lista de exercicio de matematica

Prévia do material em texto

DMAT/CCE/UFES - MAT02669 - T01 - Matemática Superior - 01/05/2015 - 2015/1
Lista de Exercícios para [P1].
1. [Problemas 1.1]
Nos problemas abaixo, calcule os valores indicados da função dada:
[3] fpxq � 3x2 � 5x� 2; fp0q, fp�2q, fp1q [5] gpxq � x�
1
x
; gp�1q, gp1q, gp2q
[9] fptq � p2t� 1q�3{2; fp1q, fp5q, fp13q [11] fpxq � x� |x� 2|; fp1q, fp2q, fp3q
[13] hpxq �
#
�2x� 4, para x ¤ 1
x2 � 1, para x ¡ 1
; hp3q, hp1q, hp0q, hp�3q
Dica: [11] A função modular |x| é definida como sendo |x| �
#
x para x ¥ 0
�x para x   0
. Assim, |x�2| � x�2
se x ¥ 2 e |x�2| � �px�2q � �x�2 se x   2. Portanto, se x ¥ 2 temos fpxq � x�px�2q � x�x�2 � 2
e, se x   2 teremos fpxq � x� p�x� 2q � x� x� 2 � 2x� 2, logo fpxq �
#
2 para x ¥ 2
2x� 2 para x   2
2. Determine se o domínio da função dada é o conjunto dos números reais:
[15] gpxq �
x
1� x2
; [17] fptq �
?
1� t
3. Determine o domínio da função dada:
[19] gpxq �
x2 � 5
x� 2
; [23] fptq �
t� 2
?
9� t2
4. Determine a função composta fpgpxqq:
[25] fpuq � 3u2 � 2u� 6; gpxq � x� 2; [27] fpuq � pu� 1q3 � 2u2; gpxq � x� 1;
[29] fpuq �
1
u2
; gpxq � x� 1.
5. Determine o quociente diferença de f no ponto x (também chamada de taxa de variação média de f
no ponto x), ou seja, o valor de
fpx� hq � fpxq
h
, sendo h � 0 um número real:
[35] fpxq � 4x� x2; [37] fpxq �
x
x� 1
6. Determine as funções compostas fpgpxqq e gpfpxqq e os valores de x (se existirem) para os quais fpgpxqq �
gpfpxqq:
[39] fpxq �
?
x; gpxq � 1� 3x; [41] fpxq �
2x� 3
x� 1
; gpxq �
x� 3
x� 2
Dica: [39] Temos fpgpxqq �
a
gpxq �
?
1� 3x, enquanto gpfpxqq � 1 � 3fpxq � 1 � 3
?
x. Assim,
para que se tenha fpgpxqq � gpfpxqq é necessário que
?
1� 3x � 1 � 3
?
x. Além disso, também é
necessário que se tenha 1 � 3x ¥ 0 e x ¥ 0 (pois não existe raiz quadrada de número negativo) e
1 � 3
?
x ¥ 0 (pois a raiz quadrada de um número não-negativo é um número não-negativo). Assim,
das duas primeiras desigualdades se tem 0 ¤ x ¤ 1
3
, enquanto da terceira se tem 0 ¤
?
x ¤ 1
3
, ou
seja 0 ¤ x ¤ 1
9
. Portanto, para que se tenha fpgpxqq � gpfpxqq é necessário que 0 ¤ x ¤ 1
9
(pois
1
9
¤
1
3
). Agora, elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade
?
1� 3x � 1 � 3
?
x, teremos
1�3x � 1�6
?
x�9x, ou seja
?
x � 2x, e, logo, elevando ao quadrado novamente, x � 4x2, ou também
4xpx � 1
4
q � 0 e, portanto x � 0 ou x � 1
4
. Como já sabemos que 0 ¤ x ¤ 1
9
então deve-se ter x � 0.
Portanto, para que seja válida a igualdade fpgpxqq � gpfpxqq é necessário que x � 0. Por outro lado,
1
para que se tenha fpgpxqq � gpfpxqq é suficiente que se tenha x � 0 pois fpgp0qq � fp1q �
?
1 � 1
e gpfp0qq � gp0q � 1 �
?
0 � 1. Conclusão: para que seja válida a igualdade fpgpxqq � gpfpxqq é
necessário e suficiente que se tenha x � 0.
7. Determine a função composta indicada:
[43] fpx� 2q onde fpxq � 2x2 � 3x� 1; [49] fpx� 1q onde fpxq �
x� 1
x
.
Dica [49] Temos fpx� 1q � px�1q�1
px�1q
�
x� 1� 1
x� 1
�
x
x� 1
.
