LISTA DE EXERCÍCIO ALGEBRA II - 2016-1

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UNINILTONLINS Exercícios de Revisão - 08/03/2016 
 
Curso ENGENHARIA CIVIL Exercício de fixação 
Período 3º. PERÍODO Turno: M Turma: ENC034 
Disciplina Álgebra Linear II 
Professora Eloídes de Sousa Melo 
 
Aluno:_________________________________________MATRÍCULA___________ 
1. Verifique se o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis é um 
subespaço vetorial de M(3,1). Considerando o sistema homogêneo: 
{
 
 
 
 
 
2. Verificar se W = {(x,y,z)/ y = ax e z = bx} é um subespaço de R³ . 
3. Considere os espaços vetoriais reais R² e R³, verifique se os seguintes conjuntos são 
subespaços vetoriais dos espaços vetoriais, onde estão definidos: 
a) F = { (x,y) ∈ R² / x= 2y} 
b) G = {(a,b,c) ∈ R³ / b + c = 1} 
c) M = {(x1, x2, x3) ∈ R³ / x1 = x22 } 
4. Sejam M(2,2) = {[
 
 
] , , , ∈ 𝑅} e S = {[
 
 
]; , ∈ 𝑅. Verifique se S é um 
subespaço vetorial de M(2,2). 
5. Mostre que { )| } não é um subespaço vetorial de R³, 
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
6. Seja S um subconjunto do R², verifique se { ) ∈ }, é um subespaço 
vetorial de . 
7. Seja H o conjunto dos pontos no interior de um círculo unitário no plano xy, ou seja, 
 { ) }. Encontre dois vetores u e v em H, ou um escalar real c e 
um vetor v em H para mostrar que H não é um subespaço vetorial do 
8. Seja { ) ∈ | }. Mostre que W é um subespaço do R³. 
9. Sejam os subconjuntos A e B abaixo, determine se estes são subespaços de R², 
levando-se em consideração que seu simétrico também deve ser subespaço de R². 
 { ) ∈ | } { ) ∈ | } 
10. Seja ) um vetor de 
 fixo. O conjunto definido por 
 { ) ∈ 
 | } é um subespaço de 
 ? 
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11. Dados os espaços vetoriais reais abaixo, determine se em cada caso, se W é um 
subespaço de V. 
a) { ) } 
b) { ) ∈ } { ) 
 } 
12. Seja e { ) ∈ | ∈ }, determine se W é um subespaço 
vetorial de . 
13. Considere os vetores ) ) em R³. Mostre que 
 ) é uma combinação linear de u e v e que ) não é uma 
combinação linear de u e v. 
14. Determine se o vetor ) é uma combinação linear dos vetores 
 ) ). 
15. Sejam os vetores ) ). Prove que o vetor 
 ) pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2. 
 
16. Sejam os vetores 
)2,1,2(v1 
 , 
)2,3,0(v2 
 e 
)0,2,4(v3 
. 
 a) Escreva, se possível, o vetor 
)2,5,2(v 
 como CL dos vetores 
1v
 e 
2v
. 
 b) Escreva, se possível, o vetor 
1v
 como CL dos vetores 
2v
 e 
3v
. 
 c) Determine o valor de “m” para que o vetor 
)m,0,6(u 
 seja CL dos vetores 
1v
 e 
2v
. 
17. Sejam os vetores 







11
01
v1
, 







10
21
v2
 e 





 

12
10
v3
 de V = 
2x2M
. 
a)Escreva, se possível, o vetor 







50
81
v
 como CL dos vetores 
1v
, 
2v
 e 
3v
. 
b)Escreva, se possível, o vetor 
v
 como combinação linear dos vetores 
1v
 e 
2v
. 
18. Sejam os vetores 
tt2pe2tp,1t2tp 232
2
1 
 de V = 
2P
. 
 a)Escreva, se possível, o vetor 
7t5t5p 2 
 como CL dos vetores 
1p
,
2p
 e 
3p
. 
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 b)Escreva, se possível, o vetor 
p
 como CL dos vetores 
1p
 e 
2p
. 
19. No espaço vetorial P2 o polinômio é combinação linear dos 
polinômios: 
 e 
 , de fato . 
Confira. 
20. Verifique que em P2 o polinômio ) é combinação dos polinômios ) 
 , ) e ) . 
21. Escreva a matriz como combinação linear das 
matrizes , e . 
22. Determine a condição para que x, y, z de modo que (x, y, z) seja combinação linear dos vetores 
de { ) ) Interprete geometricamente. 
23. Determine o valor de a para que o vetor ) seja combinação linear dos vetores 
 { ) ) � � 
 
 
 
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Consultar o livro: Steinbruch, A. Winterle, P. Introdução à Álgebra Linear. 2a. ed. Makron 
Books. 1997.