Tabela de Derivadas (UFRJ)

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Tabela de derivadas das funções usuais
Função f Função derivada f ′ Intervalo de definição
f(x) = k (constante) f ′(x) = 0 R
f(x) = mx+ p f ′(x) = m R
f(x) = xn (n ∈ N∗) f ′(x) = nxn−1 R
f(x) =
1
x
(n ∈ N∗) f ′(x) = − n
xn+1
R∗
f(x) =
√
x f ′(x) =
1
2
√
x
R∗+ =]0,+∞)
Tabela das operações com derivadas
As funções u e v são definidas e deriváveis num intervalo I.
Função Derivada Exemplo
ku (k constante) ku′ Se f(x) = 4x3 então f ′(x) = 4× (3x2) = 12x2
u+ v u′ + v′ Se f(x) = x+
1
x
então f ′(x) = 1− 1
x2
u× v u′v + uv′ Se f(x) = x
√
x então f ′(x) = 1×√x+x× 1
2
√
x
=
√
x+ 12
√
x =
3
2
√
x com x 6= 0
1
v
− v
′
v2
Se f(x) =
1
3x2 + 2x+ 1
então f ′(x) =
6x+ 2
(3x2 + 2x+ 1)2
u
v
u′v − uv′
v2
Se f(x) =
2x− 3
x2 + 1
então f ′(x) =
2(x2 + 1)− (2x− 3)(2x)
(x2 + 1)2
=
2
1− 3x− x2
(x2 + 1)2
Regra da cadeia
[f(u(x))]′ = f ′(u(x))× u′(x)
A derivada de f(u) é a derivada da função externa calculada na função interna multiplicado
pela derivada da função interna
Consequencias:
Função Derivada Exemplo
√
u
u′
2
√
u
Se f(x) =
√
x2 + 1 então f ′(x) =
1
2
√
x2 + 1
× (2x) = x√
x2 + 1
un (n ∈ N∗) n.un−1 × u′ Se f(x) = (3√x+ 2)2 então f ′(x) = 2(3√x+ 2)× 3
2
√
x
=
6√
x
+ 9