8. [Demanda do consumidor] A função demanda p � Dpxq e a função custo total Cpxq de um certo
produto são dadas em termos do nível de produção x. Em cada caso, determine:
a) a receita Rpxq e lucro P pxq;
b) todos os valores de x para os quais a fabricação é lucrativa:
[57] Dpxq � �0, 02 � x� 29; Cpxq � 1, 43 � x2 � 18, 3 � x� 15, 6
[59] Dpxq � �0, 5 � x� 39; Cpxq � 1, 5 � x2 � 9, 2 � x� 67.
[Dica:] A função receita é Rpxq � x � p � x �Dpxq e a função lucro é P pxq � Rpxq � Cpxq.
9. [61. Custo de fabricação] Suponha que o custo total para fabricar q unidades de um certo produto
seja Cpqq mil reais, onde Cpqq � 0, 01 � q2 � 0, 9 � q � 2:
a) determine o custo de fabricação de 10 unidades;
b) determina o custo de fabricação da 10a unidade. [Dica:] Calcule ∆C � Cp10q � Cp9q.
10. [63. Custo de distribuição] Suponha que o número de homens-hora necessário para distribuir ca-
tálogos telefônicos para x% das residências em uma certa região rural seja dado pela função
W pxq �
600x
300� x
a) qual é o domínio da função W?
b) para que valores de x a função W tem significado neste contexto?
c) quantos homens-hora são necessários para distribuir catálogos para 50% das residências?
d) quantos homens-hora são necessários para distribuir catálogos para todas as residências?
e) que porcentagem das residências terá recebido novos catálogos depois de 150 homens-hora de traba-
lho?
11. [67. Variação da população] Estima-se que daqui a t anos um certo bairro terá uma população de
P ptq � 20� 6
t�1
mil habitantes:
a) qual será a população do bairro daqui a 9 anos?
b) qual será o aumento da população durante o 9o ano?
c) o que acontece com P ptq para grandes valores de t? Interprete o resultado.
Dica c) Se t1 ¡ t2 ¡ 0, então t1 � 1 ¡ t2 � 1 ¡ 1 e, logo
1
t2�1
¡
1
t1�1
. Portanto, quanto maior é o valor
de t ¡ 0 menor é o valor de 1
t�1
, ou seja,
1
t�1
tende a zero (mas nunca será igual a zero) à medida que
t se torna cada vez maior. Assim, o valor de P ptq se torna cada vez mais próximo de 20 para valores
cada vez maiores de t. Isso nos diz que a população limite desse bairro será de 20 mil habitantes.
2
12. [69. Circulação do sangue] Os biólogos descobriram que a velocidade do sangue em uma artéria é
função da distância entre o sangue e o eixo central da artéria. De acordo com a Lei de Poiseuille, a
velocidade (em centímetros por segundo) do sangue que está a r centímetros do eixo central de uma
artéria é dado pela função Sprq � C �pR2�r2q, onde C é uma constante e R é o raio da artéria. Suponha
que, para uma determinada artéria, C � 1, 76 � 105 cm�1s�1 e R � 1, 2 � 10�2 cm :
a) determine a velocidade do sangue no eixo central da artéria;
b) determine a velocidade do sangue a meio caminho entre o eixo central e a parede da artéria.
13. [71. Ecologia] Observações mostram que em uma ilha de A quilômetros quadrados o número médio
de espécies de animais é dado aproximadamente por spAq � 2, 9 � 3
?
A :
a) quantas espécies existem, em média, em uma ilha de 8 quilômetros quadrados?
b) se s1 é o número médio de espécies de animais em uma ilha de área A e s2 é o número médio de
espécies em uma ilha de área 2A, qual é a relação entre s1 e s2?
c) qual deve ser a área de uma ilha para que possua, em média, cerca de 100 espécies de animais?
14. [75. Poluição do ar] Os ambientalistas estimam que em uma certa cidade a concentração média
diária de monóxido de carbono no ar será cppq � 0, 4 � p � 1 partes por milhão quando a cidade tiver
uma população de p mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro
de t anos será pptq � 8� 0, 2 � t2 mil habitantes:
a) determine a concentração média de monóxido de carbono no ar em função do tempo;
b) qual será a concentração média de monóxido de carbono no ar daqui a 2 anos?;
c) daqui a quanto tempo a concentração média de monóxido de carbono no ar atingirá o valor de 6, 2
partes por milhão?
15. [Problemas 1.2] Plote os pontos dados em um plano, usando um sistema de coordenadas retangulares:
[2] Mp�2, 7q; [5] Np0,�2q
16. Determine a distância entre os pontos P e Q dados:
[9] P p7,�3q e Qp5, 3q; [10] P p0, 1{2q e Qp�1{5, 3{8q.
