FUNÇÕES VETORIAIS

Prévia do material em texto

FUNÇÕES  VETORIAIS  ‐  EXERCÍCIOS 
 
1) Nos itens que seguem, encontre o domínio da função vetorial R: 
 
a) ܴሺݐሻ ൌ ቀଵ
௧
, √4 െ ݐቁ 
b) ܴሺݐሻ ൌ ሺݐଶ ൅ 3, ݐ െ 1ሻ 
c) ܴሺݐሻ ൌ ሺܽݎܿݏ݁݊ ݐ, arccos ݐሻ 
d) ܴሺݐሻ ൌ ሺlnሺݐ ൅ 1ሻ , ܽݎܿݐ݃ ݐሻ 
e) ܴሺݐሻ ൌ ൫√ݐ െ 4, √4 െ ݐ൯ 
 
2) Encontre  
ௗ௬
ௗ௫
  e  ௗ²௬
ௗ௫²
:   (lembre que ௗ௬
ௗ௫
ൌ
ௗ௬
ௗ௧ൗ
ௗ௫
ௗ௧ൗ
ൌ ݕԢ   e    ݀²ݕ݀ݔ² ൌ
ௗ௬ᇱ
ௗ௫
 ) 
 
a) ݔ ൌ 3ݐ , ݕ ൌ 2ݐ² 
b) ݔ ൌ 1 െ 2ݐ , ݕ ൌ 1 ൅ ݐ 
c) ݔ ൌ ݐଶ݁௧ , ݕ ൌ ݐ ln ݐ 
d) ݔ ൌ ݁ଶ௧ , ݕ ൌ 1 ൅ cos ݐ 
e) ݔ ൌ ܽ cos ݐ , ݕ ൌ ܾ ݏ݁݊ ݐ 
 
3) Dadas as funções vetoriais, trace um esboço da curva e encontre uma equação cartesiana do 
gráfico. 
 
a) ܴሺݐሻ ൌ ሺݐଶ, ݐ ൅ 1ሻ 
b) ܴሺݐሻ ൌ ቀ ସ
௧మ
, ସ
௧
ቁ 
c) ܴሺݐሻ ൌ ሺcos ݐ, cos ݐሻ ; ݐ א ቂ0, గ
ଶ
ቃ 
 
4) Nos itens abaixo, encontre ܴᇱሺݐሻ e ܴᇱԢሺݐሻ. 
 
a) ܴሺݐሻ ൌ ሺݐଶ െ 3 , 2ݐ ൅ 1ሻ 
b) ܴሺݐሻ ൌ ቀ௧ିଵ
௧ାଵ
, ௧ିଶ
௧
ቁ 
c) ܴሺݐሻ ൌ ሺ݁ଶ௧, ln ݐሻ 
d) ܴሺݐሻ ൌ ሺcos 2ݐ , ݐ݃ ݐሻ 
e) ܴሺݐሻ ൌ ൫√2ݐ ൅ 1 , ሺݐ െ 1ሻ²൯ 
 
 
 
5) Nos itens que seguem, encontre o vetor mais geral, cuja derivada tem o valor da função dada. 
 
a) ܨሺݐሻ ൌ ቀݐ݃ ݐ , െ ଵ
௧
ቁ 
b) ܨሺݐሻ ൌ ሺln ݐ , ݐ²ሻ 
c) ܨሺݐሻ ൌ ሺ3௧ , െ2௧ሻ 
 
6) Se ܴᇱሺݐሻ ൌ ݏ݁݊²ݐ ݅ ൅ 2ܿ݋ݏ²ݐ ݆  e  ܴሺߨሻ ൌ 0 , encontre ܴሺݐሻ. 
OBS.: Use as identidades:   ݏ݁݊²ݔ ൌ ଵିୡ୭ୱ ଶ௫
ଶ
    e    ܿ݋ݏ²ݔ ൌ ଵାୡ୭ୱ ଶ௫
ଶ
. 
 
7) Se ܴᇱሺݐሻ ൌ ݁௧ݏ݁݊ ݐ ݅ ൅ ݁௧ cos ݐ ݆   e   ܴሺ0ሻ ൌ ݅ െ ݆ , encontre ܴሺݐሻ. 
 
8) Encontre o comprimento de arco em cada item. 
 
a) ܴሺݐሻ ൌ ሺݐଷ, 3ݐଶሻ ݐ א ሾെ2,0ሿ 
b) ܴሺݐሻ ൌ ሺ2ݐଶ, 2ݐଷሻ ݐ א ሾ1,2ሿ 
c) A curva inteira:  ݎ ൌ 3 cos² ଵ
ଶ
ߠ 
 
9) Nos itens abaixo, uma partícula move‐se ao longo da curva com equações dadas, onde t segundos 
é o tempo. Encontre: o vetor velocidade ܸሺݐሻ, o vetor aceleração ܣሺݐሻ e a velocidade escalar em 
ݐ ൌ ݐଵ. 
 
