Física Clássica Aula 11

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Sistemas com massa varia´vel
F´ISICA CLA´SSICA
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Sistemas com massa varia´vel
Sistemas com massa varia´vel
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Sistemas com massa varia´vel
Exemplo 1
Como vimos anteriomente, o movimento do centro de massa de
uma colec¸a˜o de corpos so´ muda se houver a ac¸a˜o de uma forc¸a
externa. A princ´ıpio poder´ıamos pensar que isto leva a conclusa˜o
de que todo movimento exige a ac¸a˜o de forc¸as externas, mas
considere os exemplos a seguir:
I Considere um astronauta no espac¸o com massa M, que lanc¸a
um peso de massa m com velocidade v0.
I Ao soltar o peso, a massa do astronauta se reduziu para
M −m, e o conjunto astronauta peso tem um centro de
massa dado por R = (M−m)r1+mr2M . Sem perda de
generalidade, podemos considerar a origem do sistema de
coordenadas em R, com velocidade V.
I Observe que como Fext = 0, R = 0 para todo t (pois V = 0!).
Temos que (M −m)r1 = −mr2, e como r2 = v0t, r1 tambe´m
deve variar no tempo!
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Sistemas com massa varia´vel
Exemplo 1
Como vimos anteriomente, o movimento do centro de massa de
uma colec¸a˜o de corpos so´ muda se houver a ac¸a˜o de uma forc¸a
externa. A princ´ıpio poder´ıamos pensar que isto leva a conclusa˜o
de que todo movimento exige a ac¸a˜o de forc¸as externas, mas
considere os exemplos a seguir:
I Considere um astronauta no espac¸o com massa M, que lanc¸a
um peso de massa m com velocidade v0.
I Ao soltar o peso, a massa do astronauta se reduziu para
M −m, e o conjunto astronauta peso tem um centro de
massa dado por R = (M−m)r1+mr2M . Sem perda de
generalidade, podemos considerar a origem do sistema de
coordenadas em R, com velocidade V.
I Observe que como Fext = 0, R = 0 para todo t (pois V = 0!).
Temos que (M −m)r1 = −mr2, e como r2 = v0t, r1 tambe´m
deve variar no tempo!
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Sistemas com massa varia´vel
Exemplo 1
Como vimos anteriomente, o movimento do centro de massa de
uma colec¸a˜o de corpos so´ muda se houver a ac¸a˜o de uma forc¸a
externa. A princ´ıpio poder´ıamos pensar que isto leva a conclusa˜o
de que todo movimento exige a ac¸a˜o de forc¸as externas, mas
considere os exemplos a seguir:
I Considere um astronauta no espac¸o com massa M, que lanc¸a
um peso de massa m com velocidade v0.
I Ao soltar o peso, a massa do astronauta se reduziu para
M −m, e o conjunto astronauta peso tem um centro de
massa dado por R = (M−m)r1+mr2M . Sem perda de
generalidade, podemos considerar a origem do sistema de
coordenadas em R, com velocidade V.
I Observe que como Fext = 0, R = 0 para todo t (pois V = 0!).
Temos que (M −m)r1 = −mr2, e como r2 = v0t, r1 tambe´m
deve variar no tempo!
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Exemplo 2
I Considere agora que a massa do objeto lanc¸ado pelo
astronalta seja muito pequena δm (por ex. uma pistola de ar
comprimido).
I Inicialmente a massa do astronalta era M(t) = m + δm. Apo´s
o instante ∆t, sua massa e´ M(t + ∆t) = m.
I Apo´s o lanc¸amento do objeto, a velocidade do astronauta
sofre um incremento v + δv . Como a quantidade total de
movimento e´ conservada (pois na˜o agem forc¸as externas),
Pi = (m + δm)v = Pf = mv + δv + δmv + v0 (o objeto e´
lanc¸ado com velocidade v0 em relac¸a˜o ao astronauta).
I Reorganizando a expressa˜o acima, obtemos mδv = −δmv0.
Como M(t + ∆t)−M(t) = ∆M por definic¸a˜o, observe que
∆M = −δm.
I Usando esta relac¸a˜o, dividindo a equac¸a˜o acima por ∆t e
tomando o limite de ∆t → 0, obtemos finalmente
dv
dt = − 1M(t) dMdt v0.
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Exerc´ıcio
I Explique o que aconteceria se o astronauta utilizasse um
extintor ao inve´s de lanc¸ar objetos.
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Exerc´ıcio 2
I Considere agora um foguete de massa inicial M0 que ejeta
com velocidade v0 uma quantidade fixa de ga´s a cada
intervalo de tempo, ou seja, se M(t) e´ a massa do foguete,
dM
dt = cte. Qual deve ser a velocidade final do foguete,
desprezando a acelerac¸a˜o gravitacional? E se considerar o
movimento vertical acendente do foguete com a ac¸a˜o da
gravidade, como se altera a velocidade final?
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Refereˆncias
I Exerc´ıcios livro texto cap´ıtulo 7, no 5, 16, 17, 19
I Exerc´ıcios livro texto cap´ıtulo 8, no 1, 2, 3, 11, 13, 15
I Livro texto, cap´ıtulo 8 (p. 159 - 164).
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	Sistemas com massa variável