17. Classifique cada função como um polinômio, uma função potência ou uma função racional. Se a função
não é de nenhum desses tipos, classifique-a como �diferente�:
[11, 12] aq fpxq � x1,4 bq fpxq � �2x3 � 3x2 � 8 cq fpxq � p3x� 5q � p4� xq2
dq fpxq �
3x2 � x� 1
4x� 7
eq fpxq �
?
x� 3x fq fpxq �
px� 3qpx� 7q
�5x3 � 2x2 � 3
18. Faça o gráfico da função dada, mostrando todas as interseções com os eixos x e y:
[13] fpxq � x [14] fpxq � x2 [15] fpxq �
?
x
[18] fpxq � 2� 3x [19] fpxq � xp2x� 5q [20] fpxq � px� 1qpx� 2q[21] fpxq � �x2 � 2x� 15 [24] fpxq � �x3 � 1 [28] fpxq �
#
9� x, se x ¤ 2
x2 � x� 2, se x ¡ 2
[Dicas: 15] Faça y �
?
x. Assim devemos ter x ¥ 0 e y ¥ 0. Agora, y2 � x e, portanto x � y2
que é a equação de uma parábola que passa pela origem e cujo eixo de simetria é o eixo x. Esboce essa
parábola. O gráfico de f será a porção dessa parábola situado no primeiro quadrante: x ¥ 0, y ¥ 0.
[28] O gráfico de f é formado pela parte da reta y � 9� x para x ¤ 2. À partir de x � 2 o gráfico de
f é a parte da parábola y � x2 � x� 2 para x ¡ 2. Note que a reta e a parábola têm o ponto p2, 4q em
comum.
3
19. Determine os pontos de interseção (se existirem) entre as curvas dadas e esboce os gráficos correspon-
dentes: [31] y � x2 e y � 3x� 2, [33] 3y � 2x � 5 e y � 3x � 9.
20. [39. Custo de fabricação] Um fabricante pode produzir gravadores digitais por um custo de R$
40,00 a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por p reais a unidade, os consumidores
comprarão 120� p gravadores por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço, faça
um gráfico da função e use o gráfico para estimar o preço ótimo de venda.
[Dica:] Se o preço unitário é p, então são produzidos (e vendidos) x � 120 � p unidades. Assim, a
receita é R � x � p � p120� pq � p. Como o custo de produção de x unidades é C � 40x � 40p120� pq,
então o lucro mensal é L � R�C � p120�pq �p� 40p120�pq � pp� 40qp120�pq � �p2� 160p� 4800.
21. [45. Movimento de um projétil] Se um objeto é arremessado verticalmente para cima a partir do
solo com uma velocidade inicial de 50 metros por segundo, sua altura (em metros) t segundos mais
tarde é dada pela função Hptq � �4, 9 � t2 � 49t :
a) faça um gráfico da função H;
b) use o gráfico do item a) para determinar em que instante o objeto se chocará com o solo;
c) use o gráfico do item a) para determinar a altura máxima atingida pelo objeto.
22. [47. Lucro] Suponha que, quando o preço de um certo produto é p reais por unidade, x centenas de
unidades são compradas pelos consumidores, onde p � �0, 05 �x�38. O custo para produzir x centenas
de unidades é Cpxq � 0, 02 � x2 � 3x� 574, 77 centenas de reais:
a) expresse o lucro P obtido com a venda de x centenas de unidades em função de x. Desenhe o gráfico
da função lucro.
b) use a curva obtida no item a) para determinar o nível de produção x que resulta no maior lucro
possível. Que preço unitário p corresponde ao lucro máximo?
23. [48. Circulação do sangue] Como já vimos no Problema 12, a velocidade do sangue a r centímetros
do eixo central de uma artéria é dado pela função Sprq � C � pR2 � r2q, onde C é uma constante e R é
o raio da artéria. Qual é o domínio desta função? Desenhe o gráfico de S.
24. [51. Aluguel de imóveis] Uma empresa imobiliária aluga 150 apartamentos em Belo Horizonte. To-
dos os apartamentos podem ser alugados por R$ 1.200,00 por mês, mas para cada aumento de R$ 100,00
no aluguel acima deste valor, mais cinco apartamentos ficam vagos:
a) expresse a receita total R obtida com o aluguel dos apartamentos em função do preço p do aluguel,
supondo que todos os apartamentos sejam alugados pelo mesmo preço;
b) desenhe o gráfico da função receita obtida no item a);
c) qual deve ser o aluguel cobrado pela empresa para que a receita seja a maior possível? Qual é esta
receita?
25. [53. Poluição do ar] As emissões de chumbo são uma das principais causas da poluição do ar no
Estados Unidos. Usando dados colhidos pela U.S. Environmental Protection Agency na década de
1990, é possível mostrar que a expressão Nptq � �35t2 � 299t � 3347 fornece aproximadamente a
emissão total N de chumbo (em milhares de toneladas) ocorrida no Estados Unidos t anos após o ano
base de 1990.
a) plote a função poluição N ;
b) de acordo com esta expressão, qual deveria ter sido a emissão de chumbo em 1995? (De acordo com
os dados oficiais, a poluição foi da ordem de 3924 milhares de toneladas);
c) de acordo com esta expressão, em que ano da década de 1990 a 2000 a poluição de chumbo foi maior?