a) ݔ ൌ ݐ² ൅ 4 , ݕ ൌ ݐ െ 2 ; ݐଵ ൌ 3 
b) ݔ ൌ 2 cos ݐ , ݕ ൌ 3ݏ݁݊ ݐ ; ݐଵ ൌ
గ
ଷ
 
c) ݔ ൌ ଶ
௧
 , ݕ ൌ െ ௧
ସ
 ; ݐଵ ൌ 4 
d) ݔ ൌ ݁ଶ௧ , ݕ ൌ ݁ଷ௧ ; ݐଵ ൌ 0 
e) ܴሺݐሻ ൌ ሺ2ݐ െ 1ሻ݅ ൅ ሺݐଶ ൅ 1ሻ݆ ; ݐଵ ൌ 3 
f) ܴሺݐሻ ൌ cos 2ݐ ݅ െ 3ݏ݁݊ ݐ ݆ ; ݐଵ ൌ ߨ 
g) ܴሺݐሻ ൌ lnሺݐ ൅ 2ሻ ݅ ൅ ଵ
ଷ
ݐଶ݆ ; ݐଵ ൌ 1 
 
10) Encontre o vetor posição ܴሺݐሻ se o vetor velocidade é      ܸሺݐሻ ൌ ଵ
ሺ௧ିଵሻ²
݅ െ ሺݐ ൅ 1ሻ݆       e    
 ܴሺ0ሻ ൌ 3݅ ൅ 2݆. 
 
11) Encontre o vetor posição ܴሺݐሻ se o vetor aceleração e  ܣሺݐሻ ൌ 2 cos 2ݐ ݅ ൅ 2ݏ݁݊ 2ݐ ݆  e  
ܸሺ0ሻ ൌ ݅ ൅ ݆   e   ܴሺ0ሻ ൌ ଵ
ଶ
݅ െ ଵ
ଶ
݆. 
 
 
12) Nos itens abaixo, encontre para a curva dada,  ܶሺݐሻ  e  ܰሺݐሻ  em ݐ ൌ ݐଵ. 
 
a) ݔ ൌ ଵ
ଷ
ݐଷ െ ݐ , ݕ ൌ ݐଶ ; ݐଵ ൌ 2 
b) ݔ ൌ cos ݇ݐ , ݕ ൌ ݏ݁݊ ݇ݐ , ݇ ൐ 0 ; ݐଵ ൌ
గ
௞
 
c) ݔ ൌ ଵ
ଶ
ݐ² , ݕ ൌ ଵ
ଷ
ݐ³ ; ݐ ൐ 0 ; ݐଵ ൌ 1 
d) ܴሺݐሻ ൌ ݁௧݅ ൅ ݁ି௧݆ ; ݐଵ ൌ 0 
 
13) Se a equação vetorial da curva C é ܴሺݐሻ ൌ 3ݐ²݅ ൅ ሺݐଷ െ 3ݐሻ݆ , encontre o coseno da medida do 
ângulo entre os vetores ܴሺ2ሻ e ܶሺ2ሻ. Lembre que: se ߙ é o ângulo entre os vetores u e v, então: 
cos ߙ ൌ ۃ௨,௩ۄ|௨||௩| 
 
14) Para cada curva abaixo, encontre a curvatura k e o raio da curvatura ߩ no ponto ݐ ൌ ݐଵ. 
 
a) ܴሺݐሻ ൌ 2ݐ ݅ ൅ ሺݐଶ െ 1ሻ݆ ; ݐଵ ൌ 1 
b) ܴሺݐሻ ൌ 3ݐ²݅ ൅ ሺݐଷ െ 3ݐሻ݆ ; ݐଵ ൌ 1 
c) ܴሺݐሻ ൌ 2݁௧ ݅ ൅ 2݁ି௧ ݆ ; ݐଵ ൌ 0 
 
15) Nos itens abaixo, encontre um ponto da curva dada onde a curvatura é máxima. 
 
a) ܴሺݐሻ ൌ ሺ2ݐ െ 3ሻ݅ ൅ ሺݐଶ െ 1ሻ݆ 
b) ݕ ൌ 6ݔ െ ݔ² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) ሺെ∞, 0ሻ ׫ ሺ0,4ሿ      b) Թ     c) [‐1,1]     d) ሺെ1, ൅∞ሻ     e) ሼ4ሽ 
2) a) ସ௧
ଷ
 ; ସ
ଽ
     b) ‐2 ; 0     c)  ଵା୪୬ ௧
௧௘೟ሺଶା௧ሻ
 ; ሺଶା௧ሻିሺଵା୪୬ ௧ሻሺଶାସ௧ା௧
మሻ
௧³௘మ೟ሺଶା௧ሻ³
     d) ି௦௘௡ ௧
ଶ௘మ೟
 ; ଶ௦௘௡ ௧ିୡ୭ୱ ௧
ସ௘ర೟
     
