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Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Ciclo Comum da Engenharia Unidade Nova Iguaçu Cálculo III Lista 2 de exercícios Limites e Continuidade Prof. Fernanda Ferreira 1º semestre de 2016 1. Explique, conceitualmente e com exemplos, porquê o conceito de ponto de acumulação é fundamental para a noção de limite. 2. Mostre que a função z = sen(xy) x2+y2 não tem limite quando (x, y)→ (0, 0). 3. Verifique se os limites abaixo existem. Se sim, determine seu valor. a) lim (x,y)→(0,0) xy2 x2 + y2 ; b) lim (x,y)→(0,0) x2 + y x2 + y2 ; c) lim (x,y,z)→(0,−1,0) y3 + xz2 x2 + y2 + z2 ; d) lim (x,y)→(0,0) sen(x2 + y2) x2 + y2 ; e) lim (x,y)→(0,0) xsen( 1 x2 + y2 ); f) lim (x,y)→(0,0) x2y2 x2y2 + (x− y)2 ; No cálculo do limite lim (x,y)→(0,0) f(x, y) pode ser interessante fazermos uma mudança de coordenadas, passando de coordenadas cartesianas para coordenadas polares da forma x = rcosθ e y = rsenθ. Como (x, y)→ (0, 0) se, e somente se, a distância de (x, y) a (0, 0) tender a zero (esta distância vale r), então calcular lim (x,y)→(0,0) f(x, y) é o mesmo que lim r→0 f(r, θ) quando o resultado desse limite não depender de θ. Use essa ideia para investigar os limites abaixo. g) lim (x,y)→(0,0) x2y2√ x2 + y2 ; h) lim (x,y)→(0,0) sen(xy)√ x2 + y2 ; 4. Mostre que os limites abaixo são válidos: a) lim (x,y)→(0,0) sen(xy) sen(x)sen(y) = 1; b) lim (x,y)→(0,0) 1− cos(√xy) x = 0; 5. Defina conceitualmente e matematicamente limites infinitos e no infinito, no caso de funções de várias variáveis. Além disso, dê o significado de expressões do tipo lim P→∞ f(P ) = ±∞. 6. Mostre que lim (x,y)→(0,0) |x|+ |y| x2 + 5y2 =∞. 7. Seja f definida por a− 4 na origem e fora da origem como f(x, y) = sen(x2 + y2)√ y2 + 1− 1 . Qual o valor a para que f seja contínua? 1 8. Mostre que a seguinte função pode ser definida de maneira contínua na origem: f(x, y) = x2y2 1− cos( √ x2 + y2) . 9. Mostre que, se uma função f é contínua em um ponto P0 do espaço euclidiano e f(P0) > 0, então existe uma bola aberta centrada em P0 onde f é sempre positiva. A partir disso, mostre o caso análogo em que f(P0) < 0. Por fim, conclua que, se f é contínua em P0 e f(P0) 6= 0, então existe uma bola aberta centrada em P0 onde f nunca se anula. 2
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