LISTA DE EXERCÍCIOS DE CALCULO 3

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Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
Ciclo Comum da Engenharia
Unidade Nova Iguaçu
Cálculo III
Lista 2 de exercícios
Limites e Continuidade
Prof. Fernanda Ferreira
1º semestre de 2016
1. Explique, conceitualmente e com exemplos, porquê o conceito de ponto de acumulação é fundamental
para a noção de limite.
2. Mostre que a função z = sen(xy)
x2+y2
não tem limite quando (x, y)→ (0, 0).
3. Verifique se os limites abaixo existem. Se sim, determine seu valor.
a) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2
;
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y
x2 + y2
;
c) lim
(x,y,z)→(0,−1,0)
y3 + xz2
x2 + y2 + z2
;
d) lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
;
e) lim
(x,y)→(0,0)
xsen(
1
x2 + y2
);
f) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x2y2 + (x− y)2 ;
No cálculo do limite lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) pode ser interessante fazermos uma mudança de coordenadas,
passando de coordenadas cartesianas para coordenadas polares da forma
x = rcosθ e y = rsenθ.
Como (x, y)→ (0, 0) se, e somente se, a distância de (x, y) a (0, 0) tender a zero (esta distância
vale r), então calcular lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) é o mesmo que lim
r→0
f(r, θ) quando o resultado desse limite
não depender de θ. Use essa ideia para investigar os limites abaixo.
g) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2√
x2 + y2
; h) lim
(x,y)→(0,0)
sen(xy)√
x2 + y2
;
4. Mostre que os limites abaixo são válidos:
a) lim
(x,y)→(0,0)
sen(xy)
sen(x)sen(y)
= 1;
b) lim
(x,y)→(0,0)
1− cos(√xy)
x
= 0;
5. Defina conceitualmente e matematicamente limites infinitos e no infinito, no caso de funções de
várias variáveis. Além disso, dê o significado de expressões do tipo
lim
P→∞
f(P ) = ±∞.
6. Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
|x|+ |y|
x2 + 5y2
=∞.
7. Seja f definida por a− 4 na origem e fora da origem como
f(x, y) =
sen(x2 + y2)√
y2 + 1− 1 .
Qual o valor a para que f seja contínua?
1
8. Mostre que a seguinte função pode ser definida de maneira contínua na origem:
f(x, y) =
x2y2
1− cos(
√
x2 + y2)
.
9. Mostre que, se uma função f é contínua em um ponto P0 do espaço euclidiano e f(P0) > 0, então
existe uma bola aberta centrada em P0 onde f é sempre positiva. A partir disso, mostre o caso
análogo em que f(P0) < 0. Por fim, conclua que, se f é contínua em P0 e f(P0) 6= 0, então existe
uma bola aberta centrada em P0 onde f nunca se anula.
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