Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

CÁLCULO III
Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento 	 De Arco
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Conteúdo Programático
Introdução 
Aplicações ao Movimento
Exemplos
Comprimento de Arco
5. Exemplos
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
INTRODUÇÃO
Interpretação física da derivada
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
 
Vamos considerar uma partícula em movimento no espaço (R2 ou em R3). 
Observe que quando t varia, a extremidade livre do vetor σ(t) descreve a trajetória C da partícula.
A função σ(t) é dita função posição do movimento. 
Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t+Δt. Veja que Δσ = σ(t+Δt) - σ(t) representa o deslocamento da partícula de P para Q, no intervalo Δt.
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
A partir da função posição podemos falar dos conceitos físicos → vetor velocidade, velocidade escalar e vetor aceleração. 
DEFINIÇÃO 1
Considere a função posição σ(t). A sua derivada σ’(t) é chamada vetor velocidade. 
Notação: V(t) → vetor velocidade da partícula 
APLICAÇÕES AO MOVIMENTO
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Observação:
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra. 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
DEFINIÇÃO 2
O comprimento do vetor velocidade,||σ’(t)||, é chamado de velocidade escala. 
Notação: v(t) → velocidade escalar
 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
DEFINIÇÃO 3
O vetor aceleração da partícula é dado pela derivada do vetor velocidade → V’(t) ou σ’’(t)
Notação: a(t) → vetor aceleração da partícula 
 
Observação:
O vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
CONCLUSÃO
Quando 
é derivável, o vetor velocidade da
partícula é dado por
Quando 
é derivável, a aceleração da partícula é
dada por
A velocidade escalar v(t) é dada por ||σ’(t)|| v(t) = ||σ’(t)|| 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
EXEMPLO 1
Determinar o vetor velocidade, vetor aceleração e a velocidade escalar de uma partícula que se move segundo a função abaixo:
Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Cálculo do vetor velocidade da partícula
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Cálculo do vetor aceleração da partícula
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Cálculo do vetor velocidade escalar da partícula
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Veja que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar é nulo.
Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Portanto, o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
EXEMPLO 2
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
 e
Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
 
(b) Os carros colidem no ponto P? 
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro? 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
Primeiro devemos observar que σ1 = (t,t2) tem x(t) = t e y(t) = t2, portanto a equação cartesiana será y = x2. 
Com o raciocínio análogo σ2 = (t,7t - 10), x(t) = t e y(t) = 7x – 10, portanto a equação cartesiana será y = 7x – 10.
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Encontramos o ponto onde as estradas se cruzam resolvendo o sistema formado por y= x2 e y= 7x -10. 
Igualando as duas equações x2 = 7x -10, e resolvendo a equação do segundo grau encontramos como raízes os números reais 5 e 2. 
Concluímos, então que temos dois pontos de encontro entre y(t) = t2 e y = 7x – 10 que são as coordenadas (5,25) e (5,4). 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
 e
(b) Os carros colidem no ponto P? 
Para saber se os carros colidem, basta verificar em que tempo cada um deles passa no ponto de interseção (item a). 
Para σ1 = (t,t2) temos x(t) = t = 5 e para σ2 = (t,7t - 10), temos x(t) = t=5. Logo os carros colidem.
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
 e 
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro? 
Precisamos calcular a velocidade escalar
 
v(t) = || σ`(t)|| e v(t) = ’(t).
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Para o carro A temos: 
Com t = 5 →
Para o carro B temos: 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
COMPRIMENTO DE ARCO
Considere a curva definida por e , como a trajetória descrita por uma partícula que se move com velocidade escalar . 
v(t) = =|| σ`(t)||
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Queremos encontrar o comprimento dessa curva quanto t varia de a até b.
DEFINIÇÃO
Seja C uma curva definida pela função vetorial σ(t), t variando no intervalos [a,b] de classe C1. 
O comprimento da curva C é definido por 
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
OBSERVAÇÃO
Se C é uma curva em R2 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:
Se C é uma curva em R3 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
EXEMPLO 1
, 
.
Cálculo da derivada da função dada.
Vamos calcular o comprimento da curva (hélice circular).
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
EXEMPLO 2
Vamos calcular o comprimento da curva
Cálculo da derivada da função dada.
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
EXEMPLO 3
Vamos
calcular o comprimento da curva
Cálculo da derivada da função dada.
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Vamos chamar de u e derivar
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
RESUMINDO
Tema da Apresentação
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Tema da Apresentação
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6