IV - VETORES - MECÂNICA GERAL II ESTATICA

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VETORES 
 
INTRODUÇÃO 
No módulo anterior vimos que as grandezas físicas podem ser escalares e 
vetoriais. Escalares são aquelas que ficam perfeitamente definidas quando expressas por 
um número e um significado físico: massa (2 kg), tempo (5 h), volume (6L). etc. Vetoriais 
são aquelas que ficam perfeitamente definidas quando expressas através de um número, 
um significado tísico e uma orientação: força (3 newtons de baixo para cima) velocidade 
(4 km/h para leste), etc. 
Para representar grandezas vetoriais utilizam-se vetores. O vetor é representado 
peio sina! . 
 
 
VETOR 
Com as noções apresentadas, é possível, de maneira simplificada, conceituar-se o 
que é vetor: 
 
 
 
Cada um destes vetores deve ser caracterizado por urna direção, um sentido e 
um módulo. 
Sejam os vetores V1 e V2 apresentados a seguir: 
 
 u u u u u u u u r 
 
 
 
a) Módulo do Vetor 
O vetor tem 3 unidades e o vetor tem 5 unidades. Isso 
significa que, se o vetor representar força, serão 3 unidades 
de força; se representar velocidade, serão 3 unidades de 
velocidade; se representar outra grandeza vetorial, serão 3 
unidades da grandeza representada. Ao número de unidades do 
vetor chamamos módulo ou intensidade do vetor, que é a 
primeira característica de um vetor. 
Vetor: ente matemático determinado por segmentos orientados, 
caracterizando a direção, o sentido e o módulo. 
 
V2 V1 
V1 V2 
V1 
Vetor d (deslocamento) 
d 
Vetor a (aceleração) 
a 
Vetor f (força) 
F 
 
 
 
b) Direção do Vetor 
Como segunda característica, observe que os vetores estão 
sobre uma mesma reta horizontal r. Esta reta, chamada reta 
suporte do vetor, determina a dIreção do vetor . 
 
c) Sentido do Vetor 
Finalmente, observemos que um dos vetores ( ) aponta para a 
esquerda e o outro ( ) para a direita. Dizemos, então, que 
sobre a mesma direção temos dois sentidos possíveis. 
 
Observação 
Diremos, que dois vetores são eqüipolentes quando têm o mesmo módulo, a 
mesma direção e o mesmo sentido. Se, entretanto, os vetores tiverem a mesma direção e 
o mesmo módulo, porém sentidos opostos, diremos que os vetores são simétricos. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Dê as características dos vetores do quadro seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V1 
V2 
N 
 
O L 
 
S 
 
u u u u 
u u u u u u u 
u u u 
Vetores eqüipolentes Vetores simétricos 
módulo 
direção 
sentido 
u 
 
u 
 
u 
a) 
módulo 
direção 
sentido 
u 
b) 
u 
módulo 
direção 
sentido 
c) 
u u u 
módulo 
direção 
sentido 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Processo gráfico da adição vetorial 
 
Sejam os vetores e : 
 
 
 
 
 
Para traçar o vetor soma, podemos utilizar dois processos, que podem ser 
aplicados indistintamente, obtendo-se o mesmo resultado. 
 
 
 
Processo do triângulo Processo do paralelogramo 
 
Traça-se um vetor eqüipolente a 
 . Na extremidade de , traça-se 
um vetor eqüipolente a . O vetor 
soma liga a origem de com a 
extremidade de . 
 
 ( - ) 
 
Constrói-se um paralelogramo cujos 
lados sejam vetores eqüipolentes aos 
vetores apresentados. A diagonal do 
paralelogramo, traçada a partir da 
origem dos vetores, é o vetor soma. 
 
 
 
 ( - ) 
 
 
 
 
 
Segmento Orientado 
Segmento de reta para o qual é escolhido um sentido de orientação. 
 
A AB B r 
 
 Origem Extremidade 
 
A BA B r 
 
 Extremidade Origem 
ou 
u 
u 
u 
V1 V2 
u u u u 
V1 
V2 
V1 V2 
V2 
V2 
V1 
V1 V2 
V2 
V1 
V2 
V1 
V2 V1 
 
 
a b 
a b 
a b 
a b 
SOMA DE VETORES 
Sejam dois vetores-parcela e formando entre si um ângulo α com 0º ≤ α ≥ 
180º. O vetor-soma, também chamado de vetor-resultante, aqui representado por R, é 
indicado por: 
 = + (indicação vetorial) 
 
