Lista de exercício calculo 3

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Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
Ciclo Comum da Engenharia
Unidade Nova Iguaçu
Cálculo III
Lista 1 de exercícios
Funções de várias variáveis: Domínio e Gráfico
Prof. Fernanda Ferreira
1
o
semestre de 2016
1. Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r, com teto
cônico. Determine a função que descreve o volume em função de h e r.
2. Determine e esboce o domínio das funções abaixo:
a) f(x, y) =
√
x+ y − 4
b) z =
√
y − 1− x2
c) f(x, y) =
5 ln(x+ y)√
4− x2 − y2
d) z =
√
2y − x2 − y2
e) f(x, y) = xx−y
f) f(x, y) = arcsen(x+ y)
g) f(x, y) = ln(y − x)
h) w =
y√
x2 + y2 + z2 − 1
3. Seja z =
√
24−6x2−2y2
3 . Determine o domínio desta função e esboce o seu gráfico. Encontre a
curva de nível C que contém o ponto P =
(√
6
2 ,
3
√
2
2
)
. Dê uma parametrização para esta curva
C. Por fim, calcule o comprimento da reta tangente à curva C no ponto P compreendida entre
os eixos coordenados.
4. Considere a função
z =
{
7−
√
x2 + y2, 0 ≤ x2 + y2 ≤ 16√
25− x2 − y2, 16 ≤ x2 + y2 ≤ 25 .
Esboce o gráfico de z = f(x, y). Identifique a curva de nível que contém o ponto P0 = (1,
√
3) e,
em seguida, dê a equação da reta normal à esta curva de nível no ponto P0.
5. Admitamos que a temperatura num ponto (x, y, z) esteja dada por T (x, y, z) = e−x2−2y2+3z2
graus. Identifique a superfície cujos pontos possuem temperatura igual à temperatura do ponto
(−1,−1, 1).
6. Descreva o domínio e as superfícies de nível das funções abaixo:
a) f(x, y, z) = x2 − y2 + z2
b) f(x, y, z) = z − x2 − y2
c) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1
d) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 − 1)
e) f(x, y, z) = x2 + y2 − (z − 1)2
f) f(x, y, z) = x2 + z2 − e2y
7. Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
a) f(x, y) = x− y − 2
b) f(x, y) = x2 + 4y2
c) f(x, y) = |y|
d) z = ey
1