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Cálculo Aplicado – Prof. Thiago Moratti 
Lista de Exercícios 2 – Técnicas de Primitivação 
 
5. Calcule: 
a) 2
1
4
dx
x  b) 2 5 6
x dx
x x  c) 2
2 1
1
x dx
x

 d) 
2
2
3 1
2 3
x x dx
x x
 
  
e) 
3
2
1
2 1
x x dx
x x
 
  f) 
3
2
1
4 3
x x dx
x x
 
  g) 
2
2
3
9
x dx
x

 
 
6. Calcule: 
a) 
  
1
2 3
x dx
x x x

  b)   2
2
2 1
dx
x x 
 c) 3 2
5
4 4
x dx
x x x

  
d) 
 
2
3
1
2
x dx
x


 e) 
5
3
3
4
x dx
x x

 
 
7. Calcule: 
a) 2
4 1
6 8
x dx
x x

  b) 2
4 1
6 12
x dx
x x

  c) 3 2
2
2 5
x dx
x x x

  
d) 
2
3
2 4
8
x dx
x

 e) 
2
3 2
3 5 4
3
x x dx
x x x
 
   
 
8. Calcule: 
a)    sin 7 cos 2x x dx b)    sin 3 sin 5x x dx c)    cos 2 cosx x dx 
d)    cos sin 2x x dx e)      sin sin 2 sin 3x x x dx 
 
 
 
9. Utilize as fórmulas de recorrência abaixo para calcular as integrais: 
 
  
     
   
2 2
2
Se n for impar, faça cos e sin 1 cos
sin ? cos 21Se n for par, faça sin
2 2
n
u x x x
x dx x
x
   
 
 

 
  
     
   
2 2
2
Se n for impar, faça sin e cos 1 sin
cos ? cos 21Se n for par, faça cos
2 2
n
u x x x
x dx x
x
   
 
 

 
    
 
 
   
   
 
2 2
2 2
2
Se n for impar, faça cos .
Se m for impar, faça sin .
Se m e n forem pares nao-nulos, faça sin 1 cos
sin cos ? ou cos 1 sin e utilize as formulas de recorrencia
acima.
Ou entao faça sin
n m
u x
u x
x x
x x dx x x
x


 
  


     2
cos 2 cos 21 1 e cos .
2 2 2 2
x x
x









   

 
 
a)  2cos 5x dx b)    2sin cosx x dx c)    4cos sinx x dx 
d)    2 4sin cosx x dx e)    2cos 7 sinx x dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
5. 
a) 
1
2 2
xarctg k   
 
 b)  3ln 3 2 ln 2 ln 5x x k     
c)  1 3ln 1 ln 1
2
x x k    d)     1 4 19ln 9 3 ln 1 ln 94 x x x k      
e) 2
1 64 8ln 1 5
2 1
x x x k
x
        
 f) 
2 3 314 ln 1 ln 3
2 2 2
x x x x k      
g) 2 ln 3 2 ln 3x x x k     
 
6. 
a)     1 9ln 13 2 5ln 4 ln 13 330 x x x k     
b) 
 
2 2 2ln 2 ln 1
9 9 3 1
x x k
x
    

 c) 
 
5 5 7ln ln 2
4 4 2 2
x x k
x
   

 
d) 
 2
4 5ln 2
2 2 2
x k
x x
   
 
 
e) 
3 3 35 294 ln ln 2 ln 2
4 4 8 8
x x x x x k       
 
7. 
a) 
7 15ln 2 ln 4
2 2
x x k     b) 2
11 32ln 6 12
3 3
xx x arctg k     
 
 
c) 2
2 1 3 1ln ln 2 5
5 5 10 2
xx x x arctg k      
 
 
d) 2
1 1 1ln 2 ln 2 4
2 3 3
xx x x arctg k       
 
 
e) 2
1 1 12 ln 1 ln 2 3
2 22
xx x x arctg k       
 
 
 
8. 
a) 
   cos 9 cos 5
18 10
x x
k

  b) 
   sin 2 sin 8
4 16
x x
k  
c) 
   sin 3 sin
6 2
x x
k  d)    cos 3 cos
6 2
x x
k

  
e) 
     cos 2 cos 6 cos 4
8 24 16
x x x
k

   
 
9. 
a) 
 sin 10
2 20
xx k  b)  
3cos
3
x
k

 c) 
 5sin
5
x
k 
d) 
           5 3sin cos cos sin cos sin
6 24 16 16
x x x x x x x k

    
e) 
     cos cos 15 cos 13
2 60 52
x x x
k

  

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