Aplicação Numérica: 
Considerando os módulos dos vetores-parcela I | = 4 e | | = 3 (ou a = 4 e b = 3), 
tem-se a seguir o módulo do vetor-soma para os seguintes casos particulares: 
 
a) α = 0º 
Os vetores e tem a mesma direção e o mesmo sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O módulo resultante é igual a soma dos módulos das parcelas. 
 Ex.: R = a + b 
 R = 4 + 3 
 R = 7 
 
b) α = 180º 
Os vetores e tem a mesma direção, porém sentidos opostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R a b 
 
R = a + b 
 
R = a - b 
Graficamente 
 
a 
b 
a b 
R 
Graficamente 
 
a 
b 
a 
b R 
 
 
a b 
a b 
O módulo resultante é igual à diferença dos módulos das parcelas. 
 Ex.: R = a - b 
 R = 4 - 3 
 R = 1 
 
c) α = 90º 
 Os vetores e formam um ângulo reto.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 0º < α <180º 
Os vetores e formam um ângulo qualquer, diferentes dos anteriores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R2 = a2 – b2 
Graficamente 
 
a 
b 
α = 90º a 
b 
R
R 
Regra do Paralelogramo 
Consiste em juntar as origens dos vetores-
parcela e fechar um paralelogramo. 
O vetor-soma é a diagonal do paralelogramo 
cuja origem é a mesma dos vetores parcela. 
Nota: O retângulo é um caso 
particular de paralelogramo 
 
R2 = a2 + b2 + 2.a.b.cos α 
Graficamente 
 
a 
b 
a 
b 
 
 
 Ex.: R2 = a2 + b2 + 2.a.b.cos α 
 R2 = 42 + 32 + 2.4.3.0,5 
 R = 6,1 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Complete as lacunas: 
 As grandezas vetoriais são representadas por ....................................................... 
 Vetor é um ............................................................................................................. 
 As três características de um vetor são ................................................................. 
 Aplica-se num objeto uma força de 10 N na vertical, de baixo, para cima. As três 
características dessa força são: 
módulo = .............................................................................................................. 
direção = .............................................................................................................. 
sentido = .............................................................................................................. 
 Adicionando-se um vetor de 6 unidades para norte, com um vetor de 4 unidades 
para sul, obtém-se um vetor de ........................................................................... 
unidades para ....................................................................................................... 
 Um deslocamento de 10 km para leste, seguido de um deslocamento de 6 km 
para oeste, equivale a um único deslocamento de ............................................... 
km para. ................................................................................................................ 
 
 
2. Os indivíduos da mesma figura que caminham na mesma calçada retilínea estão: 
 
a) na mesma direção e no mesmo sentido. 
b) na mesma direção e em sentidos opostos. 
c) em direções opostas e no mesmosentido. 
d) em direções opostas e em sentidos opostos. 
e) em direções e sentidos indefInidos. 
 
 
 
a b 
3. Uma pessoa caminha em um passeio, num dia de Domingo, 180 m do sul para o 
norte. A seguir, desloca-se 240 m do oeste para o leste. Qual o valor do 
deslocamento final desta pessoa? 
a) 420 m 
b) 240 m. 
c) 300 m. 
d) 324 m. 
e) NRC 
 
4. Determine o módulo da resultante dos vetores e em cada caso a seguir: 
 
a) a = 12 
b = 7 
 
 
 
 
b) a = 15 
b = 5 
 
 
 
c) a = 12 
b = 5 
 
 
 
 
 
d) a = 4 
b = 8 
 
 
 
 
a 
b 
a 
b 
a 
b 
b a 
120º 
 
 
 
 
e) a = b = 7 
 
 
 
 
 
f) a = 3 
b = 4 
c = 5 
d = 7 
 
 
 
 
g) a = b = c = 8 
 
 
 
 
 
 
 
5. Ache o módulo da força resultante dos sistemas das figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b a 
120º 
b 
a 
d 
c 
b a 
120º 
120º 120º 
c 
3N 2N 
5N 
6N 
60º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (Fuvest-SP) Num vagão ferroviário, que se move com velocidade VO = 3 m/s em 
relação aos trilhos, estão dois meninos, A e B, que correm um em direção ao outro, 
cada um com velocidade V = 3 m/s em relação ao vagão. As velocidades dos 
meninos A e B em relação aos trilhos serão respectivamente: 
 
 
a) 6 m/s e O m/s b) O m/s e 9 m/s 
c) O m/s e 6 m/s d) 3 m/s e 3 m/s 
e) 9 m/s e O m/s 
 
8N 
6N 
7N 
5N 
3N 
2N 
6N 
4N 
4N 
 
 
7. Num dia sem vento, a chuva cai verticalmente em relação ao solo com velocidade 
de 10 m/s.Um carro se desloca horizontalmente com 20 m/s em relação ao solo. 
Determine o módulo da velocidade da chuva em relação ao carro. 
 