4
d) esta expressão pode ser usada para prever o nível atual de emissão de chumbo? Justifique sua
resposta.
26. [Problemas 1.3] Determine a inclinação (se possível) da reta que passa pelos pontos dados:
[1] p2,�3q e p0, 4q; [3] p2, 0q e p0, 2q; [7] p1{7, 5q e p�1{11, 5q.
27. Determine a inclinação e as interseções com os eixos x e y da reta cuja equação é dada e esboce o seu
gráfico:
[13] x� 3 � 0; [15] y � 3x � 0; [17] 3x� 2y � 6 � 0; [19] x
2
�
y
5
� 1; [20] x�3
5
�
y�1
2
� 1.
28. Escreva uma equação para a reta que apresenta as propriedades indicadas:
[21] passa pelo ponto p2, 0q com inclinação 1;
[23] passa pelo ponto p5,�2q com inclinação �1{2;
[29] passa pelos pontos p�1{5, 1q e p2{3, 1{4q;
[33] passa pelo ponto p4, 1q e é paralela à reta 2x� y � 3 � 0;
[35] passa pelo ponto p3, 5q e é perpendicular à reta x� y � 4 � 0.
29. [37. Custo de fabricação] O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo
de R$ 5.000,00 e um custo variável por unidade de R$ 60,00. Expresse o custo total em função do
número de unidades produzidas e desenhe o gráfico associado.
30. [39. Dívidas em cartão de crédito] Uma firma de cartão de crédito calcula que a dívida média D
dos portadores de cartões de crédito era de R$ 7.853,00 no ano 2000 e R$ 9.127,00 em 2005. Suponha
que essa dívida aumenta a uma taxa constante:
a) expresse D como uma função linear de t, o número de anos após o ano 2000 e desenhe o gráfico
correspondente;
b) use a função do item a) para estimar qual será a dívida média dos usuários de cartões de crédito em
2010;
c) em que ano, aproximadamente, a dívida média dos usuários de cartões de crédito será duas vezes
maior que no ano 2000?
31. [40. Aluguel de automóveis] Uma certa locadora de automóveis cobra R$ 75,00 por dia mais 70
centavos por quilômetro rodado:
a) expresse o custo para alugar um carro nesta locadora por 1 dia em função do número de quilômetros
rodados e desenhe o gráfico associado;
b) quanto custa alugar um carro por 1 dia nessa locadora para uma viagem de 50 quilômetros?
c) a locadora também aluga automóveis por uma quantia fixa de R$ 125,00 por dia. Quantos quilômetros
você precisa rodar em 1 dia para que esta opção seja mais vantajosa?
32. [43. Depreciação linear] Um médico possui R$ 1.500,00 em livros de medicina que, para fins de
imposto, sofrem uma depreciação linear que reduz o valor a zero após um período de 10 anos. Expresse
o valor dos livros em função do tempo e desenhe o gráfico associado.
[Dica:] Seja dptq a depreciação do valor dos livros após t anos. Como é dito que a depreciação é linear,
então dptq � m � t� b. É natural considerar t � 0 como o ano no qual o valor dos livros era R$ 1.500,00.
33. [45. Consumo de água] Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo
água a uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d'água; no dia 21,
está apenas com 164 milhões de litros:
5
a) expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo e desenhe o gráfico associado;
b) quanta água havia no reservatório no dia 8?
Dica: Sejam t o número de dias decorrido neste mês e vptq a quantidade de água no reservatório (em
milhões de litros) no dia t. Como a taxa de variação ∆v
∆t
de v com relação a t é constante, então v é
uma função linear de t. Portanto, vptq � m � t � b, para certas constantes m e b. Para t � 12 sabemos
que v � 200 e, para t � 21, v � 164. Assim, m � ∆v
∆t
�
164�200
21�12
� �
36
9
� �4. Portanto, v � �4t � b.
Mas, 200 � vp12q � �4 � 12� b � �48� b, logo b � 200� 48 � 248. Assim, v � �4t� 248.
34. [47. Preços de ações] O preço da oferta pública inicial (OPI) das ações de uma certa empresa foi de
R$ 10,00 por ação e a ação é negociada 24 horas por dia. Desenho o gráfico do preçoda ação durante
um período de 2 anos para os seguintes casos:
a) o preço da ação aumenta a uma taxa constante durante os primeiros 18 meses até chegar a R$ 50,00
e diminui a uma taxa constante durante os 6 meses seguintes até chegar a R$ 25,00;
b) o preço aumenta a uma taxa constante durante 2 meses até chegar a R$ 15,00, diminui a uma taxa
constante durante os 9 meses seguintes até chegar a R$ 8,00 e torna a aumentar a uma taxa constante
até chegar a R$ 20,00;
c) o preço aumenta a uma taxa constante durante o primeiro ano até chegar a R$ 60,00. Um escândalo
contábil faz com que o preço da ação caia instantaneamente para R$ 25,00 e o preço continua a cair
durante os 3 meses seguintes, a uma taxa constante, até chegar a R$ 5,00. Em seguida, aumenta, a uma
taxa constante, até chegar a R$ 12,00 no final do período de 2 anos.
