Álgebra Linear - Prova 03 (2013)

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias - Alegre
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
3a Prova - A´lgebra Linear - 2013/I
Nome:
1. (a) Determine o operador linear T : R3 → R3 tal que T (1, 0, 0) = (1, 0, 1), T (0, 1, 1) = (1, 0, 1) e
T (0, 0, 1) = (1, 2, 3).
(b) Encontre o nu´cleo de T .
(c) Encontre a imagem de T .
2. Dado o operador linear
T : R3 → R3
(x, y, z) 7→ T (x, y, z) = (x+ y + z, 2y − z, y − z)
fac¸a o que se pede.
(a) Encontre os autovalores de T .
(b) T e´ diagonaliza´vel? Justifique sua resposta!!!
(c) Caso exista, encontre uma base γ do R3 na qual [T ]γγ e´ diagonal.
(d) Determine [T ]γγ . Qual a relac¸a˜o desta matriz com os vetores da base γ?
3. Dada a transformac¸a˜o linear
T : U → V
T (x, y, z) = (x+ 3y,−2x+ 2y,−x+ 4y − z)
.
(a) Verifique se a transformac¸a˜o linear e´ invers´ıvel. Justifique sua resposta!
(b) Encontre T−1.
(c) Neste caso, qual relac¸a˜o existe entre os espac¸os vetoriais U e V ? Qual a relevaˆncia desta
relac¸a˜o?!
4. Mostre que as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o falsas.
(a) Existe um par de transformac¸o˜es invers´ıveis, T e Q, tais que T ◦Q na˜o e´ invers´ıvel.
(b) Se T : V →W e´ uma transformac¸a˜o tal que T ( ~0V ) = ~0W enta˜o T e´ linear.
(c) Existe uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 injetora.
(d) Existe uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 sobrejetora.