = − 380 .
10.4) O erro de truncamento e´, respectivamente:
a)
h3
3
y′′′(ξ), xn < ξ < xn+2.
b) −h
5
90
y(v)(ξ), xn < ξ < xn+2.
c) −h
4
24
y(iv)(ξ), xn < ξ < xn+2.
d)
5h3
12
y′′′(ξ), xn < ξ < xn+2.
e) −3h
5
80
y(v)(ξ), xn < ξ < xn+3.
10.5) A ordem de consisteˆncia e´, respectivamente:
a) 2,
b) 4,
c) 3,
d) 4.
10.6) Na˜o. O me´todo na˜o e´ consistente. (C1 =
5
3
6= 0.)
10.7) C1 =
1
12
6= 0.
10.8) xn yn
0.0 1
0.2 1.2264
0.4 1.5207
10.9) xn yn
0.0 1
0.15 1.0101
0.3 1.0378
10.10) xn yn
0.0 1
0.1 0.99
0.2 0.9625
0.3 0.9138
0.4 0.8538
0.5 0.7785
10.12) Usando o me´todo de Euler Modificado para obter os valores iniciais ne-
cessa´rios, segue que:
xn yn
0.0 2
0.1 2.0050
0.2 2.0193
0.3 2.0417
10.14) xn yn
0.0 2
0.1 2.0048
0.2 2.0187
0.3 2.0408
10.15) Obtemos o seguinte me´todo de Runge-Kutta:
yn+1 = yn + h6 (k1 + 4k2 + k3) , onde :
k1 = f(xn, yn) ,
k2 = f(xn + 12h, yn + hk1) ,
k3 = f(xn + h, yn − hk1 + 2hk2) .
10.16) a) b)
xn yn zn yn zn
0.0 1 −1 1 −1
0.05 1.15 −1.0421 1.1671 −1.0477
0.1 1.3560 −1.0963 1.3777 −1.1108
c) d)
xn yn zn yn zn
0.0 1 −1 1 −1
0.05 1.1573 −1.0400 1.1690 −1.0484
0.1 1.3541 −1.0895 1.3874 −1.1148
10.17) xn yn zn
0.0 1 2
0.05 1.0916 1.6717
0.1 1.1679 1.3837
0.15 1.2307 1.1320
0.2 1.2818 0.9128
0.25 1.3226 0.7228
0.3 1.3546 0.5588
0.35 1.3790 0.4182
0.4 1.3970 0.2981
10.18) a) b)
xn yn yn
0.0 1 1
0.15 1 0.9775
0.3 0.9560 0.9150
10.19) O q adequado e´ 2. Assim, usando o me´todo de Taylor de ordem 2, obtemos:
xn yn
0.0 1
0.1 1.105
0.2 1.2267
10.20) xn yn
1 6
3 12
5 18
7 24
A interpretac¸a˜o geome´trica do me´todo de Euler, figura a seguir, responde a
pergunta feita.
¡
¡¡
-
6
xn xn+1
yn
yn+1
hfn
Observe na figura anterior que o me´todo de Euler fornece para cada ponto
xi o valor de yi e que podemos trac¸ar uma reta entre (xn, yn) e (xn+1, yn+1).
Assim, tal concordaˆncia era de se esperar, desde que o resultado exato do
(p.v.i.) e´ uma reta .
10.21) a) Ordem q = 6 e a constante do erro C7 = − 6665 .
b) Temos: C1 = 0. O polinoˆmio caracter´ıstico e´:
ρ(ξ) = ξ4 − 8
19
ξ3 +
8
19
ξ − 1 = 0, cujas ra´ızes sa˜o: ±1 e 3±
√
1380i
38
.
Todas as ra´ızes teˆm mo´dulo 1 e sa˜o simples. Portanto o me´todo de Quade
e´ consistente e esta´vel. Assim, o me´todo pode ser aplicado com garantia de
convergeˆncia.
10.23) a) Se q = 3 enta˜o b0 = 10 e b1 = 4.
b) A constante do erro e´ C4 =
1
6
.
c) O erro foi ta˜o grande pois o me´todo na˜o e´ esta´vel. Basta observar que
as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico sa˜o: ξ1 = −5 e ξ2 = 1.
10.24) a) b) c)
xn yn yn yn
0.0 1 1 1
0.05 1 1.0012 1.0012
0.1 1.0025 1.0047 1.0047
0.15 1.0073 1.0102 1.0103
0.2 1.0217 1.0177 1.0178
onde no item c) foi usado o me´todo de Heun para obter o valor de y1.
10.27) a) b) c)
xn yn zn yn zn yn zn
0.0 2 0 2 0 2 0
0.1 2.2 0.4 2.2355 0.495 2.2327 0.49
0.2 2.46 0.96 2.5600 1.2291 2.5526 1.2116
0.3 2.802 1.74 3.0135 2.3116 2.9978 2.2714
onde no item c) foi usado o me´todo de Taylor de ordem 3 para obter o valor
de y1.
10.28) a) 
y′ = z
z′ =
3
y
+ 2xy − (sen x)y3
y(1) = 1
z(1) = 15 x ∈ [1, 1.2] , h = 0.1
b) Usando o me´todo de Euler Modificado, segue que:
xn yn zn
1 1 15
1.1 2.575 15.3492
1.2 4.1867 15.6698
10.29) xn yn zn wn
0.0 1 2 3
0.1 1.214 2.2667 2.2907
0.2 1.4509 2.4607 1.6802
0.3 1.7043 2.5899 0.5392
onde foi usado o me´todo de Taylor de ordem 3 para obter o valor de y1.
10.30) a) b) c)
xn yn zn yn zn yn zn
0.0 −1 0 −1 0 −1 0
0.1 −1 0.4 −0.9885 0.2335 −0.9890 0.2323
0.2 −0.98 0.46 −0.9500 0.5434 −0.9513 0.5381
0.3 −0.934 0.794 −0.8756 0.9493 −0.8789 0.9420