35. [49. Crescimento de uma criança] Nos Estados Unidos, a altura média H em centímetros de uma
criança de A anos de idade é dada pela função H � 6, 5 �A� 50. Use esta expressão para responder às
perguntas que se seguem:
a) qual é altura média de uma criança de 7 anos?
b) qual é a idade provável de uma criança com um altura de 150 cm?
c) qual é altura média de um recém-nascido? Esta resposta parece razoável?
d) qual é a altura média de um homem de 20 anos? Esta resposta parece razoável?
36. [51. Conversão de temperatura]
a) a temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus Celsius. Use as
igualdades 0
o
C=32
o
F e 100
o
C=212
o
F para escrever a equação desta função linear;
b) use a função obtida no item a) para converter 15 graus Celsius em graus Fahrenheit;
c) converta 68 graus Fahrenheit em graus Celsius;
d) que temperatura é a mesma, tanto em graus Celsius quanto em graus Fahrenheit?
[Dica:] F � m � C � b.
[Problemas 1.4]
37. [1. Receita de vendas] Quando x unidades de um certo produto de luxo são fabricadas, podem ser
todas vendidas a um preço unitário de p milhares de reais, onde p � �6x� 100:
a) expresse a receita R em função de x;
b) qual é a receita quando 15 unidades são fabricadas e vendidas?
38. [3. Lucro de um fabricante] Um fabricante estima que cada unidade de um certo produto pode ser
vendida por R$ 3,00 a mais que o custo de fabricação. Existe também um custo fixo de R$ 17.000,00
associado à fabricação do produto:
6
a) expresse o lucro total Lpxq em função do nível de produção x;
b) qual é o lucro total (ou prejuízo) quando 20 mil unidades são fabricadas? E quando 5 mil unidades
são fabricadas?
39. [7. Cercando um terreno] Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 metros de
cerca. Se um dos lados mais compridos do pasto fica na margem de um rio (e, portanto, não precisa de
cerca), expresse a área do pasto em função da largura.
40. [9. Cálculo de áreas] Expresse a área de um jardim retangular cujo perímetro é 320 metros em
função do comprimento de um dos lados. Desenhe o gráfico associado e estime as dimensões do jardim
para que a área seja máxima.
41. [Embalagens]
[10] Uma caixa fechada, cuja base é quadrada, deve ter um volume de 1500 centímetros cúbicos.
Expresse a área da superfície da caixa em função do lado da base.
[13] Uma lata de refrigerante, de forma cilíndrica, tem uma área superficial de 120pi centímetros
quadrados. Expresse o volume da lata em função do raio da tampa.
[14] Uma lata cilíndrica fechada tem raio r e altura h:
a) se a área superficial S da lata é constante, expresse o volume V em termos de S e r;
b) se o volume V da lata é constante, expresse a área superficial S em termos de V e r.
[16] Uma lata cilíndrica sem tampa foi feita com 27pi centímetros quadrados de metal. Expresse o
volume da lata em função do raio.
[Dica:] Um cilindro circular reto (com fundo e tampa) cujo raio da base é r e cuja altura é h tem área
S � 2pir2 � 2pirh (lembrando que a tampa e o fundo tem áreas iguais a pir2) e volume V � pir2h.
42. [Taxa de variação]
[17] Na ausência de limitações ambientais, a população cresce a uma taxa proporcional ao número de
indivíduos. Expresse a taxa de aumento da população em função do tamanho da população.
[Dica:] Se p é o tamanho da população e τ é a taxa de aumento da população, então τ � k � p, onde
k é a constante de proporcionalidade.
[18] Uma amostra de rádio decai a uma taxa proporcional ao número de átomos de rádio presentes na
amostra. Expresse a taxa de decaimento em função do número de átomos de rádio.
[19] A taxa de variação com o tempo da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a
temperatura do corpo e a temperatura do meio externo. Expresse essa taxa em função da temperatura
do corpo.
43. [Medicamentos para crianças] Várias fórmulas diferentes foram propostas para calcular a dose apro-
priada para uma criança em termos da dose para adultos. Suponha que a dose para adultos de um
certo medicamento seja A miligramas (mg) e C seja a dose (em mg) apropriada para uma criança com
N anos de idade. Nesse caso, de acordo com a regra de Cowling :
C �
�
N � 1
24
� A
enquanto, pela regra de Friend,
C �
2
25
�N � A
[24] Se a dose de ibuprofeno para adultos é 300 mg, qual é dose para uma criança de 11 anos, de acordo
com a regra de Cowling? E de acordo com a regra de Friend?