 
8. Num bairro onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 
100 m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória 
representada no esquema abaixo. O deslocamento vetorial desse transeunte tem 
módulo, em metros, é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 300 b) 350 c) 400 d) 500 e) 700 
 
9. Um barco está com o motor funcionando em regime constante; sua velocidade em 
relação à água tem módulo igual a 5 m/s. A correnteza do rio movimenta-se em 
relação às margens com 2 m/s, constante. Determine o módulo da velocidade do 
barco em relação às margens em quatro situações distintas: 
a) o barco navega paralelo à correnteza e no seu próprio sentido (rio abaixo); 
b) o barco navega paralelo à correnteza e em sentido contrário (rio acima); 
c) o barco movimenta-se mantendo seu eixo numa direção perpendicular à 
margem; 
d) o barco movimenta-se indo de um ponto a outro situado exatamente em 
frente, na margem oposta (60º). 
 
 
P 
Q 
100m 
100m 
 
 
10. Um barco atravessa um rio perpendicularmente à correnteza. Sabendo que os 
módulos das velocidades do barco e da correnteza do rio são, respectivamente, 
VB = 4,0 m/s e VC= 3,0 m/s, determine o módulo da velocidade resultante. 
 
 
 
11. Sobre o bloco da figura abaixo atuam as forças F1, F2, F3 e F4 de módulos F1 = 
20 N, F2 = 30 N, F3 = 25 N e F4 = 35 N. Determine o módulo da força resultante 
que atua sobre o bloco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Os sucessivos deslocamentos efetuados por um, veículo, quando se movimenta de 
um ponto A para outro B, são: 40 km para o norte, 40 km para o leste e 10 km para 
o sul. Determine a menor distância a ser percorrida para ele retomar de B até A. 
 
VB 
VC 
F1 
F2 
F3 
F4 Θ 
+ 
 
 
COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS 
 
INTRODUÇÃO 
 
Se uma formiga caminhar no sentido oeste-leste sobre um tapete em repouso 
sobre o piso, ela terá exatamente a mesma velocidade em relação ao piso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, se o tapete for puxado e entrar em movimento no mesmo sentido (também 
para leste), a formiga, em relação ao piso, terá outra velocidade, maior do que antes! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Numericamente, se a formiga anda a 1 cm/s sobre o tapete e este é arrastado a 2 
cm/s (na mesma direção e no mesmo sentido), então a formiga desloca-se a 3 cm/s (1 
cm/s + 2cm/s) em relação ao piso. 
Isso é o que se denomina composição de movimentos. 
Neste capítulo, movimentos de direções diferentes também serão compostos e 
analisados numericamente. 
 
 
 
S 
L O 
N 
F = formiga 
T = tapete 
P = piso 
F  VFT = VTP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTO RESULTANTE 
 
Considere o movimento de um corpo A em relação a um referencial B (com 
velocidade VAB) e um segundo movimento, o do referencial B em relação a outro 
referencial C (com velocidade VBC). Compondo os dois movimentos apresentados, resulta 
o movimento do corpo A em relação ao referencial C, cuja a velocidade resultante VBC é 
determinada pela soma vetorial: 
 
 
 
 
 
 
É possível andar e, mesmo assim, permanecer parado? 
 
 
V > Ve  você sobe 
V = Ve  você fica em repouso em relação ao prédio 
V < Ve  você desce 
 
Esse exemplo, que acabamos de ver, é bastante fácil e auxilia a análise a 
respeito da composição de movimentos. 
Aproveitando: o que acontece se caminharmos no mesmo sentido do 
movimento da escada? Isto é: 
 se andarmos para baixo numa escada rolante que desce, 
 ou se andarmos para cima numa escada que sobe? 
Fácil responder, não é mesmo? 
 
Se você andar para cima, sobre 
uma escada rolante que desce, 
poderá acontecer um dos 
seguintes casos: 
 
Sua velocidade sobre a escala 
(v) 
Em relação à , velocidade da 
escada rolante 
(Ve) 
 
VAC = VAB + VBC 
Esquematicamente 
 
Movimento resultante AC 
 
 
 
 Mov. AB Mov. BC 
A B C 
 
 
Por exemplo, um barco que navega num rio apresenta a velocidade relativa VBA (do 
barco em relação à água) e a velocidade resultante VBT (do barco em relação à Terra); 
para relacioná-las é preciso que se considere também a velocidade de arrastamento VAT 
(da água em relação à Terra ). Então: 
 
VBT = VBA + VAT 
ou 
Vr = Vrel + Varr 
 
 
Vr = velocidade resultante 
Vrel = velocidade relativa 
Varr = velocidade de arrastamento 
 
 
 
A seguir, as principais situações de um barco num rio: 
 
 
 
 
Neste exemplo, supõe-se : |VBA| = 12 m/s e |VAT| = 5 m/s. 
 
