Aplicações de Integral - Coordenadas Polares

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CÁLCULO II
AULA10 – APLICAÇÕES DE INTEGRAL-COORDENADAS
 POLARES
Tema da Apresentação
APLICAÇÃO DE INTEGRAL:COORDENADAS POLARES – AULA10
CÁLCULO II
Conteúdo Programático desta aula
 Relação entre as Coordenadas Polares e as Coordenadas
 Cartesianas Retangulares.
- Exercícios
Tema da Apresentação
APLICAÇÃO DE INTEGRAL:COORDENADAS POLARES – AULA10
CÁLCULO II
 Até aqui a localização de um ponto no plano tem sido feita por suas coordenadas cartesianas retangulares; entretanto, há outros sistemas que dão a posição de um ponto num plano.
COORDENADAS POLARES
 O sistema de coordenadas polares é um deles e certas curvas têm equações mais simples quando ele é usado. 
 
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CÁLCULO II
 Para estabelecer um sistema de coordenadas polares no plano, determinemos um ponto fixo O, chamado PÓLO, e um raio, uma semirreta orientada fixa (ou semi-eixo) com origem O denominada EIXO POLAR que vou representar por OA.
 Um ângulo na POSIÇÃO PADRÃO tem vértice no pólo O e o eixo polar como seu lado inicial.
O
eixo polar
pólo
A
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CÁLCULO II
 Seja P um ponto qualquer do plano, distinto de O. Seja  a medida em radianos do ângulo AOP, que será positiva quando considerada no sentido anti-horário e negativa quando no sentido horário, tendo como lado inicial OA e como lado final OP.
 Desse modo, se r for a distância não orientada de O a P, isto é, r= OP , o conjunto de coordenadas polares de P será dado por r e  , e escrevemos essas coordenadas como 
(r , ).
O
A
P(r , )
r

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CÁLCULO II
 As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P relação a uma “grade” formada por círculos concêntricos com centro em O e semirretas partindo de O.
 O valor de r localiza P num círculo de raio r , o valor de  localiza P numa semirreta que é o lado terminal do ângulo  na posição fundamental ,e P é determinado pela interseção do círculo com a semirreta.
OBSERVAÇÕES:
Se r=0 o ponto (r,) coincide com o pólo O, não importando qual seja o ãngulo .
Se r negativo, temos que o ponto (-r,) está localizado a
 unidades do pólo, mas numa semirreta oposta a de °,isto é, sobre o raio °+180°. Assim,(-r,)=(r,+180°) ou 
 (-r,)=(r,+π) para  em radianos.
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3. No sistema polar um ponto P tem muitas representações 
 diferentes. Assim: 
 (r,°)=(-r,°+180°)=(r,°+360°)=(r,°-360°)
4. Se n é um inteiro qualquer, temos:
 (r,°)=(r,°+360°.n) ou, em radianos, (r,)=(r,+2nπ).
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EXERCÍCIO
 Represente no sistema de coordenadas polares os seguintes pontos:
 a) P1 ( 2,π/4) c) P3(2,π/3) e) P5(4,3π/4)
 b) P2 (-2,π/4) d) P4(-5/2.π/6) f) P6(2,-π/4)
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 RELAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
 RETANGULARES E O SISTEMA DE COORDENADAS POLARES.
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Podemos observar que:
 (i) Para r>0 , temos: cos  = x/r e sen  = y/r
 (ii) Para r<0 , temos: cos  = -x/-r = x/r e 
 sen  = -y/-r = y/r
Portanto: x = r cos 
 y = r sen 
 Agora, elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos: x² = r² cos²
 y² = r² sen²
 Adicionando membro a membro, obtemos:
x² + y² = r²cos² + r²sen²  x² + y² = r²(sen² + cos²) 
x² + y² = r²  
 
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EXERCÍCIOS
 1.Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são (-4,7π/6) 
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2.Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas:
 a) (4,30°) 
 b) )-2, 5π/6) 
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CÁLCULO II
ESBOÇO DE GRÁFICOS POLARES
LIMAÇON
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CÁLCULO II
CARDIÓIDE
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CÁLCULO II
ROSÁCEA DE TRÊS PÉTALAS
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CÁLCULO II
LEMNISCATA
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ROSÁCEA
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ROSÁCEA
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ESPIRAL
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Na aula de hoje:
 Estudamos as Coordenadas Polares e vimos sua relação com as Coordenadas Cartesianas Retangulares
 Apresentamos alguns gráficos em Coordenadas Polares
Resolvemos alguns exercícios.
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