7
[25] Supondo que a dose de um certo medicamento para adultos é A � 300 mg, plote, no mesmo plano
cartesiano, as doses desse medicamento para crianças em função da idade N , de acordo com a regra de
Cowling e a regra de Friend.
[27] Como alternativa às regras de Cowling e Friend, os pediatras às vezes usam a expressão
C �
S � A
1, 7
para estimar a dose apropriada para uma criança cuja área superficial é S metros quadrados a partir de
uma dose A do medicamento para adultos. A área superficial de uma criança é estimada com o auxílio
da expressão
S � 0, 0072 �W 0,425 �H0,725
onde W e H são, respectivamente, o peso da criança em quilogramas (kg) e a altura em centímetros
(cm):
a) a dose para adultos de um certo medicamento é 250 mg. Qual é a dose recomendada desse medica-
mento para uma criança com 91 cm de altura e 18 kg de peso?
b) um medicamento é receitado para duas crianças, uma das quais é duas vezes mais alta e duas vezes
mais pesada que a outra. Mostre que a criança maior deve receber uma dose aproximadamente 2,22
vezes maior que a outra criança.
44. [28. Comissão do leiloeiro] Em geral, quando uma peça é comprada em um leilão, é necessário
pagar não só o lance vencedor mas também a comissão do leiloeiro. Em uma certa casa de leilões, a
comissão do leiloeiro é 17,5% do lance vencedor para quantias até R$ 50.000,00. No caso de quantias
maiores, a comissão é de 17,5% sobre os primeiros R$ 50.000,00 mais 10% do valor que exceder R$
50.000,00:
a) determine o valor total pago por um comprador (valor do lance mais a comissão do leiloeiro) nessa
cassa de leilões para lances de R$ 1.000,00, R$ 25.000,00 e R$ 100.000,00;
b) expresse o valor total pago em função do valor do lance. Plote essa função.
45. [31. Imposto de renda] O imposto de renda (IR) das pessoas físicas no Estados Unidos em 2007 foi
calculado em função da renda líquida (RL) de acordo com a seguinte tabela:
Se a RL é maior do que mas menor do que O IR é da quantia que exceder
0 $7.825 10% 0
$7.825 $31.850 $783+15% $7.825
$31.850 $64.250 $4.387+25% $31.850
$64.250 $97.925 $12.487+28% $64.250
a) expresse o valor do imposto de renda a pagar em função da renda líquida x para 0 ¤ x ¤ 97925 e
desenhe o gráfico associado;
b) o gráfico do item a) é formado por quatro segmentos de reta. Determine a inclinação de cada
segmento. O que acontece com a inclinação à medida que a renda líquida aumenta? Explique o isso
significa na prática.
46. [32. Propaganda] Uma empresa fabrica dois produtos: A e B. A direção da empresaestima que se
x% da verba reservada para propaganda forem usados para anunciar o produto A, o lucro total com a
vendo dos dois produtos será P milhares de reais, onde
P pxq �
$
'
&
'
%
20� 0, 7 � x para 0 ¤ x   30
26� 0, 5 � x para 30 ¤ x   72
80� 0, 25 � x para 72 ¤ x ¤ 100
8
a) esboce o gráfico de P pxq;
b) qual será o lucro da empresa se a verba de propaganda for dividida igualmente entre os dois produtos?
c) expresse o lucro total P em função da porcentagem y da verba de propaganda gasta para anunciar
o produto B.
47. [34. Volume de um tumor] A forma de um tumor canceroso é aproximadamente esférica e, portanto,
seu volume é dado, aproximadamente, por
V �
4
3
pir3
onde r é o raio do tumor em centímetros.
a) quando foi descoberto, o tumor tinha 0, 73 cm de raio; 45 dias depois, o raio aumentou para 0, 95
cm. Qual foi o aumento de volume do tumor nesse período?
b) depois que o paciente foi tratado com quimioterapia, o raio do tumor diminuiu 23%. Qual foi a
redução percentual de volume do tumor?
48. [39. Vendas a varejo] Um fabricante tem vendido luminárias a R$ 50,00 a unidade e por este preço
as vendas têm sido de 3000 luminárias por mês. O fabricante pretende aumentar o preço e calcula que,
para cada R$ 1,00 de aumento, menos 1000 luminárias serão vendidas por mês. O custo de produção
é R$ 29,00 por luminária. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das
lâmpadas, esboce o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda.
49. [54. Conta bancária] A taxa cobrada para manter uma conta corrente em um certo banco é R$ 12,00
por mês mais 10 centavos para cada cheque passado. Outro banco cobra R$ 10,00 por mês mais 14
centavos por cheque. Defina um critério para decidir em qual dos dois bancos é mais vantajoso manter
uma conta corrente.