 
Para relacionar os módulos dos vetores-velocidade, analisam-se também a direção 
e o sentido desses vetores: 
 
 
 
 
 
Situação 1: descendo o rio, com VBA // VAT. 
 
 
 
 
Situação 2: subindo o rio, com VBA // VAT. 
 
 
 
Situação 3: atravessando o rio, com VBA ┴ VAT. 
 
 
 
Situação 4: atravessando o rio, com VBT ┴ VAT. 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS MOVIMENTOS SIMULTÂNEOS 
 
 
Na composição de movimentos, o princípio da simultaneidade de Galileu afirma 
que cada um dos movimentos componentes pode ser estudado independentemente, e 
mais:  tAB =  tBC =  tAC, isto é, os intervalos de tempo medidos em cada um dos 
movimentos (A em relação a B, B em relação a C e A em relação a C) são iguais entre si, 
pois estes movimentos componentes e o resultante são simultâneos. 
 
 
Num movimento composto, cada um dos movimentos componentes ocorre 
simultaneamente com os demais e como se esses outrosnão existissem. 
 
 
|VBT| = |VBA| + |VBT| |VBT| = (12+5) m/s = 17 m/s 
|VBT| = |VBA| - |VAT| |VBT| = (12-5) m/s = 7 m/s 
|VBT|
2 = |VBA|
2 + |VAT|
2
 |VBT|
2 = 122+52  |VBT|
2 = 13 m/s 
|VBA|
2 = |VBT|
2 + |VAT|
2
 12
2
 = |VBT|
2 +52  |VBT|
2  1,9 m/s 
 
 
Exercícios 
 
1. Um rio, de 50 m de largura constante, é atravessado por um barco, cuja máxima 
velocidade própria (barco em relação a água) é de 0,8 m/s. A correnteza tem 
velocidade constante de 0,6 m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine o tempo mínimo de travessia. 
b) Em quantos segundos o barco é arrastado rio abaixo durante a travessia em 
tempo mínimo? 
c) Calcule a velocidade resultante (barco em relação à Terra), nas condições 
anteriores. 
d) Determine o deslocamento percorrida pelo barco rio abaixo. 
e) Determine a distância realmente percorrida pelo barco ao final da travessia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um barco atravessa um rio com velocidade própria de 10 m/s, perpendicular à 
correnteza. Sabendo-se que a largura do rio é de 800 metros e a velocidade da 
correnteza 5 m/s, determinar: 
a) o tempo gasto na travessia; 
b) o deslocamento do barco rio abaixo ao fim da travessia. 
c) a distância realmente percorrida pelo barco na travessia; 
d) a velocidade do barco em relação à terra. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um barco navega em um rio cuja correnteza é constante e vale 5 km/h. Sabendo que 
a velocidade do barco e de 12 km/h, determine a velocidade resultante quando o 
barco: 
 
a) Sobe o rio 
b) Desce o rio 
c) Sai de A e chega em B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio visto de cima 
A 
 B C 
VC VB 
 
 
4. Um barco navega por um rio desde uma cidade A até uma cidade B com velocidade 
de 36km/h e, em sentido contrário, com velocidade de 28,8 km/h. Determinar a 
velocidade da correnteza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A figura representa uma corrente das águas de um rio que fluem com a velocidade de 
3 km/h. No rio estão fixadas três balizas, A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
Dois nadadores, capazes de desenvolver a velocidade constante de 5 km/h, 
iniciam, respectiva e simultaneamente, os percursos de A a B e de A a C, 
percorrendo-os em linha reta em ida e volta. Calcular a diferença entre os 
intervalos de tempo necessários para os nadadores completarem os respectivos 
percursos, dando a resposta em horas. 
 
 
 
 
 
A B 
Va Vb 
Vb Va 
A 
B 
8 km 
C 
8 km 
Corrente 
AC // corrente 
 
 
 
6. Um pássaro parte em vôo retilíneo e horizontal do seu ninho para uma árvore distante 
75 m e volta, sem interromper o vôo, sobre a mesma trajetória. Sabendo-se que sopra 
um vento de 5 m/s na direção e sentido da árvore para o ninho e que o pássaro 
mantém, em relação à massa de ar, uma velocidade constante de 10 m/s, determine, 
em segundos, o tempo gasto na trajetória de ida e volta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. O motor de um barco comunica-lhe uma velocidade de 18 km/h em águas paradas. O 
barco navega num rio cuja correnteza tem velocidade de 3 m/s. Calcule a distância 
percorrida pelo barco em 10 minutos, nos casos: 
a) rio abaixo; 
b) rio acima.