e)െ ௕
௔
ܿ݋ݐ݃ ݐ ; െ ௕
௔²
ܿ݋ݏ݁ܿ³ݐ 
3) a) ሺݕ െ 1ሻଶ ൌ ݔ    b) ݔ ൌ ௬
మ
ସ
 , ሺݔ, ݕሻ ് ሺ0,0ሻ     c) ݕ ൌ ݔ ; 0 ൑ ݔ ൑ 1 
4) a) ሺ2ݐ, 2ሻ ; ሺݐ, 0ሻ    b) ቀ ଶ
ሺ௧ାଵሻ²
, ଶ
௧²
ቁ ; ቀ ିସ
ሺ௧ାଵሻ³
, ିସ
௧³
ቁ    c) ቀ2݁ଶ௧, ଵ
௧
ቁ ; ቀ4݁ଶ௧, ିଵ
௧²
ቁ 
d) ሺെ2ݏ݁݊ 2ݐ, ݏ݁ܿ²ݐሻ ; ሺെ4 cos 2ݐ , 2ݏ݁ܿଶݐ. ݐ݃ ݐሻ                                                                                
e) ቀ ଵ
√ଶ௧ାଵ
, 2ݐ െ 2ቁ ; ቀ ିଵ
ሺଶ௧ାଵሻయ/మ
, 2ቁ 
5)   a) ሺln|sec ݐ| , െ ln|ݐ|ሻ ൅ ܥ    b) ቀݐ. ln ݐ െ ݐ, ଵ
ଷ
ݐଷቁ ൅ ܥ     c) ቀ ଷ௧
୪୬ ଷ
, ିଶ
೟
୪୬ ଶ
ቁ ൅ ܥ 
6)   ቀଵ
ଶ
ቀെߨ ൅ ݐ െ ଵ
ଶ
ݏ݁݊ 2ݐቁ , െߨ ൅ ݐ ൅ ଵ
ଶ
ݏ݁݊ 2ݐቁ 
7)   ቀ௘
೟௦௘௡ ௧ି௘೟ ୡ୭ୱ ௧
ଶ
൅ ଷ
ଶ
 , ௘
೟௦௘௡ ௧ା௘೟ ୡ୭ୱ ௧
ଶ
െ ଷ
ଶ
ቁ 
8)    a) 16√2 െ 8    b)  ଶଶ଻ ൫40
ଷ/ଶ െ 13ଷ/ଶ൯    c) 12 
9)   a) ሺ2ݐ, 1ሻ ; ሺ2,0ሻ ; √37    b) ቀെ√3, ଷଶቁ ; ቀെ1, െ
ଷ√ଷ
ଶ
ቁ ; √ଶଵ
ଶ
    c) ቀെ ଵ
଼
, െ ଵ
ସ
ቁ ; ቀ ଵ
ଵ଺
, 0ቁ ; √ହ
଼
 
       d) ሺ2݁ଶ௧, 3݁ଷ௧ሻ ; ሺ4݁ଶ௧, 9݁ଷ௧ሻ ; √13    e) 2݅ ൅ 6݆ ; 2݆ ; 2√10    f) 3݆ ; െ4݅ ; 3 
       g) ቀଵ
ଷ
, ଶ
ଷ
ቁ ; ቀെ ଵ
ଽ
, ଶ
ଷ
ቁ ; √ହ
ଷ
 
10)   ଶ௧ିଷ
௧ିଵ
݅ ൅ ସିଶ௧ି௧²
ଶ
݆ 
11)   ܴሺݐሻ ൌ ቀ1 ൅ ݐ െ ଵ
ଶ
cos 2ݐቁ ݅ ൅ ቀെ ଵ
ଶ
൅ 2ݐ െ ଵ
ଶ
ݏ݁݊ 2ݐቁ ݆ 
12)   a) ܶሺݐሻ ൌ ௧
మିଵ
௧మାଵ
݅ ൅ ଶ௧
௧మାଵ
݆ ; ܰሺݐሻ ൌ ଶ௧
௧మାଵ
݅ ൅ ଵି௧
మ
௧మାଵ
݆ 
         b) ܶሺݐሻ ൌ െݏ݁݊ ݇ݐ ݅ ൅ cos ݇ݐ ݆ ; ܰሺݐሻ ൌ െ cos ݇ݐ ݅ െ ݏ݁݊ ݇ݐ ݆ 
         c) ܶሺݐሻ ൌ ൬ ଵ
ඥଵା௧²
, ௧
ඥଵା௧²
൰ ; ܰሺݐሻ ൌ ቀ ି௧
√ଵା௧మ
 , ଵ
√ଵା௧మ
ቁ 
         d) ܶሺݐሻ ൌ ௘
మ೟
ඥ௘ర೟ାଵ
݅ െ ଵ
ඥ௘ర೟ାଵ
݆ ; ܰሺݐሻ ൌ ଵ
ඥ௘ర೟ାଵ
݅ ൅ ௘
మ೟
ඥ௘ర೟ାଵ
݆ 
13)    ଶ଻
ଵ଼ହ √37 
14)  a) ݇ ൌ ଵ
଼ √2 ; ߩ ൌ 4√2     b) ݇ ൌ
ଵ
଺
 ; ߩ ൌ 6     c) ݇ ൌ ଵ
ସ √2 ; ߩ ൌ 2√2 
15)   a) (‐3,‐1)     b) (3,9)