50. [55. Fisiologia] A pupila do olho humano é aproximadamente circular. Se a intensidade I da luz que
entra no olho é proporcional à área da pupila, expresse I em função do raio r da pupila.
51. [58. Bioquímica] Na bioquímica, a constante de equilíbrio R de uma reação enzimática é dada pela
equação
R �
RmrSs
Km � rSs
onde Km é uma constante (a chamada constante de Michaelis), Rm é o valor máximo de R e rSs é a
concentração do substrato. Reescreva a equação de modo a expressar
y �
1
R
em função de x �
1
rSs
e esboce o gráfico desta função. (Este gráfico é conhecido como gráfico duplamente recíproco de
Leneweaver-Burk).
Problemas 1.5
52. Nos problemas abaixo, determine o limite indicado, caso exista:
[7] lim
xÑ2
p3x2 � 5x� 2q [12] lim
x�1
px2 � 1qp1� 2xq2 [14] lim
xÑ1
2x� 3
x� 1
[16] lim
xÑ3
2x� 3
x� 3
[18] lim
xÑ3
9� x2
x� 3
[21] lim
xÑ4
px� 1qpx� 4q
px� 1qpx� 4q
[23] lim
x�2
x2 � x� 6
x2 � 3x� 2
[24] lim
xÑ1
x2 � 4x� 5
x2 � 1
[25] lim
xÑ4
?
x� 2
x� 4
9
[Dicas:] use as propriedades do limite em [7,12,14]. Em [16] use que
2x� 3
x� 3
�
2px� 3� 3q � 3
x� 3
�
2px� 3q � 6� 3
x� 3
�
2px� 3q � 9
x� 3
�
2px� 3q
x� 3
�
9
x� 3
� 2�
9
x� 3
Como sabemos que
9
x�3
não tem limite quando x Ñ 3, então podemos concluir que o limite em [16]
também não existe.
Em [18] use que 9 � x2 � p3 � xqp3 � xq. Em [21] cancele o termo px � 4q e use as propriedades do
limite. Em [23] observe que �2 é uma raiz de ambos os polinômios do numerador e do denominador
e, portanto, podemos dividir esses polinômios por px�p�2qq para eliminar esse fator comum. Obtemos
x2 � x� 6 � px� 2qpx� 3q e x2 � 3x� 2 � px� 2qpx� 1q e logo
x2 � x� 6
x2 � 3x� 2
�
px� 2qpx� 3q
px� 2qpx� 1q
�
x� 3
x� 1
para x � �2
e, portanto, como limxÑ�2px� 1q � �1 � 0, então podemos usar a regra do limite do quociente e obter
lim
x�2
x2 � x� 6
x2 � 3x� 2
� lim
x�2
x� 3
x� 1
�
�5
�1
� 5
Em [24] use o mesmo método de [23]. Em [25] multiplique o numerador e o denominador por
p
?
x� 2q.
53. Determine limxÑ�8 fpxq e limxÑ�8 fpxq. Se o valor limite for infinito, indique se é �8 ou �8:
[27] fpxq � x3 � 4x2 � 4 [29] fpxq � p1� 2xqpx� 5q
[31] fpxq �
x2 � 2x� 3
2x2 � 5x� 1
[34] fpxq �
x2 � x� 5
1� 2x� x3
[Dica:] Para calcular o limxÑ8 fpxq fazemos x �
1
u
. Assim, x tende ao infinito se, e somente se, u
tende a zero e, portanto
lim
x�8
fpxq � lim
uÑ0�
fp 1
u
q e lim
x�8
fpxq � lim
uÑ0�
fp 1
u
q
Vamos aplicar isso ao item [34]; nesse caso fpxq � x
2
�x�5
1�2x�x3
, logo
fp 1
u
q �
1
u2
�
1
u
� 5
1�
2
u
�
1
u3
�
1� u� 5u2
u2
u3 � 2u2 � 1
u3
�
1� u� 5u2
u2
�
u3
u3 � 2u2 � 1
� u �
1� u� 5u2
u3 � 2u2 � 1
Agora, usando as propriedades do limite: limuÑ0�
1�u�5u2
u3�2u2�1
� �1 e limuÑ0� u � 0 e, da regra do produto,
segue que limuÑ0� fp
1
u
q � 0, logo limx�8 fpxq � 0.
54. Complete cada uma das tabelas abaixo calculando fpxq para os valores especificados de x. Em seguida,
use a tabela para estimar o limite indicado ou mostrar que o limite não existe.
10
[39] fpxq � x2 � x; lim
xÑ2
fpxq;
x 1, 9 1, 99 1, 999 2 2, 001 2, 01 2, 1
fpxq
‘
[40] fpxq � x�
1
x
; lim
xÑ0
fpxq;
x �0, 09 �0, 009 0 0, 0009 0, 009 0, 09
fpxq
‘
[41] fpxq �
x3 � 1
x� 1
; lim
xÑ1
fpxq;
x 0, 9 0, 99 0, 999 1 1, 001 1, 01 1, 1
fpxq
‘
[42] fpxq �
x3 � 1
x� 1
; lim
x�1
fpxq;
x �1, 1 �1, 01 �1, 001 �1 �0, 999 �0, 99 �0, 9
fpxq
‘
55. Calcule o limite indicado ou mostre que o limite não existe usando as seguintes informações a respeito
de limites das funções fpxq e gpxq:
lim
xÑc
fpxq � 5; lim
xÑc
gpxq � �2; lim
xÑ8
fpxq � �3; lim
xÑ8
gpxq � 4
[43] lim
xÑc
t2fpxq � 3gpxqu [44] lim
xÑc
tfpxq � gpxqu [45] lim
xÑc
a
fpxq � gpxq [47] lim
xÑc
fpxq
gpxq
[46] lim
xÑc
fpxq � tgpxq � 3u [48] lim
xÑc
2fpxq � gpxq
5gpxq � 2fpxq
[49] lim
xÑ8
2fpxq � gpxq
x� fpxq
[50] lim
xÑ8
a
gpxq
[Dica:] use as propriedades do limite. Vejamos [43]:
lim
xÑc
t2fpxq � 3gpxqu � lim
xÑc
t2fpxqu � lim
xÑc
t3gpxqu � 2 lim
xÑc
fpxq � 3 lim
xÑc
gpxq � 2 � 5� 3 � p�2q � 10� 6 � 16
[Problemas 1.6]
56. Determine os limites laterais indicados. Se o valor limite for infinito, indique se é �8 ou �8:
[5] limxÑ4�p3x
2
� 9q [9] limxÑ2�
x� 3
x� 2
[12] limxÑ1�
x�
?
x
x� 1
[13] limxÑ3�
?
x� 1� 2
x� 3
[15] limxÑ3� fpxq e limxÑ3� fpxq onde fpxq �
#
2x2 � x para x   3
3� x para x ¥ 3
[Dica:] veja as dicas do Exercício 52.
57. Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x:
[17] fpxq � 5x2 � 6x� 1 em x � 2 [19] fpxq �
x� 2
x� 1
em x � 1 [21] fpxq �
x� 1
x� 1
em x � 1
[27] fpxq �
#
x2 � 1 para x ¤ 3
2x� 4 para x ¡ 3
em x � 3.
[Dica:] calcule os limites laterais no ponto especificado. Se esses limites laterais forem iguais a função
será contínua no ponto; se forem diferentes ou se um deles existir e o outro não, então a função será
descontínua no ponto especificado.
11
58. Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é continua:
[29] fpxq � 3x2 � 6x� 9 [33] fpxq �
3x� 3
x� 1
[35] fpxq �
3x� 2
px� 3qpx� 6q
[37] fpxq �
x
x2 � x
[39] fpxq �
#
2x� 3 para x ¤ 1
6x� 1 para x ¡ 1
[42] fpxq �
#
2� 3x para x ¤ �1
x2 � x� 3 para x ¡ �1
[Dica:] Lembre-se que toda função polinomial hpxq é contínua em todo valor de x, e que uma função
racional gpxq � ppxq
qpxq
, onde ppxq e qpxq são funções polinomiais, é contínua em todo valor de x � c no
qual qpcq � 0. Use isso para responder [29,33,35,37]. Para [39,42] observe que cada uma de suas
partes é contínua no intervalo onde está definida (por serem funções polinomiais), assim, resta apenas
verificar a continuidade no valorde x do ponto no qual os gráficos das partes são unidos.
59. [45. Tarifas postais] No correio dos Estados Unidos, a �função de porte� ppxq pode ser descrita da
seguinte forma:
ppxq �
$
'
&
'
%
41 para 0   x ¤ 1
58 para 1   x ¤ 2
75 para 2   x ¤ 3, 5
onde x é o peso de uma carta em onças e ppxq é o preço correspondente, em centavos de dólar. Faça o
gráfico de p para 0   x ¤ 3. Para que valores de x a função p é descontínua no intervalo 0   x ¤ 3?
60. [53] Determine os valores da constante A para os quais a função f é contínua para qualquer valor de
x:
fpxq �
#
Ax� 3 para x   2
3� x� 2x2 para x ¥ 2
61. [56] Discuta a continuidade da função
fpxq �
#
x2 � 3x para x   2
4� 2x para x ¥ 2
no intervalo aberto 0   x   2 e no intervalo fechado 0 ¤ x ¤ 2.
62. [58] Mostre que a equação
3
?
x � x2 � 2x� 1
tem pelo menos uma solução no intervalo 0 ¤ x ¤ 1. [Dica:] aplique a propriedade do valor interme-
diário na função fpxq � 3
?
x� x2 � 2x� 1.
12